三角函数向量数列公式
三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】三角函数公式：（1）.弧度制：180orad π=，'18015718oo rad π=≈弧长公式：l r α=，扇形面积公式：21122S r lr α==（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则：sin ,cos ,tan ;y x y r r xααα=== （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos ααααα+== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβαβαβ±±=（6）二倍角公式：22tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;（7）降幂公式：()()22111sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222ααααααα==-=+（8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b aϕ=。
2．三角函数图像和性质：（二）、函数图像的四种变换：（三）、函数性质： 1.奇偶性：（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。
偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数。
（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。
高中三角函数和数列部分公式
公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2推导：cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……①在等式①两边加上1，整理得：cos(2α)+1=2cos^2(α)将α/2代入α，整理得：cos^2(α/2)=(cosα+1)/2在等式①两边减去1，整理得：cos(2α)-1=-2sin^2(α)将α/2代入α，整理得：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)推导：tan（α/2）=sin（α/2）/cos（α/2）=[2sin（α/2）cos（α/2] /2cos(α/2)^2=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：S n=S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。
4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
中学数理化公式归纳汇总
中学数理化公式归纳汇总一、几何公式1、直角三角形：一般形式：a2=b2+c2临边公式：A=arctan(c/b)2、普通三角形：海伦公式：S=1/2[a(b+c-a)bc]余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA3、正n边形：内角和：ΣΔ∠=180°(n-2)外角和：ΣΩ∠=360°外接圆半径：R=a/2 sin(π/n)4、圆：圆心角：θ=2πr/2r=πr圆周长：C=2πr面积：S=πr2弦长：l=2r sinθ/2二、数列公式1、等差数列：第n项：an=a1+(n-1)d和：Sn=n/2[a1+an]2、等比数列：第n项：an=a1rn-1和：Sn=a1[1-rn]/1-r3、定积分：∫f(x)dx=F(X)+c三、概率公式条件概率：P（A，B）=P（A∩B）/P（B）四、函数公式1、多项式函数：f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn2、指数函数：f(x)=a·bx3、对数函数：f(x)=a·bx+c4、幂函数：f(x)=a·xn5、三角函数：正弦函数：y=asinωx余弦函数：y=acosωx正切函数：y=atanωx五、二次函数1、二次函数的标准形式f(x)=ax2+bx+c2、二次函数的图象过点（x0，y0）：y=f(x)=ax2+bx+c=a（x-x0）2+y03、二次函数的表达式a是函数的振幅，b是函数的纵横比，c是函数的顶点，如果a>0，则函数为凹函数，称为下凹函数，反之为上凸函数。
六、向量公式1、向量绝对值：，a，=√a·a向量和：+B=（1+B1。
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 基本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑直角三角形任意角三角函数））））表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数公式大全
