上海市金山区2020学年高二数学上学期期中考试试题(无答案)沪教版
金山区2020学年第一学期期中考试
高二数学试卷
（时间90分钟，满分100分）
一、填空题（每题3分，共36分） 1、线性方程组366
437
x y x y +=-⎧⎨
-=⎩的增广矩阵是__________________
2、行列式
1357
的值是_________
3、已知向量34a i j =+r r r ，34b i j =-+r r r （其中i r 、j r
分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单
位向量），则向量a r 与b r 的数量积a b ⋅=r r
__________
4、计算：11
1lim 242n n →∞⎛⎫+++=
⎪⎝
⎭L
__________
5、行列式3
12
5
273
4
2
D -=-中，元素1的代数余子式是__________
6、若向量a r 与b r 的夹角为150°，||a =r ，||4b =r
，|2|a b +=r r
_________
7、在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(3,4)(1,3)-，则△ABC 的面积S =__________
8、图中程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，请写出（1）__________
9、数列的前n 项和2
21n S n n =++，那么它的通项公式_______________
10、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项之和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +等差数列，则公比q =__________
11、已知G 点是△ABC 的重心，过G 点作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，设
AM xAB =u u u u r u u u r ，AN y AC =u u u r u u u r ，则11
x y
+=__________
12、定义一种运算“&”：“规定1&12=，同时规定：若&m n k =，则&(1)2m n k +=+”，试计算：1&2005=__________ 二、选择题（每题3分，共12分）
13、给出下面的算法：（1）1a ←；（2）3b ←；（3）a a b ←+；（4）b a b ←-；（5）print (,)a b ，它的结果是（ ）
（A ）(1,3) （B ）(4,2)- （C ）(4,1) （D ）(1,1) 14、算法的三种基本结构是（ ）
（A ）顺序结构、模块结构、条件结构 （B ）顺序结构、循环结构、模块结构 （C ）顺序结构、条件结构、循环结构 （D ）模块结构、条件结构、循环结构
15、已知a r 、b r 是两个非零向量，若函数()()()f x ax b a bx =+⋅-r r r r
的图像是一条直线，则
必有（ ）
（A ）a b ⊥r r （B ）//a b r r （C ）||||a b =r r （D ）||||a b ≠r r
16、已知数列2111
123n a n
=+
+++L ，则1k k a a +-共有（ ） （A ）1项 （B ）k 项 （C ）2k 项 （D ）21k +项 三、解答题（共6题，满分52分）
17、（本题满分6分）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且166n a a +=，
21128n a a -=，前n 项和126n S =，求公比q 和n 的值.
c b
a B A
18、（本题满分6分）已知向量(3,1)OA =-u u u r ，(1,3)OB =u u u r
，在直线4y x =+上是否存在
点P ，使得0PA PB ⋅=u u u r u u u r
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
19、（本题满分8分）解方程组：1
323
mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.
20、（本题满分8分）在△ABC 中，已知AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，利用向量方法证明：2
2
2
2cos b a c ac B =+-.
21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知数列{}n a 的前n 项和2
21
n n n S k +=
-（n ∈N *，k 是与n 无关的正整数）.
（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 是等差数列；
（2）设数列{}n a 满足不等式：12212|1||1||1||1|6k k a a a a --+-+-+-≤L ，求所有这样的k 的值.
22、（本题满分14分，第1小题2分，第2小题3分，第3小题9分）在等差数列{}n a 中，
19a =，公差2d =，等比数列{}n b 中，123729b b b =，公比3q =.
（1）写出数列{}n a 的通项公式； （2）写出数列{}n b 的通项公式；
（3）设数列9n n n c a b =+，是否存在不小于2的自然数m ，使得对于任意自然数n ，n c 都能被m 整除？如果存在，求出最大的m 的值；如果不存在，说明理由.。
上海市金山区2020学年高二数学上学期期中考试试题（无答案）沪教版
上海市金山区2020学年高二数学上学期期中考试试题（无答案）沪教版金山区2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（时间90分钟，满分100分）一、填空题（每题3分，共36分） 1、线性方程组366437x y x y +=-??-=?的增广矩阵是__________________2、行列式1357的值是_________3、已知向量34a i j =+r r r ，34b i j =-+r r r （其中i r 、j r分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量），则向量a r 与b r 的数量积a b ?=r r__________4、计算：111lim 242n n →∞??+++=L__________5、行列式312527342D -=-中，元素1的代数余子式是__________6、若向量a r 与b r 的夹角为150°，||a =r ，||4b =r，|2|a b +=r r_________7、在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(3,4)(1,3)-，则△ABC 的面积S =__________8、图中程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，请写出（1）__________9、数列的前n 项和221n S n n =++，那么它的通项公式_______________10、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项之和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +等差数列，则公比q =__________11、已知G 点是△ABC 的重心，过G 点作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，设AM xAB =u u u u r u u u r ，AN y AC =u u u r u u u r ，则11 x y+=__________12、定义一种运算“&”：“规定1&12=，同时规定：若&m n k =，则&(1)2m n k +=+”，试计算：1&2005=__________ 二、选择题（每题3分，共12分）13、给出下面的算法：（1）1a ←；（2）3b ←；（3）a a b ←+；（4）b a b ←-；（5）print (,)a b ，它的结果是（）（A ）(1,3) （B ）(4,2)- （C ）(4,1) （D ）(1,1) 14、算法的三种基本结构是（）（A ）顺序结构、模块结构、条件结构（B ）顺序结构、循环结构、模块结构（C ）顺序结构、条件结构、循环结构（D ）模块结构、条件结构、循环结构15、已知a r 、b r 是两个非零向量，若函数()()()f x ax b a bx =+?-r r r r的图像是一条直线，则必有（）（A ）a b ⊥r r （B ）//a b r r （C ）||||a b =r r （D ）||||a b ≠r r16、已知数列2111123n a n=++++L ，则1k k a a +-共有（）（A ）1项（B ）k 项（C ）2k 项（D ）21k +项三、解答题（共6题，满分52分）17、（本题满分6分）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和126n S =，求公比q 和n 的值.c ba B A18、（本题满分6分）已知向量(3,1)OA =-u u u r ，(1,3)OB =u u u r，在直线4y x =+上是否存在点P ，使得0PA PB ?=u u u r u u u r若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19、（本题满分8分）解方程组：1323mx y mx my m +=-??-=+?.20、（本题满分8分）在△ABC 中，已知AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，利用向量方法证明：2222cos b a c ac B =+-.21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知数列{}n a 的前n 项和221n n n S k +=-（n ∈N *，k 是与n 无关的正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n a 满足不等式：12212|1||1||1||1|6k k a a a a --+-+-+-≤L ，求所有这样的k 的值.22、（本题满分14分，第1小题2分，第2小题3分，第3小题9分）在等差数列{}n a 中，19a =，公差2d =，等比数列{}n b 中，123729b b b =，公比3q =.（1）写出数列{}n a 的通项公式；（2）写出数列{}n b 的通项公式；（3）设数列9n n n c a b =+，是否存在不小于2的自然数m ，使得对于任意自然数n ，n c 都能被m 整除？如果存在，求出最大的m 的值；如果不存在，说明理由.。
专题06-2024-2025上海沪教版(2020版)高二数学上册 期中填选压轴题(七大题型)(原卷版
专题06期中填选压轴题（七大题型）10-11章+空间向量体积、截面面积问题1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S ，若125π8S =，则2S =．2．（22-23高二上·上海徐汇·期中）给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个1234A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（1i =，2，3，4），则该正四面体1234A A A A 的体积为．3．（22-23高二上·上海静安·期中）我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面ABCD 是个正方形，曲线AOC 和BOD 均是以2为半径的半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体积V 就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2）），从而求得V =.围成区域面积、体积问题4．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知ABC V 是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M ，设P 为ABC V 内部（含边界）一动点，PM 的最小值为点M 到ABC V 的距离.则空间中到ABC V 的距离不大于1的点形成的几何体的体积为.5．（23-24高二上·上海金山·期中）已知正四面体ABCD 的棱长为6，设集合{}ΩP AP P BCD =≤∈点平面，则Ω表示的区域的面积为．6．（21-22高二上·上海浦东新·期中）如图，曲线1C 是一个圆心位于()1,0,半径为1得四分之一圆弧，2C 是直线:L y x =上的线段，两者交于()1,1，1C ，2C 与x 轴共同构造一个封闭区域G ，将G 绕y 轴旋转一周得到几何体Ω，现已知：过点()0,y 作Ω的水平截面，所得的截面积S 与y 之间的函数关系式为())22π2π01S y y y =-+≤≤，利用()S y 的表达式与祖暅原理，考虑一个长方体，一个四棱锥和一个平放的半圆柱，计算几何体Ω的体积为.7．（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知13,4,AB AA E ==是棱1AA 的中点，O 是对角线1AC 的中点，设P 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的面上的动点，且//PE 平面OBC ，则动点P 围成的图形的周长为．8．