高一下学期第一次月考数学试题
（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．
22. （15分） (2018·泉州模拟) 等差数列 的前 项和为 ，已知 .
（1） 求 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和.
参考答案
一、 单选题 (共10题；共20分)
12. （1分） (2018高二下·临汾期末) 如图所示，在平面四边形 中， ， ， 为正三角形，则 面积的最大值为________．
13. （1分） a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，a=3,c= , ， 则b=________
14. （1分） 已知数列 的各项均为正， 为其前 项和，满足 ，数列 为等差数列，且 ，则数列 的前 项和 ________.
A . -
B .
C . -
D .
3. （2分） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a：b：c= ：4：3，设 = cosA， = sinA，又△ABC的面积为S，则 • =（ ）
A . s
B . s
C . s
D . s
4. （2分） (2017·白山模拟) 已知数列{an}中，a1=2， =3，若an≤100，则n的最大值为（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
9. （2分） (2017·太原模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， 点（n，Sn+3）（n∈N*）在函数y=3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn+bn+1=an（n∈N*）．其前n项和为Tn ， 则下列结论正确的是（ ）
高一下学期第一次月考数学试题
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 在△ABC中，a=3，b=5，sinA= ，则sinB=（ ）
A .
B .
C .
D . 1
2. （2分） (2019高一下·大庆月考) △ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b +c +bc-a =0.则 =（ ）
（2） 若 , ，求 的取值范围．
20. （10分） (2019高三上·承德月考) 已知数列 为递增的等差数列，其中 ，且 成等比数列．
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 记数列 的前n项和为 ，求使得 成立的m的最小正整数．
21. （10分） (2016高三上·德州期中) 已知函数 的最小正周期为π．
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、 解答题 (共5题；共50分)
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
22-1、
22-2、
15. （1分） (2019高一下·上海月考) △ABC中， 则 ________.
16. （1分） (2018·保定模拟) 已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且 ，则 ________
17. （1分） (2019高二上·河南期中) 已知数列 的通项公式为 ，若数列最大项为 ，则 ________．
A . Sn=2Tn
B . Tn=2bn+1
C . Tn＞an
D . Tn＜bn+1
10. （2分） (2019高三上·广东月考) 定义 为 个正数 、 、…、 的“均倒数”，若已知正整数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） (2019高二上·蛟河期中) 设 为等比数列,其中 ，则 ________；
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
5. （2分） (2018·榆林模拟) 正整数数列 满足 ，已知 ， 的前7项和的最大值为 ，把 的所有可能取值按从小到大排成一个新数列 ， 所有项和为 ，则 （ ）
A . 32
B . 48
C . 64
D . 0，偶数项之和为9，则 的值是（ ）
三、 解答题 (共5题；共50分)
18. （10分） (2018高二上·杭州期中) 已知等差数列 满足 .
(Ⅰ)求 的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列 满足 ，问： 是数列 中的第几项？
19. （5分） (2020·定远模拟) 在 中，角 , , 的对边分别为 , , ．
（1） 若 ，且 为锐角三角形， , ，求 的值；
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二上·东莞开学考) △ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则A的度数等于（ ）
A . 120°
B . 60°
C . 150°
D . 30°
8. （2分） (2018·河北模拟) 已知等差数列 的前 项和为 ，“ ， 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b|=|，则a b = ；③若AB DC = ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n = ，n k = ，则m k = ；⑤若//a b ，//b c，则//a c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是A ．2B ．3C ．4D ．52．在三角形ABC ∆中，若点P 满足1231,3344AP AB AC AQ AB AC =+=+，则APQ ∆与ABC ∆的面积之比为（）A ．1:3B ．5:12C ．3:4D ．9:163．已知向量a ，b 满足1a = ，b = ，且a 与b的夹角为6π，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．12B ．32-C ．12-D ．324．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．222,,33⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．设,a b均为单位向量,则“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知向量()1,1a = ，()1,b m = ，其中m 为实数，O 为坐标原点，当两向量夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭变动时，m 的取值范围是A ．()0,1B ．3⎛ ⎝C ．(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U D ．(A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线8．下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45°，若23BC AC =，则该观音塔的高AB 约为（） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米二、多选题9．下列运算正确的是（）A ．()326a a-⋅=-B ．()()223a b b a a+--=C ．()()220a b b a +-+= D ．()2362a b a b -=-10．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是（）A ．2GH OG =B ．0GA GB GC ++=C ．2AH OD=D ．ABG BCG ACGS S S == 11．下列说法正确的有（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cB ．若a b =，b c = ，则a c= C ．若//a b r r，则a 与b 的方向相同或相反D ．若AB 、BC共线，则A 、B 、C 三点共线12．已知ABC 是正三角形，则在下列结论中，正确的为（）A ．AB BC BC CA +=+ B ．AC CB BA BC +=+C ．AB AC CA CB +=+D ．AB BC AC CB BA CA ++=++三、双空题13．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若320OA OB OC -+= ，则AB =______BC ，AB BC= ______．四、填空题14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a＋(2－m ) b 共线，则实数m 的值为___．15．如图，在四边形ABCD 中，DA DB DC ==，且DA DC DB +=，则ABC ∠=______．16．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，2AB =，则BC DC += ______．五、解答题17．已知111,,()()42a ab a b a b =⋅=+⋅-= ．(1)求||b的值；(2)求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．18．在直角梯形ABCD 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 在线段CD上.若AE AD AB λ=+，求实数λ的取值范围.19．如图所示，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶P 处测得三点的俯角分别为α，β，γ.计划沿直线AC 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE 的长度.20．已知OAB 中，点B 是点C 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设,AB a AO b ==．(1)用向量a 与b 表示向量OC ，CD；(2)若45OE OA =，求证：C ，D ，E 三点共线．21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量AE；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+ ，求:AF CF .22．设1e ，2e 是不共线的非零向量，且122a e e =- ，123b e e =+ ．若1243e e a ub λ-=+，求λ，u 的值．参考答案：1．C【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a b = ，方向不确定，则a 、b不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC = ，AB 、DC不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n = ，n k =，则m k = ，④正确；对于⑤，若//a b ，//b c，当0b = 时，//a c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.2．