平面向量的实际背景及基本概念
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版
姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。
(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。
×2。
× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
广东数学高考考纲
考纲（理）：平面向量：（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
③理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算①掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。
②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。
③了解向量线性运算的性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义②了解平面向量的数量积与向量投影的关系③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题空间向量与立体几何（1）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用。
线性规划：二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
文科：平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景。
高考数学一轮复习第五章 平面向量与复数
第五章 平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义.§5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念 (1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________.(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的.(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________.－a|a |是一个与a ________的单位向量.(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量____________.(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示.2.向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1).推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝___________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2).在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图).3.向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4.两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.自查自纠：1.(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2.(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3.(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4.b ＝λa如果a ，b 是两个单位向量，则a 与b 一定( )A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等 解：|a |＝|b |＝1，故选D.如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝()A.0B.BE →C.AD →D.CF →解：BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，故选D.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线.故选C.(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝__________.解：由向量加法的平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.故填2.如图，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于__________________.解：OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.故填34OA →＋14OB →.类型一 向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a ≠b ，则a 与b 的方向必不相同； ③|a |＞|b |，则a ＞b ；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.其中正确的是( )A.①⑤B.④C.⑤D.②④解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a ≠b ，a 与b 的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；正方形ABCD 中AB →与CD →共线，但A ，B ，C ，D 四点不共线，④错；作图易得⑤正确.故选C.点拨：(1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||a ＝||b ，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确．．．的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；||a ＝||b ，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.类型二 向量的线性运算(1)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A.①②B.③④C.①③D.②④解：由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误.故正确的为①③，故选C.(2)(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解：易知OA →＝OM →＋12CA →，OB →＝OM →＋12DB →，OC →＝OM →＋12AC →，OD →＝OM →＋12BD →，而CA →＝－AC →，DB →＝－BD →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.点拨：向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.(1)(2013·北京模拟)如图，在△ABC中，BD ＝2D C.若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A.23a ＋13bB.23a －13bC.13a ＋23bD.13a －23b 解：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →，又∵AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A .类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性. 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性. 若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线.综合(1)(2)可知，原命题成立.点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合.注意：本例的结论可作定理使用.(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511C.311 D.211解：注意到N ，P ，B 三点共线，因此我们有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.(2)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线.故选A.(3)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A.－1或3B. 3C.－1或4D.3或4解：∵向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，∴m a－3b ＝λ[]a ＋（2－m ）b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ（2－m ）.解得m ＝－1或m ＝3.故选A.1.准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别.4.对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件.1.下列命题中正确的是( ) A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC.对于任意向量a ，b ，有|a ＋b |≥|a －b |D.对于任意向量a ，b ，有|a |＋|b |≥|a ＋b | 解：对于选项A ，若b ＝0，结论不一定成立，A 错；对于选项B ，模相等方向不一定相同或相反，B 错；对于选项C ，若非零向量a 与b 方向相反，则|a ＋b |＜|a －b |，C 错；D 正确.故选D.2.(2014·武汉调研)如图所示的方格纸中，有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝()A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解：如图，取点M ，由向量加法的平行四边形法则有OP →＋OQ →＝OM →＝FO →，故选C.3.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A.点M 在线段AB 上B.点B 在线段AM 上C.点A 在线段BM 上D.O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上.故选B.4.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝()A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5.(2013·湖北八校联考)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A.平行且方向相反B.平行且方向相同C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AE →＋ED →＝13AC →＋23AB →，BE →＝BD →＋DE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝CD →＋DF →＝23CB →＋13CA →，则AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A.6.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解：∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴BD AD ＝BC AC ＝12，∵AB →＝CB →－CA →＝a －b ，∴AD →＝23AB →＝23a －23b ，∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b ，故选B.7.如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______.解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12.8.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1，故填1.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a＝14a －b .10.在△ABC 中，设D 为边BC 的中点，求证：3AB →＋2BC →＋CA →＝2AD →.证明：∵D 为BC 的中点， ∴AB →＋AC →＝2AD →.左边＝3AB →＋2BC →＋CA →＝AB →＋2(AB →＋BC →)＋CA →＝AB →＋2AC →＋CA →＝AB →＋AC →＝2AD →＝右边，得证.11.已知线段AB 和AB 外一点O ，求证：(1)若M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)；(2)若AP →＝tAB →(t ∈R )，则OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.证明：(1)如图甲，由三角形法则可得OA →＋AM →＝OM →，OB →＋BM →＝OM →，图甲∴OA →＋OB →＋AM →＋BM →＝2 OM →. ∵M 是AB 的中点， ∴BM →＝－MB →＝－AM →， ∴AM →＋BM →＝0.于是OA →＋OB →＝2OM →，故OM →＝12(OA →＋OB →).(2)如图乙，∵AP →＝tAB →，图乙∴OP →＝OA →＋AP → ＝OA →＋tAB → ＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确.