新人教版九年级数学上册：《解一元二次方程》教案
21.2解一元二次方程(2)
【教学目标】
知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程
2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程
3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
过程与方法：经历探索求根公式的过程，发展学生合情的推理能力
情感态度价值观：通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心
【教学重难点】
教学重点：求根公式的推导和公式法的应用．
教学难点：一元二次方程求根公式法的推导．
【教学过程】
一、复习引入
1. 用配方法解下列方程
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
2.用配方法解一元二次方程的步骤．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
【探究】如果一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它的根，请同学独立完成这个问题．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
二次项系数化为1，得x 2+
b a x=-
c a
配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2
即（x+2b a
）2=2244b ac a
因为a ≠0，所以4a 2≥0.式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：
（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即
x 1x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=
2b a
-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根． 定义：一般地，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即△=b 2-4ac
归纳：当△>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根；当△=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根；当△<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数根．
定义：当△≥0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为x=2b a - 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
总结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先把方程化成一般形式，确定a 、b 、c 的值。
（2）求b 2-4ac 的值
（3）判断b 2-4ac 的符号，当b 2-4ac ≥0时，代入求根公式，求出x 1、x 2；当b 2-4ac ＜0时，原
方程无实数根
注意：由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
说明：1.求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。
对于a ≠0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。
2.对难点和易错的地方要加以强调和纠正，有助于学生正确记忆公式及推导公式，并且要适当的鼓励学生
【例题讲解】
例2．用公式法解下列方程．
（1）x 2―4x ―7=0 （2）2222-=-x x
（3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
说明：主体探究、通过解几个具体的问题，进一步体会一元二次方程的根与24b ac 的关系．
在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。
并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。
三、巩固练习
教材P12练习1．2
说明：通过练习加深学生用公式法解一元二次方程的方法
四、小结作业
小结：（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）会用公式法解一元二次方程；
（3）用b 2-4ac 判断一元二次方程根的情况
21.2解一元二次方程（2）
一、选择题
1．对于方程22340x x --=，24b ac -的值是（ ）.
(A) 23- (B) 41 (C) 23 (D) 25
2．（四川自贡市）一元二次方程2450x x -+=的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、只有一个实数根
D 、没有实数根
3．（云南省）一元二次方程220x x --=的解是
A. 121,2x x ==
B. 121,2x x ==-
C. 121,2x x =-=-
D. 121,2x x =-=
二、填空题
4．一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 .
5．直角三角形两条直角边长分别为1,3x x ++，斜边长为2x ，那么x ＝ ．
6.已知关于x 的一元二次方程230x x k --=,则k 时,方程有两个不相等的实数根；k 时,方程有两个相等的实数根；k 时,方程没有实数根.
三、解答题
7．不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 23250x x +-=； (2) 241290-+=x x .
8．用公式法解方程：
(1) 2230x x --=； (2) 23290x x --=；
(3) 22y -=； (4) 212016
x x -+=；
9. (株洲市)已知关于x 的一元二次方程()()02a 2=-+++c a bx x c ，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
参考答案：
1．B ； 2．D ； 3．D .
4．2(40)2b x b ac a -±=-≥；
5．5x =
6． k ＜94-； 94k =-；k ＞94
-； 7． (1) 方程有两个不等实根；(2) 方程有两个相等实根
8.(1) 123,1x x ==-； (2) 121133
x x +-==；
(3) 122,2y y =； (4) 122244x x =
=； 9. 【答案】解：（1）把x=-1代入方程得
2a-2b=0
∴a=b
∴△ABC 是等腰三角形.