B【分析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P 、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系【详解】因为1233AP AB AC =+ ，所以12()()33AP AB AC AP-=-，即2BP PC = ，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+ ，所以31()()44AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC = ，得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以512PQ BC =，所以APQ ∆与ABC ∆的面积之比为512APQ ABCS PQ S BC == ，选择B 【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系3．A【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为1a =，b = ，且a 与b的夹角为6π，所以c 362os b b a a π=⋅=，因此()()2223122322b b a b a a b a +⋅-=+-=⋅+-= .故选：A.4．B【分析】由a 与b夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a ，不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．【详解】由题意可得：∵a 与b夹角为锐角，∴⋅=a b （2i j - ）()m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线∴12m ＜当a b时，可得m ＝﹣2所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12）．故选B ．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b的夹角为锐角可得，0a b ⋅＞且b a ，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.5．D【解析】按照向量的定义、充分条件和必要条件的定义，分别从充分性和必要性入手去判断即可.【详解】因为,a b 均为单位向量,且a 与b 的夹角为23π，所以||1a b +=== ,所以由“a 与b 的夹角为23π”不能推出“||a b +=若||a b +=则||a b += ==解得1cos ,2a b 〈〉= ,即a 与b 的夹角为23π,所以由“||a b += 不能推出“a 与b 的夹角为23π”.因此,“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查数量积的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【分析】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由题意可得出63ππθ<<且4πθ≠，由tan m θ=可得出实数m 的取值范围.【详解】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由于0,12AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则,464AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=-∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或,443AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=+∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即B 在1B 与2B （不与A 重合）之间，(tan ,13m θ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭U ，因此，实数m 的取值范围是(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U ，故选：C.【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．【详解】28NP a b =-+，3()PQ a b =- ，283()5NQ NP PQ a b a b a b ∴=+=-++-=+ ，5MN a b =+ ，MN NQ ∴= ，由平面向量共线定理可知，MN 与NQ为共线向量，又MN 与NQ有公共点N ，M ∴，N ，Q 三点共线，故选：B ．8．D【分析】设AC x =，根据已知条件得32BC BE x ==，52AB x =，根据ADB ∠的正切表示出BD ，再表示出DE ，由51DE =列出方程，解出x 即可得出AB 的长．【详解】解：设AC x =，根据条件可得32BC BE x ==，52AB AC BC x =+=，tan AB ADB BD ∠==，BD ∴=，3()5122DE BD BE x ∴=-=-=，18.0522x ∴=，5452AB x ∴=≈米，故选：D ．9．ABD【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论.【详解】由题意，A 项，()326a a -⋅=- ，A 正确.B 项，()()222223a b b a a b b a a +--=+-+=，B 正确.C 项，()()22220a b b a a b b a +-+=+--=，C 错误.D 项，()2362a b a b -=- ，D 正确.故选：ABD.10．ABCD【分析】由重心的性质以及向量的加法运算法则判断选项A ；结合三角形相似及重心性质判断选项A 与C ；利用重心性质及高的比例判断选项D.【详解】在ABC 中，O ，H ，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且2GA GD =-，又D 为BC 的中点，所以2GB GC GD +=，所以20GA GB GC GD GD ++=-+= ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD BC ⊥，所以AH OD ∥，∴AHG DOG ∽，∴2GH AH AGOG OD DG===，∴2GH OG =，2AH OD =，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE BC ⊥，垂足为E ，∴DEG DNA △∽△，则13GE DG AN DA ==，∴BGC 的面积为11112233BGC ABC S BC GE BC AN S =⨯⨯=⨯⨯⨯=△△；同理，13AGC AGB ABC S S S ==△△△，选项D 正确.故选：ABCD 11．BD【分析】取0b =可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0b = ，a 、c 均为非零向量，则//a b r r ，//b c成立，但//a c 不一定成立，A 错；对于B 选项，若a b =，b c = ，则a c = ，B 对；对于C 选项，若0b = ，0a ≠r r，则b 的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB 、BC共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.12．ACD【分析】利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】AB BC AC += ，BC CA BA +=，而AC BA = ，故A 正确；设正三角形的边长为2a ，所以2BA BC += ，2AC CB AB a +==，所以AC CB BA BC +≠+，故B 不正确；2A B AC=+，2C A CB=+,所以AB AC CA CB+=+，故C正确；24AB BC AC AC a++==，24CB BA CA CA a++==，所以AB BC AC CB BA CA++=++，故D正确．故选:ACD.13．22【分析】先化简为()2OA OB OB OC-=-，再利用向量的减法法则化简即得解.【详解】∵320OA OB OC-+=，∴()2OA OB OB OC-=-，∴2BA CB=，∴2AB BC=，∴2ABBC=．故答案为：2，2.14．－1或3【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】由题意知m a－3b＝λ[a＋(2－m) b]，∴()32mmλλ=⎧⎨-=-⎩解得m＝－1或m＝3.故答案为－1或3.【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．15．120︒【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【详解】因为DA DC DB+=，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA DB DC==，所以四边形ABCD是菱形，且60DAB∠=︒，所以120ABC∠=︒．故答案为：120︒16．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,BC DC AD AB AC +=+=．因为120ABC ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形．又AC BD ⊥，2AB =，所以1OB =．在Rt AOB △中，AO = ，所以2BC DC AC AO +=== ．故答案为:17．(1)2；4.【分析】（1）根据11,()()2a ab a b =+⋅-= 即可求b ；（2）设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()cos a b a b a b a b θ+⋅-=+⨯- .【详解】（1）()()2212a b a b a b +⋅-=-= ，1a = ，21||2b ∴=，b ∴= （2）22211212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=,a b ∴+= 22211212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ,1a b ∴-= ，设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()12cos a b a b a b a b θ+⋅-∴=+⨯- 18．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据梯形的几何性质和向量的线性运算可得DE ABλ= ，可求得实数λ的取值范围.【详解】由图分析知cos30DC AB BC =-︒∵AE AD AB λ=+ ,∴AE AD AB λ-= ，即DE AB λ= ，∴DE ABλ=.又0DE ≤≤，AB =uu u r 102λ≤≤.