高中数学学案：基本不等式及其简单应用(2)

高中数学学案:基本不等式及其简单应用(2)

1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题．

2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.

1. 阅读:必修5第99～101页．

2. 解悟:①应用基本不等式解决实际问题,首先要正确理解题意,然后通过分析、思考,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等式求解；②解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围；③解应用问题时,若等号取得的条件不足,应如何处理？

3. 践习:在教材上的空白处,完成必修5第102页习题第3、4题.

基础诊断

1. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线4x 2＋9y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为__5__．

解析:设曲线4x 2＋9y 2＝1上的点P(x,y)．设P(x,y)到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝（x 2＋y 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2＋9y 2＝13＋4y 2x 2＋9x 2y 2≥13＋24y 2x 2·9x 2y 2＝5,当且仅当4y 2x 2＝9x 2

y 2时,d 取最

小值,所以曲线4x 2＋9y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为5.

2. 已知x,y,z ∈R ＋,x －2y ＋3z ＝0,则y 2xz 的最小值是__3__．

解析:因为x ,y ,z >0,x －2y ＋3z ＝0,所以2y ＝x ＋3z ,所以4y 2＝x 2＋6xz ＋9z 2≥2x 2·9z 2＋6xz ＝

12xz ,当且仅当x 2＝9z 2,即x ＝3z 时取等号,所以4y 2

≥12xz ,y 2

xz ≥3. 3. 已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝

0上(其中mn>0),则1m ＋2n

的最小值是__8__． 解析:由题意可得定点A(－2,－1),又因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,所以2m ＋n ＝1,且

mn>0,所以m>0,n>0.则1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8,当且仅当n m ＝4m n 时取等

号,故1m ＋2n 的最小值是8.

4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形,其中,BC ＝2,∠A ＝90°,则

这两个正方形面积之和的最小值为__12__.

解析:设两个正方形的边长分别为a,b,则由题意可得a ＋b ＝BC 2＝1,且13≤a,b ≤23,所以两个正

方形面积之和为S ＝a 2＋b 2

≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12,当且仅当a ＝b ＝12时取等号,故两个正方形面积之和最小为12

. 范例导航

考向❶ 基本不等式与函数综合问题

例1 设x,y 是正实数,且x ＋y ＝1,求x 2x ＋2＋y 2

y ＋1

的最小值． 解析:设x ＋2＝m,y ＋1＝n.

因为x ＋y ＝1,所以m ＋n ＝x ＋y ＋3＝4,

所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1

＝（m －2）2m ＋（n －1）2n ＝m ＋n ＋4m ＋1n －6＝4m ＋1n －2. 因为m ＋n ＝4,所以1＝14(m ＋n),

所以4m ＋1n －2＝14(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n －2＝14⎝ ⎛⎭

⎪⎫5＋4n m ＋m n －2≥14. 当且仅当m ＝2n 时,取等号,

由x ＋2＝2(y ＋1)得x ＝2y,

即当x ＝23,y ＝13时,x 2x ＋2＋y 2y ＋1

取得最小值14.

已知实数x,y 满足x>y>0,且log 2x ＋log 2y ＝1,求x 2＋y 2

x －y

的最小值． 解析:因为log 2x ＋log 2y ＝1,所以log 2xy ＝1,所以xy ＝2,所以x 2＋y 2x －y ＝（x －y ）2＋2xy x －y

＝x －y ＋4x －y ≥2×2＝4,当且仅当x ＝1＋3,y ＝3－1时取等号,故x 2＋y 2x －y 的最小值为4.

考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用

例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km )的关系式为p ＝k 3x ＋5

(0≤x ≤8),若距离为1km 时,测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路面每千米成本为6万元．设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和．

(1) 求f(x)的表达式；

(2) 宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用f(x)最小？并求最小值．

解析:(1) 根据题意得100＝

k 3×1＋5,所以k ＝800.故f(x)＝8003x ＋5＋5＋6x,x ∈[0,8]． (2) f(x)＝

8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥ 28003x ＋5

·2（3x ＋5）－5＝80－5＝75, 当且仅当

8003x ＋5＝2(3x ＋5),即x ＝5时,取等号,此时f(x)的最小值是75, 所以宿舍应建在离工厂5km 处,可使总费用f(x)最小,最小值为75万元．

在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业

需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时,平均速度为v 2(米/单位时间),单位时

间用氧量为0.2,记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.

(1) 将y 表示为v 的函数．

(2) 设0

水底作业时用氧量为5×0.4＝2,

返回水面用时60v ,用氧量60v ×0.2＝12v ,

所以y ＝30cv ＋2＋12v (v>0).

(2) y ＝30cv ＋2＋12v ≥2＋230cv·12v ＝2＋1210c,