(2)∵方程有两个相等的实数根
∴△=（2b)²-4（a+c)(a-c)=0
∴b²+c²=a²
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形
∴a=b=c
∴原方程变为：2ax²+2ax=0
∵a≠0
∴x
1=0;x
2
=-1。
九年级数学上人教版《 一元二次方程的解法》教案
《一元二次方程的解法》教案一、教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平法、配方法、公式法和因式分解法。
2.让学生能够运用所学知识解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重难点重点：一元二次方程的解法。
难点：公式法和因式分解法的理解和运用。
三、教具准备黑板、粉笔、投影仪。
四、教学过程（一）导入新课1.通过复习一元一次方程的解法，引出一元二次方程的概念和解法。
2.展示一些实际问题，让学生感受一元二次方程在实际生活中的应用。
（二）讲授新课1.直接开平法：通过实例展示如何使用直接开平法解一元二次方程，强调适用范围和注意事项。
2.配方法：通过实例展示如何使用配方法解一元二次方程，强调如何将方程化为完全平方形式。
3.公式法：介绍求根公式，通过实例展示如何使用公式法解一元二次方程，强调公式的适用条件和注意事项。
4.因式分解法：通过实例展示如何使用因式分解法解一元二次方程，强调如何将方程化为两个一次因式的积的形式。
5.总结四种解法的优缺点，并提醒学生在解题时根据实际情况选择合适的解法。
（三）巩固练习1.出示一些基础练习题，让学生自主选择解法进行解答，教师巡回指导。
2.出示一些综合练习题，让学生综合运用所学知识进行解答，教师适时点拨和归纳。
3.通过投影仪展示学生的解题过程，进行互评和讨论，总结解题经验和教训。
（四）归纳小结1.通过回顾和梳理四种解法的优缺点和适用范围，帮助学生加深对一元二次方程解法的理解和掌握。
2.通过总结解题经验和教训，提醒学生在解题时注意审题和分析问题结构，选择合适的方法进行解答。
3.通过鼓励和肯定学生的表现和努力，激发学生的学习兴趣和自信心。
五、布置作业1.完成课本上的相关练习题。
2.收集一些实际问题中的一元二次方程并尝试解答。
3.思考并总结一元二次方程解法的应用场景和特点。
4.与同学互相交流解题经验和心得，共同提高解题能力。
九年级数学上人教版《解一元二次方程》教案
《解一元二次方程》教案一、教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，能用适当的方法解一元二次方程。
2.过程与方法：经历一元二次方程的求解过程，体会转化和数学建模的思想。
3.情感态度与价值观：通过解一元二次方程的教学培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学难点与重点1.教学难点：一元二次方程的解法选择及运用。
2.教学重点：一元二次方程的解法。
三、教具和多媒体资源1.黑板和粉笔。
2.投影仪和教学PPT。
3.教学软件：数学工具软件（如GeoGebra、Desmos等）。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解一元二次方程的概念、性质和解法，使学生理解和掌握一元二次方程的基本知识。
2.演示法：通过演示一元二次方程的解法，使学生掌握一元二次方程的解法。
3.讨论法：通过小组讨论和案例分析，使学生能够运用一元二次方程解决实际问题。
4.练习法：通过课堂练习和课后作业，使学生能够熟练掌握一元二次方程的解法。
五、教学过程设计1.导入新课：回顾一元一次方程的概念和解法，引入一元二次方程的概念和解法。
2.讲授新课：讲解一元二次方程的概念、性质和解法，重点强调解法的步骤和注意事项。
通过例题和练习题进行演示和讨论，使学生掌握一元二次方程的解法。
3.巩固练习：布置相关练习题和思考题，使学生能够巩固所学知识和提高解题能力。
同时，教师进行巡视指导，及时纠正学生的错误并进行答疑解惑。
4.归纳小结：通过总结一元二次方程的概念、解法和应用，使学生能够全面理解和掌握一元二次方程的基本知识。
同时，引导学生进行自我评价和互评，培养学生的自我认知和团队协作能力。
5.布置作业：布置相关练习题和思考题，使学生能够巩固所学知识和提高解题能力。
作业应包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
6.教学反思：对整个教学过程进行反思和总结，发现问题和不足，以便在今后的教学中加以改进和提高。
同时，给予学生及时的鼓励和反馈，激发学生的学习动力。
一元二次方程的解法教案人教版
- 一元二次方程的定义和解法（直接开方法、因式分解法、求根公式法）
- 一元二次方程的解法检验
- 一元二次方程的应用
在教学过程中，我们通过实例讲解、小组讨论等教学方法，使学生能够更好地理解和掌握一元二次方程的解法。同时，通过实践活动，学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是……（详细解释概念）。它是……（解释其重要性或应用）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了一元二次方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直接开方法、因式分解法和求根公式法这三个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
学生可以通过阅读《数学年鉴》了解一元二次方程的历史背景和发展，对数学有更深的认识。
学生可以通过阅读《数学思维训练》和《一元二次方程的奇妙世界》提高自己的数学思维能力和对一元二次方程的理解。
学生可以观看与一元二次方程相关的视频资源，如数学讲座、教学视频等，从不同角度理解和掌握一元二次方程的解法。
鼓励学生积极参与课后拓展，通过阅读、思考和实践，进一步提高自己的数学素养和解决问题的能力。
针对这些问题和不足，我计划在今后的教学中进行改进。例如，在讲解重点难点部分时，我可以通过更多实例和比较来帮助学生理解，或者通过分组教学，让学生有更多的机会进行实践操作。在实验操作环节，我可以在课堂上安排更多时间，让学生有更多的机会进行实验操作，提高他们对一元二次方程的理解。
课堂小结，当堂检测
1.课堂小结
2.拓展要求
鼓励学生在课后自主学习和拓展，可以结合课堂所学的知识点进行深入阅读和思考。学生在阅读过程中遇到疑问可以随时向老师提问，老师会提供必要的指导和帮助。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)
九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
初三上册数学教学工作计划篇二【学习目标】1、了解整式方程和一元二次方程的概念。
2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