综上，实数λ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量的线性运算，关键在于运用梯形的几何性质得出向量间的线性关系，属于基础题.19．隧道DE 的长度为9【解析】首先利用同角三角函数的关系求出3sin 5γ=，再利用两角差的公式求出()sin 60γ︒-，在△PBC 中，利用正弦定理求出PB ，在△PAB 中，求出AB ，由DE =AB -AD -EB 即可求解.【详解】解：由4cos 5γ=，γ为锐角，可得3sin 5γ=，则()sin 60sin 60cos cos60sin γγγ︒︒︒-=-=.在△PBC 中，60BPC γ︒∠=-，PCB γ∠=，12BC =-由正弦定理可得，()3(12sin 5sin 60BC PB γγ︒-⨯==-在△PAB 中，∠PAB =45°，∠APB =75°，PB =由正弦定理可得，sin759sin452PBAB︒︒⋅==+所以DE=AB-AD-EB=9，所以隧道DE的长度为9.【点睛】本题考查了正弦定理求不可直接测量的两点间的距离，属于基础题.20．(1)OC a b=--uuu r r r，5133CD a b=+；(2)证明见解析.【分析】(1)根据向量的加法，减法，数乘运算的几何意义求解；(2)求证CE，CD共线即可.【详解】（1）因为点B是点C关于点A的对称点，所以AC AB=-，又AB a=，所以AC a=-，因为OC OA AC=+，OO A bA=-=-，所以OC a b=--uuu r r r，因为点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，所以13BD BO=，由已知22CB AB a==，BA AB a=-=-，所以11151()2()33333 CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b=+=+=++=+-+=+.；（2）∵413()555CE OE OC b a b a b CD=-=-++=+=∴CE与CD平行，又∵CE与CD有公共点C，∴C，D，E三点共线.21．（1）1344AE c a=-；（2）:4:1AF CF=.【分析】（1）由于点D是AC的中点，点E是BD的中点，所以12AD AC=，1()2AE AB AD=+，而AC BC BA c a=-=-，从而可求得结果，（2）设AF ACλ=，从而可得BF BA AF BA ACλ=+=+，再用a，c表示，然后结合1455BF a c=+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF的值【详解】（1）因为AC BC BA c a=-=-，点D是AC的中点，所以11()22AD AC c a==-，因为点E是BD的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a=+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ= ，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以4=5λ，所以45AF AC = ，所以:4:1AF CF =.22．31u λ=⎧⎨=⎩【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得λ，u 的值.【详解】由1243e e a ub λ-=+ ，得()()()()12121212432323e e e e u e e u e u e λλλ-=-++=++-+ ，得4233u u λλ+=⎧⎨-+=-⎩，解得31u λ=⎧⎨=⎩．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
河北省石家庄市一中2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题
M m
计算火箭的最
大速度 vm / s ，其中 v0m / s 是喷流相对速度，mkg 是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg
是推进剂与火箭质量的总和， M 称为“总质比”．已知 A 型火箭的喷流相对速度为 m
2000m / s ．
（1）当总质比为 410 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；
(1)说明 y sin x 图象经过怎样的变换得到函数 y f x 的图象；
(2)用“五点法”画出函数
y
f
x
在区间
π 6
,
7π 6
上的简图.
20．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了
解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 v v0 ln
（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1．5 倍，
总质比变为原来的 1 ，若要使火箭的最大速度至少增加1000m / s ，求在材料更新和技术 5
改进前总质比的最小整数值．
参考数据： ln 410 6 ， e 2.718 ． 21．如图，在△ ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 所对的边，CD⊥AB 于 D，且 BD AD （1）求证： sin C 2sin(A B) ； （2）若 cos A 3 ，求 tan C 的值．
(1)若 A π ，求 C； 6
(2)若 cos Acos B 1 ，证明：△ABC 是等腰直角三角形． 2
19．要得到函数 f x 1 sin x cos x 3 cos2 x 3 的图象，可以从正弦函数 y sin x 图
2
2
4
象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到.
厦门第一中学2023-2024学年高一下学期第一次适应性训练(月考)数学试题
厦门第一中学2023-2024学年高一下学期第一次适应性训练（月考）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则等于（）A. B.C. D.2.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在中，若，则的最大角与最小角之和是（）A. B. C. D.4.在平行四边形中，，，设，，则（）A. B.C. D.5.某学生为了测量学校旗杆的高度，在水平地面上一点处的测得仰角为，沿旗杆底部与处的直线向旗杆方向前进米的处测得的仰角为，那么旗杆高为（）A. B. C. D.6.已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为（）A.15B.12C.D.67.在中，，，，则下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.8.在中，，，，是垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）A.21B.14C.D.7二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（）A. B. C.3 D.610.在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（）A.B.C.在方向上的投影向量的模为1D.存在实数，使得与共线11.在中，D，E分别是BC，AC的中点，且，则（）A.面积最大值是6B.周长可能是14C.不可能是5D.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知,,,则向量与的夹角为______．13.已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径________．14.已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦.16.在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）求b的值．17.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：（1）轮船D与观测点B距离；（2）救援船到达D点所需要的时间．18.在中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求角；（2）若，点满足，①求证：：②求的最大值．19.在中，角，，的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，（，，）．（1）如图1，若三角形是边长为3的正三角形，且，求；（2）如图2，若，，交于一点，①求证：②若，，，，求．。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1i z =-，则z 的虚部是（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i【正确答案】A【分析】由虚部定义可得结果.【详解】由虚部定义可知：z 的虚部为1-.故选：A.2．已知,a b →→为非零不共线向量，向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，则k =（）A ．B ．-C ．±D ．8【正确答案】C利用向量共线的充要条件是存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，及向量相等列方程解得.【详解】解： 向量8a k b →→-与k a b →→-+共线，∴存在实数λ，使得8()a k b k a b λ→→→→-=-+，即8a k b k a b λλ→→→→-=-+，又 ,a b →→为非零不共线向量，∴8kk λλ=-⎧⎨-=⎩，解得.k =±故选：C.本题考查向量共线的条件，向量相等的条件，属于基础题.3．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 2:4:5A B C =，则cos B =（）A ．1320B ．3740C ．516-D ．18【正确答案】A【分析】由正弦定理可得::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，利用余弦定理可求得cos B 的值.【详解】因为::sin :sin :sin 2:4:5a b c A B C ==，令2a t =，4b t =，()50c t t =>，则2222224251613cos 222520a cb t t t B ac t t +-+-===⨯⨯.故选：A.4．如图，在△ABC 中，AB a = ，AC b = ，DC ＝3BD ，A E＝2EC ，则DE ＝（）A ．1334a b+ B ．53124a b-C ．3143a b+ D ．35412a b-+ 【正确答案】D【分析】直接按照平面向量的三角形法则及题目中比例关系进行化简即可.【详解】由平面向量的三角形法则，可知()313135354343412412DE DC CE BC ACAC AB AC AB AC a b ⎛⎫=+=+-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭.故选：D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，所以由正弦定理得22()ab b c+=，化简得222a b c +-=，所以由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为(0,)C π∈，所以56C π=，即150C =︒故选：D6．