2019-2020学年人教A版高中数学必修五湖北新课改专用课件：第2章 不等式2.1.2
• (3)不成立．由a>b可得a＋1>b＋1，但作为真数，应有b＋ 1>0，故应增加条件“b>－1”．
(4)不成立.
a d
>
b c
成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此
可增加条件“b>0，d>0”．
考点二 利用不等式的性质证明简单不等式
• 利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 • (1)实质：根据性质把不等式变形． • (2)注意点：①记准、记熟不等式的八条性质；②注意不等式
【例题1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若a<b<0，则ba>ab；
(3)若a>b，c<d，cd≠0，则ac>bd；
(4)若a<b<0，则1a>1b． • 思维导引：解答本题可利用不等式的性质直接判断命题的正
确性，也可以采用特殊值法判断．
解析 (1)正确. 因为ac2>bc2，所以c2≠0且c2>0，所以a> b.
则f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9，
又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14．
故－2≤f(－2)≤14．
所以f(－2)的取值范围为[－2,14]．
【变式3】
设2<a<3，－4<b<－3，求a＋b，ab，
b2 a
课末随堂演练
1．(不等式性质的应用)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A．ac>db
B．ac<db
C．ad>bc • 答案 D
D．da<bc
解析
由c<d<0得－
1 d
>－
1 c
>0，又a>b>0，故由不等式性
质，得－ad>－bc>0，所以ad<bc．
2．(不等式性质的应用)若2m>2n，则下列结论一定成立的
的取值
范围．
解析 因为2<a<3，－4<b<－3，所以－2<a＋b<0.由－4<b
<－3，知3<－b<4，所以6<a(－b)<12，所以－12<ab<－6.由3< －b<4，知9<(－b)2<16.又31<1a<12，所以3<ba2<8．
综上，a＋b的取值范围为(－2,0)，ab的取值范围为(－12， －6)，ba2的取值范围为(3,8)．
第二章
不等式(必修5)
2.1 不等关系与不等式
2.1.2 不等式的性质
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 不等式的基本性质 • (1)对称性：a>b⇔_____b_<a__． • (2)传递性：a>b，b>c⇒______a>_c _． • (3)可加性：a>b⇒_______a＋_c_>b_＋_c ___．
3．(利用不等式的性质求取值范围)已知－
π 2
≤α<β≤
π 2
，则
α＋2 β∈_____________，α－2 β∈_____________．
解析 因为－π2≤α<β≤π2，所以－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.两式
相加得－π2<α＋2 β<π2.又因为－π4<β2≤π4，所以－π4≤－β2<π4，所以
(2)错误．由a<b<0得－a>－b>0，即－
1 b
>－
1 a
>0.故(－
a)·－1b＞(－b)·－1a，即ab＞ba．
(3)错误．若a>b>0，c<0，d>0，显然有ac<bd．
(4)正确．因为a<b<0，所以ab>0，所以a1b>0．
所以a·a1b<b·a1b，所以b1<1a，即1a>1b．
【变式1】 判断下列命题是否成立．若不成立，适当增加 条件使下列命题成立．
是( )
A．m1 >1n C．ln(m－n)>0
B．m|m|＞n|n| D．πm－n＜1
• 答案 B
• 解析 由2m＞2n得到m＞n.当m＞n＞0时，由不等式同向可 乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；当m＞0＞n时，m|m|＞0＞ n|n|；当n＜m＜0时，－n＞－m＞0，由不等式同向可乘性 可知n2＞m2，故－n2＜－m2，m|m|＞n|n|.故选B项．
>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，
故④错误．由以上分析，知①③正确． • 答案 ①③
课后限时作业
(1)若a>b，则ac≤bc； (2)若ac2>bc2，则a2>b2； (3)若a>b，则lg(a＋1)>lg(b＋1)； (4)若a>b，c>d，则ad>bc．
• 解析 (1)不成立．原命题改为“若a>b且c≤0，则ac≤ bc”， 即增加条件“c≤0”．
• (2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0时，才有a2>b2， 即增加条件“b≥0”．
• 【例题3】 设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤3, 1≤f(1) ≤5，求 f(－2)的取值范围．