【重点、难点】重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定【学习过程】一、知识回顾1、什么是整式方程？_什么是-元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x 2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2b a -±（b 2-4ac≥0）.2.什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x 2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m）为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0.解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x 公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac=(－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()101024.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0.∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0;(2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34.师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x -2）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0.因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0.于是得3x－2=0或2x+1=0，x1=23，x2=12 .⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2∴x12.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28..∴x1，x2.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x2×3＝2±7 3.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2.解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3.若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
新人教版九年级上《21.2解一元二次方程》教案
人教版义务教育教材◎数学九年级上册21.2 解一元二次方程教学目标1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程．2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3. 了解一元二次方程的根与系数的关系．4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．教学重点1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点．2. 一元二次方程求根公式的推导过程．教学难点1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法．2. 一元二次方程求根公式的推导过程．课时安排7课时．1教师备课系统──多媒体教案2教案A第1课时教学内容21.2.1 配方法（1）．教学目标1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．教学过程一、导入新课问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？通过问题，导入新课的教学．二、新课教学1．解决问题．学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2＝1 500．整理，得x2＝25．根据平方根的意义，得x＝±5，即人教版义务教育教材◎数学九年级上册x1＝5，x2＝―5可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．强调：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．根据解题过程，类似地，解下列方程：x2＝5，x2＝0，x2＝―5．2．归纳总结．教师引导学生总结上述方程的共同点，归纳出一般形式x2＝p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况．一般地，对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根x1＝―p，x2＝p；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．3．巩固拓展．思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？学生独立思考，并给出解法．引导学生先把(x＋3)看看成一个数，对方程两边开平方，得x＋3＝±5，把它转化成两个一元一次方程x＋3＝5和x＋3＝―5．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋5和x2＝―3―5．这种解法实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个我们会解的一元一次方程．三、巩固练习1．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2．解：设每年人均住房面积增长率为x，则10(1＋x)2＝14.4，化简得(1＋x)2＝1.44．直接开平方，得1＋x＝±1.2，即1＋x＝1.2，1＋x＝―1.2．所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝―2.2．3教师备课系统──多媒体教案4 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝―2.2应舍去．答：每年人均住房面积增长率应为20%．2．教材第6页“练习”．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有哪些收获？五、布置作业习题21.2第1题（1）（2）（3）．第2课时教学内容21.2.1 配方法（2）．教学目标1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点用配方法解题的基本步骤．教学难点二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．教学过程一、导入新课让学生复述将次解一元二次方程的步骤，导入新课的教学．二、新课教学1．用配方法解方程．探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．解题过程和步骤如下：x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3人教版义务教育教材◎数学九年级上册5 ＝±5，即x ＋3＝5，或x ＋3＝－5．解一次方程得x 1＝－3＋5，x 2＝－3－5．通过验证，可知－3±5是方程x 2＋6x ＋4＝0的两个根．教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．实例详解例 解下列方程：（1）x 2－8x ＋1＝0； （2）2x 2＋1＝3x ； （3）3x 2－6x ＋4＝0．分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x 2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．解：略．3．总结解一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0的基本思路和具体步骤．