南京工业大学期末高等数学A试卷A

南京工业大学 高等数学A-2 试卷（A ）卷（闭）

2010--2011学年 第 二 学期 使用班级 江浦10级 学院 __ 班级 __学号 __ 姓名 __ ___

一、选择题（本题共4小

题，每小题3分，满分12分，每小题给出四个选项，请将正确答案填在题后的括号内） 1．若),(y x f 在),(00y x 处可微，则在),(00y x 点下列结论中不一定成立的是（ C ）

)(A 连续 )(B 偏导数存在 )(C 偏导数连续 )(D 切平面存在

2. 直线

011523

1

2325=--+-=-+=-z y x z y x 与平面的位置关系是（ D ） )(A 平行但不在平面上 )(B 在平面上 )(C 垂直 )(D 斜交

3. 若曲面∑：2

2

2

2

a z y x =++，则2

()x y z dS ∑

++⎰⎰＝（ C ） 4．设)11ln()1(n

u n

n +

-=，则级数（ B ）

)(A ∑∞

=1n n u 与∑∞

=12n n u 都收敛 )(B

∑∞=1

n n u 收敛而∑∞

=1

2

n n u 发散

)(C ∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

2

n n u 都发散 )(D ∑∞

=1

n n u 发散而∑∞

=1

2

n n u 收敛

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分，请将正确答案填在题后的横线上） 1．已知矢量,a b 的模分别为()

2

||2,||2,6a b a b a b

==⋅=⨯=及，则 2 __ 。

⒉ 已知=+

=)1,1(),1ln(dz y x

z 则 ()12

dx dy - 。 3．幂级数1

(1)2n

n n x n ∞

=-⋅∑的收敛域是 [)1,3- ____ 。

4．设函数⎩⎨⎧≤<+≤<--=π

πx x x x f 0,10,1)(2

，则其以π2为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 _ 。

三、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程）

1．求过点)2,1,3(-且通过直线43:

521

x y z

L -+==的平面方程。 由已知点)0,3,4(),2,1,3(--B A 在平面上，直线L 的方向向量为)1,2,5(=s

则)2,4,1(-=AB ，所求平面的法向量为)22,9,8(-=⨯=s AB n

平面直线的方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x 即为0592298=---z y x

2. 设

ln x z z y = ，求,z z x y ∂∂∂∂。 1,,ln ln 1x y z z

F F F y z y

==

=--; 3. 计算积分

y

x

D

e

dxdy ⎰⎰，其中2:,2D y x y x ==由所围成的区域。

4. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）。 四、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程）

1．设(,)z f x xy =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

∂∂∂。

2. 设22(,,)x y z

f x y z e

x y =++, (1) 求f 在点()1,1,1P

处的梯度; (2) 求f 在点()1,1,1P 处方向导数的最大值。

3．计算曲面积分()()

⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I

322912

其中∑为曲面12

2

++=y x z ()21≤≤z ，取下侧。

4. 将函数()2

1

32

f x x x =

-+展开成()3x -的幂级数，并求展开式成立的区间。 五、应用题题（本题满7分） 求质点(,)M x y )受作用力j x y i x y F

)2()3(-++=沿路径L 所作的功W ，其中L 是沿椭圆

2244x y +=顺时针方向的一周。

六、综合题（本题满7分）

某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和

y 台，成本函数为

xy y x y x c -+=222),

( （万元）

若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？ 七、证明题（本题满6分） 设40

tan d n

n

a x x π

=⎰，证明：级数∑∞

=++12)(1

n n n a a n

收敛于1。