大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学

第一章 质点运动学

一、 基本要求

1．

掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。 2． 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。 3．

能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。 4．

理解伽利略坐标，速度变换。

二、 基本内容

1．

位置矢量（位矢）

位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所

引的一条有向线段r 表示。 r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。r

同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。

注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r

=；（2）

相对性：用r

描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。它表示了r

的相对性，也反映了运动描述的相对性；

（3）矢量性：r

为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。

在直角坐标系Oxyz 中

k z j y i x r

++=

222z y x r r ++==

r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos

质点运动时， ()t r r

= （运动方程矢量式）

()()()⎪⎩

⎪

⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）

。 ２．位移

()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r

∆的模()()22y x r ∆+∆=

∆ 。

注意：（１）r

∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（２）r

∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线

运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆

。

3. 速度

dt

r

d v =是描述位置矢量随时间的变化。 在直角坐标系中

k v j v i v k dt

dz j dt dy i dt dx dt r d v z y x

++=++==

2

222

2

2

z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==

v

的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。

在曲线运动中，v

沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。

注意：（1）瞬时性，质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系，坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性，因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意

dt

dr

与dt r d

，dt

dr

与dt r d 的区别。

4． 加速度

dt v d a =，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随时

间的变化。不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都有加速度。加速度为矢量。

在直角坐标中，k a j a i a a z y x

++=，其中

22dt x d dt dv a x x ==，22dt y d dt dv a y y ==，22dt z d dt dv a z z ==，2

22z

y x a a a a ++= 。 在自然坐标系中 t a n a a t n

+=，其中，

ρ

2

v a n =

，dt

dv a t =

，22

t n a a a += ，t n a a a arctan =θ与切向的夹角 加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a 与v

同向，则质

点作加速运动，a 与v 反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a

方向总是指向曲线凹的一侧的。

5．圆周运动的角速度、角加速度 角速度 dt

d θω=

角加速度 22dt

d dt d θ

ωβ== 角量与线量的关系：ωR v =，2,ωβR a R a n t ==

6．加利略速度变换 u v v +'= 其中v

为运动物体相对固定参照系的速

度，称为绝对速度；v ' 为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u

为运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。

三、典型例题：

【例1－1】 如图1－1（a ），在离水面高为h 的岸边，有人通过滑轮用绳拉船靠岸，设人收绳的速率恒定为0v ，求当船到滑轮的距离为l 时，绳上A 点距离为c l 的C 点速度？

（a ）

例1－1图

解: 分析：在收绳过程中，AB 段内绳上各点的运动情况（轨迹、速度大小和方向）各不相同，绳上各点速度的大小和收绳速率也是两个不同的概念。

下面用坐标法求解，

以A 为原点建立平面直角坐标系xoy 如图1－1（b ）

c 点的运动方程为 ˆˆc c c r x i y j =+

c 点的速度 ˆˆ

c c c c dr dx dy v i j dt dt dt

=

=+ ……………………………………○

1 由图知：2sin c c c l x l l θ==⋅cos c c c h

y l l l

θ==

利用

0c

dl dl v dt dt

==- 可得： 02222222

2v h l l h l l h l l h

l l dt d dt dx c c c ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+

--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=………………………○2 ()02

v l

l l h l h l dt d dt dx c c c --=⎪⎭⎫

⎝⎛⋅=………………………………………………○3 将○

2○3代入○1式得： 22002()ˆˆ(c c h l l l v v i v j l -=-+-………………………………○4 讨论：

（1）○4式表明，绳上不同点得速度大小、方向均不相同。当c l l =时，则02

ˆv l =-

-此即船速，“－”号说明船的运行方向水平向左。

（2）如果用极坐标法求解，则求得的速度的两个分量分别为径向分量和横向分量，其中径向分量是指速度沿绳方向的分量，其大小即为收绳速率。横向分量是指速度垂直于绳方向的分量。

（3）从图1－1(b)的示意图中可以定性地看出，绳上各点（除B 点）的运动轨迹为曲线，可知绳上各点具有加速度。由加速度定义式c

c dv a dt

=

，运用c v 在直角坐标系中的表达式○

4不难求得绳上各点加速度大小和方向的定量表达式。 说明：

大学物理和中学物理的一个重要区别是开始把高等数学作为研究物理解决物理问题的一个重要手段，从而使学习的内容上了一个台阶。便于应用微积分运算的坐标法，是在大学物理课程中定量研究物理问题的一个重要方法。这种方法的一个特点是解题过程的程序化，当物理量（如速度、加速度等）不是恒量而是随时间变化的一般情形时，运用坐标法解这类较复杂的问题显得尤为方便。