• 思维导引：将f(－2)用f(－1)，f(1)表示出来，再利用f(－1)， f(1)的范围求f(－2)的范围．
• 解析 方法一 f(－1)＝a－b， • f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b， • 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， • 则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
课堂深度拓展
考点一 利用不等式的性质判断命题的正确性
• 在应用不等式的性质时应注意的问题 • 使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不
可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． • (1)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，已知的两个不等式必须是同向不
等式；
(2)a>b>0，且c>d>0⇒ac>bd，已知的两个不等式不仅要求 同向，而且要求不等式两边必须为正值；
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)，及a>b>0⇒ n a > n b (n∈N， n≥2)成立的条件是已知不等式两边为正值，并且前者为n∈ N，n≥1，后者为n∈N，n≥2，否则结论就不成立．假设去掉 b>0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，这会出现32>(－4)2的错 误结论；又若去掉了“n∈N，且n≥1”这个条件，取a＝3，b ＝2，n＝－1，又会出现3－1>2－1，即有13>21的错误结论．
于是mm＋ －nn＝ ＝42， ，解得mn＝＝13，，则f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9． 又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14． 故f(－2)的取值范围为[－2,14]．
方法二
由aa－ ＋bb＝ ＝ff－ 1，1，得ab＝ ＝ff11＋ －22ff－ －11， ，
• (4)可乘性：a>b，c>0⇒_____ac_>_bc_；a>b，c<0⇒____a_c<_bc__.
• (5)加法法则：a>b，c>d⇒______a_＋_c>_b＋_d____． • (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒_____a_c>_b_d __． • (7)乘方法则：a>b>0⇒_______________________．
成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造 性质与法则；③为了说明关于不等式的结论不成立，特殊值 法也是非常有效的方法．
【例题2】 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c2>b－e d2. • 思维导引：本题涉及两个数的倒数大小关系的判断，可依据
不等式的乘法性质进行证明．
证明 因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 将上式两边同乘以a－c21b－d2，得a－1 c2<b－1d2． 又因为e<0，所以a－e c2>b－e d2．
－π2≤α－2 β<π2.又α<β，所以α－2 β<0，所以－π2≤α－2 β<0．
答案 －π2，2π －π2，0
4．(利用不等式的性质证明不等式)若
1 a
<
1 b
<0，给出下列不
等式：
①a＋1 b<a1b；
②|a|＋b>0；
③a－1a>b－1b； ④ln a2>ln b2． 其中正确的不等式是__________________(填序号)．
解析
由
1 a
<
1 b
<0，可知b<a<0.①中，因为a＋b<0，ab>0，
所以
1 a＋b
<0，
1 ab
>0，故
1 a＋b
<
1 ab
，即①正确；②中，因为
b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
(4)不成立.
a d
>
b c
成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此
可增加条件“b>0，d>0”．
考点二 利用不等式的性质证明简单不等式
• 利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 • (1)实质：根据性质把不等式变形． • (2)注意点：①记准、记熟不等式的八条性质；②注意不等式
【例题1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若a<b<0，则ba>ab；
(3)若a>b，c<d，cd≠0，则ac>bd；
(4)若a<b<0，则1a>1b． • 思维导引：解答本题可利用不等式的性质直接判断命题的正
确性，也可以采用特殊值法判断．
解析 (1)正确. 因为ac2>bc2，所以c2≠0且c2>0，所以a> b.