高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanA tanB 1-tanAtanB+ tan(A-B) =tanA tanB 1tanAtanB-+ cot(A+B) =cotAcotB-1cotB cotA+ cot(A-B) =cotAcotB 1cotB cotA+- 倍角公式 tan2A =22tanA 1tan A- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式sin(2Acos(2Atan(2A )=cot(2A )= tan(2A )=1cos sin A A -=sin 1cos A A+ 和差化积sina+sinb=2sin 2a b +cos 2a b -sina-sinb=2cos2a b +sin 2a b - cosa+cosb = 2cos 2a b +cos 2a b - cosa-cosb = -2sin 2a b +sin 2a b - tana+tanb=sin()cos cos a b a b+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina s in(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aa cos sin 万能公式 sina=22tan 21(tan )2a a + cosa=221(tan )21(tan )2a a -+tana=22tan21(tan )2aa - 其它公式sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=a -ae e 2+ tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosαtan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py球的表面积S=4pi*r2弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1。
最全面三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例2021
成三角公式总表⒈L = R= nπR= n R弧长80 S 扇L R= R= 60⒉正弦定理： asin Ab=sin Bc=sin C= R（R 为三角形外接圆半径）⒊余弦定理：a =b +c -bc cos A b =a +c -ac cosBc =a +b -ab cosC cos A b c abc⒋S⊿= a ha=ab sinC = bc sin A= ac sin B = abc =R4Rsin A sin B sinCa sin Bsin C=b sin Asin C=c sin Asin B= =pr= p( p a)( p b)( p c)sin A s in B sinC积(其中p 极( a bc) , r 为三角形内切圆半径)向⒌同角关系：上，探⑴商地关系：①tg = y =索x 自己y sincos= sin sec ②ctgx cosy sinrcos csc本③sin cos tg④sec tg csc 身r x价值x rcos，⑤cos sin ctg ⑥csc ctg sec 学业有⑵倒数关系：⑶平方关系：sinsinrcsccoscos secsectgtgctgcscyctgsin⑷a sin b cos a b sin( ) （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tg b）a⒍函数y= A sin( x ) k 地图象及性质：（0, A 0 ）振幅A ，周期T= , 频率f = , 相位x ，初相T2自 值 业⒎五点作图法： 令 x依次为 0,作图 ⒏诱导公试,,求出 x 与 y ， 依点 x, ysincos tg ctg- - sin + cos - tg - c tg - +sin - cos - tg - ctg +- sin - cos + tg + ctg - - sin + cos - tg - ctg k++sin+ cos+ tg+ ctg积极向上，sin con tg ctg 探 索+ cos+sin + ctg + tg 己 本 + cos - sin - ctg - tg 身价 - cos - s in + ctg + tg ， 学 - cos+sin- ctg- tg有 成⒐与差角公式三角函数值等于地同名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号；即：函数名不变，符号看 象限三角函数值等于地异名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号;即：函数名改变， 符号看象 限①sin( ) sin coscos sin②cos( )cos cossin sin③ tg()tg tg tg tg ④ tgtg tg( )( tg tg )⑤ tg() tg tgtg tgtg tg tgtgtg tg tgtg其中当 A+B+C= π时,有:i). tgA tgB tgC tgA tgB tgCii). tg A tgBtg A tg Ctg B tg C自⒑二倍角公式：(含万能公式)①sin sin cos tg1 tg②c os cos sin 2 cos sintgtg③tg tgtg④s intgtgcos⑤cos