控制工程基础第六章

对数幅频特性为 L ( ) 20 lg 对数相频特性
2
2 1 2 n n 2
2
( ) arctg
n
1 n
2
对数幅频特性：
L( ) 20 lg 1 n
2. 积分环节的频率特性
对数幅频特性：
G j

1 1 j j
L 20 lg
对数相频特性：
( ) 90
由上式可知，每当频 率增加10倍时，对数幅频 特性就下降20dB，故对数 幅频特性是一条在ω=1时 通过0dB，斜率-20dB/dec 的直线，对数相频特性的 相位角与频率ω无关，在 整个频率范围内为一条横 等于 - 90°的一条直线。
此时，对数幅频图的渐近线为一条过点 (1/T,0)、斜率为-20dB/dec的直线，此斜线称 为高频渐近线。
1 上述两条渐近线交点的频率w = w T= ，称为 T 转角频率。
惯性环节的相频特性为
G j arctan T
当 0时，G j 0；
4. 惯性环节的频率特性
传递函数： 频率特性：
1 G ( s) Ts 1
幅频特性： A( )
1 1 T
2 2
G ( j )
1 1 e jarctgT 1 jT 1 2T 2
相频特性：
( ) arctgT
•低频段可近似为0dB的水平线， 称为低频渐近线。 •高频段可近似为斜率为20dB/dec 的直线，称为高频 渐近线。 •低频渐近线和高频渐近线的相 交处的频率点ω＝1/T，称为转 折频率
G s e s
G j e j
L 20 lg G j 0
-
6.4.3、绘制系统Bode图的步骤 1.绘制系统Bode图的基本步骤：
1) 由传递函数G(s)求出频率特性G(jω)，并将G(jω) 化为若干典型环节频率特性相乘的形式； 2) 求出各典型环节的转折频率； 3) 分别画出各典型环节的幅频曲线的渐近线和相频曲 线； 4) 将各环节的对数幅频曲线的渐近线进行叠加（不包 含总增益K），得到系统幅频曲线的渐近线，并且对其进 行修正。 5)将叠加后的曲线垂直移动20lgK,得到系统对数幅频特 性。 6) 将各环节相频曲线叠加，得到系统相频曲线。
2 2 2 i 1 i 1 nk i 1 2 2 k m l l

2 2
2
ni
2 ni 2
20 lg 20 lg T 1 20 lg 1 Tni
2 i 1

2 2
2 T
ni ni
传递函数可化为
对数频率特性
频率特性：
2
0 1
2
j G j 1 2 n n j
对数幅频特性 对数相频特性
L 20 lg G j 20 lg 1 2 2 n n
20 lg 40 lg 40 lg 40 lgn n n
2
渐近线为一条过 n ,0 ，斜率为-40dB/dec的直线。
2
( ) arctg
n
1 n
2
(0) 0
(n ) 90 () 180
这两条线相交处 的交点频率为ωn， 称作转折频率。在 转折频率附近，幅 频特性与渐近线之 间存在一定的误差， 其值取决于阻尼比 ξ的值，阻尼比愈 小，则误差愈大。 当ξ<0.707时，在 对数幅频特性图上 出现峰值。
链接bode
7. 二阶微分环节
传递函数：
G s s 2 2n s n
K j i 1 1 2 ni 2 j 2 ni ni

k
j jT i 1 1 T 2 ni 2

i 1 i 1
nk
l 1
j 2 i T ni s
对数频率特性
L 20 lg G j 20 lg K 20 lg i 1 20 lg 1 ni
传递函数可化为
G s K s 1 2 n s 2 2 n n s 1
i 1 nk l 1 k m l l


s Ts 1 T 2 n s 2 2 T n s 1
i 1 m l i 1 i 1 l

G j
渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间有误差，但用 渐近线作图简单方便，且足以接近其精确曲线，可参 照下图的误差曲线对渐近线进行修正。由图可见，最 大误差发生在转折频率 w = w = 1 处，其误差值为T T 3dB。
5. 一阶微分环节
对数幅频特性为 对数相频特性为
G s 1 Ts
G s 1 jT
惯性环节对数幅频特性为
1 L( w )= 20lg A( w )= 20lg 1+ jTw 1 = 20lg = - 20lg 1+ T 2w 2 1+ T 2w 2
对数相频特性为 G j arctan T 在工程上常采用近似作图法，即用渐近线表示幅频 特性图，其原理如下：
6.4.1 对数坐标图
对数坐标图或称伯德图(Bode图) 其由两张图组成， 一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。 Bode图的横坐标是按频率ω的以10为底的对数分 度，单位是rad/s。但在以lgω分度的横坐标上，只 标注ω的自然数值。
频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性，且幅频特性 渐近线呈线性特性，总频率特性等于各典型环节的 特性叠加。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G(jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
lg

