材料学第二章 晶体结构

所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截 距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数 也仍然是成比例的，经简化可以得到相应 的最简整数。因此，所有相互平行的晶面， 其晶面指数相同，或者三个符号均相反。 可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面， 而且代表着一组相互平行的晶面。
2.晶向指数的确定 用三指数表示晶向指数[u v w]的步骤如图2-203所示： (1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c，坐标原点在待标晶向 上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(x，y，z)。 (3)将 x，y，z 化成最简整数比 u，v，w，且 u∶v∶w = x∶y∶z。 (4)将 u，v，w 三数置于括号内就得到晶向指数[u v w ]。
第二章 晶体结构 (Crystal Structure)
本章要讨论的主要问题是： (1)原子是以何种聚集方式形成固体结构的？ (2)如何描述晶体中原子的排列？ (3)金属晶体有哪些常见的晶体结构
第一节 晶体学（Crystallography）基础 一、晶体的特征固态物质按其原子或分子的聚集 状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶 体。
四、进一步讨论 1.布拉菲点阵与复式点阵 上面讨论的点阵都是由等同点构成的， 即按照“每个阵点的周围环境相同”的要 求构成的。按照这一要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14 种空间点阵。所以，这样的点阵也叫布拉 菲点阵（Bravais Lattice)。通常人们所说的 点阵就是指布拉菲点阵。
2.晶系 按照晶胞的大小和形状的特点，也就 是按照 6 个点阵常数之间的关系和特点， 可以将各种晶体归于如图 2-105 所示的 7 种晶系，准确地说，晶系是根据它的对称 性来划分的。金属一般具有立方和六方晶 格。
图2-105七大晶系的晶体学特征
由 7 种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这 就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者说， 有多少种可能的结点分布方式。为了回答这个问 题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等 同点。由于晶胞的角隅、6 个外表面的中心（面 心）以及晶胞的中心（体心）都是等同点，故乍 看起来，似乎每种晶系包括 4 种点阵，即简单点 阵、底心点阵、面心点阵和体心点阵。这样看来， 7 种晶系总共似乎可以形成 4×7=28 种点阵。然 而，读者如果将这28种点阵逐一画出，就会发现， 从对称性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。 真正不同的点阵只有 14 种。
图2-101 晶体中原子在空间的排列
晶体(Crystal)就是原子（或离子、分子、原 子集团）在三维空间呈有规律的周期性重复排列 的固体。即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相 隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。这 个距离也称为周期。显然，沿不同的方向有不同 的周期。
非晶体(Amorphous)不具有上述特征。 在非晶体中原子（或分子、离子）无规则 地堆积在一起。液体和气体都是非晶体。 在液体中，原子也处于相对紧密聚集的状 态，但不存在长程的周期性排列。 对于金 属液体的结构，我们在学习第六章时将会 有进一步的了解。
三、晶胞（Unit Cell）、晶系 （Crystal System）和点阵类型 1.晶胞 如பைடு நூலகம்所述，空间点阵具有 周期性和重复性，图2-102所示 的空间点阵可以看成是由最小 的单元——平行六面体沿三维 方向重复堆积（或平移）而成。 这样的平行六面体称为晶胞， 如图2-104所示。晶胞的三条棱 AB、AD和AE的长度就是点阵 沿这些方向的周期，这三条棱 就称晶轴。
例如锌、镉、镁、铍、α 钛、α 锆、铪等都 具有简单六方点阵，密排六方结构。由图 2109(a)可见，原子不仅分布在晶胞顶点，而且还 分布在 处。图 2-109(b) 是 原子在底面（垂直于 c 轴的平面）上的投影。从 图可以看出，位于晶胞顶点的 a 原子和位于内部 的 b 原子，其周围环境是不同的：a1 原子周围的 b 原子分布（图2-109(b)中的 b1，b2，b3 ）不同 于 b1 周围的 a 原子分布（见图2-109(b)中的 a1， a2，a3 ），因而 a 原子和 b 原子不是等同点， 由 a 和 b 原子的集合不构成布拉菲点阵，而构成 一个密排六方结构。因为如果把原子看成是同样 大小的刚性小球，那么每个原子都几乎和 12 个 近邻原子相切（最紧密的排列）。
关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以 下几点说明： (1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系 可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能 转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法 相互比较。 (2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负 数，但负号应写在数字上方，如 ， 等。 (3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶 面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是 同向(当 n > 0)，或是反向(当 n < 0 )。但是，晶 面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度 （两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n = 1。