cos ⒒三倍角公式：①sin sin 4 s in 4 sin sin( 60 ) sin( 60 )②cos c os 4 cos 4 cos cos(60 ) cos(60 )tg tg积③tg tg tg (60) tg(60 ) 极tg向上⒓半角公式：（符号地选择由，探所在地象限确定）索①sin 己cos ②sincos ③cos cos本身④cos 价值1 cos⑤cos 2 sin ⑥cos cos，⑦学业sin (cos sin ) cos sin有成⑧tg coscos sincoscossin⒔积化与差公式：sin cos coscossin(cos() sin() cos()) sin sincos sincos(1sin() cos) sin( )⒕与差化积公式：，①sin③cossincoss in2coscoscos②sin④cossincoscossinsinsin⒖反三角函数：名称函数式定义域值域性质⒗反正弦函数y arcsin xy arccosx,arcsin(-x) -arcsinx 奇最简反余弦函数y arctgxarccos( x) arccosx单反正切函数,arctg(-x) - arctgx 奇地反余切函数积极向上方程探y arcctgxarcctg ( x) arcctgx 三角索方程方程地解集自己sin x a本身a x | x k arcsin a, k Z价值，cos x aa x | x k k arcsin a, k Z学业有成tgx a a x | x ka x | x karccos a, k Zarccos a, k Zctgx ax | x kx | x karctga , k Zarcctga , k Z 1,1 增R1,1 减增0,R 减0,3 4本等差数列求与公式地四个层次等差数列前 n 项与公式 S n( aa n )nnan(n1) d, 为数列部分最重要公式之一, 学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次 :1. 直接套用公式积 从公式 S n极 向 (aa n )n (a m a n m)nnan(n) d中, 我们可以看到公式上 中出现了五个量 , 包括 ， 探 a , d , a n , n , S n , 这些量中已知三个就可以求另外两个了 .索 从基本量地观点认识公式、理解公式、掌握公式这为最低层次要求.自 己 例 设等差数列 身 a n 地公差为 d, 如果它地前 n 项与 S n n , 那么价 ( ).(99年三南高考试题 )值 ， 学 (A) a n 业 有 (C) a 成n , dn , d(B)(D)a nna nn, d,d解法由于 S nn且a S n S n 知, a n n(n )n,da n a nn[ ( n )], d, 选(C).解法S nnan(n ) dn, 对照系数易知 d ,此时由 nan( n )n 知a , 故a nn, 选(C).例 设S n 为等差数列 a n 地前 n项与, 已知 S 与S 地等比中项为41n n3 3 极 本 成S , S 与S 地等差中项为 , 求等差数列 a 地通项 a .(997年全国高考54nn54文科)解 设a n 地通项为 a na (n1) d , 前 n 项与为 S nnan(n) d.由题意知 S S 4 SS 4( S 5) 5 , (a 即 d) (4a 4 4 d) (5a55 4 d)(a d)(4a 4 4 d)化简可得ad 5d0 d , 解得 0 或 d 5 ada5a4积 由此可知 a 向 或a n4 (n )() 5n. 55上 经检验均适合题意 , 故所求等差数列地通项为 ， 探 索 . 逆向活用公式自 a n 或a n n. 55己 在公式地学习中 , 不仅要从正向认识公式 , 而且要善于从反向分析弄清 身 价 公式地本来面目 . 重视逆向地认识公式 , 逆向运用公式 , 无疑将大大地提高公 值 ， 学 式地解题功效 , 体现了思维地灵活性 .业 有 例设n N, 求证:n(n )n(n )n(n) .(985 年全国高考文科 )证明n(n )n ,又,,, n n(n ) ,n( n )n(n ) .又n(n )4 (n ),且 ,,4 4,, n(n ) n ,4 4 11 1 1 n，本成n(n )n(n ).例4 数列a n对于任意自然数n 均满足S n( aa n ) n , 求证:a n为等差数列. (994 年全国高考文科)证明欲证ana n为常数,由Sn( a a n )n 及S(a a n)( n1)可得na n a (n )a n推出( n ) a n 1 a na n ,作差可得na n na n na n 2 , 因此a n anana n.由递推性可知:证.积anananana a d (d 为常数), 所以命题得极这为九四年文科全国高考试题, 高考中得分率极低, 我们不得不承认此向上为公式教学与学习中地一个失误, 倘若能重视逆向地认识公式, 理解公式, 应探索用公式, 还“与”为“项”, 结局还能如此惨重吗?自己. 横向联系, 巧用公式身价在公式地学习过程中, 还要从运动、变化地观点来认识公式, 从函数及数值，学列结合地角度分析透彻理解公式, 公式S n 业nan(n )d表明为关于n 地二次有函数, 且常数项为0, 同时也可以看出点列(n, Sn) 均在同一条抛物线上, 且此抛物线过原点, 体现了思维地广阔性, 请再看例.