则f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9，
又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14．
故－2≤f(－2)≤14．
所以f(－2)的取值范围为[－2,14]．
【变式3】
设2<a<3，－4<b<－3，求a＋b，ab，
b2 a
课末随堂演练
1．(不等式性质的应用)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A．ac>db
B．ac<db
C．ad>bc • 答案 D
D．da<bc
解析
由c<d<0得－
1 d
>－
1 c
>0，又a>b>0，故由不等式性
质，得－ad>－bc>0，所以ad<bc．
2．(不等式性质的应用)若2m>2n，则下列结论一定成立的
的取值
范围．
解析 因为2<a<3，－4<b<－3，所以－2<a＋b<0.由－4<b
<－3，知3<－b<4，所以6<a(－b)<12，所以－12<ab<－6.由3< －b<4，知9<(－b)2<16.又31<1a<12，所以3<ba2<8．
综上，a＋b的取值范围为(－2,0)，ab的取值范围为(－12， －6)，ba2的取值范围为(3,8)．
第二章
不等式(必修5)
2.1 不等关系与不等式
2.1.2 不等式的性质
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 不等式的基本性质 • (1)对称性：a>b⇔_____b_<a__． • (2)传递性：a>b，b>c⇒______a>_c _． • (3)可加性：a>b⇒_______a＋_c_>b_＋_c ___．
3．(利用不等式的性质求取值范围)已知－
π 2
≤α<β≤
π 2
，则
α＋2 β∈_____________，α－2 β∈_____________．
解析 因为－π2≤α<β≤π2，所以－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.两式
相加得－π2<α＋2 β<π2.又因为－π4<β2≤π4，所以－π4≤－β2<π4，所以
(2)错误．由a<b<0得－a>－b>0，即－
1 b
>－
1 a
>0.故(－
a)·－1b＞(－b)·－1a，即ab＞ba．
(3)错误．若a>b>0，c<0，d>0，显然有ac<bd．
(4)正确．因为a<b<0，所以ab>0，所以a1b>0．
所以a·a1b<b·a1b，所以b1<1a，即1a>1b．
【变式1】 判断下列命题是否成立．若不成立，适当增加 条件使下列命题成立．
是( )
A．m1 >1n C．ln(m－n)>0
B．m|m|＞n|n| D．πm－n＜1
• 答案 B
• 解析 由2m＞2n得到m＞n.当m＞n＞0时，由不等式同向可 乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；当m＞0＞n时，m|m|＞0＞ n|n|；当n＜m＜0时，－n＞－m＞0，由不等式同向可乘性 可知n2＞m2，故－n2＜－m2，m|m|＞n|n|.故选B项．
>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，
故④错误．由以上分析，知①③正确． • 答案 ①③
课后限时作业
(1)若a>b，则ac≤bc； (2)若ac2>bc2，则a2>b2； (3)若a>b，则lg(a＋1)>lg(b＋1)； (4)若a>b，c>d，则ad>bc．
• 解析 (1)不成立．原命题改为“若a>b且c≤0，则ac≤ bc”， 即增加条件“c≤0”．
• (2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0时，才有a2>b2， 即增加条件“b≥0”．
• 【例题3】 设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤3, 1≤f(1) ≤5，求 f(－2)的取值范围．
• 思维导引：将f(－2)用f(－1)，f(1)表示出来，再利用f(－1)， f(1)的范围求f(－2)的范围．
• 解析 方法一 f(－1)＝a－b， • f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b， • 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， • 则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
课堂深度拓展
考点一 利用不等式的性质判断命题的正确性
• 在应用不等式的性质时应注意的问题 • 使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不
可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． • (1)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，已知的两个不等式必须是同向不
等式；
(2)a>b>0，且c>d>0⇒ac>bd，已知的两个不等式不仅要求 同向，而且要求不等式两边必须为正值；
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)，及a>b>0⇒ n a > n b (n∈N， n≥2)成立的条件是已知不等式两边为正值，并且前者为n∈ N，n≥1，后者为n∈N，n≥2，否则结论就不成立．假设去掉 b>0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，这会出现32>(－4)2的错 误结论；又若去掉了“n∈N，且n≥1”这个条件，取a＝3，b ＝2，n＝－1，又会出现3－1>2－1，即有13>21的错误结论．
于是mm＋ －nn＝ ＝42， ，解得mn＝＝13，，则f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为－1≤f(－1)≤3，所以－3≤3f(－1)≤9． 又因为1≤f(1)≤5，所以－2≤3f(－1)＋f(1)≤14． 故f(－2)的取值范围为[－2,14]．
方法二
由aa－ ＋bb＝ ＝ff－ 1，1，得ab＝ ＝ff11＋ －22ff－ －11， ，
• (4)可乘性：a>b，c>0⇒_____ac_>_bc_；a>b，c<0⇒____a_c<_bc__.