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数()()πsin 0,0π2f x x λϕλϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图像如图1所示，A ，B 分别为图像的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于A '，点C 为该部分图像与x 轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时AB S 是A BC ' 及其内部的点构成的集合，设集合{}2T Q S AQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为个数、条数等问题9．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在空间中，O 是一个定点，,,OA OB OC 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量OP 满足OA OP OA ⋅= ，2OB OP OB ⋅= ，3OC OP OC ⋅= ，则满足题意的点P 的个数为.10．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线a b ､所成的角为80,P 为空间一定点，则过点P 且与a b ､所成的角都是40 的直线有且仅有条.最值、取值范围问题11．（22-23高二上·上海松江·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AC 的中点,F G ､分别为线段1AC 和1B C 上的动点,点P 为底面1111D C B A 上的动点,则E 到1B C 的距离为，FG FP +的最小值为.12．（23-24高三上·上海·期中）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为60︒．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（）A ．B ．8C ．9D ．13．（22-23高三上·上海浦东新·期中）如图，三棱锥A BCD -的顶点A 在平面α上，侧棱AB ⊥平面α，底面BCD 是以B 为直角的等腰直角三角形，且平面BCD 与平面α平行．1AB BC ==，E 是CD 中点，M 是线段AE 上的动点，过点M 作平面ACD 的垂线交平面α于点N ，则点N 到点C 的距离的取值范围为．14．（21-22高二上·上海松江·期中）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S 的取值范围是15．（23-24高三下·上海·期中）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），且1//B F 平面1A BE ，则当三棱锥11B D DF -体积取最大时，其外接球的表面积为.16．（23-24高二下·上海·期中）已知直棱柱111ABC A B C -的高为6(0)a a >，底面三角形的三边长分别为345、、．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱111ABC A B C -的表面积小，那么正数a 的取值范围是.17．（22-23高二上·上海黄浦·期中）如图，矩形ABCD 中，2,5,AB BC E F ==､分别为边BC AD ､上的定点，且45,30BAE DCF ∠∠== ，分别将ABE CDF ､沿着AE CF ､向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E ' 与CD F ' 处，且满足B D AB ''⊥，分别将锐二面角B AE D '--与锐二面角D FC B '--记为1θ与2θ，则212cos cos θθ+的最小值为.轨迹问题18．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动，直线AP 与直线1CB 所成角的大小不变；②点P 在直线1BC 上运动，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变；③点P 在直线1BC 上运动，二面角1P AD C --的大小不变；④点P 是平面ABCD 上到点D 和1C 距离相等的动点，则P 的轨迹是过点B 的一条直线.其中真命题是（请在横线上填上正确命题的序号）19．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为正方形底面ABCD 内的一动点，则以下结论：（1）三棱锥111B A D P -的体积为定值；（2）若点M 为1CC 的中点，满足//MP 平面11AB D 的点P 的轨迹长度为2；（3）若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ；（4）以点B 为半径的球面与面1AB C ．正确的有．（填写所有正确结论的序号）题型06空间向量及应用综合20．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量a ，b ，c ，e 均为单位向量，且a 与b 夹角为π2，a 与c 夹角为π3，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅ 的最大值为.21．（23-24高三下·上海浦东新·期中）正三棱锥S ABC -中，底面边长2AB =，侧棱3AS =，向量a ，b 满足()a a AC a AB ×+=×r r uuu r r uuu r ，()b b AC b AS ×+=×r r uuu r r uur ，则a b - 的最大值为.22．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若正三棱锥A BCD -的底面边长为6，动点P 满足()()DA CB PA PB PC PD +⊥+++ ，则||2||PA PB PA ++ 的最小值为．23．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知OA 、OB 、OC 为空间中三个单位向量，且OA OB ⊥ 、OA OC ⊥ 、OB 与OC 夹角为120 ，点P 为空间一点，满足1OP = 且OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ ，则OP OC⋅ 最大值为．24．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间四个单位向量1234,,,e e e e 满足：1234123421+=+=+++= e e e e e e e e ，则13⋅ e e 的最大值为.题型07空间向量、立体几何选择题综合辨析25．（23-24高二下·上海·期中）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积不是定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 26．（21-22高二下·上海杨浦·期中）为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O 和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A ．CD 与BE 是异面直线B ．异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°C ．由A 、B 、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD ．球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为327．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在矩形ABCD 中，已知2,AB AD E =为边AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折成1A DE △，若M 为线段1AC 的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得AC ⊥平面1A DE ；②无论怎样翻折，点M 总在某个球面上运动．则（）．A ．①和②都正确B ．①和②都错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确28．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上，点Q 线段1AC 上．①二面角1P BC D --的大小为定值；②PQ QC +长度的最小值为43．对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误29．（22-23高二上·上海长宁·期中）已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM②DM与BC不可能垂直，成立的是（）A．①为假命题，②为真命题；B．①为真命题，②为假命题；C．①②均为真命题；D．①②均为假命题。
2019-2020学年上海市金山中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】 如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.2．二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是( )A ．系数行列式0D ≠B ．比例式1122a b a b ≠ C ．向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D ．直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行【答案】D【解析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A B C ，，为充要条件，直线分共面和异面两种情况． 【详解】解：当两直线共面时，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解 当两直线异面，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩无解， 故直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解的必要非充分条件． 故选：D ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题． 3．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0a b ab+=成立的是（ ）A ．2a b =-B ．2a b =C ．//a b r rD ．a b ⊥【答案】A【解析】根据题意得知与a 同向的单位向量和与b 同向的单位向量是相反向量，由此可得出a 、b 方向相反，由此可得出正确选项. 【详解】 由题意知，a a是与a 同向的单位向量，b b是与b 同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，a 、b 方向相反. 因此，使得0a b ab+=成立的条件为2a b =-.故选：A. 【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.4．到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．四条直线C ．四条射线D ．八条射线【答案】D【解析】设所求动点的坐标为(),x y ，可得出动点的轨迹方程为2x y -=，可得出2x y -=、2x y -=-，分析出方程2x y -=所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数. 【详解】设所求动点的坐标为(),x y ，可得出动点的轨迹方程为2x y -=， 所以，2x y -=或2x y -=-，下面来考查2x y -=所代表的射线条数. ①当0x >，0y ≥时，2x y x y -=-=； ②当0x <，0y ≥时，2x y x y -=--=； ③当0x <，0y ≤时，2x y x y -=-+=； ④当0x >，0y ≤时，2x y x y -=+=.可知方程2x y -=代表四条射线，同理可知方程2x y -=-也代表四条射线. 因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是八条射线. 故选：D. 【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题5．已知全集{}22,4,1U a a =-+，{1,2}A a =+，{7}U C A =，则a =__________. 【答案】3【解析】先根据{7}U C A =和{}22,4,1U a a =-+确定4是A 中元素，7不是A 中元素，由此计算a 的值. 【详解】因为{7}U C A =，{}22,4,1U a a =-+，所以21417a a a +=⎧⎨-+=⎩，解得3a =. 【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素. 6．方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________【答案】125312-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用增广矩阵的概念得到答案. 【详解】25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125312-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：125312-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.7．若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的值等于________． 【答案】6【解析】由题意可知，1B 为三阶行列式中元素1b 的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出1B 的值. 【详解】由题意可知，1B 为三阶行列式111123456a b c 中元素1b 的代数余子式，因此，()1131634646B =-=-⨯-⨯=.故答案为：6. 【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.8．幂函数经过点⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______. 【答案】12y x -=【解析】设幂函数为y x α=，代入点⎛ ⎝⎭，所以1222,α-==所以12α=-，12y x -=，填12y x -=。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