2.晶胞的选取 我们在前面引出的晶胞和点阵常数的概念是不严格的， 原因是晶胞的选取不是惟一的。就是说，从同一点阵中可 以选取出大小、形状都不同的晶胞。相应的点阵常数自然 也就不同，这样就会给晶体的描述带来很大的麻烦。为了 确定起见，必须对晶胞的选取方法作一些规定。这规定就 是，所选的晶胞应尽量满足以下三个条件。 (1)能反映点阵的周期性。将晶胞沿a，b，ｃ三个晶轴 方向无限重复堆积（或平移）就能得出整个点阵（既不漏 掉结点，也不产生多余的结点)。 (2)包含尽可能多的直角，尽量直观地反映点阵的对称 性。 (3)晶胞的体积最小。 其中，第(1)个条件是所有晶胞都要满足的必要条件。 第(2)和第(3)两个条件若不能兼顾，则至少要满足一个。
请确定图2-202(a)中的晶面的晶面指数，并在图2202(b)中画出这些晶面指数所代表的晶面。 首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a， b，c轴上的截距，分别为1/2，2/3，1/2。取倒数后得到2， 3/2，2。再将其化成最简整数比，得到4，3，4三个数。 于是该面的晶面指数为(434)。
第三节 一些晶体学重要公式 一、晶带定理(Zone Law) 1.晶带的定义 晶带（Crystallographic Zone)：许多不同 的晶面组都平行与同一直线时，则这些晶 面组总称为一个晶带，与之平行的直线称 为晶带轴（Crystallographic Zone Axis）。
一、晶面和晶向指数的确定 1.晶面指数的确定 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用 三个数字来表示晶面指数。图2-201中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
(1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令 坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单 位分别是晶胞边长a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距x，y，z。 如该晶面与某轴平行，则截距为∞。 (3)取截距的倒数 1/x，1/y，1/z。 (4)将这些倒数化成最简整数比h，k，l，使h∶k∶l = 1/x∶1/y∶1/z。 (5)将h，k，l 置于圆括号内，写成(h k l)，则(h k l) 就是待标晶面的晶面指数。 下面是一个例子
当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定 非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1，y1，z1) 和 Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)， (z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u，v，w，并 使之满足u∶v∶w =(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[u v w]为该晶向的指数。 或者将待标晶向平移至（通过）原点，在平 移后的晶向上重复前述标定过程(2)至(4)即可。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向 一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的 数字相同，但符号相反。
既然任何晶体的晶胞都可看成是平行六面体， 那么不同的晶体的差别在哪里？差别有两点： (1)不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。 (2)围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能 不同。 晶胞的大小显然取决于 AB，AD 和 AE 这三 条棱的长度 a，b 和 c ，而晶胞的形状则取决于这 些棱之间的夹角α，β 和 γ。我们把 a，b，c，α， β和γ这6个参量称为点阵常数（Lattice Parameter）或晶格常数。
图2-103表示的是空间点阵和实际晶体结构 之间的关系。图中的图2-103(a)和图2-103(b)都是 二维正方点阵，但二者的晶体结构是不同的，因 为围绕每个结点的原子分布不同。同样，图中的 图2-103(c)和图2-103(d)都是长方点阵，但二者的 结构也不同，图2-103(e)则是菱形点阵。
第二节 晶面指数（Crystal-plane Indices） 和晶向指数（Crystal-direction Indices） 在点阵中由结点构成的平面称为晶面 （Crystal Plane），连接点阵中任意结点列的直 线方向称为晶向（Crystal Direction）。不同的 晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学 行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、 晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料 的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
事实上，采用三个点阵矢量a，b，c 来 描述晶胞是很方便的。这三个矢量不仅确 定了晶胞的形状和大小，而且完全确定了 此空间点阵。只要任选一个结点为原点， 以这三个矢量作平移（即平移的方向和单 位距离由点阵矢量所规定），就可以确定 空间点阵中任何一个结点的位置： ruvw = ua + vb + wc (2-101 ) 式中 ruvw为从原点到某一阵点的矢量， u，v，w 分别表示沿三个点阵矢量的平移 量，亦即该阵点的坐标值。
固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体， 只是它的物理性质不同于通常的液体。玻璃是一 个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态称为 玻璃态。几点说明： （1）绝大多数固体物质为晶体； （2）晶态与非晶态在一定的条件下可以相互转化； 如非晶态的玻璃经高温长时间加热后即可转 变为晶态玻璃。 （3）晶体有固定的熔点，而非晶体只有一个软化 温度范围; （4）晶体具有各向异性（Anisotropy），而非 晶体却为各向同性（Isotropy）。