• (5)加法法则：a>b，c>d⇒______a_＋_c>_b＋_d____． • (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒_____a_c>_b_d __． • (7)乘方法则：a>b>0⇒_______________________．
成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造 性质与法则；③为了说明关于不等式的结论不成立，特殊值 法也是非常有效的方法．
【例题2】 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c2>b－e d2. • 思维导引：本题涉及两个数的倒数大小关系的判断，可依据
不等式的乘法性质进行证明．
证明 因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 将上式两边同乘以a－c21b－d2，得a－1 c2<b－1d2． 又因为e<0，所以a－e c2>b－e d2．
－π2≤α－2 β<π2.又α<β，所以α－2 β<0，所以－π2≤α－2 β<0．
答案 －π2，2π －π2，0
4．(利用不等式的性质证明不等式)若
1 a
<
1 b
<0，给出下列不
等式：
①a＋1 b<a1b；
②|a|＋b>0；
③a－1a>b－1b； ④ln a2>ln b2． 其中正确的不等式是__________________(填序号)．
解析
由
1 a
<
1 b
<0，可知b<a<0.①中，因为a＋b<0，ab>0，
所以
1 a＋b
<0，
1 ab
>0，故
1 a＋b
<
1 ab
，即①正确；②中，因为
b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
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人教版A版高中数学必修5：不等关系与不等式_课件24
足 1500 小时的频率是1600000＝0.6.即灯管使 用寿命不足 1500 小时的概率约为 0.6.
【思维总结】 本题以频率0.6来估计概率为 0.6，其原因是“几年内”对本事件的重复试 验的一个稳定值．
互动探究2 若例题中得到的统计表部分数据 丢失，请补充完整，并回答问题.
若灯管使用寿命不小于1100小时为合格，求合 格率． 解：
【思路点拨】 在(1)中先后掷两枚硬币的结 果是4个，而不是3个．“正面，反面”、 “反面，正面”是两个不同的试验结果．
【解】 (1)结果：正面，正面；正面，反面； 反面，正面；反面，反面．
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6 环，7环，8环，9环，10环．
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}， {b，d}，{c，d}．
频率与概率的关系
随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同 的结果，但它具有一定的稳定性．概率是频率 的稳定值，是频率的科学抽去几年内使用某种型号的灯 管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单 位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分 [500， [900， [1100，[1300，[1500，[1700， [1900，
合 格 率 ＝ 0.208 ＋ 0.223 ＋ 0.193 ＋ 0.165 ＋ 0.042＝0.831.
方法技巧
方法感悟
1．事件到底属于哪一种类型是相对于一定的 条件而言的，当适当改变条件时，三种事件 可以互相转化．所以，分析一个事件，首先 必须搞清何为事件发生的条件，何为在此条 件下产生的结果，要注意从题目背景中体会 条件的特点．(如例1)
随机事件的概率
课前自主学案 随 机 事 件 的 概 率
课堂互动讲练
【思维总结】 本题以频率0.6来估计概率为 0.6，其原因是“几年内”对本事件的重复试 验的一个稳定值．
互动探究2 若例题中得到的统计表部分数据 丢失，请补充完整，并回答问题.