已知4a = ，()1,0b =- 且()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【正确答案】C【分析】根据向量垂直和向量数量积运算律可构造方程求得a b ⋅，由向量夹角公式可求得结果.【详解】()2a b b +⊥ ，()22220a b b a b b a b ∴+⋅=⋅+=⋅+= ，解得：2a b ⋅=- ，21cos ,412a b a b a b⋅-∴<>===-⨯⋅ ，,120a b ∴<>=o r r .故选：C.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b，sin 2C =，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理边化角可求得cos B ，得到π3B =；结合特殊角三角函数值和三角形内角和为π可求得结果.【详解】由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ，()2cos sin 2cos sin sin B A C B B B ∴+==，又()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，1cos 2B ∴=，则π3B =；sin 2C =，()0,πC ∈，π3C ∴=或2π3，又πB C +<，π3C ∴=，()ππ3A B C ∴=-+=，ABC ∴ 为等边三角形.故选：C.8．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（）A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12【正确答案】A【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得到22cos 2r r α=-，和22cos 8r r β=-.把CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅22cos cos r r βα=-，整体代入即可.【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA CFB βα∠=∠=.由余弦定理得：2222cos BC BF CF BF CF α=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228cos r r β=-.所以22cos 8r r β=-.所以()CF AB CF AF FB+⋅=⋅ CF AF CF FB =+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα=⋅⋅⋅⋅-=-=-因为22cos 2r r α=-，22cos 8r r β=-，所以()2222cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .故选：A向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．二、多选题9．下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c，则// a cB ．若a b =，则23a b<C ．对任意非零向量a，a a是和它共线的一个单位向量D ．零向量没有方向【正确答案】ABD【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b = 时，满足//,//a b b c，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，对于C ，因为a是非零向量，所以a a是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD10．在△ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若2sin a b A =，则6B π=B ．若A B >，则sin sin A B>C．45AB B ∠︒==，若AC =D ．若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形【正确答案】BC【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．【详解】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1sin 2B =，而(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，A 错；选项B ，△ABC 中，sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB ACC B=，4sin 3C π==，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．11．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，12BD DC =，E 为AC 的中点，则1263DE AC AB=-B ．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形C ．已知()3,4a = ，()0,1b =- ，则a 在b上的投影向量是()0,4D ．在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8AE BF ⋅= 【正确答案】ABC【分析】利用向量线性运算直接推导可得A 正确；设ABAC AP ABAC=+ ，可知直线AP 为BAC ∠的角平分线，结合⊥AP BC 可知B 正确；利用投影向量的求法可求得C 正确；以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可知D 错误.【详解】对于A，如图所示，()2211233263DE DC CE BC EC AC AB AC AC AB =+=-=--=-，A 正确；对于B ，设AB ACAP AB AC=+，AB AB 表示与AB 同向的单位向量，AC ACuuu r uuu r 表示与AC 同向的单位向量，∴直线AP 为BAC ∠的角平分线，又0AP BC ⋅=，即⊥AP BC ，AB AC ∴=，ABC ∴ 为等腰三角形，B 正确；对于C ，cos ,4a ba ab b⋅<>==-，()0,1b b b==-，a ∴r 在b上的投影向量为()cos ,0,4b a a b b<>⋅=，C 正确；对于D ，以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,3E ，()2,4F ，()4,3AE ∴= ，()2,4BF =-，()42344AE BF ∴⋅=⨯-+⨯=，D 错误.故选：ABC.12．已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a 和2个b排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A ．S 有3个不同的值B ．22min22S a a b b=+⋅+ C ．若//a b ，则min S 与b 无关D ．若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥【正确答案】AD【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】,(1234.5i i x y i = ，，，）均由3个a和2个b 排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．三、填空题13．已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【正确答案】P （3,4）【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB =得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴向量的坐标运算14．设23i 4i a b +=+，其中,a b 是实数，则i a b +=__________．【分析】由23i 4i a b +=+可得23a b =⎧⎨=⎩，从而得i 23i a b +=+，再根据复数的模定义即可求得i a b +.【详解】解：因为23i 4i a b +=+，所以243a b =⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以i 23i a b +=+，所以|a b +15．李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米.153182+【分析】假设AG 长度，AGC 使用勾股定理，AEC △使用正弦定理，解出AG 高度，进而求出AB 高度.【详解】假设AG 高度为x 米，则AC 2米，对AEC △使用正弦定理得：sin sin AC CEAEC CAE=行，所以sin 30sin(4530)AC CE=-o o，所以215sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o oo o，所以216224-x =解得15(31)2x =，所以1531315318222（）==AB +，故153182+16．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，它的面积等于)22234b c a +-且2222b c a a +=+，则ABC 的面积的取值范围是_________.【正确答案】333,2⎭【分析】根据三角形面积公式化简已知等式可求得A ，结合余弦定理可求得2a bc =，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换知识可求得31π1sin 2264bc B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数值域求法可求得bc 取值范围，代入三角形面积公式即可.【详解】)2221sin 24ABCb c a S A +-==，2221sin 24b c a A A bc +-==，即tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=；由2222b c a a +=+得：22221cos 222b c a a a A bc bc bc +-====，2a bc ∴=；由正弦定理得：πsin sin sin 2sin 3a b c bcA B C ===，b ∴=sin c B =，()33sin sin sin sin bc B C B A B ∴===+⎝⎭31π1sin 2264B =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；ABC 为锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，解得：ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，则[)4,6bc ∈，1sin 242ABC S bc A bc ⎫∴==∈⎪⎪⎭.故答案为.⎭四、解答题17．已知复数()222159i z m m m =--+-，其中R m ∈.