几类常见递推数列的解法
几类常见递推数列的解法
几类递推数列通项公式的常见类型及解法
江西省乐安县第二中
学 李芳林 邮编 344300
已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n
的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、a a d n n
+=+1型
形如d a a n
n +=+1（d 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得a a d n n
+-=1，再由等差数列的通项公式()a a n d n =+-1
1可求得a n . 例1： 已知数列{}a n 中()a a a n N n n
1123==+∈+,，求n
a 的
通项公式. 解： ∵a a n n +=+1
3
∴a
a n n +-=1
3
∴ {}a n
是以a
1
2
=为首项，3为公差的等差数列.
∴()a
n n n
=+-=-21331
为所求的通项公式.
二、)
(1
n f a a
n n +=+型
形如a 1
+n ＝a n
+ f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n
）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．
例2：已知数列｛a n
｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1
+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n
． 解：∵a 1+n =a n
＋（2n －1）
∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1
=1 、
a 3－a 2=3 、…… a n －a 1
-n =2n －3
∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a
n
－a 1
-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)
=2
1[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2
n ∈N +
三、n
n a q a
?=+1
型
形如n
n a q a ?=+1（q 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 q a
a
n
n =+1，再由等比数列的通项公式1
1
-?=n n q a a 可求得a n .
例3 ： 已知数列{}a n
中满足a 1=1，n
n a a
21
=+，
求n
a 的通项公式.
解：∵n
n a a
21
=+ ∴2
1=+n
n a
a
∴ {}a n
是以1
1
=a
为首项，2为公比的等比
数列.
∴1
2-=n n
a 为所求的通项公式. 四、n
n a n f a
?=+)(1
型
形如n
n a n f a
?=+)(1
可转化为)
(1n f a
a n
n =+.其中f (n )
=
p
p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或
n
n a a 1+=kn （k ≠0）或n
n a a 1+= km n
( k ≠ 0, 0＜m 且
m ≠ 1)．
例4：已知数列｛a n
｝, a 1=1，a n
＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n
．
解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n
=0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n
)= 0
∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n
＞0 ∴
(n ＋1) a 1+n －na n
=0
∴1
1+=
+n n a
a n
n
∴n
n n n n n n a a a
a a a a a a a
n n n n n n n
11212312111232211=???--?--?-=?????=
-----ΛΛ
五、a 1
+n = f (a n
) 型
形如a 1
+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n
的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律． 例5：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n
＋3 n ,求通项公式a n
．
解： ∵a 1+n = 2 a n
＋3 n
∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2
-n ＋3 n -2)＋
3 n -1 = 22(2 a 3
-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1
=……=2 n -2(2 a 1
＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·3
3
＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1
=2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3
＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1
n
n n
n 232312
3121
-=???
?
??????? ??--
=-
六、a 1
+n ＝pa n + q 型
形如a 1
+n ＝pa n
+ q ,pq ≠0 ，p 、q 为常
数．
当p ＝1时，为等差数列； 当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，
即a 1
+n + x = pa n
+ q + x
?
a 1
+n + x = p (a n
+
p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1
-p q
时，有a 1
+n + x = p (a n
+ x )，
从而转化为等比数列 {a n
+
1
-p q
} 求解．
例6：已知数列{a n
}中，a 1
=1，a n
= 2
1a 1
-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n
．
解：∵ a n
= 21a 1-n + 1 ? a n －2 =2
1(a 1
-n －2) 又∵a 1
－2 = -1≠0 ∴数列{ a n
－2}首项
为-1，公比为2
1的等比数列． ∴ a n －2 = -11
)2
1(-?n 即 a n
= 2 －2n
-1 n ∈N +
七、a 1
+n ＝pa n + f (n )型 形如a 1
+n ＝pa n
+ f (n )，p ≠0且 p 为常数，
f (n )为关于n 的函数．
当p ＝1时，则 a 1
+n ＝a n
+ f (n ) 即类型二． 当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n
）．
⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2
+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．
例7：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n
＋n 2
，n ∈N +求a n
．
解：令a 1+n + x [a (n +1)2
+ b (n +1) + c ] = 2(a n
+ an 2
+ bn + c )