若灯管使用寿命不小于1100小时为合格，求合 格率． 解：
【思路点拨】 在(1)中先后掷两枚硬币的结 果是4个，而不是3个．“正面，反面”、 “反面，正面”是两个不同的试验结果．
【解】 (1)结果：正面，正面；正面，反面； 反面，正面；反面，反面．
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6 环，7环，8环，9环，10环．
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}， {b，d}，{c，d}．
频率与概率的关系
随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同 的结果，但它具有一定的稳定性．概率是频率 的稳定值，是频率的科学抽去几年内使用某种型号的灯 管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单 位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分 [500， [900， [1100，[1300，[1500，[1700， [1900，
合 格 率 ＝ 0.208 ＋ 0.223 ＋ 0.193 ＋ 0.165 ＋ 0.042＝0.831.
方法技巧
方法感悟
1．事件到底属于哪一种类型是相对于一定的 条件而言的，当适当改变条件时，三种事件 可以互相转化．所以，分析一个事件，首先 必须搞清何为事件发生的条件，何为在此条 件下产生的结果，要注意从题目背景中体会 条件的特点．(如例1)
随机事件的概率
课前自主学案 随 机 事 件 的 概 率
课堂互动讲练
湖北省高三数学必修五不等关系与不等式课件PPT教案
(2)作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具 有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成 能与1比较大小的式子,此种方法主要适用于那些含有幂指数的数
������+������
或式子的大小的比较,例如,比较aabb与(ab) 2 的大小就可以使用作 商法.
课堂篇 合作学习
∵a,b>0,∴P2>Q2.∴P>Q.
答案:C
课堂篇 合作学习
-8-
1.1.1 正弦定理
一
二
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
课堂篇 合作学习
-9-
1.1.1 正弦定理
首页
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每
探究一
探究二
探究三
首页 思维辨析 当堂检测
课前篇 自主预习
变式训练 1 用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的
深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后 一次为前一次的1������(k∈N+),已知一个铁钉第一次受击后进入木板部 分的铁钉长度是钉长的47,且受击 3 次后铁钉全部进入木板.请从这个 实例中提炼出一个不等式组.
对于任意两个实数 a 和 b,在 a=b,a>b,a<b 三种关系中有 且仅有一种关系成立
课堂篇 合作学习
-7-
1.1.1 正弦定理
一
二
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
3.已知������������ = ������������,如果 c>d,那么 a>b 是否一定成立?请说明理由.
������+������
或式子的大小的比较,例如,比较aabb与(ab) 2 的大小就可以使用作 商法.
课堂篇 合作学习
∵a,b>0,∴P2>Q2.∴P>Q.
答案:C
课堂篇 合作学习
-8-
1.1.1 正弦定理
一
二
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
课堂篇 合作学习
-9-
1.1.1 正弦定理
首页
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每
探究一
探究二
探究三
首页 思维辨析 当堂检测
课前篇 自主预习
变式训练 1 用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的
深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后 一次为前一次的1������(k∈N+),已知一个铁钉第一次受击后进入木板部 分的铁钉长度是钉长的47,且受击 3 次后铁钉全部进入木板.请从这个 实例中提炼出一个不等式组.
对于任意两个实数 a 和 b,在 a=b,a>b,a<b 三种关系中有 且仅有一种关系成立
课堂篇 合作学习
-7-
1.1.1 正弦定理
一
二
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
3.已知������������ = ������������,如果 c>d,那么 a>b 是否一定成立?请说明理由.
人教A版数学必修五3.1《不等关系与不等式》宽屏课件
例1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市
场调查，若单价每提高0.1元销售量就相应减少2000本。若把提
价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不
低于20万元呢？
思考(1 )销售量减少了多少?
x 2.5 2000本 0.1
(2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
80000 x 2.5 2000本 0.1
(80000 x 2.5 2000)x元 0.1
（4）用不等式表示不等关系为： (80000 x 2.5 2000)x 200000
0.1
人教A版数学必修五3.1《不等关系与 不等式 》宽屏 课件(共 25张PPT)
人教A版数学必修五3.1《不等关系与 不等式 》宽屏 课件(共 25张PPT)
练习.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两 种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢 管的3倍。 请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系.