2020-2021学年上海市金山中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知向量，且，则m＝．2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝．3．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为．4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是．7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点．8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为．10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC 的九等分点，则的最大值为．11．在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为．12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为．二、选择题13．行列式中，x的代数余子式的值是（）A．0B．C．D．114．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．15．数列{a n}中a1＝1，＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，则a100＝（）A．B．﹣C．100D．﹣10016．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（）A．B．C．3D．9三、解答题17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．19．已知首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，其中n≥2；①已知，求证：当n≥2时，数列{c n}为等差数列；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；（3）若△AB n﹣1B n的面积为＝a n（n∈N+），求（a1+a2+…+a n）．21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；（3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程．参考答案一、填空题1．已知向量，且，则m＝﹣2．解：根据题意，向量，若，则有1×2＝1×（﹣m），故m＝﹣2，故答案为：﹣2．2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝4．解：若关于x、y的方程组有无穷多组解，则直线mx+2y＝8与直线2x（m﹣3）y＝m重合即解得m＝4故答案为：43．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21＝0．解：∵三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），∴k AB＝＝，∴AB边上的高所在的直线的斜率为k＝﹣，且经过点C（0，3），∴AB边上的高所在的直线方程为：y﹣3＝﹣x，整理得：2x+7y﹣21＝0．故答案为：2x+7y﹣21＝0．4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为．解：∵，∴，∴，又∵，∴＝，∴、夹角的大小为．故答案为：．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为．解：∵，∴bc+a2＝b2+c2，由余弦定理可得cos A＝，∴A＝，故答案为：．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是t＞．解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点（﹣，﹣）．解：∵若b，c，a成等差数列，∴2c＝a+b，∴a+b﹣2c＝0，∴当x＝﹣，y＝﹣时，ax+by+c＝﹣a﹣b+c＝（﹣a﹣b+2c）＝0，∴直线ax+by+c＝0恒过定点（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．解：设x1，x2是两根，x3，x4是两根，∵方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，∴不妨设x1＝1，则x2＝8，x3＝2，x4＝4，∴，，∴，∵，∴．故答案为：．9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．解：∵设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，，∴k＝tanα＝﹣∈（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴a＞3或a＜﹣．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC 的九等分点，则的最大值为40．解：因为M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC的九等分点，所以＝＝（﹣），＝＝（﹣），则＝+＝+（﹣）＝+，＝+＝+（﹣）＝+，因为△ABC为等腰直角三角形，所以•＝0，则＝（+）•（+）＝（||²+||²）＝（9²+9²）＝2i（9﹣i）＝﹣2（i﹣）²+，因为i＝1，2，3， (8)所以当i＝4或5时，取最大值40，故答案为：40．11．在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为200．解：由条件有a1+a2＝2a1+d≤60，a2+a3＝2a1+3d≤100则4a1+2a3＝4a1+2（a1+2d）＝，当且仅当，时等号成立．故答案为：200．12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为．解：由题意，，又，∴，即，可得，设与的夹角为α，得cos．又，，∴＝＝3+3cosα，＝＝2+2cosα，＝＝5+4cosα．∴＝＝＝＝（1﹣）．∵cos，∴cos2θ，∴sin2θ≤，即sin2θ的最大值为．故答案为：．二、选择题13．行列式中，x的代数余子式的值是（）A．0B．C．D．1解：行列式中，x的代数余子式的值：﹣＝﹣（+）＝﹣．故选：C．14．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．解：由l1∥l2得：＝≠，解得：a＝﹣1，∴l1与l2间的距离d＝＝，故选：B．15．数列{a n}中a1＝1，＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，则a100＝（）A．B．﹣C．100D．﹣100解：由＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，得na n+1+（n+1）a n＝0，即na n+1＝﹣（n+1）a n．∵a1＝1≠0，∴．则，，，…，把以上n﹣1个等式累乘得：，∴，则．故选：D．16．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（）A．B．C．3D．9解：因为直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），所以2a+bn+c﹣2＝0，因为Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，所以|PQ|＝3，所以（2﹣5）2+n2＝9，解得n＝0，所以2a+c＝2，又因为a＞0，c＞0，所以＝+＝++1≥2+1＝3，当且仅当a＝，c＝1时，等号成立，所以的最小值为3．故选：C．三、解答题17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．解：（1）＝+k＝（﹣3+k，1﹣2k），2﹣＝（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）＝﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）＝0，解得k＝．（2）k+＝（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）＝0，解得k＝．18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3，又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在的直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），化为一般式可得3x+y+2＝0；（2）∵直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1＝0，∴原点与（a，b）的距离为＝＝，由二次函数的知识可得当a＝﹣时，原点与（a，b）距离取最小值为．19．已知首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，其中n≥2；①已知，求证：当n≥2时，数列{c n}为等差数列；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：（1）首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且，可得（﹣+﹣）＝﹣＝＝，解得a1＝1或﹣3（舍去），所以a n＝1+n﹣1＝n；（2）①证明：由题意可得b1＝﹣1，b2＝λ，b3＝﹣b2﹣＝﹣，b n+1＝b n+，即为nb n+1+（n﹣1）b n＝（﹣1）n﹣1，C n+1﹣∁n＝﹣＝＝﹣＝1，所以当n≥2时，数列{c n}是公差为1的等差数列；②假设存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列．由b1＝﹣1，b2＝λ，可得公比q＝﹣λ，又b3＝﹣λ2＝﹣，解得λ＝1或﹣，当λ＝1时，q＝﹣1，（n﹣1）b n＝（﹣1）n（λ+n﹣2），即为（n﹣1）b n＝（﹣1）n（n﹣1），化为b n＝（﹣1）n，成立；当λ＝﹣时，可得（n﹣1）b n＝（﹣1）n（n﹣），即b n＝，不成立．所以存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，且λ的值为1．20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；（3）若△AB n﹣1B n的面积为＝a n（n∈N+），求（a1+a2+…+a n）．解：（1）由题意可得＝﹣＝（﹣1，2），∵•＝﹣1×2+2×1＝0，∴⊥，∴△AB0B1是直角三角形．（2））∵||＝||（n∈N+），∴数列{||}成等比数列，公比为，∴＝．||＝＝3＝．∴数列{||}（n∈N+）的通项公式为||＝；（3）△AB n﹣1B n的面积为＝a n＝＝＝，∴数列{a n}是等比数列，公比q＝，首项．＝．21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；（3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程．解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C（，）；所以﹣2×＝0，且＝，分别化为：a＝5b，a+2b﹣3ab＝0．解得a＝，b＝；所以直线AB的方程为：y﹣0＝（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7＝0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a＝b＝1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB＝×|OP|×|AB|＝×1×3＝．a，b≠1时，S△OAB＝×|OP|×（a+2b）＝（a+2b），又＝，化为a+2b＝3ab，所以a+2b＝3ab＝•a•2b≤•，解得a+2b≥．所以S△OAB≥×＝，当且仅当a＝2b＝时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y＝（x﹣1），化为4x﹣y﹣4＝0．（3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1（m≠1，﹣）．联立，解得A（，），可得|PA|＝＝．联立，解得B（，），可得|PB|＝＝．所以|PA|•|PB|＝＝＝，设f（m）＝，则m＝﹣3时，f（﹣3）＝1；令m+3＝k≠0，则f（m）＝g（k）＝＝，k＜0时，g（k）＝≥＝．k＞0时，g（k）＝≥＝，而＜，所以g（k）的最小值为：．当且仅当k＝﹣时取等号．所以m＝﹣﹣3，此时直线AB的方程为（﹣﹣3）y＝x﹣1，即x+（3+）y ﹣1＝0．。
