(完整版)平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念 向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 教学目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) [基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示 阅读教材P74～P75例1以上内容，完成下列问题． 1．向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段表示．向量AB→的大小，也就是向量 AB→的长度(或称模)，记作|AB→|．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB→，CD→.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量可以比较大小．( ) (2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量．( ) (3)某个角是一个向量．( ) (4)体积、面积和时间都不是向量．( ) 解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念 阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题. 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量

平行向量 (共线向量)

方向相同或相反的非零向量

向量a、b平行，记作a∥b 规定：零向量与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单位向量都平行．( ) (2)零向量与任意向量都平行．( ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (4)|AB→|＝|BA→|.( ) 解：(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确．故只有(2)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ [小组合作型] 向量的有关概念 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素． (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行． (5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． 求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等． [再练一题] 1．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 解：①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模|0|＝0. ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB→、CD→必须在同一直线上． 【答案】 ③ 向量的表示及应用 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量AB→，BC→，CD→； (2)求AD→的模. 【导学号：00680033】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把

AD→放在直角三角形中求得|AD→|. 解：(1)作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋（10）2＝55(米)，所以|AD→|＝55米．

1．向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD→，EF→等． 2．两种向量表示方法的作用： (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础． (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算． [再练一题] 2．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D． (1)作出向量AB→，BC→，CD→； (2)求|AD→|. 解：(1)如图所示．

(2)由题意知AB→与CD→方向相反，∴AB→与CD→共线，

∴在四边形ABCD中，AB∥CD， 又∵|AB→|＝|CD→|，

∴四边形ABCD为平行四边形， ∴|AD→|＝|BC→|＝200(公里)．

[探究共研型] 相等向量与共线向量 探究1 向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？ 向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线． 探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关． (1)(2016·潍坊高一检测)如图2－1－1，在等腰梯形ABCD中．

图2－1－1 ①AB→与CD→是共线向量； ②AB→＝CD→；③AB→>CD→.以上结论中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)下列说法中，正确的序号是________． ①若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ②零向量都相等； ③任一向量与它的平行向量不相等； ④若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝DC→； ⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断．

解：①因为AB→与CD→的方向不相同，也不相反，所以AB→与CD→不

共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确． (2)因为向量AB→与CD→是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB→＝DC→，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确． 【答案】 (1)A (2)②④ 相等向量与共线向量需注意的四个问题： (1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合． (3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)． (4)三点A，B，C共线⇔AB→，AC→共线．

[再练一题] 3.如图2－1－2所示，O是正六边形ABCDEF的中心．

图2－1－2 ①分别写出图中与OA→，OB→，OC→相等的向量； ②与OA→的长度相等、方向相反的向量有哪些？ 解：①与OA→相等的向量有EF→，DO→，CB→；与OB→相等的向量有DC→，

EO→，FA→；与OC→相等的向量有FO→，ED→，AB→. ②与OA→的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.

[构建·体系]

1．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量； ②∠AOB的两条边都是向量； ③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 解：只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确． 【答案】 B 2．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的；