导函数(3个)
导数公式大全
导数公式大全1.一元函数的导数公式：。
一元函数的导数公式为：y'=f'(x)，其中f'(x)为x的导数，表示对x求导数。
2.二元函数的导数公式：。
二元函数（即具有两个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h)-f(x))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(y+h)-f(y))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导。
3.三元函数的导数公式：。
三元函数（即具有三个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h,y,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(x,y+h,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂z= limh→0 (f(x,y,z+h)-f(x,y,z))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导，∂f/∂z表示对z 求偏导。
4.常用函数的导数公式：。
常用函数的导数公式有：（1）多项式函数的导数：n阶多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的导数为f'(x)=nanxn-1+n-1an-1xn-2+…+a1；。
（2）指数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln|a|a^x；。
（3）对数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的对数函数f(x)=ln|x|a 的导数为f'(x)=1/xa；。
（4）三角函数的导数：正弦函数sin(x)的导数为cos(x)；余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)；正切函数tan(x)的导数为sec2(x)；反正切函数cot(x)的导数为-csc2(x)；反余弦函数arcsin(x)的导。
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
几种常见函数的导数
∴∠MPO = ∠POA = t rad;
∴ OM = OP sin ∠MPO = 10 sin t ;
故点M的运动方程为 故点 的运动方程为:y=10sint. 的运动方程为
O
A x
∴ v = y′ = (10 sin t )′ = 10 cos t .
故时刻t时 点 在 轴上的射影点 的速度为10cost 轴上的射影点M的速度为 故时刻 时,点P在 y轴上的射影点 的速度为 cm/s.
如图,质点 在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 例2:如图 质点 在半径为 如图 质点P在半径为 的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度 角速度1rad/s,设A为起始点 求时刻 时,点P在 为起始点,求时刻 运动 角速度 设 为起始点 求时刻t时 点 在 y y轴上的射影点 的速度 轴上的射影点M的速度 轴上的射影点 的速度. 时刻t时 因为角速度 因为角速度1rad/s, 解:时刻 时,因为角速度 时刻 M P 所以 ∠POA = 1 t = t rad .
2 arctan 2 ___________.
π
2 , )处的切线的倾斜角为 处的切线的倾斜角为 4 2
1 在点P(1,1)处的切线与直线 平行且 处的切线与直线m平行且 例4:已知曲线 y = x 3 在点 已知曲线 处的切线与直线
求直线m的方程 距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.
求过点P(3,5)且与曲线 且与曲线y=x2相切的直线方程 相切的直线方程. 例6:求过点 求过点 且与曲线 说明:曲线上求在点 处的切线与求过点 的切线有区别. 说明 曲线上求在点P处的切线与求过点 的切线有区别 曲线上求在点 处的切线与求过点P的切线有区别 在点P处的切线 处的切线,点 必为切点 求过点P的切线 必为切点,求过点 的切线,点 在点 处的切线 点P必为切点 求过点 的切线 点P 未必是切点.应注意概念的区别 其求法也有所不同. 应注意概念的区别,其求法也有所不同 未必是切点 应注意概念的区别 其求法也有所不同 设所求切线的切点在A(x0,y0). 解:设所求切线的切点在 设所求切线的切点在 又因为函数y=x2的导数为 y′ = 2x,所以过点 所以过点A(x0,y0)的 又因为函数 的 切线的斜率为 y′ | x = x = 2 x | x = x = 2 x0 .
几种常见函数的导数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
同理可证,公式4: (cos x )
sin x .
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x, y sinx, y | sinx . x 2 3 1 3
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 P点 且 与 切 线 垂 直 的 直 的 线斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 P(
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sinx ) cos x;(4) (cos x ) sinx. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.116 习题.
