§3.3 随机变量的独立性§3.4 两个随机变量函数的分布
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§3.4相互独立的随机变量
故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
二维随机变量的函数的分布
§3.5 二维随机变量的函数 的分布
一、 离散型随机变量的函数的分布 二、 连续型随机变量的函数的分布
Z=X+Y 的分布
三、最大值、最小值的分布
一、 离散型随机变量的函数的分布
例1 设(X,Y)的分布律为
求 (1) Z=X+Y
(2) Z=XY
XY 0 1 2 -1 0.2 0.3 0.1
解
(3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.
0,
, x 0, 其它.
1 0, 0
fX2 ( y)
(y)2 1 e y , ( 2 )
y
0, 2
0,
0,
0,
其它.
试证：X1 + X2服从参数为 1+2, 的分布.
[注] 函数: ( x) t x1et dt. ( x 0) 0
一般结论：若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi 服从参数为
i , (i=1,2,…n)的的分布，则X1+X2+…+Xn服从参
数[为注]1+2函+.数..+:n,(x的) 分布t x.1etdt. ( x 0) 0
证： z 0, fZ (z) 0. 当 z > 0 时,
分布：若随机变量X的概率密度为
f
( x)
(
)
(
x)
1
e
x
0,
, x 0, 其它.
0,
0
则称X服从参数为, 的分布.记为 X~(, ).
分布的性质：若X1 ~(1, )， X2 ~(2, )，且相互
两个随机变量函数的分布
P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分 布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。
对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。
本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。
常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。
例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。
2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。
例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。
3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。
即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。
该公式也适用于多个独立的随机变量。
二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。
常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。
该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。
对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。
2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。
即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。
该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。
对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。
3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。
概率论-两个随机变量函数的分布
由此可得
0, 1 e z , 4 f Z ( z ) 1 z 1 ( z 1) , 4 e 2 e 1 e z 1 e ( z 1) 1 e ( z 2) , 4 2 4 z 0, 0≤z 1, 1≤z 2, z≥2.
第三章
多维随机变量及其分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
1、二维离散型随机变量的函数分布
问题
已知随机变量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法
将关于 Z 的事件转化为关于( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散型随机变量时, Z 也是离散型.
Y 服从参数为λ 的指数分布，求 Z = X + Y 的概率密度 函数. 解 由题意知, Y的概率密度函数为
e y , fY ( y ) 0, y 0, y≤0.
记 Y 的分布函数为FY ( y )，Z 的分布函数为FZ(z). 显然， X i Ω, 由分布函数的定义及全概率公式
Z z k g ( xi , y j )
k k
P Z zk
g ( xik , y jk ) zk
P X xik , Y y jk
k 1,2,
当( X ,Y )为连续随机变量时，
FZ ( z ) P Z z P g ( X , Y ) z
求出Z的概率密度 f Z ( z ).
例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1, 0 x 1, 0 y 2 x, f ( x, y ) 0, 其他.
求 Z = 2X – Y 的分布函数 FZ ( z ) 和概率密度 fZ (z). 解 采用分布函数法,如图所示. 当 z ≤0 时, 有 FZ ( z ) 0;
0, 1 e z , 4 f Z ( z ) 1 z 1 ( z 1) , 4 e 2 e 1 e z 1 e ( z 1) 1 e ( z 2) , 4 2 4 z 0, 0≤z 1, 1≤z 2, z≥2.
第三章
多维随机变量及其分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
1、二维离散型随机变量的函数分布
问题
已知随机变量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法
将关于 Z 的事件转化为关于( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散型随机变量时, Z 也是离散型.
Y 服从参数为λ 的指数分布，求 Z = X + Y 的概率密度 函数. 解 由题意知, Y的概率密度函数为
e y , fY ( y ) 0, y 0, y≤0.
记 Y 的分布函数为FY ( y )，Z 的分布函数为FZ(z). 显然， X i Ω, 由分布函数的定义及全概率公式
Z z k g ( xi , y j )
k k
P Z zk
g ( xik , y jk ) zk
P X xik , Y y jk
k 1,2,
当( X ,Y )为连续随机变量时，
FZ ( z ) P Z z P g ( X , Y ) z
求出Z的概率密度 f Z ( z ).
例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1, 0 x 1, 0 y 2 x, f ( x, y ) 0, 其他.
