平面向量的实际背景及基本概念
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版
姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。
(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。
×2。
× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。
平面向量的实际背景和基本概念
1200公里
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
一、向量的物理背景的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素： 大小，方向 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能
b
a
c
d
e
小结：
知识要点
向量
向量的概念 向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
向 量 的 定 义
表 零 示 向 方 量 法
作业：
教材习题2.1 1， 2 ， 3 题
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
（四）向量间的关系----相等向量和相反向量 相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量。记作：a d
a 相反向量： 长度相等且方向相反的向量叫做 C B 思考：单位向量和单位向量一定相等吗？ 相反向量。记作： b a c d c AB DC a b d c
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别 向量与数量的区别
向量用什么来表示？
相等向量相反向量
认真听讲
仔细思考 积极发言
知识 方法 技能
2.1 平面向量的实际背景 及基本概念
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
北京四中高中数学 平面向量的实际背景及基本概念基础知识讲解 新人教A版必修1
北京四中高中数学平面向量的实际背景及基本概念基础知识讲解新人教A版必修1【学习目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.4．理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2.向量的表示方法:a b c等.(1)字母表示法:如,,,(2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB.要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).要点诠释：a ．（1）向量a的模||0（2）向量不能比较大小，但||a是实数，可以比较大小．2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个单位的向量.要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0与任一向量共线.要点诠释：1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】类型一：向量的基本概念例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2）（3）是向量，（1）（4）不是向量．【总结升华】实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．举一反三：【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量 B．速度 C．位移 D．力【答案】 A例2．下列说法正确的是（）．A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量AB的长度与向量BA的长度相等D．单位向量都相等【思路点拨】本题考查向量的有关概念．【答案】 C【解析】对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．A错．对于B，由于零向量与任意向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．B错．对于C，向量AB与向量BA方向相反，但长度相等．C对．对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．【总结升华】上述概念性试题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的几何表现形式，并不能等同于向量．还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，若以2 cm 为1个单位，则长度为1 cm 的向量便不是单位向量．举一反三：【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589例2】【变式1】判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量a 与向量b 不共线，则a 与b 都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？（6）若非零向量,AB CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线；（7）共线的向量一定相等；（8）相等的向量一定共线．【答案】√√√××××√【变式2】下列说法正确的个数是( )①向量//AB DC ，则直线//AB 直线;CD②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量AB 既是有向线段AB ；④在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C类型二：向量的表示方法例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．（1）||3OA =，点A 在点O 正西方向；（2）||32OB =，点B 在点O 北偏西45°方向；（3）||2OC =，点C 在点O 南偏东60°方向．【解析】 如图所示．【总结升华 】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．例4．如下图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG 相等的向量；(2)与向量HG 平行的向量；(3)与向量HG 模相等的向量；(4)与向量HG 模相等、方向相反的向量．【解析】(1)与向量HG 相等的向量有EF .(2)与向量HG 平行的向量有EF 、FE 、AC 、CA 、GH .(3)与向量HG 模相等的向量有GH 、EF 、FE .(4)与向量HG 模相等、方向相反的向量有GH 、FE .举一反三：【变式1】如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的各边中点．在右图所示向量中，（1）写出与ED ，DF ，FE 相等的向量；（2）写出模相等的向量．【解析】（1）ED CF FA ==，DF BE EC ==，FE AD DB ==．（2）||||||FE AD DB ==，||||||DF BE EC ==，||||||ED FA CF ==．【变式2】 （1）与向量OA 相等的向量有多少个？并把这些向量写出来．（2）是否存在与向量OA 长度相等、方向相反向量？（3）与向量OA 共线的向量有哪些？【解析】（1）3个 CB 、DO 、EF （2）存在 AO 、OD 、FE 、BC（3）向量OA 共线的向量有：AO 、BC 、CB 、OD 、DO 、EF 、FE ．类型三：利用向量相等或共线进行证明例5． 如图所示，四边形ABCD 中，AB DC =，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN MA =．求证：DN MB =．【思路点拨】证明DN MB =，要证明这两个向量的方向相同和大小相等．【证明】 ∵AB DC =，∴||||AB DC =且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴||||DA CB =且DA ∥CB ．又∵DA 与CB 的方向相同，∴CB DA =．同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM NA =．∵||||CB DA =，||||CM NA =，∴||||MB DN =，又DN 与MB 的方向相同，∴DN MB =．【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若AB DC =，则||||AB DC =且AB ∥CD ．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，已知向量AD DB =，DF BE =，求证：DE AF =．【解析】因为AD DB =，所以D 为AB 的中点．又DF BE =，所以DF ∥BE且DF=BE ，所以F 为AC 的中点，则DF 是△ABC 的中位线，从而E 是BC 的中点，所以DE ∥AF ，且DE=AF ．又DE 与AF 不共线，所以DE AF =．。
高一数学必修4课件：2-1平面向量的实际背景及基本概念
a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
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1 E F D C
A B
平面向量的实际背景及基本概念
一．学习目标：
1.理解平面向量的概念以及几何表示；
2.理解平行向量和共线向量的概念；
3.在解决问题的过程中体会向量是沟通代数与几何的工具。
二．教学过程：
1.各组展示学习的成果。
2．组内讨论以下问题：
（1）有向线段是向量吗？
（2）两个向量可以比较大小吗？
（3）共线向量，平行向量，相等向量的关系是什么？
（4）向量的平行关系是可传递的吗？
（5）你能用向量描述四边形ABCD 为平行四边形的条件吗？
3.随堂练习：
（1）给出下列命题：
①物理中的位移，速度，加速度，力都是向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度是向量；
③平面直角坐标系中的x 轴，y 轴都是向量；
④向量就是有向线段。
其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
（2）判断下列结论是否正确，并说明理由：
①任意两个单位向量都是平行向量；
②零向量是没有方向的；
③在三角形ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，则向量和是平行向量；
④对于向量,若//,//,则//;
⑤若非零向量与是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行；
⑥非零向量与是模相等的平行向量。
(3)如图：D,E,F 分别是正三角形ABC 的各边中点
①写出图中所示向量中与长度相等的向量； ②写出图中所示向量中与相等的向量；
③写出图中所示向量中分别与共线的向量。
(4)在等腰梯形ABCD 中，给出下列3个命题：
①与是共线向量，②=，③﹥
其中正确的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
(5)B,C是线段AD的三等分点，分别以图中的各点为起点和终点，最多可以写出（）个互不相等的非零向量。
D
B C
A
(6)四边形ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=,
①以C为终点的单位向量有（）；
②=( )
4.小结
5.课后作业：77-78习题C
A
D
O
D
B
2。