(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求1iz+的值.【正确答案】(1)3m =±(2)88i+【分析】（1）由题意得290m -=，求解即可；（2）先由题意求得16i z =，再根据复数的除法法则化简复数1iz +，由此可求得答案.【详解】（1）若z 为实数，则290m -=，解得3m =±．（2）若z 为纯虚数，则22215090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得5m =，∴16i z =，故()()()16i 1i 16i 88i 1i 1i 1i 1i z -===++++-，18．已知向量,a b 满足()()26a b a b +⋅-=- ，且1a = ，2b = .(1)求a b ⋅ ；(2)求a 与b 的夹角θ(3)求a b + .【正确答案】(1)1-(2)2π3【分析】（1）根据向量数量积的运算律可直接构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式直接求解即可；（3）由a b + .【详解】（1）()()222276a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=--⋅=- ，1a b ∴⋅=- .（2）11cos 122a b a b θ⋅-===-⨯⋅ ，又[]0,πθ∈，2π3θ∴=.（3）a b += 19．已知平面向量()1,a x = ，()23,b x x =+- ，x ∈R .(1)若a b ⊥ ，求a b - ；(2)若a 与b 的夹角为锐角，求x 的取值范围.【正确答案】(1)2或10(2)()()1,00,3-【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得x ，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得x 的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【详解】（1）a b ⊥ ，2230a b x x ∴⋅=+-= ，解得：=1x -或3x =，当=1x -时，()0,2a b -=- ，2a b ∴-= ；当3x =时，()8,6a b -=-，10a b ∴-=；综上所述：2a b -= 或10（2）若,a b 共线，则()23x x x -=+，解得：0x =或2x =-，当0x =时，()1,0a = ，()3,0b = ，此时,a b 同向；当2x =-时，()1,2a =- ，()1,2b =- ，此时,a b 反向；∴若a 与b 的夹角为锐角，则22300a b x x x ⎧⋅=+->⎪⎨≠⎪⎩，解得：13x -<<且0x ≠，x ∴的取值范围为()()1,00,3- .20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin A C a b B a c--=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =AB 边上的中线长为5，求ABC 的面积.【正确答案】（1）3π；（2）2.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，即可求得C ；（2）倍长中线至CD ，在DAC △中由余弦定理，结合（1）中所求，即可求得ab ，由面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得a c a b b a c--=+，化简得222a b c ab +-=.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,πC ∈可得π3C =.（2）倍长AB 边上的中线至CD ，连接DA ，在DAC △中，由CAD ∠的余弦定理可得22221001cos 10022a b CAD a b ab ab +-∠==-⇒++=，又由（1）知222a b c ab +-=即2248a b ab +-=，所以26ab =，所以113133sin 262222S ab C ==⨯=.本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若33CD =，ABC 的面积为23c 的值.【正确答案】(1)3C π=；(2)23c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a =，结合平面向量得a b CD CA CB a b a b=+++ ，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++，化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 222ab C ab ==8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin 261sin 26ACD BCD CA CD S CA AD S CB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b =+=+=+-=+++++ ，所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++ ，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++，整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-=，由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.22．如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正确答案】(1).(2)巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在ABC 中，解三角形得BC =45ABC ︒∠=，在BCD △中，由余弦定理求得CD .（2）在BCD △中，解三角形得60BCD ︒∠=，90BDC ︒∠=，得到135CDE ︒∠=，在CDE 中，由正弦定理求得30∠= DCE ，结合图形知巡逻艇的追赶方向.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在ABC 中，AB AC =+=由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠221122=++-+⋅=所以BC =在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即sin sin 60ABC ︒=∠所以sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=（135 舍去）所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在BCD △中，30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos 30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos33︒=+-⋅=⨯CD ∴=.（2）当巡逻艇经过t 小时经CE 方向在E 处追上走私船，则,3,3CE DE t CD ===在BCD △中，由正弦定理得：sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC ==∠∠∠3sin BCD ==∠所以sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=，90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在CDE 中，由正弦定理得：sin sin CE DE CDE DCE =∠∠则1sin2DCE ︒∠==，故30∠= DCE （150 舍）ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东75︒方向去追，才能最快追上走私船.。
2022-2023学年上海市新川中学高一年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市新川中学高一下学期第一次月考数学试题一、填空题1．的终边经过点,则的正切值为________.α()5,12-α【答案】125-【分析】直接根据正切函数的广义定义带入即可算出.【详解】.1212tan 55y x α-===-故答案为: .125-2．已知是第二象限角，，则________．α1sin 3α=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为是第二象限角，，α1sin 3α=所以πsin cos 2αα⎛⎫+==== ⎪⎝⎭故答案为：3．已知角终边上一点，则________．α()2,3P -()()πcos sin π23πcos πcot 2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解.【详解】由诱导公式知，，()()πcos sin πsin sin 2sin 3πcos (tan )cos πcot 2ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭因为角终边上一点，α()2,3P -所以sin α所以原式sin α=-=故答案为：4化成的形式___________.cos x x -sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<【答案】112sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式将其转化为cos 2sin(6x x x π-=-的形式即可.sin()(0,02)A x A ϕϕπ+>≤<，1cos cos )2(sin cos cos sin 2sin()2666x x x x x x x πππ-=-=-=-.112sin()2sin[2(2sin()666x x x ππππ-=+-=+故答案为：.112sin()6x π+5．化简________．()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-=【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求得答案.【详解】由题意可得()()()()sin 70cos 10cos 70sin 170αααα︒+︒+-︒+︒-()()()()sin 70cos 10cos 70sin 10αααα=︒+︒+-︒+︒+()()7010]sin 6sin[0αα︒+-︒+=︒==6．若，则_______________．1cos()3αβ-=22(sin sin )(cos cos )αβαβ+++=【答案】83【解析】原式展开，利用、两角差的余弦公式，化简整理，即可得答案.22sin cos 1αα+=【详解】222222(sin sin )(cos cos )sin +sin 2sin sin cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβ+++=++++=.22sin sin 2cos 282cos()2323cos αβαβαβ++=+-=+=故答案为：83【点睛】本题考查同角三角函数的关系，两角差的余弦公式，考查计算化简的能力，属基础题.7．