解设Snan bn , 则可得( a b ) (a 44 b 4) [ (a 555b)](9a b) (6a4 4b)n 1， 成解得 a 0或 a b b6 5 , 所以 S n6 5n 或 S n6 n56 n, 5从而a n 或a nn. 55例 5设等差数列 a n 地前项与为 S n , 已 知 a, S 0, S0, 指出S, S ,S ,, S 中哪一个值最大 , 并说明理由 . (99年全国高考试题 )解 由于 S n nan(n) d表明点列y(n, S n )都 在 过 原 点 地 抛 物 线 上 , 再 由S0, S 0,易知此等差数列公差 d<0, 且 a积极 示,向 0, 图象x 0x如 图 所上 易知其对称轴为 x 探 x 0 , x 0 (6,6.5) , O索 于为a 6 自 0, a 7 0 , 故 S 6 最大.己 本 4. 恰当变形妙用公式身 价 对公式进行适当变形 , 然后再运用公式为公式应用地较高层次 , 从而丰值 ， 学 富了公式本身地内涵 , 往往给解题带来捷径 , 体现了思维地深刻性 .业 有 对于公式 S( aa n )n , 变形可得(a m na n m) n(aa m )m (a ma n )( nm),对于公式 S n na n(n ) d, 变形可得 S n nn d, 它表明对于任意 n N , 点列( n , S n) 都在同一直线 nl : ydx (a d) 上.例 6 等差数列 a n 地前 m 项与为 0, 前 m 项与为 00, 则它地前 m 项与为( )(A)0(B)70(C)0(D)60(996年全国高n S a 11上 35考试题)解法S m( aa m )m 又由于 S m0 a m1 mm00 ,m(a m a m) 40 , m(a a m ) m( a m a m) 40 ,从而 S m 400, 选(C).解法由于点此(m , S m ) m (m,S m ) m (m, S m ) m在同一直线 ydx (a d) 上, 因S m m mS m m mS m m mS mm , 化简可得 : mS m (S mS m )0 , 选(C).积 在上文我们曾给出 97 年高考试题两个解法 , 这里我们再给出两个解法 . 极 向 解法 由于点列 ， 探 索 而可得自 ( n , S n ) 均在同一直线上 , 说明数列n S n成等差数列 , 从n己 S S 5 本 5 身 S S2 S 44 S S S 45 8 价 值 ， S 学 业 有 4 ( 5 ) 45 S 44, 解得 S 4 S 5a 4 或 S 45 5 S 5 46成从而可求得a 4a 5 或4 5 ,a 8 5故 等 差 数 列 a n 通 项 为 a n 或yn. Al55P解法 4 由于点列所示,(n , S n) 均在同一直线nOB上 如 图xPl1P 1a nS S S 1 S S S SS S 4 3 42 3及 3 4 5极 本由 S知 A 点坐标为 (.5,).4若直线 l 与 x 轴无交点 , 即平行于 x 轴, 则d=0, S nn , n N ,, 显然也满足条件4( S 5 ) 5, 从而 S n, a n , n N. 若直线 l 与 x 轴相交, 设其交点为 B(x,0), P (, S ), P ( 4, S 4 ), 4P (5, S 5 ), 由5 4 ( S 5 ) 4 4 5 4 知 S 0, S 4 0, 且 S 5 4 5 0. 若 不 然 S 0,S 4 0, S 5 4 5 0 . , 由单调性知不可能有4 4SS 5 ( S 5 ) 5 , 因此点 B 应 落在 (4,0),(5,0)之间. 由 SS(S ) 可得5 , 45S 5 S 4 54即有x5 x 5 x , 解得 x 4 x. 积由 A 、B 两点坐标可求 向 (n , S n) n 所在直线方程为 S nn6 ( n 5)6 n6 ,5 5上 S n ， 6 n 5 6 n, a 5n. 5 5 探 索 综上所述所求等差数列通项公式为 自 a n 或a nn.55己 从以上可以看出 , 对公式地学习不应仅仅停留在公式地表面 . 对公式深身 价 刻而丰富地内涵忽视或视而不见 , 而应充分挖掘出这些隐藏在内部地思想方 值 ， 学 法为我所用 , 提高公式地解题功效 , 才能达到灵活运用公式地较高境界 .业有成含参变量地对数高考高考试题解法综述含参变量地对数问题常常在高考试题中出现 , 本文对这一类问题地解法作以总结 , 以揭示这类问题地一般解题规律 .1. 直接转换3n na 1直接转换 : 即把已知条件等价变形 , 而使问题获解 , 这里一定要注意等价变形. 例已知 a0, a, 试求使方程log a ( xak )log(xa ) 有解地 k 地取值范围.(989 年全国高考试题 )解: 原方程等价于 ( x ak )x a①x ak 0② xa③由①可得 xka④k显然④满足不等式③ , 将④代入②可得 k或 0k 即为所求 .积例 解不等式 极 loga () x.(996 年全国高考试题 )向 解( Ⅰ) 当a 上 时原不等式等价不等式组， 0探 x 索 自a己 x 本 a, 从而 x 0.xa身 ( Ⅱ) 当 0 a 价 时原不等式等价于不等式组值 0① ， x学 业a ②有 x成x.a由①知x 由②得0或x0 xa综上所述 , 当a 时原不等式解集为 x |a x 0} ,当 0 a 时原不等式解集为x |x} a2. 