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管 y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
? 不等式
60 V1 120 60 V2 100
60 V3 90
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤” 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这 些不等号的式子叫做不等式.
•重点理解： ≤、≥ 两个符号
强调 2.自主学习思考：
人教A版数学必修五3.1《不等关系与 不等式 》宽屏 课件(共 25张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
湖北省高三数学必修五基本不等式课件PPT教案
课堂篇 合作学习
-8-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
课堂篇 合作学习
3.做一做:已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
.
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=14x·4y≤14 × 14(x+4y)2=116,当 且仅当 x=4y=12,即 x=12,y=18时,等号成立.所以 xy 的最大值为116.
课堂篇 合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
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课课前前篇篇 自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(������+2������)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(������+2������)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差 法即可证明.
= =
1 2+ 2
2 2+ 2
, 时等号成立.
(2)∵0<x<12,∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=12·2x(1-2x)≤12
2������+(1-2������) 2
2 = 18,
当且仅当 2x=1-2x,即 x=14时,等号成立.
课堂篇 合作学习
-12-
1.1.1 正弦定理
探究一
探究二
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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课前篇 自主预习
2019-2020学年人教A版数学必修五课件：第2章 2.4 第1课时 等比数列
第十四页，编辑于星期六：二十三点 六分。
合作探究 提素养
第十五页，编辑于星期六：二十三点 六分。
等比数列的通项公式及应用
【例 1】 在等比数列{an}中． (1)已知 a1＝3，q＝－2，求 a6； (2)已知 a3＝20，a6＝160，求 an.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 六分。
[解] (1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为 q， 那么aa11qq25＝ ＝21060，， 解得qa＝ 1＝25，. 所以 an＝a1qn－1＝5×2n－1.
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 六分。
所以aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2·2n－1＝2n，即 an＝2n－1.
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 六分。
判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n 1＝q(q 为常数且不为零)或aan－n 1＝ q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若 a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，则数 列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠ 0)，则数列{an}是等比数列．
{aq1·qn}中的各项的点是函数 y＝aq1·qx 的图象上的_孤_立__点．
第九页，编辑于星期六：二十三点 六分。
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列 的通项公式．
[提示] 还可以用累乘法． 当 n>2 时，aan－n 1＝q，aann－ －12＝q，…，aa21＝q， ∴an＝a1·aa21·aa32…aann－ －12·aan－n 1＝a1·qn－1.
合作探究 提素养
第十五页，编辑于星期六：二十三点 六分。
等比数列的通项公式及应用
【例 1】 在等比数列{an}中． (1)已知 a1＝3，q＝－2，求 a6； (2)已知 a3＝20，a6＝160，求 an.
第十六页，编辑于星期六：二十三点 六分。
[解] (1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为 q， 那么aa11qq25＝ ＝21060，， 解得qa＝ 1＝25，. 所以 an＝a1qn－1＝5×2n－1.
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 六分。
所以aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2·2n－1＝2n，即 an＝2n－1.
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 六分。
判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n 1＝q(q 为常数且不为零)或aan－n 1＝ q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若 a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，则数 列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠ 0)，则数列{an}是等比数列．
{aq1·qn}中的各项的点是函数 y＝aq1·qx 的图象上的_孤_立__点．
第九页，编辑于星期六：二十三点 六分。
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列 的通项公式．
[提示] 还可以用累乘法． 当 n>2 时，aan－n 1＝q，aann－ －12＝q，…，aa21＝q， ∴an＝a1·aa21·aa32…aann－ －12·aan－n 1＝a1·qn－1.
新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.1不等关系与不等式(二)
2. 回答下列问题：
(1)如果a＞b, c＞d, 是否可以推出ac＞bd?
