2020年高考数学答题技巧(全套完整精品)

2020 年高考数学答题技巧（全套完整精品）

一、考前准备

1．调适心理，增强信心

（1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考；

（2）合理安排饮食，提高睡眠质量；

（3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示；

（4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。

2．悉心准备，不紊不乱

（1）重点复习，查缺补漏。对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合，既可按知识分类，也可按数学思想方法分类。强化联系，形成知识网络结构，以少胜多，以不变应万变。

（2）查找错题，分析病因，对症下药，这是重点工作。

（3）阅读《考试说明》，确保没有知识盲点。

（4）回归课本，回归基础，回归近年高考试题，把握通性通法。

（5）重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对，对而不全”现象的出现。

（6）临考前应做一定量的中、低档题，以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的竞技状态。

3．入场临战，通览全卷最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平稳是非常重要的。刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作铺垫，一般可在五分钟之内做完下面几件事：

（1）填写好全部考生信息，检查试卷有无问题；

（2）调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择或填空题（一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定）；

（3）对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为A、B 两类：A 类指题型比较熟悉、容易上手的题目；B 类指题型比较陌生、自我

感觉有困难的题目，做到心中有数。

二、高考数学题型特点和答题技巧

1．选择题——“不择手段”

题型特点：

（1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强，试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，决不标新立异。

（2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容，在高的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大，而且许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单机械的计算问题，其中往往蕴含了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。

（3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在，绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力。思辨性的要求充满题目的字里行间。

（4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它们辩证统一起来。这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。

（5）解法多样化：以其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出，尤其是数学选择题由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的

考查。

解题策略：

（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。

（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大或无无从下

手的题。这样也许能超水平发挥。

（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见

题目。

（4）挖掘隐含条件，注意易错易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。

（5）方法多样，不择手段。高考试题凸现能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要

在一两个小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”也有25%的胜率。

（6）控制时间。一般不要超过40 分钟，最好是25 分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分” 。

2．填空题—“直扑结果”

题型特点：填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其

形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过

程，评分客观、公正、准确等等，不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项，因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，

又有缺乏提示的帮助之不足。对考生独立思考和求解，在能力要求上会高

一些。长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是

一个重要的原因。其次，填空题的解构，往往是在一个正确的命题或断言

中，抽去其中的一些内容（即可以使条件，也可以是结论），留下空位，

让考生独立填上，考查方法比较灵活，在对题目的阅读理解上，较之选择题有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。填空题的考点少，目标集中。否则，试题的区分度差，其考试的信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因，有的可能是一窍不通，入手就错了；有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异。

解题策略：

由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，

结果稍有毛病便是零分；三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。

3．解答题——“步步为营”

题型特点：解答题与填空题比较，同居提供型的试题，但也有本质的区别，首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明，填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括的准确；其次，试题内涵解答题比起填空题要丰富得多，解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度较之填空题大得多。

评分办法：

数学高考阅卷评分实行懂多少知识给多少分的评分办法，叫做“分段评分”。而考生“分段得分”的基本策略是：会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。会做的题目若不注意准确表达和规范书写，常常会被“分段扣分” ，有阅卷经验的老师告诉我们，解答立体几何题时，用向量方法处理的往往扣分少。解答题阅卷的评分原则一般是：第一问，错或未做，而第二问对，则第二问得分全给；前面错引起后面方法用对但结果出错，则后面给一半分。

解题策略：

（1）常见失分因素：

①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；

②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；

③思维不严谨，不要忽视易错点；

④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分” ；

⑤计算能力差失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析中的圆锥曲线问题就要求较强的运算能力；

⑥轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。

（2）何为“分段得分” ：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分” ——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的———会而不对。

有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤———对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分” 。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难” 。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。

①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分” 。

②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处” 。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有??”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知” ，先做第二问，这也是跳步解答。

③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况” 。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。

④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有

次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。

（3）能力不同，要求有变：

由于考生的层次不同，面对同一张数学卷，要尽可能发挥自己的水平，考试策略也有所不同。针对基础较差、以二类本科为最高目标的考生而言要“以稳取胜”——这类考生除了知识方面的缺陷外，“会而不对，对而不全”是这类考生的致命伤。丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。考试时要克服急躁心态，如果发现做不下去，就尽早放弃，把时间用于检查已做的题，或回头再做前面没