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知向量a (1,3),b (m,1)==-，若a b ⊥，则m =______.2．若直线l 经过点P （1，2），方向向量为()3,4d =-，则直线l 的点方向式方程是______.3．已知方程22132x y k k+=+-表示椭圆，则的取值范围为___________ 4．若直线l 过点A （2，3）且点B （3-，2）到直线l 的距离最大，则l 的方程为______. 5．直线l 过点P （2，3）与以A （3，2），B （1-，3-）为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是______.6．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围是___________7．ABC 中，若90C ∠=︒，2AC BC ==，则AB BC ⋅=________.8．设,x y 满足约束条件：,0{13x y x y x y ≥-≥-+≤，则2z x y =-的取值范围为__________．9．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =__________.10．过点0)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是_________．11．已知椭圆2212516x y +=内有两点A （1，3），B （3，0），P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为______.12．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a b 、满足AB 2a,AC 2a b ==+，则下列结论中正确的是______.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④//BC b ；⑤(4)a b BC +⊥. 13．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图象相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为___________.14．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n (n 1,2,3)Ω=，当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M =→+∞_____.二、单选题15．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．a b a b ⋅≤B ．||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=-16．直线1l ；20x ay ++=和直线2l ：()2360ax y a ++=﹣，则“3a =”是“12l l ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 17．若点(),a b 是圆222x y r +=外一点，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且不过圆心D ．相交且过圆心18．已知O 是平面上的一定点，、、A B C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP OA =λ⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB AC AC C AB B ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心三、解答题 19．已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程；（2）AB 边所在的直线方程．20．已知直线l 过点()0-1，且被两条平行直线1:260l x y +-=和2:4250l x y +-=截得的线段长为72，求直线l 的方程. 21．若a 、b 是两个不共线的非零向量，（1）若a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，1(b)3a tb a +、、三个向量的终点A ，B ，C 在一直线上？（2）若||||a b =，且a 与b 夹角为60°，则实数t 为何值时，||a tb -的值最小？ 22．已知点A （0，2），B （4，4），12OM t OA t AB =+；（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 取值范围；（2）若14t cos θ=，2t sin θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若21t a =，求当OM AB ⊥，且△ABM 的面积为12时，a 和2t 的值. 23．已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B ，且2AB =，ABF 为等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ；过点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若1HM HN 2⋅=-，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆224O x y +=：相交于P Q 、两点，直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR 面积取最大值时，直线1l 的方程.参考答案1．3【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可.【详解】向量(1,3),(,1)a b m ==-，若a b ⊥，则1310m ⋅-⨯=解得3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了向量垂直的计算，属于简单题.2．1234x y --=- 【分析】利用直线的点斜式方程求解再转化为点方向式直线方程得到答案.【详解】∵直线l 经过点P （1，2），方向向量为34d =-（，）， ∴直线l 的方程为：42(1)3y x -=--，转化为点方向式方程，得：1234x y --=-. 故答案为：1234x y --=-. 【点睛】本题考查了直线的点方向式方程，意在考查学生的计算能力.3．11(3,)(,2)22--⋃-【详解】 试题分析：方程22132x y k k +=+-表示椭圆，需要满足30{2032k k k k +>->+≠-，解得的取值范围为11(3,)(,2)22--⋃-. 考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.点评：解决本小题时，不要忘记32k k +≠-，否则就表示圆了.4．5130x y +-=【分析】直线l 过点A （2，3）且点B （3-，2）到直线l 的距离最大，可得l AB ⊥时满足条件.利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【详解】AB=2-31k =-3-25.∵直线l 过点A （2，3）且点B （-3，2）到直线l 的距离最大， ∴l AB ⊥时满足条件∴5l k =-.∴直线l 的方程为：352y x =-﹣（-），化为：5130x y +-=.故答案为：5130x y +-=.【点睛】本题考查了直线方程，确定垂直时距离最大是解题的关键.5．3arctan 2,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出.【详解】设直线l 倾斜角为[0θθπ∈，，）.PA 32k 123-==--，PB 33k 212--==--. ∵直线l 过点P （2，3）与以A （3，2），B （1-，3-）为端点的线段AB 有公共点，tan 2θ∴或tan 1θ≤-.则直线l 倾斜角的取值范围是3arctan 2,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3arctan 2,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了倾斜角的取值范围，确定端点斜率是解题的关键.6．{|5}m m ≠【分析】根据已知条件可知, 向量,a b 不共线,从而m 应满足1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,解之可得m 的取值范围.【详解】因为平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+,所以根据平面向量基本定理可知,向量,a b 不共线,所以1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,所以5m ≠,所以m 的取值范围是{|5}m m ≠.故答案为: {|5}m m ≠.【点睛】本题考查了平面向量基本定理,向量不共线的坐标表示,属于基础题.7．-4【分析】 先由已知条件求得22BC =，,AB BC 的夹角为135，再结合向量的数量积的运算求解即可.【详解】解：在ABC 中， 90C ∠=︒，2AC BC ==， 则222BC AC BC =+=， 又,ABBC 的夹角为135，所以cos1352(4AB BC AB BC ⋅==⨯=-， 故答案为：4-.【点睛】 本题考查了向量的数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属易错题.8．【解析】 解析：画出不等式1{30,0x y x y x y -≥-+≤>>表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线1122y x z =-分别经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，所以 [3,3]z ∈-，应填答案[3,3]-．点睛：本题在求解时，先画出不等式组1{30,0x y x y x y -≥-+≤>>表示的平面区域，然后巧妙地运用数形结合思想平行移动动直线1122y x z =-，从而将问题进行转化与化归为求目标函数1122y x z =-的最大值和最小值问题．最后结合图形求出目标函数经过点(3,0),(1,2)A B 时z 取最大值和最小值分别为3,3-，进而使得问题获解．求解的过程体现了转化与化归的数学思想、数形结合的数学思想与方法的灵活运用9．{}0,1,2--【解析】【分析】三条直线将平面划分为六部分，则直线0x ky +=过另外两条直线的交点或这条直线与另外两条直线中的一条平行，由此求出k 的值.【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分，如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①0x ky +=过另外两条直线的交点，由210x y -+=和10x -=的交点是()1,1,解得1k =- ；②这条直线与另外两条直线中的一条平行，此时0k =或2- ,综上，k 的取值集合是{}0,1,2--，故答案为{}0,1,2--.【点睛】本题考查了直线方程与直线的位置关系应用问题,意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.10．110≤≤-y【解析】试题分析：在Rt ONM 中，sin ONONM OM ∠==，又6OMN π∠≥，1sin 12ONM ∴≤∠<，即112≤<，解得110≤≤-y ． 考点：直线与圆相切关系的应用．11．15【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，）.因此连接''PB AB 、，根据椭圆的定义得2'10'PA PB PA a PB PA PB +=+-=+-（）（）.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P 在'AB 延长线上时，PA PB +=10'15AB +=达到最大值，从而得到本题答案.【详解】 ∵椭圆方程为2212516x y +=，∴焦点坐标为B （3，0）和'30B -（，） 连接''PB AB 、，根据椭圆的定义，得'210PB PB a +==，可得10'PB PB =- 因此10'10'PA PB PA PB PA PB +=+-=+-（）（）''PA PB AB -≤||||101010515PA PB AB '∴++=+=+=当且仅当点P 在'AB 延长线上时，等号成立综上所述，可得PA PB +的最大值为15故答案为：15【点睛】 本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到10'PA PB PA PB +=+-（）是解题的关键.12．①④⑤【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择得到答案.【详解】△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a b 、满足AB 2a,AC 2a b ==+， 则1=AB 2a ，2AB =，所以||1a =，即a 是单位向量；①正确； 因为AC AB BC 2ab =+=+，所以BCb ，故||2b =；故②错误；④正确；a b ，夹角为120°，故③错误； ⑤2(4)4412cos1204440a b BC a b b ︒+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=-+=；故⑤正确. 故答案为：①④⑤.