消参策略根据题目特征 , 消去参数可大大减少不必要地讨论 .例 设 0 x 且a0, a , 试比较 log a (x) 与 log a ( x) 地大小. (98 年业成全国高考试题)解: 0x , 0 x , x , 0 xx于为log a ( x)log a ( x)log (x) ( x) log (x) ( x) log( x) log (x)( x)因此loga( x) > log a ( x)3. 引参策略恰当地设立参数, 使问题得到简化, 计算量减少, 这为解题中常用技巧.例4 设对所有实数x, 不等式x log 4(a ) ax log (alog ) 0 恒成立,a a 4 a求a 地取值范围. (987 年全国高考试题)积极向上解: 令t ，探loga, 则原不等式可转化为a( t) x tx t 0 .索要使原不等式恒成立, 必须有自己t 0本身t 0 tt 0或t 0价t 0 值， a即log4t 8t ( t) 0 0, 解之0 a .学a有适当地引入参数, 另辟蹊径解题十分巧妙, 请再看例.解: 原方程等价于x ak x a ( x a)a 0, k x x a, x a.a设x acsc , ( ,0) (0, ), 则ksinctg当( ,0) 时k cossinctg又( ,0), k .4 1 xaa a aa a n 上 自 价 成当 (0, ) 时kcos sintg又(0, ), 0 4k . 综上所述可知 k 地范围为 k或 0k .4. 分类讨论分类讨论为解决含参变量问题地重要手段之一 , 值得注意地为在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论 .例 5 已知自然数 n, 实数 a>, 解关于 x 地不等式log a x( 4) log a xlog a xn( ) nlog x( ) nlog( x a ). (99 年全国高考试题 )积极 向 解: 原不等式等价于， 探( )nlog a x( )nlog a(xa ).索 ()n为奇数时 己本 log a x log ( xa ) 即 ax4 a身 ()n为偶数时 值 log a x log a ( xa ) 即 x4a， 学 例 6 设a 业 0, a , t 0 , 比较 1 log t 与 log t地大小, 并证明你地结论 .(988有 年全国高考试题 )解: 当 t>0 时, 由均值不等式有 tt , 当且仅当 t=时取“ =”号, 所以①t=时logt =log t② t 时 若0 a , 则logt >logt若a 则log t <log t分类讨论应注意 : ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量 , ②按先主后次顺序分层次讨论 , ③必须确定讨论地全集及分类标准, 各类必须互不a a a aaa本 业相容, 否则产生重复讨论各类子集地并集必须为全集 , 否则产生遗漏现象 .5. 数形结合数与形为整个数学发展过程中地两大柱石 , 数形结合为数学中十分重要地思想方法, 某些问题 , 不妨可借助于几何图形来考虑 , 因为几何图形直观、 形象, 易于求解 , 请再看例 . 解 :原 方程 等价 于ylog a ( x ak) log a( xa ) ,转化为考虑曲线 yx ak ( y 0) 与曲线yx a ( y0) , 要使原方程有解 , 只须积aax极 上半直 线 与 上 半双曲 线 有交 点, 由向 上 y x ak， 探 索 平行于双曲线一条渐近线 y 自 x , 如图, 0 ka a己 或ak 身 a 从而解得 ) k 或k时原方程有解 .价 对例 5 也可有如下解法 .值 ， nn学 原不等式等价于 有 ( )log a x( )log ( xa ). ,成y在 同一 坐标 系 中 作 出y=x(y>0), y xa ( y 0) 地图象. 由图象知 x a , 由xx a 求得交点 P横坐标为 x4a , x4a ( 舍)aax( ) n当 n 为 奇 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a> 由 图 象 知a a2a x4a .( ) n 当 n 为 偶 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a>, 由 图 象 知4a x.仿上方法同理可求解例 , 这里从略 .步骤: ①把原不等式 ( 方程) 等价变形为f ( x)g ( x)( f( x)g(x)), ②作出 yf ( x)与 y g (x) 图象, ③由 f (x) g( x) 求交点 , ④由图象及函数性质确定范围 , 从而求解.积6. 分离参数 ( 主次转化 )极 向 更换问题中地参变量与变量位置 , 常常得到新颖简洁地解法 , 请再看例 4. 上 ， 解: 将原不等式变形为 x( xx ) loga0,探a索 自 己 xx ( x )0, logax ,本 a身 价 x(x )a 值 又对于任意 x R , ， (x )0 , 因此必须且只须 log0,a学 a 业 即,解之 0<a<.有 a成所求 a 地取值范围为 0<a<.