求 Z = 2X – Y 的分布函数 FZ ( z ) 和概率密度 fZ (z). 解 采用分布函数法,如图所示. 当 z ≤0 时, 有 FZ ( z ) 0;
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第9页
例3.3.2 已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, …), 则X与 Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2,… , 有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}· P{Y= yi}
（Pij Pi P ） j
第3章
§3.3—3.4
第7页
2. (X, Y)是连续型
14
14
16
18
18
1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 0 1 -1 -1 0 0 2 -1 1 1 0 1 3 -2 2 2 0
dx
0
1/2
e y dy
1 2
1 e1 2e
第3章
§3.3—3.4
第6页
§3.3 随机变量的独立性
定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y) 即 P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y}
则称随机变量X与Y是相互独立的。 1. (X, Y)是离散型
e y , 0 x y f ( x, y ) 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}.
第3章
§3.3—3.4
第4页
D为 2x+3y≤6. 1.解:
6e (2 x 3 y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 其 它 0, y
2 2x+3y=6
y2
…
yj … p1j … p2j … pij … p.j …
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2 xi P{Y=yj}
p12 … p22 … pi2 … p.2 …
pi.
1
边缘密度函数
f X ( x)
f ( x, y)dy fY ( y)
第3章
§3.3—3.4
第13页
3.4.1
Z=X+Y的分布
离散型随机变量和的分布
例1 设二维随机变量( X,Y )的概率分布为
Y -1 0
pij X
-1
14 14
1
16 18
2
18 1 12
求 X Y , X Y , XY , Y X 的概率分布
第3章
§3.3—3.4
第14页
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P
P{( X , Y ) D}
2x 3y 6
3
f (x, y )dxdy
1 (6 2 x ) 3 0
dx
0
3
6e (2 x 3 y ) dy
(6 2 x ) / 3 0
6
0
dx
3
x
6 e
0
3 0
2 x
1 e 3 y 3
6
f ( x, y)dx
第3章
§3.3—3.4
第3页
6e (2 x 3 y ) , x 0, y 0 若 (X, Y) ～ f ( x, y ) 其 它 0, 试求 P{(X, Y)D}, 其中D为 2x+3y≤6.
例 1：
例2: 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
பைடு நூலகம்第3章
§3.3—3.4
第1页
知识回顾 二维随机变量（X，Y）的分布函数 F(x, y) =P{(X≤x) ∩(Y≤y)} =P{X≤x, Y≤y}
概率计算 对于任意的x1＜x2，y1＜y2，有
P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2} ＝F(x2, y2)-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
二维离散型随机变量 (X, Y)的概率 分布列及分布函数 二维连续型随机变量 (X, Y)
F ( x, y)
x
y
f (u, v)dudv P{( X , Y ) D} f ( x, y)dxdy
D
第3章
Y
§3.3—3.4
第2页
离散型二维随机向量的边缘分布
X
y1 p11 p21 pi1 p.1
若(X, Y)的 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分 必要条件是 f (x,y) = fX(x)· fY (y)
例3.3.1 (X, Y) 的联合分布列为:
Y X 0
1
0
0.3 0.2
1
0.4 0.1
问 X与Y 是否独立？
第3章
§3.3—3.4
第8页
例3.3.1 (X, Y) 的联合分布列为:
第3章
§3.3—3.4
第11页
定理3.3.2 若X1, …,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1, …,Xm), Y2=g2 (Xm+1, …,Xn) 则Y1与Y2独立 .
第3章
§3.3—3.4
第12页
§3.4 两个随机变量函数的分布
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？
2 (e
2 x
e )dx 1 7e
第3章
§3.3—3.4
第5页
例2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
e y , 0 x y f ( x, y ) 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1 x x
y= x
x+y=1
问 X与Y 是否独立？ 解: 边缘分布列分别为: X 0 1
Y X 0 1
0 0.3 0.2
1 0.4 0.1
Y
0
1
P
0.7
0.3
P
0.5
0.5
因为 P( X 0, Y 0) 0.3
P( X 0) P(Y 0) 0.7 0.5 0.35
所以不独立
第3章
§3.3—3.4
e y , f (y) 0,
y 0 y0
所以X 与Y 独立。
注意：f(x, y) 可分离变量.
第3章
§3.3—3.4
第10页
注意点
(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. (2) 联合密度 f(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立. (3) 若联合密度 f (x, y) 可分离变量，即 f (x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。 (4) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0. )