吸附热力学及动力学的研究
吸附动力学和热力学各模型公式及特点(终审稿)
吸附动力学和热力学各模型公式及特点文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-分配系数K d =(C 0−C e )C C e C吸附量 C t =C 0−C t C×C LangmiurC e =C m C L C e 1+C L C eC e C e =1C m C L +C e C m KL 是个常数与吸附剂结合位点的亲和力有关，该模型只对均匀表面有效FreundlichC e =C F C e 1/Cln C e =ln C F +1Cln C e Ce 反应达到平衡时溶液中残留溶质的浓度KF 和n 是Freundlich 常数，其中KF 与吸附剂的吸附亲和力大小有关，n 指示吸附过程的支持力。
1/n 越小吸附性能越好一般认为其在0.1~0.5时，吸附比较容易；大于2时，难以吸附。
应用最普遍，但是它适用于高度不均匀表面，而且仅对限制浓度范围（低浓度）的吸附数据有效一级动力学1(1)k t t e q q e -=-C t =C e (1−C −C 1C )线性 ln (C e −C t )=ln C e −C 1C二级动力学 2221e t e k q t q k q t =+C t =C 2C e 2C 1C 2C e C线性 C C t =1C 2C e 2+CC e初始吸附速度C0=C2C C2Elovich 动力学模型C t=C+C ln C Webber-Morris动力学模型C C=C ip C1/2+C Boyd kinetic plotC C C C =1−6×exp−C C CC6令F=Q t/Q e,K B t=-0.498-ln(1-F)准一级模型基于假定吸附受扩散步骤控制；准二级动力学模型假设吸附速率由吸附剂表面未被占有的吸附空位数目的平方值决定，吸附过程受化学吸附机理的控制，这种化学吸附涉及到吸附剂与吸附质之间的电子共用或电子转移；Webber-Morris动力学模型粒子内扩散模型中，qt与t1/2进行线性拟合，如果直线通过原点，说明颗粒内扩散是控制吸附过程的限速步骤；如果不通过原点，吸附过程受其它吸附阶段的共同控制；该模型能够描述大多数吸附过程，但是，由于吸附初期和末期物质传递的差异，试验结果往往不能完全符合拟合直线通过原点的理想情况。
海带对Pb~(2+)吸附动力学及热力学研究
图 ２ 吸 附 时 间对 Ｐ ｈ 吸 附量 的 影 响
高 时饱 和 吸附量最 大 。
３ ４ ０
地
质
学
刊
２ ０ １ ３年 ６月
比较 Ｌ ａ ｎ ｇ ｍ ｕ ｉ ｒ 和 Ｆ ｒ ｅ ｕ ｎ ｄ ｌ ｉ ｃ ｈ等 温 式 拟 合 所 得
Ｒ ， 可 以看 出海带对 金 属 离 子 的 吸 附过 程 更好 地 符 合Ｌ ａ ｎ ｇ ｍ ｕ ｉ ｒ 等温式 。
２ ． ２ 吸 附 动 力 学
准确 配 制 初 始 体 积 质 量 为 ５ ０ ，８ ０ ， １ ０ ０ ，２ ０ ０， ４ ０ ０ ， ６ ０ ０， ８ ０ ０， １ ０ ０ ０ ｍ＃Ｌ的 Ｐ ｈ 溶液 ， 各１ ０ ０ ｍ Ｌ 于一 系 列 ２ ５ ０ ｍＬ锥 形 瓶 中 ， ｐ Ｈ 值均调 整为 ４ ． ５ 。 分别投 加 ０ ． ２ ｇ海 带 粉 ， 分别在 ２ ０ ， ２ ５ ， ３ ０， ３ ５ ｃ Ｃ下
ｌ ｇ （ ｑ 一 ｇ ）＝ｌ ｇ ｑ 一
准
（ １ ）
式（ ４） 中， 为 吸 附 系数 ； Ｃ 为 吸附 平 衡 时 溶 液 中 Ｐ ｂ “ 的浓度 ； １ ／ ｎ为 吸附 指 数 ， 通 常 数值 在 ０～１之 间 。拟合 参数 见表 ２ 。
由表 ２可 以看 出 ， 海 带对 Ｐ ｂ ¨ 的 吸 附指数 １ ／ ｎ
第３ ７卷
曹
军
等： 海带对 Ｐ ｂ 吸附动力学 及热力学研 究
３ ３ ９
下振荡 ２ ｈ后 过滤 ， 测 量 其 吸 附量 。ｐ Ｈ值 对 海 带 吸
吸附动力学及动态学.课件
剩余吸附能力
剩余吸附能力
2024/6/11
吸附过程及应用
