设a,b是非零向量,若函数f

1．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b |答案 A解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选A. 2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( ) A ．菱形 B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确 答案 B解析 在平行四边形中，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |最大值为 2.故选B.4．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．(2017·保定模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.6．(2015·山东，理)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.7．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－1 答案 B解析 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选B. 8．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 因a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|.同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形．9．(2018·天津模拟)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图以直线AC 为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(12，32)，F(1，34)，∴AF →＝(1，34)，BC →＝(12，－32)．∴AF →·BC →＝12－38＝18，选B.10．(2018·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA →与OB →关于y 轴对称，向量a ＝(1，0)，则满足不等式OA →2＋a ·AB →≤0的点A(x ，y)的集合用阴影表示为( )答案 B解析 ∵A(x ，y)，向量OA →与OB →关于y 轴对称，∴B(－x ，y)，AB →＝(－2x ，0)．∵OA →2＋a ·AB →≤0，∴x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B.11．(2016·四川)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案 B解析 由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE|＋12＝72，则|BM →|max 2＝494，选B.12．(2015·山东，文)过点P(1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________． 答案 32解析 在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线PA ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则PA →，PB →的夹角为π3，所以PA →·PB →＝|PA→|·|PB →|·cos π3＝32.13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →， BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12.14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________． 答案 6解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又F(1，0)，所以FA →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，得x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义可得|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6.15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________． 答案 26解析 连接OC 、OD 、MC 、ND ，则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 答案 (1)22 (2)1解析 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n. 两式相减，得m －n ＝y －x.令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.17．(2017·江西上饶中学调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，cosA)，m ·n ＝sin2C. (1)求角C 的大小；(2)若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． 答案 (1)π3(2)6解析 (1)m ·n ＝sinA ·cosB ＋sinB ·cosA ＝sin(A ＋B)， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C<π， ∴sin(A ＋B)＝sinC ，∴m ·n ＝sinC ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sinC ，cosC ＝12，C ＝π3.(2)由sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，可得2sinC ＝sinA ＋sinB ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b.∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即abcosC ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O.记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( ) A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2 D ．I 2<I 1<I 3 答案 C解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO<AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．所以I 1<0，I 3<0，I 2>0，只需再比较I 1与I 3的大小．作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB<BG ＝GD<OD ，而OA<AF ＝FC<OC ，∴|OA →|·|OB →|<|OC→|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD<0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3，∴I 3<I 1<I 2，故选C.。