结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．具体步骤：（1）将q 移到方程右边；（2）在方程两边加上一次项系数p 的一半的平方；（3）根据22⎪⎭⎫ ⎝⎛p －q 的取值讨论解的情况．在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．4．总结一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 时，方程的实数根情况．教师引导学生总结p ＞0，p ＝0，p ＜0时，方程根的情况．（1）当p ＞0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个不等的实数根．x 1＝－n －p ，x 2＝－n ＋p ；（2）当p ＝0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个相等的实数根．x 1＝x 2＝－n ；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x 都有(x ＋n )2≥0，所以方程(x ＋n )2＝p 无实数根．教师备课系统──多媒体教案6 三、巩固练习教材第9页“练习”第1、2题．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题第21.2第3题．第3课时教学内容21.2.2 公式法（1）．教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．了解公式法的概念．教学重点一元二次方程求根公式的推导．教学难点一元二次方程求根公式的推导．教学过程一、导入新课总结用配方法解一元二次方程的步骤：1．移项；2．化二次项系数为1；3．方程两边都加上一次项系数的一半的平方；4．原方程变形为(x＋n)2＝p的形式；5．如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、新课教学如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），能否也用配方法的步骤求出方程的解呢？教师引导学生分析、讨论，然后师生共同推导一元二次方程的求根公式．人教版义务教育教材◎数学九年级上册7 已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），移项，得ax 2＋bx ＝－c ．二次项系数化为1，得x 2＋a b x ＝－ac ． 配方，得 x 2＋a b x ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ＝－a c ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ， 即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况：（1）b 2－4ac ＞0 这时2244a ac b -＞0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -得 x 2＋a b 2＝±a ac b 242-． 方程有两个不等的实数根x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aac b b 242---． （2）b 2－4ac ＝0 这时2244a ac b -＝0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -可知，方程有两个不等的实数根 x 1＝x 2＝ab 2-． （3）b 2－4ac ＜0 这时2244a ac b -＜0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -可知22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＜0，而x 取任何实数都不能使22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＜0，因此方程无实数根． 一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊教师备课系统──多媒体教案8字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±- 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．三、巩固练习教材第12页练习1第（1）（2）题．四、课堂小结这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？五、布置作业习题第21.2第4题．第4课时教学内容21.2.2 公式法（2）．教学目标1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．教学重点用公式法解一元二次方程．教学难点用公式法解一元二次方程．教学过程一、导入新课复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．人教版义务教育教材◎数学九年级上册9二、新课教学1．用公式法解决实际问题．教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．设雕像下部高x m ，得方程x 2＋2x ―4＝0．用公式法解这个方程得x ＝12)4(14222⨯-⨯⨯-±-＝2202±-＝－1±5． 即x 1＝―1＋5，x 2＝―1―5．如果结果保留小数点后两位，那么，x 1≈1.24，x 2≈―3.24．这两个根中，只有x 1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m ．2．用公式法解下列方程．（1）x 2－4x ―7＝0； （2）2x 2－22x ＋1＝0；（3）5x 2－3x ＝x ＋1； （4）x 2＋17＝8x ．解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0可知，在方程x 2－4x ―7＝0中a ＝1，b ＝－4，c ＝－7．Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．方程有两个不等的实数根x ＝aac b b 242-±-＝1244)4(⨯±--＝2±11， 即x 1＝2＋11，x 2＝2―11．（2）（3）解题步骤见教材第11、12页．（4）方程化为x 2－8x ＋17＝0．a ＝1，b ＝－8，c ＝17．Δ＝b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．方程无实数根．三、巩固练习教材第12页练习1第（3）～（6）题．教师备课系统──多媒体教案10 四、课堂小结这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？五、布置作业习题第21.2第5题．第5课时教学内容21.2.3 因式分解法．教学目标1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．教学重点用因式分解法解一元二次方程．教学难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、导入新课分别用配方法和公式法解下列方程．（1）2x2＋x＝0；（2）3x2＋6x＝0教师引导学生分别用配方法和公式法进行解方程，复习用配方法和公式法解方程的基本步骤，导入新课的教学．二、新课教学1．提出问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？