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
三角函数求导
三角函数求导
三角函数求导
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)' =tanx·secx
(cscx)' =-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x
【扩展知识】
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次。
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）。
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）。
变余，余变正。
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式。
导数的概念及基本函数的导数(理)
处连续. 故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续
y [(0+x)2+(0+x)+1]-(02+0+1) 又 lim- x =lim =lim (x+1)=1, x→0 → x→0→ x x→0→ y [a(0+x)+b]-(02+0+1) lim+ x =lim+ x x→0 → x→0 → ax+b-1 b-1 =lim x =a+lim+ x + x→0 → x→0 → 处可导. 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导 综上所述, 处连续, 综上所述 当 b=1, a∈R 时, f(x) 在 x=0 处连续 当 a=b=1 时, ∈ f(x) 在 x=0 处可导 处可导. (2)由(1)知, f′(0)=1, 又 f(0)=1, 由 知 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0. -
典型例题 3
已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相 的方程及切点坐标. 切于点 (x0, y0)(x0≠0), 求直线 l 的方程及切点坐标 y0 解: 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= x , ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ′ ∴ x =x02-3x0+2. 又 y′=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y′|x=x0. ′ ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 3 (∵x ) 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 2 (∵ 0≠0). 1 3 这时 y0=- 8 , k=- 4 . ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 3 , - 3 ). -4 8 2 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 注 有关曲线的切线问题 可考虑利用导数的几何意义 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的 因此斜率也是唯一的(若存在 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的( 的话) 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题. 的话), 采用斜率相等这一重要关系 往往都可解决这类问题
反函数导数公式大全表(反函数导数公式大全)
反函数导数公式大全表（反函数导数公式大全）(arcsinx)'=1/√(1-x^2)的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)的求导：(arctanx)'=1/(1+反三角函数求导公式是什么?1、的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)2、的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)3、的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)4、的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx。
相应地。
反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π2；反余切函数y="arccot"x 的主值限在0<y<π。
1、反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
[-1，1]，[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1]，值域[0，π]。
3、反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
5、反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
6、反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。
导数的基本公式
导数的基本公式导数的定义在微积分中，导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
导数可以通过函数的极限来定义。
定义设函数y=f(x)在点x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx可以取到时，相应的函数有一个增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。
如果Δx无论在x0处怎样取时，当Δx趋于零时，相应的增量Δy也趋于零，则称函数y=f(x)在点x=x0处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记作f′(x0)，即$$ f'(x_0) = \\lim _ {Δx \\to 0} \\frac{f(x_0 + Δx) - f(x_0)}{Δx} $$导数的基本公式在导数的计算中，存在一些基本公式，可以用来简化计算。
下面介绍常见的导数基本公式。
常数函数对于常数函数y=C，其中C是一个常数，该函数的导数恒为零。
即f′(x)=0。
幂函数对于幂函数y=x n，其中n是一个实数，该函数的导数为 $f'(x) = n \\cdotx^{n-1}$。
指数函数对于指数函数y=a x，其中a是一个正常数且a eq1，该函数的导数为 $f'(x) =a^x \\cdot \\ln a$。
对数函数对于对数函数 $y = \\log_a x$，其中a是一个正常数且a eq1，该函数的导数为$f'(x) = \\frac{1}{x \\cdot \\ln a}$。
三角函数对于三角函数，例如正弦函数 $y = \\sin x$ 和余弦函数 $y = \\cos x$，它们的导数分别为 $f'(x) = \\cos x$ 和 $f'(x) = -\\sin x$。
反三角函数对于反三角函数，例如正弦函数的反函数 $y = \\arcsin x$ 和余弦函数的反函数$y = \\arccos x$，它们的导数分别为 $f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}}$ 和 $f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
导数和导函数
导数和导函数如果函数y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间I 内可导。
这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数y = f(x) 的导函数记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导函数（一）1、函数x x x y sin cos -=，(0,2)x π∈单调增区间是 ．2、设P 是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 .3、若曲线1sin )(+=x x x f 在2π=x 处的切线与直线012=++y ax垂直，则实数a 等于 . 4、已知函数)(x f y =的图象如图所示，则不等式0)('<x xf 的解集为 .5、已知函数()2143ln 2f x x x x =-+-在[],1t t +上不是单调函数，则t 的取值范围是 ．6、函数,13)(3--=x x x f ，若对于区间[－3,2]上的任意21,x x ，都有t x f x f ≤-)()(21，则实数t 的最小值是________. 7、 已知函数11)(+-=x x x f ，42)(2+-=ax x x g ，若任意],1,0[1∈x 存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，则实数a 的取值范围是 ．8、已知函数)(x f y =的导函数为)('x f 且x f x x f sin )3()('2+=π ，则)3('πf ＝ 9、 若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值为 ． 10、若函数()()32111132f x x ax a x =-+-+在区间()1,4上是减函数，在区间()6,+∞ 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．11、 若函数)1,0)((log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是_____ .12、 已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f f 的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内， 则实数a 的取值范围是______ ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ， 则t 的最大值是 ．14、设函数()()23xx axf x a R e+=∈ （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