举例说明；
(2)如果a＞b, c＜d, 且c≠0, d≠0, 是否可
以推出
?举例说明.
ab cd
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立嘚 是 (C)
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1
b
a
B. a 1 b 1
讲授新课
常用嘚基本不等式嘚性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式嘚可乘性)
讲授新课
常用嘚基本不等式嘚性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式嘚可乘性)
(6) a b 0,n N ,n 1 an bn,n a n b
(可乘方性、可开方性)
3.1 不等关系与 不等式(二)
主讲老师：
复习引入
1. 比较两实数大小嘚理论依据是什么?
2. “作差法”比较两实数嘚大小嘚一般 步骤?
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是 什么?
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是 什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是 什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.
基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号嘚方向不变.
复习引入
3. 初中我们学过嘚不等式嘚基本性质是 什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号嘚方向不变.
人教版A版高中数学必修5：不等式
2．不等式性质及应用 特别提醒：
(1)同向不等式不能相减．
(2)异向不等式不能相加．
(3)两边同乘或除以一个负数，不等 式要反向．
作业：
1.课本P75的B组第1题(1)(2)
2.活页作业（十八）35页1-11题
•14:12
•12
例1 a b 0, c 0,求证：c c ab
证明：因为a b 0，所以ab 0, 1 0. ab
于是， a 1 b 1 ， 即 1 1 .
ab ab
ba
又因为c 0, 得： c c . ba
即
c
c .
ab
课本74页练习3
1.课堂练习:
用不等号 “<”或 “>”填空:
⑴ a b,c d a c ___>____ b d ;
⑵ a b 0,c d 0 ac __<__ bd ;
⑶ a b 0 3 a __>____ 3 b ;
⑷a
b
0
1 a2
_<___
1 b2
.
2.测评54页 例3
•14:12
•11
课堂小结： 1．作差法比较两数(式)的大小
p
2.3%
一 .体验
A
问题1：设点A与平面α的距离为d,
B为平面α上任意一点，则
d
d≤|AB|
B B
B
问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万 本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可能相应 减少2000本,若把提价后杂志的定价设为X元,怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
高中数学必修5全册(人教A版)PPT课件
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2为2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2q20
q
q
q2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为. : 4,1,2或 2,1,4 30
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1a2a1010，则 ( C )
域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A
北偏东45°方向，且与点A相距
海4 0里2的
位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到
点A北偏东45°＋θ（其中sin 2266,0
90）
方向，且与点A相距1 0 1 3 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断
.
9
例5 （2006年湖南卷）如图，D是直 角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记 ∠CAD=α，∠ABC=β. （Ⅰ）证明sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.
A
β=60°
α
β B
D
C
.
10
作业： P19习题1.2A组：3，4，5.
.
11
第一章 解三角形 单元复习
第二课时
Aa.1a10 10B.a2a10 00 Ca .3a990 D.a5151
（2）已知等差数列{ a n } 前 m项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
(C )
A.130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
2020人教版高三数学必修5全册教学课件
1.2 应用举例
2020人教版高三数学必修5全册教 学课件
202பைடு நூலகம்人教版高三数学必修5全册 教学课件目录
0002页 0057页 0093页 0132页 0230页 0277页 0316页 0352页 0381页 0434页 0436页 0499页 0516页 0569页 0614页
第一章 解三角形 探究与发现 解三角形的进一步讨论 阅读与思考 海伦和秦九韶 小结 第二章 数列 阅读与思考 斐波那契数列 2.2 等差数列 2.4 等比数列 阅读与思考 九连环 小结 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 阅读与思考 错在哪儿 3.4 基本不等式 复习参考题
第一章 解三角形
2020人教版高三数学必修5全册教 学课件
1.1 正弦定理和余弦定理
2020人教版高三数学必修5全册教 学课件
探究与发现 解三角形的进一 步讨论
2020人教版高三数学必修5全册教 学课件
高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件
1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律：
裂项相消时，前面剩几项， 对应后面就剩几项；前面剩 第几项，对应后面就剩倒数 第几项；前后至少各写出两 组数。
解：设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d， an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于：如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和。
方法：把数列分别正着写和倒着写再 相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3