已知，,则________.2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=tan()4πα+=【答案】322【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.()()44ππααββ+=+--【详解】解：因为，,2tan()5αβ+=1tan()44πβ-=又，()()44ππααββ+=+--所以=，tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-213542122154-=+⨯故答案为.322【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观()()44ππααββ+=+--察能力及运算能力，属中档题.8．已知则________．1sin cos 3αα+=2πcos 4α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】118【分析】由两角差余弦公式可得，结合条件可求.πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为πππcos cos cos sin sin444ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以，)πcos cos sin 4ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭又，1sin cos 3αα+=所以，2π111cos 42918α⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭故答案为：.1189．中，，，________．ABC 60A ∠=︒75C ∠=︒a =ABC S = 【分析】根据正弦定理可求得c ，再求出B ，根据三角形面积公式即可求得答案.【详解】因为sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+=︒+︒在中，由正弦定理可得，ABC sin ,sin sin sin a c a C c A C A =∴===因为，，故，60A ∠=︒75C ∠=︒45B ∠=︒所以，11sin 22ABC S ac B ===10．边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________．【答案】##2π3120【分析】利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可.【详解】解：设边长为10，14，16分别对应边a ，b ，c ，由余弦定理得：,2222221016141cos 2210162a c b B ac +-+-===⨯⨯因为，()0,B π∈所以，则，3B π=23A C π+=故三角形中最大角与最小角的和为，2π3故答案为：2π311．在中，边，，则角的取值范围是________________.ABC ∆2BC =AB C 【答案】0,3π⎛⎤ ⎝⎦【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角的取值范围．C 【详解】由题意，设，由余弦定理得，AC b =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅即，即，，2344cos b b C =+-24cos 10b b C -+=216cos 40C ∴∆=-≥或，1cos 2C ∴≥1cos 2C ≤-，不可能为钝角，则，AB BC < C ∴1cos 2C ≥又，.0C >03C π∴<≤因此，角的取值范围是.C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式，属于中等题.12．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是0θ>ϕn N *∈()cos cos8n πθϕ+<θ______．【答案】27π【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最n θϕ+4πθ>2N πθ*∈()2k N k πθ*=∈小值.【详解】作出单位圆如图所示，由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，n θϕ+，即，()()188n n ππθϕθϕθ⎛⎫∴++-+=>--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭4πθ>对任意，总成立，，即，n N *∈()cos cos 8n πθϕ+<2N πθ*∴∈()2k N k πθ*=∈又，，.4πθ>1,2,3,4,5,6,7k ∴=min 27πθ∴=故答案为：.27π【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．第二象限角大于第一象限角；B ．若是角终边上一点，则()(),20P a a a ≠αsin α=C．若，则、的终边相同；sin sin αβ=αβD ．．tan x =ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】取特例可判断AC ，根据三角函数的定义判断B ，利用周期解出三角方程的解集判断D.【详解】因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故A 错误；100α=︒400β=︒因为是角终边上一点，所以，()(),20P a a a ≠α|r a==所以B 错误；sin α==当时，满足，但、的终边不相同，故C 错误；π2π,33αβ==sin sin αβ=αβ当上的解为，故在定义域上的解为，tan x =ππ(,)22-π3-ππ,Z 3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭故D 正确.故选：D14．化简 ）A ．B ．C ．D ．2sin 22sin 2-2sin 24cos 2-2sin 24cos2-+【答案】C【分析】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．【详解】又2sin 2cos 22cos 2==-+因为，所以，即原式22ππ<<sin 20,cos 20><2sin 24cos 2=- 故选C【点睛】本题考查正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题．15．中，设，则的形状为（ ）ABC 21cos cos cos 2CA B -=ABC A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可2cos 2Ccos C ()cos A B -+得出结论.【详解】由得21cos cos cos 2C A B -=1cos 1cos cos 2CA B +-=整理得,因为,12cos cos cos A B C -=πA B C ++=所以()()cos cos πcos cos cos sin sin C A B A B A B A B=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦所以12cos cos cos cos sin sin A B A B A B -=-+所以()1cos cos sin sin cos A B A B A B =+=-又因为,所以,即.(),0,πA B ∈0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC 故选:C.16．设a ，，，若对任意实数x 都有，则满足条件的有R b ∈[)0,2πc ∈()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭序实数组的组数为（ ）()a b c ，，A ．1组；B ．2组；C ．4组；D ．无数组．【答案】C【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，3b =2=a a b c 即可得出正确选项.【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+则，2=a 函数与函数的最小正周期相等，则，2sin 3π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin y a bx c =+3b =当，时，由于，则，2a =3b =()2sin 32sin 33πx x c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()π2πZ 3c k k =-+∈由于，此时，；02πc ≤<5π3c =当，时，，2a =3b =-()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭则，得，，此时，；()ππ2πZ 3c k k -=-∈()4π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< 4π3c =当，时，，2a =-3b =()()2sin 32sin 32sin 33πx x c x c π⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭则，得，，则；()ππ2πZ 3c k k +=-∈()()213c k k Z ππ=--∈02c π≤< 23c π=当，时，，2a =-3b =-()()π2sin 32sin 32sin 33x x c x c ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭则，得，，则.()π2πZ 3c k k -=-∈()π2πZ 3c k k =-∈02πc ≤< π3c =因此，满足条件的有序实数组的组数为组.()a b c ，，4故选：C ．三、解答题17．已知，，都是锐角，求的值．cos αsin βαβαβ+【答案】π4αβ+=【分析】利用同角三角函数的基本关系求得，的值，再利用两角和的余弦公式求出sin αcos β的值，可得的值.()cos αβ+αβ+【详解】因为，cos α=sin β=αβ所以sin α==cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因，为都是锐角，所以，．所以，αβπ02α<<π02β<<0παβ<+<所以．π4αβ+=18．证明：()sin 211tan 1sin 2cos 212θθθθ+=+++【答案】证明见解析【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明.【详解】证明：由二倍角公式以及可得，22sin 22sin cos cos 2cos sin θθθθθθ==-，22sin cos 1θθ+=222sin 212sin cos sin cos sin 2cos 212sin cos 2cos θθθθθθθθθθ+++=+++()()2sin cos sin cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθθ++==+1sin cos 2cos cos θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1tan 12θ=+得证．