20
(6)固定床吸附动力学
1.3 吸附动力学及动态学
4）透过曲线计算
✓在固定床吸附，如果浓度波形成后，波形保持固定不变， 并以恒定的速度向前移动。
✓依照物料衡算,在dτ时间内，送入床层中溶液内溶质变化值 εbuAC0dτ ，应等于在此段dz床层中吸附剂的吸附量和床层吸 附剂颗粒空隙εb内溶液浓度的变化量：
2Hale Waihona Puke 1.3 吸附动力学及动态学
(1) 吸附速度
1.3 吸附动力学及动态学
➢在单位时间内被单位体积(或质量)吸附剂所吸附的物质 量称为吸附速度。
✓吸附速率曲线
➢可用与测定吸附等温线相同 的方法，在不同吸附时间测得 吸附量，以吸附量为纵坐标， 时间为横坐标绘图，即可得到 吸附速率曲线。
➢右图为正己烷在5A分子筛上 的吸附速率曲线
(2) 吸附的传质过程
吸附剂都是内部拥有许多孔的多孔物质。以气相吸附质 在吸附剂上的吸附过程为例，吸附质从气体主流到吸附 剂颗粒内部的传递过程分为两个阶段：
✓ 第一阶段是从气体主流通过吸附剂颗粒周围的气膜 到颗粒的表面，称为外部传递过程或外扩散。
✓ 第二阶段是从吸附剂颗粒表面传向颗粒孔隙内部， 称为孔内部传递过程或内扩散.
吸附量,kg/kg
0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
0
10
20
30
40
50
60
70
吸附时 间 ,min
无机 ; 南工 3#
正己烷在不同生产厂的5A分子筛上的吸附速率曲线（30℃）
2024/6/11
吸附常用模型介绍
Langmuir吸附等温线
1）符合Langmuir等温式的吸附为化学吸附。化学 吸附的吸附活化能一般在40~400kJ/mol的范围， 除特殊情况外，一个自发的化学吸附过程，应该 是放热过程，饱和吸附量将随温度的升高而降低。 2）KL为吸附作用的平衡常数，其值大小与吸附剂、 吸附质的本性及温度的高低有关，KL值越大，则 表示吸附能力越强，而且KL具有浓度倒数的量纲。
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相 互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
吸附等温线及动力学
V:样品实际吸附量；Vm:单层饱和吸附量；
C:与样品吸附能力有关的常数。 从上式可以看出，BET方程建立了单层饱和吸附量Vm与多层吸附量V之间的 数量关系，为比表面积测定提供了很好的理论基础。
BET方程实际上基于下面两个假设：
1. BET方程是建立在Langmuir吸附理论基础上的，但同时还认为：物理吸附 为分子间力，被吸附的分子与气相分子之间仍有此种力，故可发生多层吸附， 多层吸附与气体的凝聚相似。
度和可信度高，特别适合科研及生产单位使用。
2、孔径分布测定
（1）孔径分布介绍 超微粉体颗粒的微观特性不仅表现为表面形状的不同，很多还存在孔结构。 孔的大小、形状及数量对比表面积测定结果有很大的影响，同时材料的孔体积
大小及孔径分布规律对材料本身的吸附、催化剂稳定性等有很大影响。因此，
测定孔容积大小及孔径分布规律成为粉体材料性能测试的又一大领域，通常与 比表面积测定密切相关。
N2因其易获得性和良好的可逆吸附特性，成为最常用的吸附质。通过这种方法测 定的比表面积称之为“等效”比表面积。所谓“等效”的概念是指：样品的表面
积是通过其表面密排包覆（吸附）的氮气分子数量和分子最大截面积来表征的。
实际测定出氮气分子在样品表面平衡饱和吸附量(V)，通过不同理论模型计算出单 层饱和吸附量(Vm)，进而求出分子个数，采用表面密排六方模型计算出氮气分子 等效最大横截面积(Am)，即可求得被测样品的比表面积。计算公式如下：
Ce C 1 e qe qmax qmax K L
式中，Ce为溶液的平衡浓度，mg/L, qmax为最大吸附量（饱和），mg/g，KL
为与键合位点的亲和力及吸附能有关的Langmuir常数, L/g，
