(新)高一数学必修1辅导教材

必修一

第1章 集 合

§1.1 集合的含义及其表示

重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符

号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．

考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2

－2x ｝中的元素x 应满足什么条件?

当堂练习：

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A ．某班个子较高的同学

B ．长寿的人

C

D ．倒数等于它本身的数

2．下面四个命题正确的是（ ）

A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}

B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

C ．方程2

210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合

3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ?Z ，则a ∈Z ；

（3）所有的正实数组成集合R +

；（4）由很小的数可组成集合A ；

其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x 2

-3x+5=0的解集是空集；

（3）方程x 2

-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；

其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )

A ． {x,y 且0,0x y <>}

B ． {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6．用符号∈或?填空：

0__________{0}， a __________{a }， π

__________Q ，

2

1

__________Z ，－1__________R ，

0__________N ， 0 Φ．

7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．

8．用列举法表示集合D={2

(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 ． 9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集． 10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x 2

－x }中的x 不能取哪些数值？

12．已知集合A ＝{x ∈N|126x

－∈N

}，试用列举法表示集合A ．

13.已知集合A={2

210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.

(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.

14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则

11A a

∈-,证明：

（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集

重难点：子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合

的真子集的理解；补集的概念及其有关运算．

考纲要求：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

②在具体情景中，了解全集与空集的含义；

③理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

经典例题：已知A =｛x |x =8m +14n ，m 、n ∈Z ｝，B =｛x |x =2k ，k ∈Z ｝，问：

（1）数2与集合A 的关系如何? （2）集合A 与集合B 的关系如何?

当堂练习：

1．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．若M ＝{x ｜x ＞1}，N ＝{x ｜x ≥a }，且N ?M ，则（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1 3．设U 为全集，集合M 、N

U ，且M ?N ，则下列各式成立的是（ ）

A ．M C U ? N C U

B ．M

C U ?M C ．M C U ?N C U

D ． M C U ?N

4. 已知全集U ＝{x ｜－2≤x ≤1}，A ＝{x ｜－2＜x ＜1 }，B ＝{x ｜x 2

＋x －2＝0}，

C ＝{x ｜－2≤x ＜1}，则（ ）

A ．C ?A

B ．

C ?A C U C ．B C U ＝C

D ．A C U ＝B 5．已知全集U ＝{0，1，2，3}且A C U ＝{2}，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．8个 D ．7个

6．若A B ，A C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 为________．

7．如果M ＝{x ｜x ＝a 2

＋1，a ∈N*}，P ＝{y ｜y ＝b 2

－2b ＋2，b ∈N ＋}，则M 和P 的关系为

M _________P ．

8．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ?M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．

9．已知集合A={13x -≤≤}， A C U ={|37x x <≤}，B C U ={12x -≤<}，则集合B= ．

10．集合A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的值是 ．

11．判断下列集合之间的关系：

（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；

（2）A={2

|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2

|44x x x +=}; （3）A={10

|110x x ≤≤},B={2

|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥};

（4）11{|,},{|,}.2

4

4

2

k k A x x k Z B x x k Z ==+

∈==

+

∈

12． 已知集合{}

2|(2)10A x x p x x R =+++=∈，，且?A {负实数}，求实数p 的取值范围．

13．.已知全集U={1,2,4,6,8,12},集合A={8,x,y,z},集合B={1,xy,yz,2x},其中6,12z ≠,若A=B, 求A C U ．

14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x ∈U |x 2

－5qx ＋4＝0，q ∈R}． （1）若A C U ＝U ，求q 的取值范围；

（2）若A C U 中有四个元素，求A C U 和q 的值； （3）若A 中仅有两个元素，求A C U 和q 的值．

§1.3 交集、并集

重难点：并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系．

考纲要求：①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

②能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算． 经典例题：已知集合A={}

2

0,x x x -= B={}

2

240,x ax x -+=且

A ?B=

B ，求实数a 的取值范围．

当堂练习： 1．已知集合{}{}

{}2

2

20,0,2M

x x

px N x x

x q M N =

++==

--=?=且，则

q p ,的值为

（ ）． A ．3,2p q =-=- B ．3,2p q =-= C ．3,2p q ==- D ．3,2p q == 2．设集合A ＝｛（x ，y ）｜4x ＋y ＝6｝，B ＝｛（x ，y ）｜3x ＋2y ＝7｝，则满足C ?A ∩B 的集合C 的个数是（ ）． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．已知集合{}{}|35|141A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+，，A B B ?=且， B φ≠，则实数a 的取值范围是（ ）

． .1.01A a B a ≤≤≤

.0

.41C a D a ≤-≤≤

4.设全集U=R ，集合{}{}()()0,()0,0()

f x M x f x N x

g x g x =====则方程

的解集是（ ）．

A ．M

B ． M ∩（N

C U ） C ． M ∪（N C U ）

D ．M N ? 5.有关集合的性质:(1) U C (A ?B)=( A C U )∪（B C U ）; (2) U C (A ?B)=( A C U )?