2．分析解答教师引导学生审题，找出已知条件或所求问题，根据等量关系列出方程求解．设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即10x－4.9x2＝0．在列出方程后，教师引导学生思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？学生思考、讨论，寻找其他方法．人教版义务教育教材◎数学九年级上册11教师在学生充分思考的基础上用因式分解的方式解这个方程．方程10x －4.9x 2＝0的右边是0，左边可以因式分解，得x (10－4.9x )＝0．这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0．我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．所以x ＝0或10－4.9x ＝0．所以，方程x (10－4.9x )＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝49100≈2.04． 这两个根中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被抛离开地面的时刻，即在0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m ．3．概括总结．思考：解方程x (10－4.9x )＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上述解法中，由x (10－4.9x )＝0到x ＝0或10－4.9x ＝0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解．使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．三、巩固练习1．用因式分解法解下列方程．（1）x (x －2)＋x －2＝0； （2）5x 2－2x －41＝x 2－2x ＋43． 教师引导学生掌握用因式分解法解方程的关键，要先将方程化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．学生掌握这个方法后，再解这两个方程就比较简单了．2．教材第14页练习．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．五、布置作业习题21.2第6题．第6课时教师备课系统──多媒体教案12 教学内容21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．教学目标1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．2．掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法．3．了解根与系数系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．教学重点应用根与系数关系解决问题．教学难点根系关系的推导过程．教学过程一、导入新课师：一元二次方程的一般形式是什么？生：方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．师：你知道它的求根公式吗？生：求根公式是x＝a acb b24 2-±-．过渡：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式x＝a acb b24 2-±-，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，从而导入新课的教学．二、新课教学1．思考1．从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？教师引导学生进行思考、讨论，明晰解题思路和过程．把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x2－(x1＋x2) x＋x1x2＝0．这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．于是，上述方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1＋x2)＝－p，x1x2＝q．2．思考2．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？根据求根公式可知，人教版义务教育教材◎数学九年级上册13x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aac b b 242---． 由此可得x 1＋x 2＝a ac b b 242-+-＋aac b b 242---＝a b 22-＝－a b ， x 1x 2＝a ac b b 242-+-·aac b b 242---＝2224)4()(a ac b b ---＝a c ． 因此，方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1x 2＝ac ． 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．三、巩固练习根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）x 2－6x －15＝0； （2）3x 2＋7x －9＝0；（3）5x －1＝4x 2．教师让学生独立计算．教师在学生计算时要让学生注意以下问题：一是可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况；二是要把方程化为一元二次方程的一般形式再求两根和与积．三是不要把两根之和与积的关系搞混．四、课堂小结今天你学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题21.2 第7题．第7课时教学内容解一元二次方程复习课．教学目标1. 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点．2. 会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．教师备课系统──多媒体教案14教学重点会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．教学难点通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们学习了第21章第2节解一元二次方程，今天就对这一及的内容进行梳理与复习．二、新课教学师：一元二次方程有哪些解法？生：有配方法、公式法和因式分解法．师：这些解法分别在什么情况下适用？生：方程左边可以写成完全平方式的情况下适用配方法；公式法适用方程的一般式；方程的左边能化为两个乘积等于0的情况可用因式分解法解方程．师：什么是“降次”？生：在解方程的过程中，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法就叫做“降次”．师：在什么情况下一元二次方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？生：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．师：一元二次方程的判别式和求根公式分别是什么？生1：式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△＝b 2－4ac ．