做的题。记住，只要把你会做的题都做对，你就是最成功的人！针对二本及部分 一本的同学而言要“以准取胜”——他们基础比较扎实，但也会犯低级错误，所 以，考试时要做到准确无误(指会做的题目) ，除了最后两题的第三问不一定能 做出，其他题目大都在“火力范围”内。但前面可能遇到“拦路虎” ，要敢于放 弃，把会做的题做得准确无误，再回来“打虎” 。针对第一志愿为名牌大学的考 试而言要“以新取胜”——这些考生的主攻方向是能力型试题，在快速、正确做 好常规试题的前提下， 集中精力做好能力题。 这些试题往往思考强度大， 运算要 求高，解题需要新的思想和方法，要灵活把握，见机行事。如果遇到不顺手的试 题，也不必恐慌，可能是试题较难，大家都一样，此时，使会做的题不丢分就是 上策。

2020 年高考数学答题技巧应用

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．设集合 S {x|x 2

2x 0,x R} ，T {x|x 2

2x 0,x R} ，则 SI T A ．{0}

B ． {0, 2}

C ．{ 2,0}

D ．{ 2,0, 2}

解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选 A ！ 2．函数

f(x)

lg(x 1)

的定义域是

x1

A ． ( 1,

) B ． [ 1, ) C ． ( 1,1) U (1, ) D ． [ 1,1)U (1, ) 解析】：对数真数大于零，分母不等于零，选

C ！ 3．若i(x yi) 3 4i ， x,y R ，则复数 x yi 的模是 A ． 2

B ．3

C ．4

解析】：通过复数的运算和复数

相等， 5

1

4．已知 sin(

) ，那么 cos 2 5

2

1

A ．

B ．

C 5

5

【解析】 ：考查三 角

D.

D ．5

得 x 4, y 1 5 函数诱 D ．

导

3

sin(5

) sin(2 + ) sin 2 2 2 cos

1

，选

C.

5

5．执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n

的值为 3，则输出 s 的

值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．

解析】根据程序框

图， s=1+0+1+2=4.选 C. 6．某三棱锥的三视图如图

2 所示，则该三棱锥的体积是 1 A ．

6

解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 B ． 2

C ． 3

D ．1

11 32

1 1 1 则V= 1 1 2= ，选 B.

3 7．垂直于直线 2

x 1

且与圆 x 2

2

1相切于第Ⅰ象限的

直线

侧视图

方程是 A ． x B ．

10 俯视图

图 2

C ． x

10

D ． 20

解析】

直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的

距离

等于 r 1

，求得 k

2

.选 A. 8．设 l

为直线，

是两个不同的平面， 列命题中正确的是 A ．若

l// ，l // ，则 //

B ．若 l

， l

，则 //

C ．若

l

， l

//

则 //

D ．若 ，l //

，则 l

解析】借助长方体判断， 可知 B 正确..

9．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ，离心率等于 1

，则 C 的方程是 2 22 xy A ． 1

34

22 xy

B ． 1

43

C ． 2 y 2 1

2

2 x D ． 4

2

y 2

1

3

解析】基础题， c

1,a

2,b 3 ，选

D. 10．设 a

是已知的平面向量且 a 0 ，关于向量

a 的分解，有如下四个

命题：

①给定向量

总存在向量 c ，使 a

② 给定向量 b 和c ，总存在实数 和 ，使 a b c ；

r r r

r r

③

给定单位向量 b 和正数 ，总存在单位向量 c 和实数 ，使 a

b c ；

r r r r r

④ 给定正数 和 ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使 a b c ； rrr

上述命题中的向量 b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1

B ．2

C ． 3

D ．4

【解析】本题是选择题中的压轴题， 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则 利用向量加法的三角形法则，易知①是对的； 利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以 a 的终点作长度为 的圆，这个圆必和向量 b 有交点，这个不一定能满足，③是错的； 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须

b c = + a ，所以④是假命题 . 综上，本题选 B.

二、填空题：本大题共 5 小题．考生作答 4 小题．每小题 5 分，满分 20 分 ． （一）必做题（ 11～ 13 题）

11．设数列 { a n }是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 a 1 |a 2| a 3 |a 4 |

解析】依题意得

a

1=1,a 2=-2,a 3=4,a 4=-8.所以 a 1

a 2 a 3 a 4 15.