故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________.2.向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图).(2)向量夹角θ的范围是_______________.a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________.3.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解.(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为________.显然，i ＝______， j ＝______，0＝______.4.平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________.※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y ).当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).自查自纠：1.a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2.(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3.(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4.(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A.若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C.对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.已知点A (－1，1)，点B (2，y )，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A.5B.6C.7D.8解：AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝________.解：易知b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故填(2，－1).(2013·北京模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.解：k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.故填－1.类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A.－2B.－13C.－1D.－23解：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)－2λ×1＝0，∴λ＝－1，故选C.(2)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，m )，若2a －b 与a ＋3b 共线，则m ＝ ____________.解：2a －b ＝(5，2－m )，a ＋3b ＝(6，1＋3m )，由2a －b 与a ＋3b 共线得5(1＋3m )－6(2－m )＝0，解得m ＝13.故填13.点拨：此类题目在近几年高考中多次出现，既考查了向量的线性运算及向量的坐标表示，又考查了学生对向量共线充要条件的理解及计算能力.解决此类题目，我们只需要牢记向量共线充要条件的坐标表示形式：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0即可.(1)(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A.－ 2B. 2C.－2或 2D.0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C.1 D.2 解：因为a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，又∵(a ＋λb )∥c ，∴(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.故选B.类型二 平面向量基本定理及其应用 (1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基e 1，e 2下的坐标为________.解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长.设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标 (x ，y ).|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝y r，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α.v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立.故填(r cos α，r sin α).(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程.②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一.特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：选项A ，C ，D 中，e 1与e 2共线，故不存在实数λ，μ使得a ＝λe 1＋μe 2；选项B 中，e 1与e 2不共线，设存在实数λ，μ使得(3，2)＝λ(－1，2)＋μ(5，－2)，解得λ＝2，μ＝1，∴a ＝2e 1＋e 2.故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2，6)B.(－2，6)C.(2，－6)D.(－2，－6)解：设d ＝(x ，y ).因为4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，依题意，有4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6.故选D.点拨：将三角形法则推广后，便可得：在如图所示的n 边形A 0A 1…A n 中，有A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n＝A 0A n →，A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 0→＝0.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )A.(2，4)B.(3，5)C.(－3，－5)D.(－2，－4) 解：如图，BD →＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5).故选C.1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸.(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2.向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等，当且仅当其坐标相同.1.(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9) 解：2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).故选A .2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A.a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B.a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C.a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D.a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选B.3.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解：由p ∥q 得4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)＝2ab sin C ，结合余弦定理得tan C ＝3，C ＝π3.故选B.4.(2014·安徽六校联考)“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：由向量a 与b 共线得(x ＋2)(2－x )－2＝0，∴x ＝±2，∴“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的充分不必要条件.故选A .5.(2013·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( )A.3，1B.1, 3C.－1, 3D.－3，1 解：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.依题意，OC →＝(λ，μ)，λ＝|OC |cos 5π6＝－3，μ＝|OC |sin 5π6＝1.故选D.6.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A.若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B.a ⊙b ＝b ⊙aC.对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D.(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解：若a 与b 共线，则有a ⊙b ＝0，故A 正确；因为b ⊙a ＝pn －qm ，而a ⊙b ＝mq －np ，所以a ⊙b ≠b ⊙a ，故B 错误，易验证C ，D 皆正确.故选B.7.(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝____________.解：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ，tan θ＝12.故填12.8.(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23B C.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____________.解：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＋λ2＝12.故填12.9.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足什么条件？解：AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，AC →＝OC →－OA →＝(1－m ，m ＋6)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C三点不共线.当A ，B ，C 三点共线时，AB →＝λAC →，(2，1)＝λ(1－m ，m ＋6)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（1－m ），1＝λ（m ＋6），解得m＝－113.∴当m ≠－113时，点A ，B ，C 能构成三角形.10.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t ).若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0. ∴t ＜－23. (2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解. 故四边形OABP 不可能成为平行四边形.11.如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标.解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )， AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6). ∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3).在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A.(－72，－2)B.(－72，2)C.(－46，－2)D.(－46，2)解法一：将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则向量OQ →与向量OP →的模相等，夹角为3π4，设OQ →＝(x ，y )，由OP →·OQ →＝6x ＋8y ＝－502，||OP →＝||OQ →＝x 2＋y 2＝10，解得x ＝－72，y＝－2，或x ＝2，y ＝－72，结合图形知Q 点在第三象限.则A 正确.解法二：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)⇒cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2).故选A.§5.3 平面向量的数量积1.数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作____________，其中θ是a 与b 的夹角，||b cos θ叫向量b 在a 方向上的____________，即a ·b|a|. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于____________2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________； ③分配律：______________________. (2)常用结论①(a ±b )2＝________________________； ②(a ＋b )·(a －b )＝_________________；③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3.