Langmuir 分子吸附模型对于当固体表面的吸附作用相当均匀，且吸附限于单分 子层时，能够较好地代表实验结果。但是由于它的假定是不够严格的，因而具有 相当的局限性。
吸附热力学及动力学的研究
吸附热力学及动力学的研究吸附热力学及动力学的研究吸附热力学及动力学的研究摘要：杂乱无章的实验数据，不经过数学处理，得不到能够描述它们的模型，其本身无论在科学理论上•还是在应用技术上都没有太大的实际意义。
综述了近些年来在液固吸附理论研究领域对吸附等温线•吸附热力学及吸附动力学的研究进展。
论述5种类型吸附等温线，总结了热力学中、AG、Z\S的几种求算方法•以及5种吸附动力学的模型,从而•为吸附实验数据的处理和模型优选，，提供依据。
关键字：吸附等温曲线热力学动力学1吸附等温曲线吸附等温曲线是指在一定温度下溶质分子在两相界面上进行的吸附过程达到平衡时它们在两相中浓度之间的关系曲线。
在一定温度下，分离物质在液相和固相中的浓度关系可用吸附方程式来表示。
作为吸附现象方面的特性有吸附量、吸附强度、吸附状态等，而宏观地总括这些特性的是吸附等温线.0］型分子吸附模型Langmuir 吸附模型是应用最为广泛的分子吸附模型,Langmuir型分子吸附模型［2］就是在Langmuir吸附模型的基础上，研究者就Langmuir吸附模型的局限性进行了改进、发展，形成了一系列的分子吸附模型。
ngmuir分子吸附模型Langmuir分子吸附模型是根据分子间力随距离的增加而迅速下降的事实，提出气体分子只有碰撞固体表面与固体分子接触时才有可能被吸附，即气体分子与mol-1 ;R为气体摩尔常数&314 J -mol -1 K-1 ;T为绝对温度，K、Kd为吸附热力学平衡常数;AHO为吸附标准焙变,kJ -mol -1 ; AS 0为吸附标准燧变值,Jmol -1 K-1。
根据式(8)可以作In Kd -1/T曲线图，计算出AHO、AS 0。
3、吸附动力学吸附过程的动力学研究主要是用来描述吸附剂吸附溶质的速率快慢•通过动力学模型对数据进行拟合•从而探讨其吸附机理。
以下为5种动力学模型.、吸附动力学一级模型吸附动力学一级模型采用Lagergren方程［17］计算吸附速率：dQtdt?kt(Qe?Qt)(22)式中，Qt和Qe分别为t时刻和平衡态时的吸附量•mg?g-1 • k1为一级吸附速率常数•min-1。
吸附动力学及动态学
实验步骤与实验方法
01
实验步骤
02
1. 选择合适的吸附剂和吸附质，进行预处理；
2. 配置不同浓度的吸附质溶液；
03
实验步骤与实验方法
01
实验步骤
02
1. 选择合适的吸附剂和吸附质，进行预处理；
2. 配置不同浓度的吸附质溶液；
03
实验步骤与实验方法
3. 在恒温条件下进行吸附实验，记录吸附量随时 间的变化；
扩散系数
描述分子在溶液中扩散快慢的常数， 影响吸附速率。
03
02
吸附速率常数
描述吸附速率快慢的常数，与扩散 系数、反应速率常数等有关。
反应速率常数
描述化学反应快慢的常数，影响化 学反应控制模型的吸附速率。
04
吸附动力学模型的参数
01
平衡吸附量
在一定温度和压力下，吸附剂达到 吸附平衡时的吸附量。
扩散系数
吸附动态学在各领域的应用
环境科学
吸附动态学在环境科学领域中广泛应用于处理和治理环境污染问题。例如，通过研究土壤、水体和空气中的污染物在 吸附剂表面的动态行为，可以有效地去除和降低污染物的浓度。
能源科学
在能源科学领域，吸附动态学可用于研究和开发高效、低成本的储氢材料和二氧化碳捕获技术。通过了解吸附剂对氢 气和二氧化碳的动态吸附特性，可以优化材料的结构和制备方法，提高储氢和二氧化碳捕获的性能。
物理吸附
物理吸附是指分子间的范德华力 作用，吸附力较弱，吸附速率较 快。
化学吸附
02
03
动态吸附
化学吸附是指吸附剂与被吸附物 之间通过化学键结合，吸附力较 强，吸附速率较慢。
动态吸附是指吸附剂在动态条件 下的吸附行为，如流化床、固定 床等反应器中的吸附过程。
螯合树脂对铜离子的吸附动力学和热力学
螯合树脂对铜离子的吸附动力学和热力学一、引言螯合树脂作为一种重要的功能性材料，在环境保护、化工领域等方面具有广泛的应用价值。
