高考数学解题之换元法

换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。

Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1·a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。

4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。

5.方程1313++-xx＝3的解是_______________。

6.不等式log 2(2x －1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n； 4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x－1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 254,log 23)。

Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求1S max＋1S min的值。

（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。

【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810S S-的有界性而求，即解不等式：|810S S-|≤1。

这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S2]， 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5S t 224－=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。

∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。

另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求1S max ＋1S min的值。

例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B，求cos A C-2的值。

（96年全国理）【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩ ，再代入可求cos α即cos A C-2。

【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A ＋C ＝120°，设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22,解得：cos α＝22， 即：cos A C-2＝22。

【另解】由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。

所以1cos A ＋1cos C ＝－2cos B＝－22，设1cos A ＝－2＋m ，1cos C＝－2－m ， 所以cosA ＝12-+m ，cosC ＝12--m，两式分别相加、相减得：cosA ＋cosC ＝2cos A C +2cos A C -2＝cos A C-2＝2222m -，cosA －cosC ＝－2sinA C +2sin A C -2＝－3sin A C -2＝222mm -， 即：sinA C -2＝－2322m m ()-，＝－2222m -，代入sin 2A C -2＋cos 2A C -2＝1整理得：3m4－16m －12＝0,解出m 2＝6，代入cosA C-2＝2222m -＝22。

【注】 本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“1cos A ＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。

所以1cos A ＋1cos C ＝－2cos B＝－22，即cosA ＋cosC ＝－22cosAcosC ，和积互化得：2cos A C +2cos A C -2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos A C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos 2A C -2－1)，整理得：42cos 2A C -2＋2cos A C-2－32＝0,解得：cosA C -2＝22例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值。

【解】 设sinx ＋cosx ＝t ，则t ∈[-2,2]，由(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx ·cosx 得：sinx ·cosx ＝t 212-∴ f(x)＝g(t)＝－12(t －2a)2＋12（a>0），t ∈[-2,2] t ＝-2时，取最小值：－2a 2－22a －12当2a ≥2时，t ＝2，取最大值：－2a 2＋22a －12； 当0<2a ≤2时，t ＝2a ，取最大值：12。

∴ f(x)的最小值为－2a 2－22a －12，最大值为1202222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a a a a 。

【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx ·cosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2,2]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx ±cosx ，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。