（B C U (3) A ? (A C U )=U (4) A ? (A C U )=Φ 其中正确的个数有（ ）个． A.1 B ． 2 C ．3 D ．4

6．已知集合M ＝｛x ｜－1≤x ＜2＝，N ＝｛x ｜x —a ≤0｝，若M ∩N ≠Φ，则a 的取值范围是 ．

7．已知集合A ＝｛x ｜y ＝x 2

－2x －2，x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ＝x 2

－2x ＋2，x ∈R ｝，则A ∩B ＝ ．

8．已知全集{}1,2,3,4,5,U A =?且(B C U )={1，2} (A C U ){}4,5B ?=, ,A B φ?≠ 则A= ，B= ．

9．表示图形中的阴影部分 ． 10.在直角坐标系中,已知点集A=

{

}

2(,)

2

1

y x y x -=-,B={}(,)2x y y x =,则 (A C U ) ? B= ． 11．已知集合M={}{}

{}2

2

2

2,2,4,3,2,46,2a a N a a a a M N +-=++-+?=且,求实数

a 的的值．

12．已知集合{}{}2

2

0,60,,A x

x bx c B x x

mx A B B A

=++==

++=?=且B ?={}2，求实数b,c,m

的值．

13. 已知A ?B={3}, (A C U )∩B={4,6,8}, A ∩(B C U )={1,5},(A C U )∪

(B C U )={*

10,,3x x x N x <∈≠},试求U C (A ∪B)，A ，B ．

14.已知集合A=}{2

40

x R x x ∈+=，B=}{22

2(1)10

x R

x a x a ∈+++-=，且A ∪B=A ，试求a 的取

值范围．

A

B

C

第1章 集合单元测试

1．设A={x|x ≤4}，a=17，则下列结论中正确的是（ ）

（A ） {a} A （B ）a ?A （C ）{a}∈A （D ）a ?A 2．若{1，2} A ?{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ） （A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）3 3．下面表示同一集合的是（ ）

（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2

210}x x -+=,N={1}

4．若P ?U ，Q ?U ，且x ∈C U （P ∩Q ），则（ ）

（A ）x ?P 且x ?Q （B ）x ?P 或x ?Q （C ）x ∈C U (P ∪Q) （D ）x ∈C U P 5． 若M ?U ，N ?U ，且M ?N ，则（ ）

（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）C U N ?C U M （D ）C U M ?C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2

+1,x ∈R}，N={y|y=x 2

,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（ ） （A ）{(x,y)|x=21,,}22

y x y R ±

=

∈， （B ）{(x,y)|x 21,,,}22

y x y R ≠±

≠

∈

（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}

7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )

（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {

}

(,)

1y x y x

=,则A 、B 间的关系为（ ）

（A ）A B （B ）B A （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ

9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（ ） （A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或 （C ）{}15x x x ≤>或 （D ） {}05x x x <≥或 10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则00y x 与集合,M N 的关系是 （ ） （A ）00y x M ∈但N ?（B ）00y x N ∈但M ?（C ）00y x M ?且N ?（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

（A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩C U （N ∪P ）

（C ）M ∪C U （N ∩P ） （D ）M ∪C U （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ?I,B A,则下列结论错误的是（ ）

（A ）C I A

C I B （B ）A ∩B=B （C ）A ∩C I B =Φ （

D ） C I A ∩B=Φ

13．已知x ∈{1，2，x 2

}，则实数x=__________．

14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有 个．

? ≠ N

U P M

15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2

－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则

B= ． 16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =，则称(,)A B 为一个“理 想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是

两个不同的 “理想配集”）

17．已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A ∩(C U B)={1，2，8}，A ∩B={9}， 试求A ∪B ．

18．设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)．

19．设集合A={x|2x 2

+3px+2=0}；B={x|2x 2

+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}

12

时，

求p 的值和A ∪B ．

20．设集合A={(x,y)642

++=x x y },B={}(,)2x y y x a =+,问：

(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素．

21．已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={

}2

2

2

2

1234

,,,a a a a ，其中1

2

3

4

,,,a a a a

均为正整数，且

1234a a a a <<<，A ∩B={a 1,a 4}, a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．

22．已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2

－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象

重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y =f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．