【点睛】本题考查了向量相关命题的判断，意在考查学生对于向量知识的综合应用.13．22(1)(1)1x y -+-=【分析】分析函数()f x 的性质得出其图象的对称中心是()1,1Q ，而()1g x mx m =+-的图象是一条直线，它也过()1,1Q ，从而知,A B 关于Q 对称，再由向量的加法运算知2PA PB PQ +=，因此有1PQ =，从而知P 点的轨迹是圆，由此易得其轨迹方程． 【详解】21()111x f x x x -==---，∴函数()f x 的图象关于点()1,1Q 对称， 函数()1(1)1g x mx m m x =+-=-+，它的图象是直线，且此直线过定点()1,1Q ， ∴Q 是AB 的中点，∴2PA PB PQ +=，即22PA PB PQ +==，1PQ =， ∴P 点轨迹是以Q 为圆心，1为半径的圆，其方程为22(1)(1)1x y -+-=． 故答案为：22(1)(1)1x y -+-= 【点睛】本题考查求动点轨迹方程，解题关键有三个：一是确定函数()f x 的图象关于点()1,1Q 对称，二是确定函数()g x 的图象是过定点()1,1Q 的直线，三是由向量的加法法则得2PA PB PQ +=，从而得结论1PQ =，得出P 点的轨迹是圆．14．【分析】将椭圆的标准方程转化成参数方程，)x y θϕ+=+，根据正弦函数的性质可知max ()x y +=.，计算极限得到答案. 【详解】把椭圆221441x nyn +=+得，椭圆的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2cos )x y θθθφ∴+=+=+， 由正弦函数的性质可知：当sin()1θϕ+=时，x y +取最大值，max ()x y ∴+==lim lim n n n M →∞→∞∴==故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，数列极限，意在考查学生的综合应用能力. 15．B 【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=〈〉≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；()()22a ba b ab +-=-，所以选项D 正确．故选B ．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积． 16．C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可. 【详解】若3a =，则两直线方程分别为320x y ++=和3180x y ++=，满足两直线平行，即充分性成立， 若12l l ，当0a =时，两直线分别为20x +=和230x y -+=，此时两直线不平行，不满足条件. 当0a ≠时，若两直线平行则23612a aa -=≠， 由231a a-=得223a a -=，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当1a =-时，23612a aa -==，不满足条件.则1a ≠-，即3a =， 故“3a =”是“12l l //”的充要条件， 故选：C 【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力. 17．C 【分析】由已知条件推导出222a b r +>，从而圆心()0,0到直线2ax by r +=的距离()20,d r =，由此能判断出直线2ax by r +=与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得222a b r +>， 从而圆心()0,0到直线的距离为()20,d r =，∴选C ． 【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目. 18．C 【分析】根据λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB AC AP AC C AB B 得，λ⎛⎫⎪=+⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB AC AP AC C AB B 由0BC AP ⋅=即可求解. 【详解】解：λ⎛⎫ ⎪-=+ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB AC OP OA AC C AB B ， λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB ACAP AC C AB B ()cos cos cos cos cos cos BC AB B BC AC C BC AB BC ACBC AP AB B AC C AB B AC C πλλ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅ ⎪ ⎪⋅=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0BC AP BC BCλ⋅=-+=所以⊥BC AP ，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心， 故选：C 【点睛】考查用向量的数量积证明向量垂直，进一步证明直线垂直，基础题. 19．（1）2x+y －5=0;（2）20x y -+=． 【解析】试题分析：（1）根据AC 边的高所在的直线方程，设出AC 所在的直线方程，再代入点A 的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B 的坐标，再根据点B 在AC 的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB 的斜率，又由点A 的坐标，即可表示出直线的方程． 试题解析：（1）由题意，直线210x y -+=的一个法向量(1,2)-是AC 边所在直线的一个方向向量∴AC 边所在直线方程为2x+y －5=0．（2）y=1是AB 中线所在直线方程∴设AB 中点P (,1)p x ，则B (21,1)p x --满足方程210x y -+= ∴(21)2(1)10p x --⨯-+=，得1p x =-，∴P （－1,1）则AB 边所在直线方程为20x y -+=． 考点：直线方程的求法．【方法点睛】在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 20．3440x y ++=或0x = 【分析】利用点到直线的距离公式可得1l 与2l 之间的距离d ，设直线l 与两平行直线的夹角为α，则sin 72dα=.对直线l 的斜率分类讨论即可得出. 【详解】1l 与2l之间的距离d ==设直线l 与两平行直线的夹角为α，则sin 722d α===cos α∴=①当直线l 斜率存在时，设1l y kx +=：，即10l kx y --=：，则：3cos 4k α===-.即直线l 的方程为：3440x y ++=.②当直线l 斜率不存在时，0l x =：，cos α=符合. 所以直线l 的方程为：3440x y ++=或0x =. 【点睛】本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误. 21．（1）12t = （2）12t = 【分析】（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得AB AC λ=，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以把||a tb -的平方表示成关于实数t 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值. 【详解】（1）12AB ,AC 33tb a b a =-=-，AB //AC ，即AB AC λ=1233b a b a λ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，可得113t 2213t λλ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-=-⎪⎩；故存在12t =时，A 、B 、C 三点共线； （2）设||||a b k ==()2222222213||||||2||||cos60124a tb a t b t a b k t t k t ︒⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，12t ∴=时，||a tb -的值最小. 【点睛】本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力.22．（1）20t ＜，且21t ≠-； （2）[88]-，（3）2a =±，21t =-. 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质求出OM 在AB 方向上投影的取值范围； （3）根据OM AB ⊥，其数量积为0，结合ABM 的面积列出方程组，求出a 和2t 的值. 【详解】（1）点A （0，2），B （4，4），()12212OM t OA t AB 4t ,2t 4t =+=+；若点M 在第二或第三象限，且12t =，则22402240t t <⎧⎨⨯+≠⎩，解得20t <，且21t ≠-；（2）()212AB (4, 4), OM 4t ,2t 4t ==+， ∴OM 在AB 方向上投影为OM AB OM cos OM,AB |AB |⋅⋅<>==2=cos )θθ=+8sin 4πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； ∴OM 在AB 方向上投影的范围为[88]-，；（3）()212OM 4t ,2t 4t =+，21OM AB 32t 8t 0⋅=+=，且21t a =，2214t a ∴=-，()22,OM a a =-；∴点M 到直线20AB x y -+=：的距离为：21d ==-；211||11222ABCSAB d =⋅=⨯-=，解得2a =±，21t =-. 【点睛】本题考查了向量相关的计算，意在考查学生的计算能力.23．（1）2214x y += （2）2215350x y ⎛⎛+= ⎝⎝ （3）1y x =-.（也可写成220y ++=.） 【分析】（1）由椭圆左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B ，且2AB =，ABF 为等边三角形，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程.（2）设00M x y （，），则由条件，知00x >，00y >，且00N x y --（，），00Hx （，）.推导出,N ,22M ⎛- ⎭⎝⎭，进而求得直线NH的方程：40x y -=.由224014x y xy ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩求得J .再求出线段HJ 的中点坐标，由此能求出以线段NJ 为直径的圆的方程.（3）当直线1l 的斜率为0时，PQRS=.当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为10y kx k =-≠（），利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果. 【详解】（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B且2AB =，ABF 为等边三角形.∴由题意，得：22222b c b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设00M x y （，），则由条件，知00x >，00y >，且00N x y --（，），00Hx （，）. 从而()()0000,y ,x ,y HM HN ==--.于是由()()2000010,y x ,y y 2HM HN ⋅=⋅--=-=-及00y >，得02y =. 再由点M 在椭圆C 上，得220014x y +=，求得0x =所以,N ,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 进而求得直线NH的方程：40x y --=.由224014x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩求得J .进||NJ == 线段NJ的中点坐标为. ∴以线段NJ为直径的圆的方程为：2215350x y ⎛⎛++=⎝⎝.（3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意， 当直线1l 的斜率为0时，由题意得PQRS=当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为10y kx k =-≠（），则点O 到直线1l的距离为d ，从而由几何意义，得|PQ |==，由于21l l ⊥，故直线2l 的方程为11y x k=-，由题意得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，于是2|AR |k 4==+.故21||||24PQRSPQ AR k =⋅=+令u =232321613131313PQR u S u u u∆==++，当且仅当u =>即k =±.>，故当k =()maxPQR S =此时直线1l 的方程为：12y x =±-.（也可写成220y ++=.） 【点睛】本题考查了椭圆标准方程，圆的标准方程，面积的最值问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.。
上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析