15、 已知函数x x a x f ln )1()(2++=(1)讨论函数 )(x f 的单调性； (2)若对任意]3,1[),2,4(∈--∈x a ，恒有2)(a x f ma >-成立，求实数m 的取值范围．16、 已知函数R a xax x f ∈+=,2ln )(. )(x f 在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．17、已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．18、设函数x x f ln )(=，)()(R ∈--+=a xa ax x g 31． （1）当2=a 时，解关于x 的方程0=)(x e g （其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数)()()(x g x f x +=ϕ的单调增区间；（3）当1=a 时，记函数)()()(x g x f x h ⋅=，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式)(x h ≥λ2有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：693102.ln ≈，098613.ln ≈）导函数（二）1、若曲线1sin )(+=x x x f 在2π=x 处的切线与直线012=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 2、若函数x ax x x f ln 21)(2+-=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 _. 3、已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值范围是 ． 4、已知)(x f 是可导的函数，且)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则f (2 014)与e 2 014f (0)的大小关系为 .5、 设函数()()ln mf x x m R x=+∈，若对任意0b a >>，()()1f b f a b a-<- 恒成立， 则m 的取值范围是 ．6、已知函数()为自然对数的底数）e x e x f x (21-+=-，3)(2+--=a ax x x g ，若存在实数21,x x ，使得()()021==x g x f ，且121≤-x x ，则实数a 的取值范围是________.7、已知函数()f x b =+，如对任意的1,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，总存在01,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()03f x >，则b 的取值范围是 ．8、 已知函数2()2e xf x x =与()3e x g x x a =+的图象有且只有两个交点，则实数a 的取值范围是 ．9、 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .10、 设函数()1,1,x x x a f x e x x a -⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩，()()g x f x b =-．若存在实数b ，使得函数()g x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ．11、已知函数()322,1=ln ,1x x x x f x x x ⎧--+<⎪⎨≥⎪⎩，对于任意的(),t R f t kt ∈≤恒成立，则实数k 的取值范围是 .12、若函数()3112x f x e x x =+--的图象上有且只有两个点12,P P 2，使得函数()3m g x x x=+的图象上存在两个点12,Q Q ，且1P 与1Q ，2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是 .13、 已知函数()xf x e =，()g x x m =-，m R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]01，上的最大值；15、已知()212ln x f x x+=． （1）求()f x 的单调区间； （2）令()22ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；（3）存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()1212ln ln f x f x k x x -≥-成立，求k 的取值范围．16、已知函数f （x ）=ax 2﹣x ﹣lnx ，a ∈R ．（1）当时，求函数f （x ）的最小值；（2）若﹣1≤a ≤0，证明：函数f （x ）有且只有一个零点；17、己知函数()()x f x mx n e -=+（,m n ∈R ，e 是自然对数的底）．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 单调区间；（2）① 当1n =-，m ∈R 时，若对于任意1[,2]2x ∈，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值； **②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x et -'=++∈R ，是否存在实数,,[0,1]a b c ∈，使得()()()?g a g b g c +<若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.．导函数（三）1、已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围.2、已知函数32()(0,)f x ax bx cx a x R =++≠∈为奇函数，且()f x 在1x =处取得极大值为2. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）记()()(1)ln f x g x k x x=++，求函数()y g x =的单调区间； （3）在（2）的条件下，当2k =时，若函数()y g x =的图像在直线y x m =+的下方，求m 的取值范围.3、设函数f(x)＝13x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1.(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；(2)当b＝1－a2时，若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a的取值范围；(3)当a＝1，b＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t，t＋3]内的最小值．4、已知函数2()2ex f x ax =-，()ln g x x ax =-，a ∈R ． （1）解关于()x x ∈R 的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥； **（3）是否存在常数a ，b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．5、设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈（1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（3）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.6、已知函数2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且．(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥- (e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围。