考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；

经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：

（1）H （x ）=f （x 2

+1）；

（2）G （x ）=f （x +m ）+f （x －m ）（m ＞0）. 当堂练习：

1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A ．2(),()f x x g x x ==

B ．2

(),()()f x x g x x ==

C ．2

1(),()11

x f x g x x x -==+- D ．2

()11,()1f x x x g x x =+?-=-

2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）

A ．必有一个

B ．1个或2个

C ．至多一个

D ．可能2个以上 3．已知函数1()1

f x x =

+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）

A ．{}1x x ≠

B ．{}2x x ≠-

C ．{}1,2x x ≠--

D ．{}1,2x x ≠-

4．函数1()1(1)

f x x x =

--的值域是（ ）

A ．5

[,)4

+∞ B ．5

(,]4

-∞ C ． 4[,)3

+∞ D ．4(,]3

-∞

5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年

产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ） （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；

（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）

6．在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．

7

数()f x 对任何x R +

∈恒有1

212()()()f x x f x f x ?=+，已知(8)3f =，则f = ．

8．规定记号“?”表示一种运算，即a b a b a b R +

?+∈，、. 若13k ?=，则函数()f x k x =?的值域是___________．

9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ． 10．函数2

522

y x x =

-+的值域是 ．

11

． 求下列函数的定义域 ： (1)()121

x f x x =-

- (2)0

(1)

()x f x x x

+=

-

12．求函数y x =-

13．已知f(x)=x 2

+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值

h(t)．

14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开

始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．

（1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．

B

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.1.2 函数的简单性质

重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；

②会运用函数图像理解和研究函数的性质．

经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g

（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A．①④B．②③C．①③D．②④

当堂练习：

1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()

2,

x∈-+∞时是增函数，当()

,2

x∈-∞-时是减函数，则f(1)等于（）

A．-3 B．13 C．7 D．含有m的变量

2

．函数()

f x=是（）

A．非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C．偶函数 D．奇函数

3．已知函数(1)()11

f x x x

=++-

, (2)()

f x=2

()33

f x x x

=+

(4)

0()

()

1()

R

x Q

f x

x C Q

∈

=

∈

?

?

?

,其中是偶函数的有（）个

A．1 B．2 C．3 D．4

4．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为（）

5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a ,则集合B 中元素的个数是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

6．函数2

()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ． 7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2

(1)f x x ++与()

34

f 的大小关系

是 ．

8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．

9．如果函数y =f (x +1)是偶函数，那么函数y =f (x )的图象关于_________对称． 10．点(x,y)在映射f 作用下的对应点是332

2

x y y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是

B(2,0),则点A 坐标是 ．

13. 已知函数2

1

22()x x f x x

++

=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最

小值．

14．已知函数2

211()a f x a

a x

+=

-

，常数0>a 。

（1）设0m n ?>，证明：函数()f x 在[]m n ，上单调递增； （2）设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，，求n m -的最大值．

13.(1)设f(x)的定义域为R 的函数,求证: 1

()[()()]2F x f x f x =+-是偶函数；

1

()[()()]2

G x f x f x =--是奇函数.

(2)利用上述结论，你能把函数32

()323f x x x x =+-+表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．

14. 在集合R 上的映射:21:1f x z x →=-,2

2:4(1)1f z y z →=--.

(1)试求映射:f x y →的解析式;

(2)分别求函数f 1(x)和f 2(z)的单调区间; (3) 求函数f(x)的单调区间.

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.1.3单元测试

1． 设集合P={}04x x ≤≤,Q={}02y y ≤≤,由以下列对应f 中不能．．构成A 到B 的映射的是 （ ）A ．12

y x =

B ． 13

y x =

C ． 23

y x =

D ． 18

x y =

2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x 2

-1; (4)y=1x

,其中定义域与值域相同

的是（ ） A ．(1)(2) B ．(1)(2)(3) C ．2)(3) D ．(2)(3)(4) 3．已知函数7

()2c f x ax bx x

=++

-,若(2006)10f =,则(2006)f -的值为（ ）

A ．10

B ． -10

C ．-14

D ．无法确定 4．设函数1(0)

()1(0)

x f x x ->=

?，则()()()()2a b a b f a b a b ++-?-≠的值为（ ）

A ．a

B ．b

C ．a 、b 中较小的数

D ．a 、b 中较大

的数

5．已知矩形的周长为1,它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中,定义域为（ ） A ．{

}

104

x x <<

B ． {

}

102

x x <<

C ． {

}

114

2

x

x <<

D ． {

}

114

x

x <<

6．已知函数y=x 2

-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．0

B ．0

C ．≤a ≤2

D ． 0≤a ≤2

7．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤2

B ．a ≤-2或a ≥2

C ．a ≥-2

D ．-2≤a ≤2