上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1.函数y=sinx 的定义域为[a,b ]，值域为[−1,12]，则b −a 的最大值是（ ）. A. π B. 2π C. 4π3 D. 5π32.二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2存在唯一解的必要非充分条件是()A. 系数行列式D≠0B. 比例式a1a 2≠b1b 2C. 向量(a 1a 2),(b1b 2)不平行D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行 3.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0a b ab+=成立的是（ ）A.2a b =-B.2a b =C.//a bD.a b ⊥4.到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（ ） A.两条直线B.四条直线C.四条射线D.八条射线第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知全集}2,4,1U a a =-+，{1,2}A a =+，{7}U C A =，则a =__________.6.方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________7.若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的值等于________．8.幂函数经过点⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______.9.若直线l 过点()1,2A ，且法向量为()1,3-，则直线l 的点方向式方程为________．10.222214732lim n n n n n n →∞-⎛⎫+++⋯+=⎪⎝⎭______ 11.设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则当0x <时，()f x =____ 12.若()3,1a =，()sin ,cos b m αα=-，R α∈，且//a b ，则m 的最小值为________．13.过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线1l ， 2l ，当直线1l ， 2l 关于y x =对称时，它们之间的夹角为__________．14.已知1x 、2x 是关于x 的方程()2210x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点()211,A x x 、()222,B x x 的直线与圆()2221x y -+=公共点的个数是________．15.设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________． (1)不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； (2)若1δ=，则过M ，N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交．16.如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约________秒（精确到0.1）．三、解答题（题型注释）17.在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程；（2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．18.已知两点()1,0A -、()10B ,，点(),P x y 是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐倍后得到点()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=． （1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）过点B 作斜率为2-的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且满足0OM ON OH ++=，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，求点H 、G 的坐标．19.有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，现P 地的居民从A 、B 两地之一购得商品后回运的运费是：A 地每公里的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．（1）求P 地的居民选择A 地或B 地购物总费用相等时，点P 所在曲线的形状； （2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 20.如图，由半圆()22200，+=≤>x y ry r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有A B 、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期学业水平数学试题
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期学业水平数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．用数学归纳法证明(1)(2)2342n n n -++++⋯+=时，第一步取n =________. 2．函数arcsin(1)y x =-的定义域是________.3．函数()213f x sin x =-的最小正周期为___________. 4．若角α的终边落在正比例函数3y x =的图象上，那么tan α=________.5．已知32,20143223,201523n nn n n n n n nn a n ⎧-≤⎪⎪+=⎨-⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞=________. 6．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为3{5x y ==，则12c c -= ． 7．已知1sin cos 5αα+=，α是第二象限角，那么tan α=________. 8．若lim 221n n r r →∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则实数r 的取值范围是________. 9．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.10．将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与sin y x =的图象相同，则()y f x =的解析式是________.11．若3sin θ5m m ，42cos θ5m m ，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数m =_________. 12．已知函数()sin f x x =.若存在1x ，2x ，…，m x 满足1206m x x x π≤<<<≤…，且()()12||f x f x -+()()()()()*231||||120,m m f x f x f x f x m m --++-=≥∈N …，则m 的最小值为________. 二、单选题13．ABC ∆中，若cos cos a b B A =，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 14．若数列{a n }是首项为1，公比为a -32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．54 15．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9三、解答题17．已知函数2232cos sin 2y x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，当x 取何值时，y 取得最大值和函数的对称中心？18．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 19．已知等差数列前3项为a ，4，3a ，前k 项和为2550k S =（1）求a 及k 的值；（2）求12111lim n n S S S →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭… 20．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.21．已知函数3()23x f x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1n n a f a +=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=++++++…，求n T 的值.参考答案1．2【解析】【分析】根据数学归纳法步骤，即可求解.【详解】 利用数学归纳法证明(1)(2)2342n n n -++++⋯+=时， 第一步取n 2=，左边2=，右边(21)(22)22-⨯+==， 因此左边=右边.故答案为：2.【点睛】本题考查了数学归纳法证明的步骤，考查了推理能力，属于基础题.2．[0,2]【分析】根据反正弦函数定义域要求，即可求解.【详解】由函数arcsin(1)y x =-，可得111x -≤-≤，求得02x ≤≤，故函数的定义域为[0,2].故答案为:[0,2]【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，属于基础题.3．【分析】先由二倍角公式将()f x 化简，再由2T πω=，即可得出结果. 【详解】因为2212sin x cos x =- ，所以()()2313131122222f x sin x co x co x =-=--=-+，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.故答案为π【点睛】本题主要考查函数的周期，二倍角的余弦公式.4．3【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值.【详解】由于角α的终边落在正比例函数3y x =的图象上， 那么tan 3y xα==. 故答案为:3.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.5．-1【分析】 由已知当2015n ≥时，21233lim lim lim 23213nn n n n n n n n n a →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用2lim 03n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】当n →∞时，只需考虑23(2015)23n n n n n a n -=≥+， 则21233lim lim lim 23213nn n n n n n n n n a →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 其中，2lim 03nn →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，21013lim 101213n n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了极限及其运算，对于分段数列，其极限只需考虑n →∞时对应的分段，属于基础题.6．16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 考点：线性方程组的增广矩阵7．43- 【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sin cos αα，判断出sin α与cos α的正负，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sin cos αα-的值，与已知等式联立求出sin α与cos α的值，即可确定出tan α的值.【详解】 解：∵1sin cos 5αα+=①， ∴21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=， 即242sin cos 25αα=-，α是第二象限角， ∴cos 0α<，sin 0α>，即sin cos 0αα->， ∴249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=， 即7sin cos 5αα-=②， ①+②得：4sin 5α，①﹣②得：3cos 5α=-， 则4tan 3α=-， 故答案为：43-. 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题. 8．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】 由lim 221n n r r →∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦得lim 01n n r r →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，再解不等式11r r <+即可. 【详解】 解：因为lim 221n n r r →∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以lim 01nn r r →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，因此，11r r <+， 即221(1)r r <+，解得12r >-. 