行列式计算方法
行列式的计算法则
行列式的计算法则
行列式的计算法则如下：
1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行，行列式取相反数。
行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式。
行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。
把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。
本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、定义与性质行列式是一个与方阵相对应的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式有以下几个重要性质：1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。
二、按行展开法按行展开法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。
假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。
按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。
因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。
三、性质运算法则根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。
1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
即方阵的转置不影响行列式的值。
2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。
如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。
3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。
这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。
四、克莱姆法则克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结行列式（Determinant）是线性代数中的一个重要概念，它是一个与方阵相关的数值。
计算行列式可以帮助我们解决线性方程组、求解特征值等问题。
在数学和工程领域中，行列式经常被使用到。
本文将对计算行列式的几种常见方法进行总结和介绍。
1. 定义首先，我们需要了解行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。
行列式的值是根据方阵的元素通过一定的规则计算而得，可以表示为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12*a23*...*ann*a21 + ... + ann*a1n*a2n*...*an-1n- a1n*a22*...*an-1n*a21 - ... - ann*a1n*a2n*...*a(n-1)(n-1)其中，a(ij)表示方阵A的第i行第j列的元素。
2. 公式法公式法是计算行列式的常见方法之一，它适用于二阶和三阶方阵。
对于二阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于三阶方阵A，其行列式计算公式为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33通过这些行列式的公式，我们可以方便地计算二阶和三阶方阵的行列式。
3. 初等行变换初等行变换是通过对行进行一系列操作来变换方阵的形式从而简化行列式的计算。
我们常用的初等行变换操作有三种：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
例如，对于一个三阶方阵A，如果我们想计算其行列式但是发现有一个行是0，那么我们可以通过交换两行的操作，将该行移到最后一行。
这样，原方阵的行列式就等于新方阵的行列式。
同时，通过某一行乘以非零常数和某一行加上另一行的倍数的操作，可以将方阵变为上三角阵或下三角阵，进一步简化行列式的计算。
4. 拆线法拆线法是计算高阶方阵的行列式常用的方法，对于n阶方阵，其行列式可以通过n-1阶方阵的行列式来计算。
计算行列式的方法
计算行列式的方法
计算行列式的方法有以下几种：
1. 代数余子式展开法：根据行列式的定义，可以将行列式转化为一系列元素相乘的和的形式。
通过选择一行或一列，在该行或该列的元素上除去所在行和所在列的元素，得到的余子式再乘以该元素的代数余子式，最后将所有元素相乘再求和，即可得到行列式的值。
2. 初等行变换法：通过对行（列）进行初等行变换，将行列式转化为上三角形矩阵或者对角矩阵，再计算对角元素的乘积即可得到行列式的值。
3. 克莱姆法则：对于n阶方阵，如果其中一个行（列）向量是常数向量，那么行列式的值为零。
如果矩阵的秩(rank)小于n，则行列式的值也为零。
如果秩等于n，则行列式的值等于解向
量的唯一性解的行列式的乘积。
4. 拓展拉普拉斯定理：对于n阶方阵，如果其中一行（列）全是零元素，那么行列式的值为零。
对于非零元素的行列式，可以选择行、列中的一个固定不变，然后计算每个代数余子式的值再与该行（列）元素相乘，最后相加得到行列式的值。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将探讨行列式的计算方法，包括最简单的2阶行列式和高阶行列式的计算。
一、2阶行列式的计算2阶行列式是最简单的行列式，可以通过交叉相乘后相减的方法来计算。
设有一个2阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc$二、3阶行列式的计算3阶行列式的计算稍微复杂一些，可以使用“Sarrus法则”来计算。
设有一个3阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$三、n阶行列式的计算对于高阶行列式，可以通过辅助行列式的方法来计算。
设有一个n 阶行列式：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}= a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} - \ldots + (-1)^{n+1}a_{1n}A_{1n}$其中，$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即将 $a_{ij}$ 所在的行和列划去后，剩余元素构成的行列式。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
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定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零. 证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.