其中，对金属离子的吸附动力学和热力学研究尤为重要。
本文将从螯合树脂对铜离子的吸附动力学和热力学特性进行全面探讨，旨在帮助读者全面了解螯合树脂的吸附特性，以及对金属离子的去除效果。
二、螯合树脂的特性螯合树脂是一种高分子化合物，具有多种官能团，如羧基、酚基和胺基等，这些官能团能够与金属离子形成稳定的络合物。
以螯合树脂对铜离子的吸附为例，其吸附过程包括静电吸引、化学吸附和络合物形成等多种机制。
在实际应用中，螯合树脂能够高效吸附金属离子，并且具有一定的选择性，对于废水处理和资源回收具有重要意义。
三、螯合树脂对铜离子的吸附动力学1. 吸附速率螯合树脂对铜离子的吸附速率是指单位时间内吸附到螯合树脂上的铜离子数量。
实验结果表明，螯合树脂对铜离子的吸附速率与温度、pH 值、初始铜离子浓度等因素密切相关。
在一定温度范围内，吸附速率随着铜离子浓度的增加而增加，但当浓度达到一定程度后，吸附速率趋于饱和。
2. 吸附平衡吸附平衡是指在一定条件下，螯合树脂对铜离子的吸附量达到动态平衡，不再发生净吸附或解吸现象。
吸附平衡通常可以用等温吸附模型来描述，常见的模型包括Langmuir模型、Freundlich模型等。
通过实验数据拟合和参数计算，可以得到螯合树脂对铜离子吸附的平衡常数、最大吸附量等重要参数，从而进一步了解吸附过程的特性。
四、螯合树脂对铜离子的热力学1. 吸附热吸附热是指在吸附过程中释放或吸收的热量。
螯合树脂对铜离子的吸附热可以通过热力学方法进行研究，如等温吸附实验、热重分析等。
实验结果表明，吸附热与吸附过程中化学反应的放热或吸热密切相关，可以反映吸附过程的热力学性质。
2. 吸附焓、熵、自由能变化除了吸附热外，吸附过程还伴随着吸附焓、吸附熵等热力学参数的变化。
这些参数可以通过吸附平衡常数、温度等因素计算得到，从而了解吸附过程对热力学的影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
吸附热力学及动力学的研究摘要：杂乱无章的实验数据, 不经过数学处理, 得不到能够描述它们的模型，其本身无论在科学理论上，还是在应用技术上都没有太大的实际意义。
本文综述了近些年来在液固吸附理论研究领域对吸附等温线，吸附热力学及吸附动力学的研究进展。
论述5 种类型吸附等温线，总结了热力学中△H 、△G 、△S 的几种求算方法，以及5种吸附动力学的模型，从而，为吸附实验数据的处理和模型优选,，提供依据。
关键字：吸附 等温曲线 热力学 动力学1吸附等温曲线吸附等温曲线是指在一定温度下溶质分子在两相界面上进行的吸附过程达到平衡时它们在两相中浓度之间的关系曲线。
在一定温度下, 分离物质在液相和固相中的浓度关系可用吸附方程式来表示。
作为吸附现象方面的特性有吸附量、吸附强度、吸附状态等, 而宏观地总括这些特性的是吸附等温线.[1]1.1Langmuir 型分子吸附模型Langmuir 吸附模型是应用最为广泛的分子吸附模型,Langmuir 型分子吸附模型[2]就是在Langmuir 吸附模型的基础上,研究者就Langmuir 吸附模型的局限性进行了改进、发展,形成了一系列的分子吸附模型。
1. 1.1 Langmuir 分子吸附模型Langmuir 分子吸附模型是根据分子间力随距离的增加而迅速下降的事实,提出气体分子只有碰撞固体表面与固体分子接触时才有可能被吸附,即气体分子与表面相接触是吸附的先决条件。
并做如下假定: ①气体只能在固体表面上呈单分子层吸附; ②固体表面的吸附作用是均匀的; ③被吸附分子之间无相互作用。
所以Langnuir 等温吸附方程[3 ]cK c q q d m +≡或cK c K q q b b m +≡1 (1)其中,qm 为饱和吸附容量,Kd 为吸附平衡的解离常数,Kb 为结合常数( = 1/ Kd) 。
Langnuir 分子吸附模型对于当固体表面的吸附作用相当均匀,且吸附限于单分子层时,能够较好的代表试验结果。
但由于它的假定是不够严格的,具有相当的局限性[4]。