生2：当△≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±- 的形式，这个式子叫做叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式．师：一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？生：方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1 x 2＝ac ． 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．三、课堂小结通过对这一节的整理和复习，你有什么收获？还有什么问题吗？人教版义务教育教材◎数学九年级上册四、布置作业习题21.2 第8、9、12题．教案B第1课时教学内容21.2.1 配方法（1）．教学目标1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们上节学习了一元二次方程，你能说出什么是一元二次方程吗？生：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．师：很好．一元二次方程的一般形式是什么？生：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．师：我们今天就学习解一元二次方程．二、新课教学问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？教师引导学生审题，然后找出等量关系，列方程求解．学生思考、讨论．最后师生合作，共同完成解方程．设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程15教师备课系统──多媒体教案1610×6x2＝1 500．整理，得x2＝25．讲到这里后，教师引导学生：什么数的平方等于25？学生回答：5或者－5的平方都等于25．所以x＝±5，即x1＝5，x2＝―5．方程解后应该怎么办？教师引导学生解方程后要进行检验．用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．最后验证，5和―5是方程10×6x2＝1500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．解决这个问题后，教师让学生解方程x2＝0和x2＝―25．学生很容易得出方程x2＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝0；方程x2＝―25无解．通过这三个方程，教师引导学生对它们进行过归纳总结．一般地，对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根x1＝―p，x2＝p；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．探究：解方程(x＋3)2＝5．由方程x2＝25得x＝±5可知，方程(x＋3)2＝5可以化为x＋3＝±5，即x＋3＝5，或x＋3＝―5．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋5，x2＝―3―5．上面的解法中，由方程(x＋3)2＝5得到x＋3＝5，或x＋3＝―5，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程(x＋3)2＝5转化为我们会解的方程了．三、巩固练习教材第6页练习．学生独立完成，小组内订正．人教版义务教育教材◎数学九年级上册四、课堂小结今天你学习了什么？有哪些收获？五、布置作业习题21.2第1题（1）（2）（3）．第2课时教学内容21.2.1 配方法（2）．教学目标1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点用配方法解题的基本步骤．教学难点二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．教学过程一、导入新课解下列方程：（1）3x2－1＝5 （2）4(x＋1)2－16＝0点评：上面的方程都能化成x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的的形式，那么可得x＝±p或x＋n＝p(p≥0)．你能解方程x2＋6x＋4＝0吗？二、新课教学1．配方法．教师引导学生思考、讨论，明确解题思路与过程．由方程(x＋3)2＝5可直接降次解方程想到把x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解．17教师备课系统──多媒体教案18x 2＋2bx ＋b 2的形式↓降次↓↓解一次方程得可以验证，－3±5是方程x 2＋6x ＋4＝0的两个根．归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．解下列方程：（1）x 2－8x ＋1＝0； （2）2x 2＋1＝3x ； （3）3x 2－6x ＋4＝0．分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x 2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．解：（1）移项，得x 2－8x ＝－1．配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42． (x －4)2＝15．由此可得x －4＝±15，x 1＝4＋15，x 2＝4－15．（2）略．（3）移项，得3x 2－6x ＝－4．二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－34． 配方，得人教版义务教育教材◎数学九年级上册19x 2－2x ＋12＝－34＋12， (x －1)2＝－31． 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．总结．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个不等的实数根x 1＝－n －p ，x 2＝－n ＋p ；（2）当p ＝0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－n ；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x 都有(x ＋n )2≥0，所以方程(x ＋n )2＝p 无实数根．三、巩固练习1．解方程x 2＋2x －35＝0分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：移项，得x 2－2x ＝35．配方，得x 2－2x ＋12＝35＋1．(x －1)2＝36．由此可得x －1＝±6x 1＝7，x 2＝－5可以验证x 1＝7，x 2＝－5都是x 2＋2x －35＝0的根．2．教材第9页“练习”第1、2题．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题第21.2第3题．教师备课系统──多媒体教案20第3课时教学内容21.2.2 公式法（1）．教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．了解公式法的概念．教学重点一元二次方程求根公式的推导．教学难点一元二次方程求根公式的推导．教学过程一、导入新课教师引导学生复习上节内容，导入新课的教学．二、新课教学探究任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．能否也用配方法的出这个方程的解呢？教师引导学生思考、讨论，然后共同探究解题过程．