（法二）求出非零元素乘积 a1 j a2 j ...anj 的列下标
1 2 n
j1 , j2 ,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1
0 ... 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... n ... 1 0 ... 0
C1 D2 D1 D D1 , C2 2
,其中
和
为特征方程
x 2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
E CA 1 0 A B E A 1 B A 0 1 E E 0 D CA B C D 0 E 0 E A 1 B 1 ， 1 CA E 0 E
1 . P D A BD C 则
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中A为年n阶，D为m阶方阵。 C D
P A D CA 1 B
定理2
（1）若A可逆，则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
则 D1 D x Aij
i , j 1
其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式.
a1
x a2 x
... ...
x x
例2
计算行列式
Dn
x ... x
... ... ... ... a n
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
解：把Dn 的所有元素都加上-x，得 D
.
三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
例1.计算行列式
0 0 Dn ... 0 0 0 1 0 ... 0. 0 0 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... 0 ... 1 1 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 1 1 1 1
将按第1列展开得： Dn Dn1 Dn2 ① 此行列式序列是斐波那契 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. Dn Dn1 Dn2 0 (n 3,4,5...) ①式变形为， 设 F ( x) D1 x D2 x 2 D3 x3 ... Dn x n ... ② 解：D
1
...
1
0
...
0
=
0 2 ... ... ... ... ... 0
=
2 ... 0 ... ... ... ... ... n
... ... n
... 1 0 ... 0
=
12 ...n
0
0
0 ... 2 ... ... ...
=
... 2 ... ... ...
=
x x1 1 ( 2 ) 1 ( x2 x1 ) 1 x2 x 1 x1 x
=
1 [ x2 . (1) n x2n x n x1 . (1) x1n x n ] 1 = ( x2 x1 ) n0 n 0
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) n x x2 x1 n 1
... 1 ...
=
0 ... 2 ... ... ...
= (1)
n ( n 1) 2
12 ...n
n
0
...
n
0
...
n
...
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式. 3. 用递推法计算行列式 :利用行列式的性质,把某一行列 式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果. 文章给出了一类可化为 Dn aDn1 bDn2 的递归行列式. 的计算方法。 当b等于0 时，易得 Dn a n1 D1 当b不等于0时， Dn C1 n1 C2 n1
a11 a12 ... a1n
a11 x a12 x ... a1n x
1 5 n1 1 5 n1 [( ) ( ) ] 2 2 5
D
n
a 21 ... a n1
a 22 ... an2
... a 2 n ... ... ... a nn
D1
a 21 x a 22 x ... a 2 n x ... ... ... ... a n1 x a n 2 x ... a nn x
⑤
比较②式与⑤式的系数，得
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) (1) n 1 5 n1 1 5 n1 Dn [( ) ( ) ] x2 x1 2 2 5
=
1
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
n n 1 n 1 ... D2 n ... n n 1 1 2 3 4 ... n2 ...
二、行列式的定义及性质
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an2
... ...
a1n ...
1
定义：n阶行列式
Dn a ij
... a 2 n ... a nn
( 1) ( j j
j1 j 2 ... j n
1 2
... j n )
a1 j a2 j ...anj
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
1 2
n
其中 ( j1 j2 ... jn ) 为排列
j1 j2 ... jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
1
1, D2
1
1
1 1
2
用-x乘②式得: 2 ( x ) 用 乘②式得: ②+③+④，得:
③ ④ x 2 F ( x) D1 x 3 D2 x 4 D3 x 5 ... Dn x n2 ...
xF( x) D1 x 2 D2 x 3 D3 x 4 ... Dn x n1 ...
由于
P
所以两边取行列式，
A B C D
A D CA 1 B
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
A B P 证明：设 ,由定Байду номын сангаас2 C D A B P A D CA 1 B D C D
D 故，D CA B A A BD 1C
关于行列式计算方法的研究
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
1 1 1 1 x (ai x)( ... ) i 1 x a1 x a2 x an x
n
n
i 1
8. 用拉普拉斯定理计算行列式