12．若曲线 y ax 2

ln x 在点 （1,a ） 处的切线平行于 x 轴，则 a

xy30 13．已知变量 x, y 满足约束条件 1 x 1 ，则 z x

y1

最大值是 ．

【解析】画出可行域如图，最优解为 1,4 ，故填 5 ；

（二）选做题（ 14、15 题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

解析】本题考查切线方程、方程的思想

.依题意

y

1'

2ax ,y x 1 x

2a 1 0, a

已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos ．以极点为原点，极轴为 x 1 cos

y sin

x 轴的正半轴建立直

标系，则曲线C 的参数方程为

2

解析】先化成直角坐标方程 x 1 2y2 1 ，易得曲线 C的参数方程为

为参数）。

15．（几何证明选讲选

做题） 如图 3，在矩形 ABCD 中， AB 3, BC 3，BE

【解析】由 AB 3, BC 3

，可知 BAC 60

o 从而 AE 3, CAD 30o

，

2

2 2 o 21 DE AE 2 AD 2 2AE AD cos30o

. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 16．（本小题满分 12 分） AC ，垂足为 E

，则 ED

图 3 2

80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

已知函数 f (x) 2 cos x ,x R ．

12

（1） 求 f

的值； 3

(2) 若 cos 3, 3 ,2 ，求 f

5 2 6

解析】 (1)

f 2cos 2cos 1

3 3 12

4 2） Q cos

3

, 5

3

,2 ， sin 2

1

2

4 cos ，

5

f

= 2cos

2 cos cos

1 sin sin 6 4

4

45

17．（本小题满分 13 分） 从一批苹果中，随机抽取 分组（重

量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

频数（个） 5 10 20

15

50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95）

的频率； （2） 用分层抽样的方法从重量在 [80,85） 和 [95,100） 的苹果中共抽取 4

个，其中重量在

[80,85） 的有几个？ （3） 在（2）中抽出的 4个苹果中，任取 2个，求重量在 [80,85） 和[95,100） 中各有 1个的概 率．

20

【解析】（1）苹果的重量在 90,95 的频率为 20

=0.4 ；

50

5

（2）重量在 80,85 的有 4 =1 个；

5+15

（3）设这 4 个苹果中 80,85 分段的为 1， 95,100 分段的为 2、 3、4，从中任取两个，可 能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共 6 种；设任取 2个，重量在 80,85 和 95,100

31 中

各有 1个的事件为 A ，则事件 A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共 3种，所以 P

（A ） 3 1

.

62

18．（本小题满分 13 分）

如图 4，在边长为 1的等边三角形 ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 边上的点， AD AE ，F

是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点 G ，将 ABF 沿 AF 折起，得到如图

A BCF ，其中 BC

2

BC 平面 BCF ， DE / / 平面 BCF ；

1

（2）

在等边三角形 ABC 中， F 是BC 的中点，所以 AF BC ①， BF CF 1

.

2

Q 在三棱锥 A BCF 中， BC 2

， BC 2 BF 2 CF 2

CF BF ②

2

5 所示的三棱锥

（1） 证明： DE // 平面 BCF

（2） 证明： CF 平面 ABF ；

2

（3） 当 AD 时，求三棱锥 DEG 的体积

V F 【解析】 （1）在等边三角形 ABC

中，

AD AE AD AE ,在折叠后的三 A BCF 中 DB EC

也成立，

DE / /BC ,Q DE 平面 B CF ，

A

G

E

D

F

图 5

Q BF CF F CF 平面 ABF ；

3）由（ 1）可知GE//CF ，结合（ 2）可得GE 平面DFG .

11 V F DEG V E DFG DG FG GF

F DE

G E DFG

3 21 1 1 1 3 1 3 3 2 3 3 2 3 324

解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内

容，

还考查了平行线分线段成比例

这个平

面几何的内

容

19．（本小题满分 14

分）

设各项均为正数的数列a n 的前n 项和

为S n

，

满足

4S n

2

a n 1 4n 1,n

a2 , a5, a14构成等比数列．

(1

)

证明：a2 4a1 5 ；

(2 ) 求数列a n 的通项公式；

(3 ) 证明：对一切正整数

n ，a1a2 a2a3

11 a n a n 1

2

解析】（1）当n 1 时，

4a

1

4a1 5，Qa n a2 4a1 5

2）当n 2时，4S n1 a

n

2 4 n 1 1

，

4a n 4S n 4S n 1 2

a

n 1

2

a n

22

a

n 1 a

n

4a

n

4 a

n

2

2 ,Q a n 0 a n 1

a n 2

当n 2 时，a n 是公差d 2 的等差数列 .