19．设点P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时()01,0P 针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭1P π32P点的纵坐标为，求点的坐标．2P 35-1P【答案】【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭sin α的值，即可得出点的坐标.cos α1P 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即，2P π3sin 35α⎛⎫--=-⎪⎝⎭π3sin 35α⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭故．因为，则，π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π02α<<ππ5π336α<+<若，不符合题意；πππ332α<+<πsin 13α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭若，则，符合题意．ππ5π236α≤+<1πsin 123α⎛⎫<+≤⎪⎝⎭故．所以．ππ5π236α≤+<π4cos 35α⎛⎫+==-⎪⎝⎭所以ππ1ππcos cos cos 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．ππ1ππsin sin sin 33233αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦而()cos cos αα-==()sinsin αα-=-=所以点的坐标为．1P 20．在中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中．ABC 2b =(1)若，且，求边长c ；120A C +=︒2a c =(2)若，求的面积．15,sin A C a A =︒-=ABC ABC S 【答案】(2)3【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.c （2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，2a c =由正弦定理得，即，sin 2sin A C =()sin 1202sin C C︒-=，1sin 2sin ,tan 2C C C C +==由于，所以，则，0120C ︒<<︒30C =︒90,60A B =︒=︒由正弦定理得.sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====（2）依题意，，sin a A =由正弦定理得，sin sin A C A =由于，，所以，15180A ︒<<︒sin 0A>sin C =由于，所以为锐角，所以，150A C -=︒>C 45C =︒则，60,75A B =︒=︒()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理得，sin ,sin sin sin c b b Cc C B B====)21==所以.)11sin 221322ABC S bc A ==⨯⨯=△21．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南O 方向300千米的海面处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭(cos θθ=P的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【分析】设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，由题意得，t Q O，在中，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t ====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ==POQ ∆由余弦定理得：.2222cos OQ OP PQ OP PQ a =+-⋅【详解】解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰好在城，t Q O 由题意得，300,20,r()6010OP PQ t OQ t t====+cos 45a θθ==-︒4sin 5a θ∴==由余弦定理得：2222cos OQ OP PQ OP PQ a=+-⋅即2224(6010)300(20)230020t 5t t +=+-⨯⨯⨯即2362880t t -+=解得，1212,24t t ==2112t t -=答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.。
云南省红河州屏边县第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷
屏边一中高一年级下学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；总分：150分一、单选题(共40分)1．(本题5分)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,A B a A D b==，则B E=（ ）A ．12b a- B ．12b a+C ．12a b+D ．12a b-2．(本题5分)已知全集{2U =-，1-，1，2，3，4}，集合{2A =-，1，2，3}，集合{1B=-，2-，2，4}，则()U C A B =（ ）A ．{1-，2-，2，4}B ．{1，3}C ．{2-，2}D ．{1-，4}3．(本题5分)已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么s in α=（ ） A ．35B ．34C ．34-D ．45-4．(本题5分)已知向量(),2m a =，()1,1n a =+，若//m n，则实数a 的值为（ ）A ．23-B ．2-C ．2或1-D ．2-或15．(本题5分)在A B C ∆中，2A B =，3A C =，5A B A C ⋅=，则B C =（ ）ABC．D6．(本题5分)设13113211lo g 2,lo g ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b <c <aD ．b a c <<7．(本题5分)已知函数y ＝f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）＞f （x ﹣2）的解集为（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C ．（1，+∞）D ．（0，1）8．(本题5分)已知平面向量m 与n 之间的夹角为π3，3m=，2n=，则m 与2mn -之间夹角的余弦值为（ ）A ．1213B ．513C13D13二、多选题(共20分)9．(本题5分)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2y x =-B ．3y x =C ．||y x =D ．22x x y -=-10．(本题5分)（多选）下列说法中正确的是（ ） A ．若()()1122,,,a x y bx y →→==，且a →与b →共线，则1122x y xy =B ．若()()1122,,,ax y bx y →→==，且1221x y x y ≠，则a →与b →不共线C ．若A ，B ，C 三点共线．则向量,,A B B C C A →→→都是共线向量 D ．若向量()()1,2,2,a b n →→==-，且//a b →→，则n =-411．(本题5分)在A B C ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．AB>是s in s in A B >的充分不必要条件B ．若c o s c o s a B b A =，则A BC ∆是等腰三角形 C ．若60B =，2b a c=，则A B C ∆是等边三角形 D ．若c o s s in =+ba C c A，则45A=o12．(本题5分)已知函数()c o s 1(0)3πf x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，π()3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭在R 恒成立，且()f x 在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数()f x 的图象向左平移π3个单位所得图像关于y 轴对称B ．()f x 的对称中心是ππ,0()26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ZC ．若122π3x x +=，则()()12fx fx =D ．()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题(共20分)13．(本题5分)函数()f x =的定义域为___________.14．(本题5分)已知向量(3,1)a =，(1,1)b =-，若()a a b λ⊥+，则实数λ=___________.15．(本题5分)已知集合{}210P x x =-≤≤，非空集合{}11Sx m x m =-≤≤+，若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值范围为______．16．(本题5分)当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数c o s y x x =+的值域是___________.四、解答题(共70分)17．(本题12分)已知向量()1,2a =，()3,2b =-.（1）求a b -；（2）求向量a 与向量b 的夹角θ的余弦值；（3）若c =，且()2a c c +⊥，求向量a 与向量c 的夹角.18．(本题12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量()1,1O A =，()2,3O B =-，()6,O C k =-，(1)当29k =时，试判断A ，B ，C 三点是否共线，写出理由； (2)若A ，B ，C 三点构成直角三角形，求实数k 的值19．(本题10分)已知θ是第三象限角，且()3c o s 25πθ-=-．（1）求s in 2θ，c o s 2θ的值； （2）求s in 3θ的值．20．(本题12分)如图，在O A B ∆中，已知P 为线段A B 上一点，O P x O A y O B=+.(1)若2B P P A =，求实数x ，y 的值；(2)若3B P P A =，2O A =，4O B=，且O A与O B 的夹角为120°，求O P A B ⋅的值.21．(本题12分)已知函数()21m x n f x x+=+是定义在()2,3n n +上的偶函数．(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数()f x 在()0,23n +上的单调性，并用定义法证明你的结论．22．(本题12分)已知在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin co s sin co s co s 0a A C c A A A +-＝.（1）求角A 的大小；（2）若A B C ∆的面积为，且2b a c =+，求A B C ∆的周长.屏边一中高一年级下学期第一次月考数学答题卡姓名班级考号考场座位号贴条形码区（正面朝上，请勿贴出虚线方框）注意事项1.选择题部分必须使用2B 铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