( ) /( )
0 -9 0 -1 8 0 -1 0 .1 0 1 1 1 0 2 1 0 0
lg

Bode图坐标系
6.4.2、典型环节的Bode图 1. 比例环节的频率特性
对数幅频特性 对数相频特性
G(jw )= K

L( ) 20lg K
G ( j ) 0
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
3. 微分环节的频率特性
传递函数： 频率特性：
G( s) s
G ( j ) j e j / 2
对数幅频特性：
L 20 lg
对数相频特性：
( ) 90
注意：微分环节的对数幅频图为一条直线，此直线的斜率为 +20dB/dec，对数相频图为等于+90o的一条直线。
nk k 2 ni ni 2 iTni arctan i arctan 90 - Ti arctan 2 2 2 2 1 1 T i 1 i 1 i 1 i 1 ni ni m l l
1 1 当 T T 或T ，即频率远远小于系统中的最小转角频率时，有 T L 20 lg G j 20 lg K 20 lg
L 20 lg 1 T 2 2
当 T 1 / T时， L 20 lg 1 T 2 2 20 lg 1 0dB 当 T 1 / T时， L 20 lg T dB
arctan T
零分贝线
一阶微分环节的Bode图
2
2 2 n
2
L - 20 lg 1 0 dB 当 n的低频段时，
渐近线为零分贝线
当 n的高频段时，
2 2 L( ) 20 lg 1 2 n n 2
2
2
2
n G j arctan 2 1 n2
2
显然，二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性仅相 差一个符号。因此，二阶微分环节与振荡环节的对数 幅频曲线对称于0dB线，对数相频曲线对称于0°线。
8. 延时环节
对数幅频特性为 对数相频特性为 即对数幅频特性 为0dB线，对数相频特 性随着ω增加而线性 增加，在线性坐标中， ∠G(jω)应是一条直 线，但对数相频特性 是一条曲线。
令T 1 T 当 T 时，则有 L -20 lg 1 T 2 2 20 lg 1 0dB
L -20 lg 1 T 2 2 20 lg 1 0dB
即w = w 时，对数幅频特性在低频段近似为一 T 条0dB线。此0dB线称为低频渐近线。 当w ? w 时，则有 T 2 2 20 lg T dB 当 T 时，则有 L -20 lg 1 T 22 L( w )=-20lg 1+T w » -20lgTw ( dB)
当 1 T 时，G j -45； 当 时，G j -90。
对数相频特性是关于在(1/T,-45°)弯点斜对称的反 正切曲线。ω从0→∞时，∠G(jω)的相角范围为 0°→-90°
由可以看出，惯性环节具有低通滤波器的作用，对 于高频信号，其对数幅值迅速衰减。当改变时间常数 T时，转角频率ωT发生变化，但对数幅频和相频曲线 的形状仍保持不变。
L (w )= 20 lg G (j w ) 单位为分贝，记作dB。
对数相频图的纵坐标也是采用均匀分度，坐标值
取G j 的相位角，记作 G j ，单位为
2 0 1 0 0 -1 0 -Βιβλιοθήκη Baidu 0
L ( ) / d B
-1 0 .1 0 1 1 1 0 2 1 0 0
6.4 频率特性的对数标图 （Bode图）
重点：①基本环节的对数频率特性 ②高阶系统的bode图画法及步骤 难点：高阶系统的bode图画法及步骤
Ø Ø Ø
Ø
1.幅频特性的乘除运算转变为加减运算。 2.对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲 线的渐进线，大大简化了图形的绘制。 3.用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应得 数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估 计被测系统的传递函数。 4.对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。
90
显然，对数幅频低频渐近线是一条过（w=1,20lgk）点，斜率 为-20v的直线，相频起始于-v90°；随着频率的逐渐增大，依次 叠加各环节的幅频和相频部分。其幅频渐近线为：遇到转角频 率就转弯，微分环节向上转，积分环节向下转，一阶频率20， 二阶频率40；相频按反正切曲线的特征，微分向上，积分向下， 在转角频率处约等于叠加环节相位变化的一半。
惯性环节的Bode图
一阶微分环节和惯性环节的对数幅频曲线对称于零分贝线，对数相频曲线对称于0°。
6. 振荡环节
传递函数：
2 n 1 G(s) 2 2 2 ,0 1 2 T s 2 Ts 1 s 2 n s n
频率特性：
2 n 1 G ( j ) 2 2 n j 2n 1 ( )2 j 2 n n