数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则① e ·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a ·b ＝____________； 当a 与b 反向时，a ·b ＝____________. 特别地，a ·a ＝____________或||a ＝____________.④ cos θ＝____________. ⑤||a ·b ≤____________. 4.数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ·b ＝________________；a 2＝________________；||a ＝________________.② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________.自查自纠：1.||a ||b cos θ a ·b 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||b cos θ的乘积2.(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c(2)①a 2±2a ·b ＋b 2 ②a 2－b 2③a ＝0且b ＝0 ④≤3.①|a |cos θ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b ||a |2a ·a ④a ·b |a ||b |⑤|a ||b |4.①x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 21＋y 21②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 21＋y 21x 22＋y 22(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－ 3 解：a ·b ＝3＋3m ＝|a ||b |cosπ6＝2·9＋m 2·32，解得m ＝3.故选B. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解：AB →·BC →＋AB →2＝0⇒AB →·(BC →＋AB →)＝0⇒AB →·AC →＝0⇒AB →⊥AC →.则△ABC 必定是直角三角形.故选B.(2013·北京海淀一模)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( )A.－12B.12C.－1D.1解：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴2a ·b ＝－1，故a ·b ＝－12.故选A.(2014·江西)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解：∵a ＝3e 1－2e 2，∴|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12e 1·e 2＝9，∴|a |＝3.故填3.(2013·全国新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝____________.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则||a ＝||b ＝2.且a ·b ＝0.∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·(b －a )＝b 2－12a 2＝4－12×4＝2.故填2.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________.(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数.故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC →，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为( )A.32B.32C.3D.－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形.且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴∠C ＝π3，∠B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)).其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题.(1)(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立.故选C.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152C.－322D.－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________.解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等.(2014·全国)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A.－1B.0C.1D.2解：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos60°－|b |2＝2×1×1×12－12＝0.故选B.类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝5D.x ＝0 解：由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0.故选D.(2)已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.||a ＝||bD.a ＋b ＝a －b解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0，∴a ⊥b .解法二：a ＋b ，a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线.∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形的对角线相等.∴该平行四边形为矩形，∴a ⊥b .故选B.点拨：两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直.(1)(2014·湖北)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.解：由(a ＋λb )⊥(a －λb )，得(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0，即18－2λ2＝0，∴λ＝±3.故填±3.(2)(2013·广西)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：易知m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0，∴－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B.类型四 向量的夹角与模(1)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a－b )＝－2，则a 与b 的夹角为________.解：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.故填π3.(2)(2014·全国)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A.2B. 2C.1D.22解：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，又|a |＝1，∴a ·b ＝－1.又(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴b 2＝2，即|b |＝2.故选B.点拨：由向量数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________.解：由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a－c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B.1C. 2D.2解：|a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ， 由于a ·b ＝0，a ，b ，c 为单位向量，所以上式＝3－2c ·（a ＋b ），又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·（a ＋b ）≤1，故选B.。
高一数学必修4课件：2-1平面向量的实际背景及基本概念
a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
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相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
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ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
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[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
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单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
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→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
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西安高新第三中学导学案
学科编写校对班级小组学生评价
向量可以用有向线段表示
_________________________。
向量a
_____________________。
若a与b是一对相反向量，则______________________ 8、平行向量（共线向量）:______________ __叫做平行或共线向量a与b平行,通常记作_______
我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有__________________.
引领探究1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作
3.有向线段：具有方向的线段叫做，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个
向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也
是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫，记作 .0的方向是 .
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫 .
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ
∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：且的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作a＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且
与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段
的起点无关）.
1.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共
线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
2.若a与b平行，那么a与b的方向相同吗？
3.什么叫自由向量？在自由向量的前提下,平行向量和共线向量有什么关系？
课堂精彩记录
A(起点)
B
（终点）
a
a与b平行与a方向相反
）两个有共同起点而长度相等的向量
a＞b，则
）如果a=b，则a长度相等。
a=b，则与b的方向相同。
a=b，则a与b的方向相反。
a=b，则与a与b的方向没有关系。
是正六边形ABCDEF的中心，其中与
一个 B 两个 C三个 D
a=b，若a＞b，则
a=1
下列说法正确的有（）
ABCDEF的中心，则下列向量中含有相等向量的是（
，，是（）
O是正方形的中心，则向量AO BO OC
QR B SR PQ
和 D
和 C SR QR
a=2 b=___________________
b=____________，b的方向与a___________
如图所示，O是正方形ABCD的中心，图中与向量OA长度相等的向量有___________，OA相等的向量有________
________，与OA
a=5 轴正方向的夹角是30
平行。
）若a=b，则a与b共线。
P73：习题2-1: 2、4
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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