2023长沙一中高一下学期第一次月考数学试卷
长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分得分__________一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260,{06}A xx x B x x =+->=<<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[]3,2- B.(]0,2 C.[)0,2 D.()2,6-2.已知3sin 5α=，则7cos 2a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35 B.35- C.45 D.45-3.下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.sin y x= B.cos y x =C.tan y x = D.cos 2xy =4.函数()1cos ,43f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点最多有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知向量,a b 不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d 共线，则实数x 的值为（）A.1 B.12- C.1或12- D.1-或12-6.下列命题：①若a b = ，则a b = ；②若,a b b c == ，则a c = ；③a b = 的充要条件是a b = 且a b ∥ ；④若,a b b c ∥∥ ，则a c ∥ ；⑤若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1,AB a = ，,BC b AC c == ，则向量a b c -- 的模为（）B.2C.D.48.设函数()2cos sin tan f x a x b x x =++，则()f x 的最小正周期（）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()ln ,0f x x a b =<<，且()()f a f b =，下列结论正确的是（）A.2a b +> B.23ba +>C.1ab > D.22(1)(1)a b +++的最小值为810.要得到函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（）得到A.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向左平移3π个单位B.先将各点横坐标变为原来的23π个单位C.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向右平移23π个单位D.先向左平移23π个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍11.已知()()170,,0,,sin cos sin cos 13απβπααββ∈∈-=+=，下列关系可能成立的有（）A.αβ< B.3αβ>C.αβπ+< D.αβπ+>12.下列论断中，正确的有（）A.ABC 中，若A 为钝角，则sin sin cos cos B C B C+>+B.若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()()2f x f x =-，则()f x 为周期函数C.若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称D.向量,,a b c 满足a b a c ⋅=⋅ ，则0a = 或b c= 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 满足1,2,7a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为__________.14.函数()26sin cos 4444f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的对称中心中，到y 轴距离的最小值是__________.15.函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是__________.16.已知点,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则()f x =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()22sin 3cos24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有唯一解，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，60,3,6B AB BC ∠===，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- （1）求实数λ的值；（2）若M 是线段BC 上的动点，求DM BC ⋅的取值范围.19.（本小题满分12分）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,.a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩ 设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x .若123x x x <<，求231x x x 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记POC ∠α=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求这个最大面积.21.（本小题满分12分）（1）求证：2222tan 1tan sin2,cos21tan 1tan αααααα-==++；（2）已知351,,cos ,tan 21322πβαπα⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，求cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分）悬链线（Catenary ）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为()2x x e e f x -+=，与之对应的函数()2x x e e g x --=称为双曲正弦函数，令()()()g x F x f x =.（1）若关于x 的方程()][()2250F f x F g x λ⎡⎤+-=⎣⎦在()0,ln3上有解，求实数λ的取值范围；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为,1,2,3,,21t x i n =- ，设()142321x h x -=-+，记()()()()()()12321*n H x h x h x h x h x n N -=++++∈ ，是否存在正整数n ，使不等式()()()2F x H n F x 有解？若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.。
高一下学期第一次月考数学试卷 (34)
高一下册数学第一次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分） 1.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是 A ．AB BC CA += B ． BC CD BD += C ．AB AD AC += D ． AB AD BD -=2.设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．π3.已知sin 3cos x x =，则sin cos x x 的值是( )·A. 16B. 15C. 310D. 294．设向量a ，b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +=（ ） A ．2 B ．23 C ．4D ．435.函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．6.已知函数且恒过定点P ，则点P 的坐标为 A ．B ．C ．D ．7.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM ·EC 的取值范围是( )A.[12，2]B.[0，32]C.[12，32] D.[0,1]8.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若，则λ+u=（ ） A ．B ．C ．D ．19.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A ． B ． C ．D ．10.已知函数53()4321f x x x x =+++，则212(log 3)(log 3)f f +=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 11.将函数y=sin （x+）cos （x+）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（ ） A ．B ．﹣C ．D ．12.已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x ，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量，的夹角为，且|=1，，|= ．14.已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________．15.已知定义在R +上的函数f （x ）=，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围为 16.关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x －π6 )； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6 对称. 其中正确的是 .三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.设全集是实数集R ，集合{}R x x A x ∈≤≤=，6442 ，集合 {}R x a x x B ∈<+=,02，(1) 当 4-=a 时 ，求 B A ； (2) 若B B A C R = )(，求实数a 的取值范围.18.已知函数()x x x x x f 2cos 21cos sin 32sin 2-+=，R x ∈。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。