我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题． 移项，得ax 2＋bx ＝－c ．二次项系数化为1，得x 2＋a b x ＝－ac ． 配方，得 x 2＋a b x ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ＝－a c ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ， 即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况：（1）b 2－4ac ＞0人教版义务教育教材◎数学九年级上册21这时2244a ac b -＞0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -得 x 2＋a b 2＝±aacb 242-．方程有两个不等的实数根x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aacb b 242---．（2）b 2－4ac ＝0时，方程有两个不等的实数根x 1＝x 2＝ab2-． （3）b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±-是形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．三、巩固练习1．用公式法解下列方程．（1）2x 2－4x －1＝0 （2）5x ＋2＝3x 2分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a ＝2，b ＝－4，c ＝－1b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0x＝(4)22--±==⨯∴x 1x 2（2）将方程化为一般形式3x 2－5x －2＝0。
九年级数学上册22.2.3《因式分解法解一元二次方程》教案新人教版
22.2.3 因式分解法解一元二次方程教课目的：1.经过学生自学研究掌握运用因式分解法及其基本思想；2.能用因式分解法解一些一元二次方程。
教课要点：因式分解法解一些一元二次方程.教课难点：可以正确选择因式分解的方法.教课过程：一、出示学习目标：1.经过自学理解因式分解法及其基本思想；2.能用因式分解法解一些一元二次方程。
二、自学指导：（阅读课本P38-39 页，思虑以下问题）1.经过阅读问题掌握因式分解法；2.阅读 P39 例题思虑能用因式分解法的题目有多少种类型及解题步骤；3.模拟例题解答P40 练习 1。
三、成效检测：1、由中基层学生试试剖析10x-4.9x 2=0 的解题过程，进而总结出因式分解法的基本思想：把方程化为两个一次式的积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，进而实现降次。
3.由上层学生小结：因式分解的方法主要有哪几种？(1) 提公因式法；(注意整体思想）(2) 公式法 :a2－ b2=(a+b)(a－ b)、 a2± 2ab+b2=(a± b)2(3) 十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)4.概括因式分解法解一元二次方程的解题步骤：（由中基层学生概括）（1）将方程右侧为零的形式；（2）将方程的左侧分解因式；（3）令每个因式为 0，获得两个一元一次方程；（4）解每个一元一次方程，即获得一元二次方程的解。
四、当堂训练：1.填空：（1）方程 x2 +x=0 的根是____；x1=0，x2=-1（ 2 ） x2－ 25=0的根是____；x1，2=5x =-5（ 3 ） x2－ 6x=－ 9的根是____。
x12=x =32.解以下方程：（当堂在暗线本中达成并实时赐予评论）。
九年级数学上册(一元二次方程)教案 新人教版 教案
《一元二次方程》教案第一课时教学内容：一元二次方程概念及一元二次方程的一般形式及有关概念．教学目标：1. 通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。
2．了解一元二次方程的概念；能熟练地把一元二次方程整理成一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0）。
3．通过教学，让生分清一般形式中的二次项及其系数，一次项及其系数以及常数项各是什么。
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键：1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？如果假设长方形的宽为x•米，•那么，•这个的长为_______•米，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=______，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。
求这两年的年平均增长率。
如果假设这两年的年平均增长率为x。
则今年年底的图书数是__________万册。
同样，明年年底的图书数又是今年的_________倍，即____________万册。
由此可得方程____________________________，整理得：________________________。
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材P19练习题：（1）、（2）、（3）、（4）.四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P19习题23．1 ： 1、2、3.2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值X围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：所以，________<x<__________第二步：所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．。
人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程(教案)
此外，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更直观、更生动的方式来讲解这些概念，使它们更容易被学生接受。我可能会引入更多的教学工具，如图形、实物模型等，来帮助学生们直观理解一元二次方程的解法。
-能够灵活运用各种解法求解一元二次方程，并理解解的几何意义。
-解决实际问题中涉及的一元二次方程，体会数学在生活中的应用。
举例：重点讲解配方法中的“完全平方公式”，并让学生通过练习熟练掌握其运用。
2.教学难点
-理解并掌握配方法中“移项”和“配方”的步骤，特别是在“配方”过程中常数项的处理。
-对公式法中求根公式的理解和记忆，以及正确运用求根公式求解一元二次方程。
c.让学生通过反复练习，掌握配方过程中关键步骤，并能独立完成类似题目。
对于公式法的难点，可通过以下方式帮助学生理解：
a.解释求根公式的来源和推导过程，增强学生的理解。
b.通过对比不同类型的一元二次方程，让学生体会求根公式的普适性。
c.通过典型例题，展示求根公式在实际应用中的正确使用方法。
对于分解因式法的难点，可以采取以下策略：
b.通过实例演示，如何将实际问题转化为数学方程。
c.让学生通过小组讨论和实际操作，学会将实际问题数学化，培养建模能力。
c”的指令，继续完成示范课的一元二次方程的四种解法，并能熟练运用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高他们解决问题的自信心。