Qa2,a5,a14 构成等比数列，

2

a

5

a

2

a

14 ，

a

2

2

82

a

2

a

2

24 ，解

得

a

2

3,

由( 1)可知，4a1 a225=4, a1 1

Qa2 a1 3 1 2 a n 是首项a1 1,公差d 2的等差数

列数列a n 的通项公式为

a n

2n 1.

3)1

a1a2

1L

a2a3 a n a n 1

111

1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1

1 1 1 1 1

11 11

2 57

2n 1 2n 1

1 1 1 1. 2n 1 2

2

20．（本小题满分 14 分）

已知抛物线 C 的顶点为原点，

其焦点 F 0,c c 0 到直线 l :x y 2 0 的距离为

3 2

．设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB ，其中 A, B 为切点． 2

当点 P x 0,y 0 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； 当点 P 在直线 l 上移动时，求 AF BF 的最小值．

2

)设点

A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， P(x 0, y 0)，

由 x 2

4y ,即 y 1

x 2

,得 y

1

x .

42

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y y 1 x

1

2

1

(x

x 1)，

即y

x

1

x 2

y 1 12

x 12

.

y

1

12

14x 1

，

x

1

y 1 .

∵点 P(x 0, y 0) 在切线 l 1上,

x 1 ∴ y 0 2

1

x 0 y 1.

同理， y 0 x 2

2

x 0

y 2 .

②

x y 0 2

x 0 y .

(1)

求抛物线 C 的方程； (2) (3) 解析】（ 1）依题意 d

2

，解得

c 1（负根舍去）

2

抛物线 C 的方程为

4y ；

∵经过

A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点的直线是唯一的，

x

2x

x 0 y ，即 x 0x 2y 2y 0 0；

所以 AF BF y 1 1 y 2 1 y 1 y 2 y 1y 2 1

联立 ，消去 x 得 y 2

2y 0 x 02

y y 02

0 ， x 0x 2y 2y 0 0

22

y 1 y 2 x 0 2y 0,y 1y 2 y 0

Q x 0 y 0 2 0

2 2 2 2

AF BF y 0 2y 0 x 0 1=y 0 2y 0 y 0 2 1

2

2

1 9

=2y 0 2 y 0 +5=2 y 0

+ 22

9

AF BF 取得最小值为 9

2

21．(本小题满分 14 分) 设函数 f(x) x 3

kx 2

x k R ． (1) 当 k 1时,求函数 f (x) 的单调区间； (2) 当 k 0时,求函数 f (x) 在 k, k 上的最小值 m 和最大值 M ． 解析】： f '

x 3x 2

2kx 1

2)当 0 时， f '

x 3x

2

2kx 1，

其开口向上，对

称轴 i)当

2

4k 2

12 4

k3 0 ，即

3k

0 时， f x 0， f

x 在 k, k 上单调递

增， 从而当 x

k 时， f x 取得最小值 m f k k ,

k

x ，且过 0 ，1

∴直线 AB 的方程为 y 0 3)由抛物线的定义可知 AF y 1 1,BF

y 2 1，

当 y 0

1

2时，

(1)当 k '2

时 f ' x 3x 2

2x 1, 4

12 80

综合①、②得，点 A （x 1, y 1 ）, B （x 2, y 2 ）的坐标都满足方程

当x k 时， f x 取得最大值 M

k k 3

k

3

2k 3

k .

i i 4k 2

12 4 k 3

k3

3

时，令

3x 2

2kx 1 0 解得： x

1 k k 2

3

, x 2

,注意到

x

2

x

1

（注：可用韦达定理判断 x

1 x

2

1

3

， x 1

x

2

2k

3

k , 从而 x 2 x 1

0 ；或者由对

称结

合图像判断 ） min f k

x 1 , M max f

x

2

Qf

x

1 3

x

1

kx 12

x 1 k x 1

2

x

1

10

x

的最小值 k ,

Qf

x

2

x 23

kx 22

x

2

k

3

k

2

k = x 2 [ x

2

k 2

1]

x

的最大值 2k 3

k

综上所述，当 k

0 时， f

的最小值

m k ,最大值 M

2k 3

解法 2（ 2）当 k

0 时，对

x k, k ，都有

f(x) f (k) x 3

kx 2

x k 3

k 3

k (x 2

1)(x k) 0 ，故 f

x

f(x) f ( k)

x 3 kx 2 x k 3 k 3 k ( x k)(x 2

2kx 2k 2 1) (x

k)[( x k)2 k 2 1] 0 k ，而 f (k) k 0 ， f

( k)

2k 3 所以 f ( x) max

f ( k) 2k 3

k ， f (x)mi min f(k ) k .