例 7 设 f ( x)x xlg( n )xnn xa, 其中 a 为实数, nN ,n , 如果当x (,) 时, f (x) 有意义, 求 a 地取值范围 . (990年全国高考试题 )解: 由题设知 x (,) 时不等式 xx( n ) xn x a 0 恒成立,x xx a [( ) ( ) ( ) n nn( n )x] 恒成立. na 即1 ，令 ( x)x [( ) n x x ( ) ( ) nn ( n ) x] , x ( n ,) 时为增函数 . 因此 x= 时 ( x)max(n n nn ) na( x) 恒成立,an.仿上述解法可对例 再给出如下两个解法 : 解法以 k 为主参数考虑由 kxa (k) , 知k k, f ( x)ax 在(ak , ) 为a增函数, 故 f ( x)x k 即 ka kk , 解之 k或 0k .解法以 a 为主参数 , 由akx0 知 k 与 x 同号, 代入 x ak0 知 xkxkk积①当 x>0 时, 则 k>0, 故k0 k极k 向 上 ， ②当 x<0 时, 则 k<0, 故kk探索 自 综上可知 k ( 己 本, )k(0,) .身 分离参数一般步骤为 : ①将含参数 t 地关于 x 地方程或不等式变形为 g(t) 与价 值 (x) 学 地等式或不等式 , ②根据方程或不等式地解(x) 地范围确定函数 ( x) 地取业 值范围 D,③由 D 以及 g(t) 与 有 成从而求出参数 t 地范围. 说明: 这里①为前提 , ②为关键(x) 地相等与不等关系确定为 g(t) 地取值范围 ,从以上数例可以看出 , 只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件, 从而获得问题地最佳解决方法 , 不断提高自己地解题能力 ..2x 1。
高中三角函数公式大全
三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式 tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A+ tan(2A )=AA cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aacos sin 万能公式sina=2)2(tan 12tan2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa - 其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1sec(a) =a cos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -a a cosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -t anαsin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部） 2009-07-08 16:13 公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高一数学第二单元知识点汇总
高一数学第二单元知识点汇总数学是一门重要的学科，也是学生们在高中阶段必修的科目之一。
在高一数学第二单元中，我们学习了许多重要的知识点。
本文将对这些知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地复习和掌握这些内容。
一、集合与函数集合与函数是数学中的重要基础概念，对于进一步学习数学具有重要作用。
1. 集合集合是将具有某种特定性质的对象组成的整体。
在集合的表示中，可以用列举法、描述法以及集合间的关系表示集合元素。
2. 基本集合运算基本集合运算包括并、交、差和补四种运算。
并集表示两个集合中所有元素的总和，交集表示两个集合中共有元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的操作，补集表示元素不属于某个集合时的集合。
3. 函数及函数的性质函数是集合间的映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的性质包括定义域、值域、相等、奇偶性、单调性等。
二、三角函数三角函数是高中数学中的一个重要知识点，是数学和物理学等领域的基础概念。
1. 弧度与角度弧度是描述角度大小的单位，圆的周长约为6.28倍的半径。
角度是描述角度大小的单位，一个直角为90度。
2. 常用三角函数常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示角的对边比斜边、邻边比斜边和对边比邻边的比值。
3. 三角函数的性质与公式三角函数具有多个性质和公式，例如，正弦函数和余弦函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
掌握这些公式有助于简化计算和推导。
三、平面向量平面向量是表达物理量的重要工具，也是数学中的重要知识点。
1. 平面向量的概念与表示平面向量是有大小和方向的箭头，在坐标系中可以用有序实数组表示。
平面向量的加法、减法、数乘等运算满足特定的规则。
2. 平面向量的数量积与向量积平面向量的数量积表示两个向量的相似程度，向量积用来表示两个平面向量的垂直关系和面积，并具有一定的几何意义。
3. 平面向量的应用平面向量在力学、几何等领域有广泛的应用。