1.1. 2 竞争吸附的Langmuir 模型上述的Langmuir 模型描述一种组分发生单分子层吸附的情况,当有多种组分同时在固体表面发生吸附,它们之间将产生竞争吸附,通过对Langmuir 模型进行一定改进可以得到竞争吸附的Langmuir 模型,即:jjbnj iib im i c Kc K q q ∑=+≡11 (2)其中qim 和Kib 可以从相应的单一组分吸附的Langmuir 模型中得出。
竞争吸附的Langmuir 模型可以描述多组分的吸附情况,尤其当固体表面的吸附作用相当均匀,且吸附限于单分子层时,能够较好的代表试验结果。
但由于它的假定与Langmuir 模型一样,不够严格,具有相当的局限性1.1. 3 多参数的Langmuir 模型三参数的Langmuir 模型:Langmuir 模型和竞争Langmuir 模型都是两参数的分子吸附模型,以单分子层吸附且分子间无相互作用为基础,它们解释和关联实验数据时有很大的局限性,因此研究者们提出了很多的模型,增加其中的参数,以提高它们处理实验数据的关联精确性。
其中发展了很多的三参数Langmuir 模型,它们在处理数据时更为准确,应用更为广泛。
其中如:Langmuir - Freundlich 吸附模型nb n b mc K c K q q )(1)(+≡(3)Toth 吸附模型[5 ]nnb b mc K c K q q /1])(1[+≡(4)Extended Langmuir 吸附模型[6 ]cK n c K c K q q b b b m ++≡1(n 为模型参数,可以通过实验数据回归得到) (5)1.2、Henry 公式[5 ]kc q = (6)式中: q —吸附量, mg/g;c —吸附质的平衡质量浓度, mg/L; k —分配系数。
1.3、Freundlich 公式Freundlich 型吸附等温线是基于吸附剂在多相表面上的吸附建立的经验吸附平衡模式.Freundlich 等温线方程[6]:efe C nKq ln 1ln += (7)式中:q e 为吸附达平衡时的吸附量,mg/g; Ce 为吸附平衡时溶液中磷浓度,mg/L; K f 是Freundlich 模型下与吸附容量和吸附强度有关的常数; 1/n 为Freundlich 常数。
较大的K f 、n 值是吸附剂具有较好吸附性能的表征。
在不同温度下,分别以lnq e 对lnCe 作图得到的Freundlich 吸附等温线1.4、Redlich-Peterson 模型[7])1/(аe R e R e C a C K q += (8)其中, Ce 为溶液平衡浓度, mmol/L; qe 为吸附量; q m 、K L 分别表示单层最大吸附量、与吸附能有关的常数; K f 和n 是Freundlich 等温方程的特征参数;K R , a R 和α均为经验常数1.5、Temkin 方程[8]Temkin 方程所描述的能量关系是，吸附热随吸附量线性降低 简单的方程形式eC B A q log += (9)式中：Ce 为平衡浓度，q 为吸附量，A 和B 式方程的两个常数。
以q 对log Ce 作图为一直线，可确定该方程对实验数据的拟合程度。
2. 吸附热力学通过吸附热力学的研究可以了解吸附过程进行的程度和驱动力，也可以深入分析各种因素对吸附影响的原因[9]2. 1 吸附焓△H 的计算 2.1.1方法一由Clausius - Clapeyron 方程[10] :KRTH C e +=Δln (10)式中: Ce ———平衡浓度, mg ·L - 1T ———热力学温度, KR ———理想气体常数, J ·mol - 1·K- 1 △H ———等量吸附焓, J ·mol- 1 K ———常数通过测定各种温度下离子交换纤维对Cr (V I)的吸附等温线,再由吸附等温线做出不同等吸附量时的吸附等量线InCe -1 /T,用线性回归法求出各吸附量所对应的斜率,计算出不同吸附量时Cr (V I)的等量吸附焓ΔH 。
2.1.2 方法二 V an ’t Hoff 方程式[11])(ln 1ln0RTH K C eΔ-+= (11)式中: Ce 为平衡浓度，mg ·L -1 ; △H 为等量吸附焓变，kJ ·mol -1 ; T 为试验温度，K; K0为V an ’tHoff 方程常数。