故答案为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了极限及其运算，以及含绝对值不等式的解法，属于基础题.9．1112【解析】 试题分析：第一次循环1,42s n ==，第二次循环：11,624s n =+=，第三次循环：111,8246s n =++=，结束循环，输出1112s = 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 10．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 【分析】由题意将函数sin y x =的图象，逐步逆推求出函数()y f x =的图象对应的解析式即可.【详解】解：函数sin y x =的图象，将图象上各点的横坐标变为 原来的12倍（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =， 再把它的图象向左平移3π个单位，得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 故答案为：2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查三角函数的图象的平移，伸缩变换，注意函数变换的形式，逐步可逆，属于基础题，. 11．8【分析】 由,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得出sin 0θ>，cos 0θ<，再结合同角三角函数的平方关系可求得实数m 的值.【详解】 ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0θ>，cos 0θ<， 由题意可得223sin 0542cos 05sin cos 1m m m m θθθθ-⎧=>⎪+⎪-⎪=<⎨+⎪+=⎪⎪⎩，即223sin 0542cos 05342155m m m m m m m m θθ⎧-=>⎪+⎪⎪-=<⎨+⎪⎪--⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎩，解得8m =. 故答案为：8.【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系求参数，不要忽略了角的取值范围对三角函数值符号的影响，考查计算能力，属于中等题.12．8【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max ()i j f x f x f x -≤min ()2f x -=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小m 值.【详解】∵sin y x =对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max min ()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，考虑1206m x x x π≤<<<≤…，()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8.故答案为:8.【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x -≤-=是解题的关键，属于难题.13．D【分析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.【详解】 因为cos cos a b B A=， 所以22222222a b a c b b c a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-，所以224224a c a b c b -=-，所以22244()c a b a b -=-，所以22222()()0a b c a b ---=，所以220a b -=或222c a b =+，所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 14．B【解析】 由113112{? {? 23112a a S a q a q a ==-+-⇒⇒=<-<. 15．C【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.16．D【解析】试题分析：由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p ＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得22{4b a ab =-=①或22{4a b ab =-=②． 解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：1{4a b ==． ∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．考点：等比数列的性质；等差数列的性质17．1122x k ππ=-+，k ∈Z ，对称中心坐标为：1,0()122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【分析】 利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，可得2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合正弦函数的图象和性质，可得答案.【详解】2232cos sin 2cos 22sin 226y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当2262x k πππ+=+，k ∈Z ，即6x k ππ=+，k ∈Z 时，y 取得最大值， 由26x k ππ+=，k ∈Z 得：1122x k ππ=-+，k ∈Z ， 故函数图象的对称中心坐标为：1,0()122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【点睛】 本题考查正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式，属于中档题. 18．(Ⅰ)22n a n =+；(Ⅱ)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =. （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==，3716b a ==，所以2q ，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.19．（1）2,50a k == （2）1【分析】（1）根据等差数列定义求得首项及公差，由等差数列的前n 项和公式即可求得k 的值。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知(4,6)A 、(3,1)B --、(5,5)C -三点，则经过点A 且与BC 平行的直线l 的点斜式方程为________2．已知1,2a b ==，且()()2a b a b λλ+⊥-，a 与b 的夹角60︒，则实数λ=____________3．直线320x y ++=与直线10x +=的夹角为______. 4．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．5．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________． 6．关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n =________ 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．在行列式274434651xx --中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是________.9．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.10．已知P 是△ABC 内的一点，且满足350PA PB PC ++=，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________11．若直线y x b=+与曲线3y =b 的取值范围是______．12．已知1a >，1x ≥，1y ≥，且224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，则log ()a xy 的取值范围是_______二、单选题13．已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．(2,3)-B ．(4,7)C ．(3,5)D ．1(,4)214．与直线2x +3y –6=0关于点（1，–1）对称的直线方程是（ ）A ．2x +3y +8=0B ．2x +3y +7=0C ．3x –2y –12=0D ．3x –2y +2=015．设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对 16．关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值的变化而变化三、解答题 17．利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩. 18．设两个向量a b ⋅，满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3π，若向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角，求实数t 的范围．19．已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：（1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；（2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程.20．已知(0,2)A 是定圆22:16C x y +=内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ；（2）过点A 且斜率为34-的直线与曲线E 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度. 21．平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，r (0)r >为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为k (0)k 的动直线交于P 、Q 两点，在x 轴正半轴上有一个定点(,0)R m ，P 、Q 、R 三点构成三角形，求：（1）△PQR 的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）△PQR 的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围.参考答案1．()1642y x -=-- 【分析】首先求得直线BC 的斜率，根据点斜式求得直线l 的方程.【详解】直线BC 的斜率为()15413582BC k ---==-=---，所以直线l 的点斜式方程为()1642y x -=--. 故答案为：()1642y x -=-- 【点睛】本小题主要考查已知直线上两点的坐标求斜率，考查直线的点斜式方程，属于基础题.2．-1±【分析】根据向量垂直得()()20a b a b λλ+⋅-=，结合数量积公式即可求出，【详解】 ()()2a b a b λλ+⊥-，所以()()20a b a b λλ+⋅-=即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴= -1±故答案为：-1±【点睛】本题考查向量的数量积及垂直关系，准确计算是关键，是基础题3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为3-，倾斜角为150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．6【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6．5．22(1)(2)4x y -+-=【分析】利用点到直线距离公式求出半径即可.【详解】因为圆与直线51270x y --=相切，所以圆心 (1,2)到直线51270x y --=的距离等于半径， 即511227213r d ⨯-⨯-===， 所以圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2)4x y -+-=【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.6．35【分析】先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n . 故答案为：35 【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1x =-【分析】根据余子式定义得到()4244x x f x =-⨯+⨯，换元()20xt t =>，得到方程2441t t -=-，计算得到答案.【详解】24()424444xx x x f x =-=-⨯+⨯，则1()y f x =+的零点等于与方程()1f x =-的解. 设()20x t t => 则214412t t t -=-∴= 故1x =- 故答案为1x =-【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键. 9．