介绍平面向量的实际背景及基本概念讲义资料
平面向量的实际背景及基本概念 课件
● (2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．
● (3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．
面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：__起__点____、___方__向___、__长__度____.知道了有向线段的 起点、方向、长度，它的__终__点____就唯一确定．
[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、
区别 方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有 向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有
● [思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例 对命题的影响．
[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3) 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共 线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量A→B，C→D必 须在同一直线上．故填(3)．
● 3．有关概念
名称 零向量 单位向量
相等向量
平行 向量
定义
长度为__0___的向量叫做零向量
长度等于__1___个单位的向量，叫做单位向量 __长__度____相等且方向相同的向量叫做相等向量
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条 ____a_＝__b_____ 来 表 示 ， 并 且 与 有 向 线 段 的 起 点 无 关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线 段表示同一个向量 方向有__向__线__段__或__相__同____的非零向量叫做平行向量 规定：零向量与任何向量都__平__行____ 说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直__线____ 上，因此，平行向量也叫__有__线____向量
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4.向量间的关系
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 b相等，记作：a b.
a b c
a=b=c
A1 A3A2
A4
B3B2 B1 B4
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
向量与起点无关，可以自由平移.
(2)平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如： a
b
c
记作: a ∥b ∥c
1.零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0. 2.单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
0的方向是任意的.
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？ 是以P点为圆心，
P 以1个单位长为半径的圆.
2、字母表思考示:法“向：量A就B是或有向a线, b段,,有c（向印刷用黑体）等.
线段就是向量.”的说法对吗?
非常重要， 勿忽略!
3.向量的模及两个特殊向量
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量 AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
两个特殊向量
例题精析
例2 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向
量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
C
O
F
D
E
解：
B
OA CB DO
OB DC EO
C
OC AB ED FO
D
A O
F E
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一 定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表 示向量的方向.
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1．向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的 长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联系平面几何 中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如A→B，C→D， E→F等．
【解析】 ①错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向 的关系．
②错误.0 的模|0|＝0. ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两 个向量A→B、C→D必须在同一直线上． 【答案】 ③
【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向 两个要素．
【自主解答】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向， 所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b. (4)不正确．依据规定：0 与任意向量平行． (5)不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定．
阶
阶
段
段
一 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 三
2.1.1 向量的物理背景与概念
学
业
阶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ段
2.1.2 向量的几何表示
分 层
二
测
2.1.3 相等向量与共线向量
评
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
[基础·初探]
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(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅
有大小而且有方向，因而大小为|A→C|＝
|A→B|2＋|B→C|2＝
50(n mile)，由于 sin∠BAC＝45，故方向为北偏东 53°．
● 1．下列说法错误的是( )
●
A．若a＝0，则|a|＝0
●
B．零向量是没有方向的
●
C．零向量与任一向量平行
题型三 向量的表示及应用
● 【例3】 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方 向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
●
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
●
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移．
解 (1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路 程为巡逻艇两次路程的和，即为 AB＋BC＝70(n mile)．
●
D．零向量的方向是任意的
●
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
●
答案 B
● 2．下列结论正确的个数是( )
●
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
●
②向量的模是一个正实数；
●
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
●
④若|a|>|b|，则a>b．
●
A．0 B．1
平面向量的实际背景及基本概念
● 知识点1 向量的定义及表示
●1．定义：既有大__小______，又方有向________的量． ●2．表示： ● (1)有向线段：带有方_向_________的线段，它包含三个
要素起：点__________ 、方向、长度；
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(1)写出与
→ EF
共线的向量；
解 因为E、F分别是AC、AB的中点， 所以 EF 綊12BC.又因为 D 是 BC 的中点， 所以与E→F共线的向量有：
F→E，B→D，D→B，D→C，C→D，B→C，C→B.
(2)写出与E→F的模大小相等的向量；
→
→→→→ →
解 与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD.
思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向 量的方向有什么关系？ 答 方向相同或相反. 小结 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行， 通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有0∥a.
a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不
能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表
示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示
向量A→B的大小，也就是向量A→B的长度(或称模).记作|A→B|有向线段
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变
方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行
驶了100 km到达D点. (1)作出向量 A→B、B→C、C→D； 解 (1)向量 A→B、B→C、C→D如图所示.
(2)求|A→D|.
解 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线， 又|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴A→D＝B→C，∴|A→D|＝|B→C|＝200 km.
高一平面向量讲义
平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒 有λ(μ a ±μ b )＝.考点一 运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二 运用向量加减法法则化简向量 例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)； （6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ， 使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基 底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫 作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标 的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标 的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相 应坐标．5．两向量共线的坐标表示 设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线． 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一 对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二 用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表 示，，.考点三 平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ， 设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ， 即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向 上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示 若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )， 则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式 设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一 求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数 量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二 求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
D.向量的模可以比较大小 √
类型二
相等向量与共线向量
③④⑤ 填序号) 例2 (1)下列说法正确的是________.( ①若a≠b，则a一定不与b共线； → → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？
解 → 与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)， 而每一条线段可
以有两个向量，所以这样的向量共有 23 个.
→ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解
→ 存在.由正六边形的性质可知， BC∥AO∥EF， 所以与OA的长度相等、
终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量
也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向
量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
行 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
[思考辨析 判断正误] 1.向量就是有向线段.( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
平面向量的实际背景及基本概念课件PPT
D四点的位置关系有哪几种可能情形？
A C A
BC
D
D
B
思考4：对于非零向量 和 ，如
果
，通过平移使起点A与C重合，
那么终点B与D的位置关系如何？
B
A D
C
思考5：非零向量 与 称为相反向 量，一般地，如何定义相反向量？
长度相等且方向相反的向量叫做 相反向量.
思考6：如果非零向量 与 是相反 向量，通过平移使起点A与C重合，那么 终点B与D的位置关系如何？
2.向量A→B与向量B→A是相等向量吗？ 提示：不是．向量A→B与向量B→A的大小相等，但是方向相反， 所以这两个向量不是相等向量．
3．平行向量与平行线的区别是什么？
提示：根据定义可知当两个向量平行时，表示它们 的有向线段可以在同一直线上，而两直线平行，则 不可能在同一直线上．
做一做 下列说法正确的是________(填序号)． ①单位向量一定相等； ②若a＝b，且|a|＝0，则b＝0； ③坐标平面上的x轴和y轴都是向量． 答案：②
解：(1)D→C、A→B. (2)D→C、C→D、E→C、C→E、A→B、B→A、D→E.
方法感悟
1．向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要 大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方 向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段．
3.向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不同的概念，平行向量 （共线向量）对应的有向线段既可以平 行也可以共线.
【名师点评】 用有向线段表示向量时，先确定起点，再
确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要
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(2) 把平行于直线l的所有单位向量的起点 平移到直线l上的点P；
是直线 l上与点P的距离为1的两个点；
(3) 把平行于直线l的所有向量的起点平移 到直线 l上的点P；
是直线 l
2.1.3 相等向量与共线向量
请同学们阅读课本P76例2上方的内容， 并思考下列问题：
1.平行向量、共线向量和相等向量的概念及表示; 2.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上吗？ 3. 平行向量一定是相等向量吗？ 4.相等向量一定是平行向量吗？
5.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
6.判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
(1)作出向量AB,BC,CD; D
C
(2) 求AD的模.
北
AD5 5米
西
A
B东
南
1m
★题 １ ２ ３ ★★题 ４ ５ ★★★题 ６
（1）与任意向量都平行的向量是 什么向量？
（2）与零向量相等的向量必定是 什么向量？
（3）单位向量是相等向量吗？
判断： （1）平行向量是否方向一定相同？ （2）不相等的向量一定不平行吗？
相距６米，老鼠以每秒４
嘻嘻!大
米的速度逃窜,猫以每秒７
笨猫!
米的速度追,猫在多少时间
里会追上老鼠？
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
A B
唉, 哪儿 去了?
建构模型
既有大小又有方向的量叫 向 量
请同学们阅读课本P75例1上方的 2.向量的表示方法及书写形式； 3.向量的长度; 4.两个特殊的向量.
设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是 （ B）
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM模相等且共线的向量； A （2）与FE相等的向量。
解：（1）EF、BD、DA、MC D FE、DB、AD
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
创设情境1
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到 命令:向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹 (精度10米左右，射程超过2000公里),试问导 弹是否能击中利比亚的军事目标？
1200km
创设情境2
问题：一只老鼠和一只猫
判断 2.1.2 向量的几何表示
（1）题温度含零上和零下温度，所以温度是向量 (X) (2 )若 a0 ,则 a0 . (X) (3)单位向量的模都相等. (√) (4)单位向量都相等. (x)
（5）向量的模是一个正实数. (X)
（6）向量就是有向线段,有向线段就是向量. (X) （7）若|a|>|b| ，则a > b(X) 注:向量不能比较大小
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向
相反的向量？（ 相反向量）
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
例2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后 改变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到 达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、
D 四点必在一直线上；
(×)
②任一向量与它的相反向量(长度相同,方向
相反的向量)不相等；
(×)
③共线的向量，若起点不同，则终点一定不
同。
(×)
2.1.3 相等向量与共线向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
C D
D
C
方向和大小
向量
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
拓广延伸
对于下列各种情况，各向量的终点的集合 分别是什么图形？
（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
下列结论正确的是：
（1）如果两向量相等，那么它们的 起点和终点分别重合；
（2）两个相等向量的模相等；
（3）任一向量与它的相反向量 (长度相同,方向相反的向量)不相等.
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？
（2）共线向量一定在一条直线上吗？
？ （3） 若 a /b /,b /c /,则 a /c /成立