不同温度时的Ce 可根据一定吸附量，从吸附等温线上查得。
以ln ( 1 /Ce) 对1 /T 作图，若△H 与温度无关，则可通过斜率计算出来。
2.1.3方法三[14])/ln()/(1212120c c K K T T T T R H-=Δ (12)AeBe C C C K /= (13)其中C Be 、C Ae 分别为Cr(Î)在吸附剂和溶液中的平衡浓度(mgöL), Kc 为平衡常数。
2.2 吸附自由能ΔG 的计算 2.2.1方法一dK RT Gln 0-=Δ (14)式中:ΔG0为吸附标准吉布斯自由能变值,kJ ·mol - 1 ; R 为气体摩尔常数8. 314 J ·mol - 1 ·K- 1 ;T 为绝对温度, Kd 为吸附热力学平衡常数。
吸附平衡常数Kd 的确定, 文献中有多种计算方法。
本文根据文献[12 ] ,用Freundlich 方程拟合参数计算Kd , 即Kd= Kfn ；用L angmu ir 方程拟合参数计算Kd: Kd =ka/kb ，ka 、kb 分别为吸附速率常数和解吸速率常数；Hen ry 和Temk in 方程拟合参数计算Kd ， Kd 与标准压力平衡常数K 等价。
2.2.2方法二：吸附自由能的值可以通过Gibbs 方程从吸附等温线衍生得到[13]⎰-=xx dxqRTG 0Δ (15)式中:q ———吸附量,mg ·g- 1 X ———溶液中吸附质的摩尔分数 如果Q 和x 的关系符合Freundlish 方程,即nkxq /1= (16)将式(16)代入式(15)得吸附吉布斯自由能ΔG 与Q 无关。
nRT G -=Δ (17)2.2.3方法三[14]cK RT Gln 0=Δ (18)AeBe C C C K /=C Be 、C Ae 分别为Cr(vÎ)在吸附剂和溶液中的平衡浓度(mgöL), Kc 为平衡常数。
2..3 吸附熵ΔS 的计算2.3.1方法一吸附熵可按Gibbs - Helm holtz 方程计算[15]TGH S ΔΔΔ-=(19)2.3.2方法二[16]00S T H G ΔΔΔ-= (20)RS RTHK d 0ln ΔΔ+-=(21)式中:ΔG 0为吸附标准吉布斯自由能变值,kJ ·mol - 1 ; R 为气体摩尔常数8.314 J ·mol - 1 ·K - 1 ;T 为绝对温度, K 、K d 为吸附热力学平衡常数;ΔH 0为吸附标准焓变,kJ ·mol - 1 ; ΔS 0 为吸附标准熵变值,J ·mol - 1 ·K - 1 。
根据式(8) 可以作ln K d - 1/ T 曲线图,计算出ΔH 0 、ΔS 0 。
3、 吸附动力学吸附过程的动力学研究主要是用来描述吸附剂吸附溶质的速率快慢，通过动力学模型对数据进行拟合，从而探讨其吸附机理。
以下为5种动力学模型.3.1、吸附动力学一级模型吸附动力学一级模型采用Lagergren 方程[17]计算吸附速率：)(t e t t Q Q k dtdQ -= (22)式中，Qt 和Qe 分别为t 时刻和平衡态时的吸附量，mg∙g -1，k1 为一级吸附速率常数，min-1。
对式(22)从t=0 到t>0(Q=0到Q>0)进行积分，可以得到：tk Q Q Q c t e 1ln )ln(-=- (23)用式(23) 对在不同温度下吸附剂 对Cr ( Ⅵ) 溶液的吸附作ln ( Qe -Q t ) - t 曲线图,3.2吸附动力学二级模型吸附动力学二级模型可以用McKay 方程描述[18] :，它是建立在速率控制步骤是化学反应或通过电子共享或电子得失的化学吸附基础上的二级动力学方程表达式[19]为：22)(t e t Q Q k dtdQ -= (24)对式(24)从t=0 到t>0(q=0 到q>0)进行积分，写成直线形式为：tQ Qk Q t eet1122+=(25)22Qek h = (26)式中，h 为初始吸附速率常数，mg·(g·min)-1。