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10．5:1:3【分析】记ABC ∆的面积为S ，由已知可得123511,,993S S S S S S ===，从而求得123::S S S 的值. 【详解】记ABC ∆的面积为S ，因为350PA PB PC ++=，所以135888PA PB PC -=+，记3588PB PC PD +=，则,,B C D 三点共线，且18PA PD -=，即D 在BC 上，且:5:3BD CD =，:1:9PD AD =，即以BC 为底时，BCP ∆的高是ABC ∆的19，所以219S S =.同理可求得1351,93S S S S ==.所以123::5:1:3S S S =. 故答案为：5:1:3【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查三点共线，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．1⎡⎤-⎣⎦【分析】由曲线x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线y=3+2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．【详解】由曲线得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，即21b d =≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3，把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 1≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，]．故答案为1,1⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．12．[24++ 【分析】首先利用对数运算对已知条件进行化简，换元后转化为直线与圆的位置关系，来求得log ()a xy 的取值范围.【详解】依题意224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，化简得22log 4log log 4log 8a a a a x x y y -+-=，令log ,log a a m x n y ==，则有22448n m n m +--=，以及()log a xy n m =+.因为1a >，1x ≥，1y ≥，所以0,0n m ≥≥，则由22448n m n m +--=得()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥，表示以()2,2为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分（包括与,x y 轴正半轴的交点）.令()()log 0a xy n m z z =+=≥，则0n m z +-=.画出图像如下图所示.当直线0n m z +-=过,A B 两点时，z 取得最小值，当直线0n m z +-=与圆相切时，z 取得最大值.令0n =代入22448n m n m +--=，解得2m =+，所以min 2z =+当直线0n m z +-=与圆()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥相切时，圆心到直线的距离4d ==，解得4z =+max 4z =+.所以z 的取值范围，也即log ()a xy 的取值范围为[24++.故答案为：[24++【点睛】本小题主要考查对数运算，考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 13．B 【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果. 【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B 【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 14．A 【分析】在所求直线上取点（x ，y ），求出其关于点（1，–1）对称的点，代入到原直线方程，得到答案. 【详解】在所求直线上取点（x ，y ），则关于点（1，–1）对称的点的坐标为（2–x ，–2–y ）， 代入直线2x +3y –6=0，可得2（2–x ）+3（–2–y ）–6=0， 整理得2x +3y +8=0． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线关于点对称，属于简单题. 15．A 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．B 【分析】由根与系数的关系得到+a b 和ab ,根据两点的坐标求出直线方程,再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径,可得答案. 【详解】因为关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b , 所以ab ,1tan a b θ+=-,1sin ab θ=-, 因为过点()2,A a a，()2,B b b 的直线方程为222()a b y a x a a b--=--,化简得()0a b x y ab +--=,1==11==,所以过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221xy +=的位置关系是相切.故选B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,由两点坐标求直线方程,点到直线的距离,直线与圆相切,属于中档题.17．当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-. 【分析】先求出系数行列式,,x y D D D ，然后讨论m ，从而确定二元一次不等式组的解的情况. 【详解】 依题意()21333m D m m m m m m==--=-+-，11323x D m m m-==--+-，()212623323y m D m m m m m m -==+=++.（1）当0m ≠且3m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，11x x D D m=⨯=，12y y D D=⨯=-. （2）当0m =时，0,30x D D ==-≠，原方程组无解. （3）当3m =-时，0,0,0x y D D D ===，原方程组有无穷组解.综上所述，当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组的矩阵形式的解法以及应用，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用.18．17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先由已知条件求出向量a b ，的数量积，再由夹角为钝角即数量积小于零，求出t 的范围，再求出共线时t 的值，继而求出结果 【详解】12112a b ⋅=⨯⨯=， 由向量27ta b +与a tb+的夹角为钝角，得()()27027ta b a tb ta b a tb+⋅+<++ ，即()()270ta b a tb +⋅+<，化简即得221570t t ++<，解得172t <<－－ 又当27ta b +与a tb+共线时，满足271t t =，解得t 2=± ∴当t 2=-时两向量反向，不符合题意，故舍去则t 的范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，当遇到夹角为钝角时即转化为数量积小于零，还要注意舍去共线向量的情况19．（1）6min S =，:360l x y +-=；（2）min 4S =+1l =.【分析】（1）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程.（2）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程. 【详解】（1）设直线方程为()10,0x y a ba b +=>>，则131a b +=，所以131a b =+≥=12ab ≥≥，当且仅当131,2,62a b a b ====时等号成立，直线l 与坐标轴围成面积为111126222S ab ab ==≥⨯=，此时直线方程为126x y+=，即360x y +-=.（2）设直线方程为()10,0x ya b a b +=>>，则131a b+=，所以()1334b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭44≥+=+当且仅当3b a a b =，即13a b ==+1=.【点睛】本小题主要考查直线的截距式方程，考查基本不等式求最值，属于中档题.20．（1）22(1)4x y +-=；（2；【分析】（1）设出P 点坐标，利用中点坐标公式求得D 点坐标，将D 坐标代入圆的方程，化简后求得P 点所在的曲线方程. （2）求得过点A 且斜率为34-的直线方程，利用直线和圆相交的弦长公式，求得线段MN 的长度. 【详解】（1）设(),P x y ，由于P 是AD 的中点，所以()2,22D x y -，因为D 在圆2216x y +=上，所以()()2222216x y +-=，化简得22(1)4x y +-=.（2）过点A 且斜率为34-的直线方程为324y x -=-，化简得3480x y +-=，圆22(1)4x y +-=的圆心()0,1到直线3480x y +-=的距离为45，所以线段MN的长度为25=. 【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，属于基础题.21．（1）1S =,10S mr <<；（2）()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=， ()222224m r S mπ+⋅>.【分析】（1）求得R 到直线PQ 的距离，由此求得三角形PQR 的面积1S 的表达式，并由此求得1S 的取值范围.（2）设动直线的倾斜角为α，根据题意得到tan ,sin k αα==设出,P Q 的坐标，利用三角形外接圆半径公式求得三角形PQR 外接圆半径的表达式，由此求得2S ，并求得2S 的取值范围. 【详解】（1）(,0)R m 到直线(0)y kx k =≠，所以三角形PQR的面积为1122S r =⨯=mr =<.所以10S mr <<. （2）设动直线的倾斜角为α，0,,22ππαπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan ,sin k αα==画出图像如下图所示.设()()cos ,sin ,cos ,sin P r r Q r r αααα--，而(,0)R m .所以2PQ r =，PR =，QR =由（1）得1sin S mr α==⋅. 所以三角形PQR 的外接圆半径为14PQ PR QRS ⋅⋅====.所以()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=.由于2111k +>，所以()()22222222222444m r m r m r S m m ππ-++>⋅=⋅，即()222224m r S mπ+⋅>.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查三角形外接圆半径以及外接圆面积的计算，属于难题.。
上海市金山中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学【含解析】
上海市金山中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知全集{}22,4,1U a a =-+，{1,2}A a =+，{7}U C A =，则a =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据{7}U C A =和{}22,4,1U a a =-+确定4是A 中元素，7不是A 中元素，由此计算a 的值. 【详解】因为{7}U C A =，{}22,4,1U a a =-+，所以21417a a a +=⎧⎨-+=⎩，解得3a =. 【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________【答案】125312-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125312-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：125312-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的值等于________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知，1B 为三阶行列式中元素1b 的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出1B 的值.【详解】由题意可知，1B 为三阶行列式111123456a b c 中元素1b 的代数余子式， 因此，()1131634646B =-=-⨯-⨯=.故答案为：6.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点22⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______. 【答案】12y x -= 【解析】设幂函数为y x α=，代入点22,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以12222,2α-==所以12α=-，12y x -=，填12y x -=。