平面向量的实际背景及基本概念

课时跟踪检测（十五） 平面向量的实际背景及基本概念
层级一 学业水平达标
1．下列说法不正确的是( )
A ．向量的模是一个非负实数
B ．任何一个非零向量都可以平行移动
C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D ．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
解析：选D 显然，选项A 、B 、C 说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 说法不正确．
2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和
终点都在方格的顶点处，则与AB ―→平行且模为2的向量共有( )
A ．12个
B ．18个
C ．24个
D ．36个
解析：选C 由图知，与AB ―→平行且模为2的向量共有24个．
3．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a 共线的单位向量只能是a |a |
. A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选D 根据单位向量、共线向量、相等向量的概念，可知①②③明显错误，对于
④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a |a |
，④也是错误的．故选 D.
4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与
AE ―→平行的向量有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解析：选C 根据向量的基本概念可知与A
E ―→平行的向量有BE ―→，FD ―→，FC ―→，共3个．
5．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( )
A ．相等向量
B ．平行向量
C ．模相等的向量
D ．起点相同的向量
解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|.
6．已知|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC ―→|＝________.
解析：由勾股定理可知，BC ＝
AC 2－AB 2＝3，所以|BC ―→|＝ 3.
答案： 3
7．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.
解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，
所以|a 0|＋|b 0|＝2.
答案：③
8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．
解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .
答案：①③④
9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．
(1)写出与向量FC ―→共线的向量；
(2)求证： BE ―→＝FD ―→.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC ―→共线的向量有：
CF ―→，BC ―→，CB ―→，BF ―→，FB ―→，ED ―→，DE ―→，AE ―→，EA ―→，AD ―→，DA ―→.
(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC .
又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴ED 綊BF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE 綊FD ，
∴BE ―→＝FD ―→.
10．已知四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→且|AB ―→|＝|AC ―→|，tan D ＝3，判断四边形ABCD
的形状．
解：∵在四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵tan D ＝3，∴B ＝D ＝60°.
又|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等边三角形．
∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形．
层级二 应试能力达标
1. 如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分
别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )
A ．AD ―→＝BC ―→
B ．A
C ―→＝B
D ―→ C ．P
E ―→＝P
F ―→ D ．EP ―→＝PF ―→
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得，A 、B 不成立；
C 中，PE ―→与PF ―→方向相反，故PE ―→＝PF ―→不成立；
D 中，EP ―→与PF ―→方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故EP ―→＝PF ―→成立．
2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD ―→||AD ―→|的值为( ) A.12 B.13
C ．1
D ．2 解析：选C 因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D
为PA 的中点，所以|PD ―→||AD ―→|
的值为1. 3．下列命题正确的是( )
A ．若|a |＜|b |，则a ＜b
B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |
C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线
D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线
解析：选C 因为向量不能比较大小，因此A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．
4．向量AB ―→与向量BC ―→共线，下列关于向量AC ―→的说法中，正确的为( )
A ．向量AC ―→与向量A
B ―→一定同向
B ．向量A
C ―→，向量AB ―→，向量BC ―→一定共线
C ．向量AC ―→与向量BC ―→一定相等
D ．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ―→，BC ―→，AC ―→这三个向量一定为共线向量，
故选B.
5．四边形ABCD 满足AD ―→＝BC ―→，且|AC ―→|＝|BD ―→|，则四边形ABCD 是______(填四边
形ABCD 的形状)．
解析：∵AD ―→＝BC ―→，∴AD ∥BC 且|AD ―→|＝|BC ―→|，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
又|AC ―→|＝|BD ―→|知该平行四边形对角线相等，
故四边形ABCD 是矩形．
答案：矩形
6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB ―→是平行向量，与BC ―→是共线向量，
则m ＝________.
解析：平行向量又叫共线向量，而与不共线向量AB ―→，BC ―→都共线的向量只能是零向量．
答案：0
7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量DE ―→长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量FD ―→相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量DE ―→，FD ―→共线的向量．
解：(1)与DE ―→长度相等的向量是EF ―→，
FD ―→，AF ―→，FC ―→，BD ―→，DA ―→，CE ―→，EB ―→.
(2)与FD ―→相等的向量是CE ―→，EB ―→.
(3)与DE ―→共线的向量是AC ―→，AF ―→，FC ―→；
与FD ―→共线的向量是CE ―→，EB ―→，CB ―→.
8.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方
向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达
C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．
(1)在如图所示的坐标系中画出AD ―→，DC ―→，CB ―→，AB ―→.
(2)求B 地相对于A 地的位移．
解： (1)向量AD ―→，DC ―→，CB ―→，AB ―→如图所示．
(2)由题意知AD ―→＝BC ―→.
所以AD 綊BC ，
则四边形ABCD 为平行四边形．
所以AB ―→＝DC ―→，则B 地相对于A 地的位移为“在北偏东60°的方向距A 地6千米”．。