解析几何中的圆及其方程求解
第二章 解析几何初步(二)圆
．
；此时直线 l：x+y
21．已知圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝
．
22．已知圆 C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0 和圆 C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0 相交于 A，B 两点，则直线
AB 的方程是
，线段 AB 的长度是
．
23．已知△ABC 的三个顶点 A（1，﹣2），B（0，5），C（﹣3，﹣4）． （1）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程； （2）求三角形的外接圆方程．
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
16．已知直线 l：y＝x+m 与曲线
A．
B．
有两个公共点，则实数 m 的取值范围是（ ）
C．
D．
17．若圆 x2+y2﹣2kx﹣4＝0 关于直线 2x﹣y+3＝0 对称，则 k 等于（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
第4页共8页
第二章 解析几何初步（二）—圆
18．若直线 l：y＝kx+3﹣k 与曲线 C：y＝
相交：d＜r ；相切：d＝r；相离：d＞r ②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
消元，得到一元二次方程的判别式△
相交：△＞0； 相切：△＝0； 相离：△＜0．
第1页共8页
第二章 解析几何初步（二）—圆 5．圆与圆的位置关系及其判定 （1）圆与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，|O1O2|＝d 利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4 条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3 条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2 条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1 条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。
平面解析几何中的圆方程
平面解析几何中的圆方程在平面解析几何中，圆是一个非常重要的几何形状。
通过方程的表示，我们可以了解圆的性质和特征。
本文将介绍平面解析几何中的圆方程，并探讨一些相关的概念和性质。
1. 标准圆方程我们首先来讨论圆的标准方程。
设一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中，圆心坐标为(h, k)，表达了圆心在平面坐标系中的位置；半径为r，表示了圆的大小。
2. 圆的一般方程除了标准方程外，圆还可以表示为一般方程。
一般方程的形式为：Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0其中，A、B、C、D为常数，并且A和C不同时为0。
通过圆的一般方程，我们可以推导出标准方程来反推圆的性质。
3. 圆心和半径的确定对于给定的圆方程，我们可以通过观察方程的形式，来确定圆的圆心和半径。
在标准方程中，圆心的坐标即为方程中的(h, k)，而半径r可以通过方程=r^2来求解。
在一般方程中，首先需要将方程恢复到标准方程的形式。
可以通过平方完成平方项的系数，并移项整理得到标准方程。
再通过比较系数的方法，可以求解出圆的圆心和半径。
4. 圆的性质圆作为一个重要的几何形状，具有许多重要的性质。
以下是一些常见的圆的性质：4.1 切点和切线：在圆上任意一点，都可以作出一条切线，切线与半径垂直。
4.2 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
直径是一条通过圆心的弦，有特殊的性质。
4.3 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
整个圆的弧称为周长。
4.4 弧度制：角度的度量单位有弧度和角度制两种。
圆的周长为360°或2π弧度。
4.5 圆与直线的关系：在平面解析几何中，我们可以通过方程的求解，来研究圆与直线的交点和切点等问题。
5. 圆的相关定理在平面解析几何中，存在许多与圆相关的定理和性质。
以下是一些常见的圆相关定理：5.1 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么切点到圆心的距离与切线的斜率之积等于-1。
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。
+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。
+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。
-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。
北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件
O
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的
切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是 ；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的 方程就是x2+y2=r2。
x a2 y b2 r 2
试一试 ： 1)已知一个圆的圆心在原点， 并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习： 过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
2 －1－ａ 2 ＋12＝ｒ 2 2 1－ａ ＋3 2＝ｒ
解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 2 ＋ｙ＝ ｘ－ 10 2
所以这个圆的方程是
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求 经过圆上一点M（xo，yo）的切线 的方程.
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
2 2 3) 圆x a y b r 的圆心和半径分别是什么？
平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x－x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．23 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1， 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5. (1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. *13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，n－3所以m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用
高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用一、圆的方程推导在平面解析几何中，圆是一个非常重要的概念。
我们知道，圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的。
为了方便研究圆的性质和应用，我们需要找到一种数学表达方式来表示圆。
这就是圆的方程。
1. 圆的标准方程假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，半径为r。
那么，圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离为：√[(x - x0)² + (y - y0)²] = r这就是圆的标准方程。
我们可以通过这个方程来推导圆的其他形式。
2. 圆的一般方程将圆的标准方程进行平方运算，得到：(x - x0)² + (y - y0)² = r²这就是圆的一般方程。
一般方程的形式更加简洁，方便进行计算和分析。
3. 圆的参数方程圆的参数方程是通过参数来表示圆上的点的坐标。
假设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为：x = x0 + rcosθy = y0 + rsinθ通过参数方程，我们可以方便地求得圆上的点的坐标。
二、圆的应用圆作为数学中的重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的圆的应用场景。
1. 圆的几何应用圆的几何应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形的窗户、圆形的花坛等。
在制作轮胎、车轮等物品时，也需要考虑圆的性质。
此外，圆的性质还可以应用于地理测量、天文学等领域。
2. 圆的运动学应用在物理学中，圆的运动学应用非常重要。
例如，当一个物体以圆周运动时，我们可以通过圆的方程来描述它的运动状态。
通过对圆的运动进行分析，我们可以计算出物体的速度、加速度等重要参数。
3. 圆的工程应用在工程领域，圆的应用也非常广泛。
例如，在建筑工程中，我们需要计算圆形的地基面积、圆形的管道长度等。
在机械工程中，我们需要设计圆形的齿轮、圆形的轴承等。
总结：通过对圆的方程推导和应用的介绍，我们可以看到，圆作为平面解析几何中的重要概念，在实际生活和学习中有着广泛的应用。
解析几何：圆的方程
解析几何：圆的方程在解析几何中，我们经常遇到圆形。
圆是一个在平面上具有特定性质的图形，它由与圆心等距的点组成。
在数学中，我们可以通过方程来描述圆。
圆的一般方程形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
根据圆的一般方程，我们可以推导出其他形式的圆的方程，包括标准方程、截距方程以及圆的参数方程。
一、标准方程标准方程是描述圆形最简洁的形式，形式如下：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数，且D² + E² > 4F。
该方程描述的圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D² + E² - 4F)。
二、截距方程截距方程是描述圆形的另一种形式，形式如下：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a、b分别表示圆心到横轴和纵轴的截距，描述的是一个以坐标原点为圆心的圆。
三、参数方程参数方程是通过参数化描述圆形的方程，形式如下：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)表示圆心坐标，r为半径，θ为参数角度。
四、圆的性质除了方程形式的描述，圆还具有一系列独特的性质。
1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，直径长度为半径的两倍；3. 圆的内切圆与外接圆分别与圆相切于一个点；4. 圆的周长为2πr，面积为πr²。
五、实例分析以标准方程为例，假设有一个圆的方程为x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0，我们可以通过比较方程与一般方程的系数来找出圆的相关信息。
将方程与一般方程形式对应，我们可以得到D = -6，E = -4，F = 9。
进一步计算得到圆心坐标为(3, 2)，半径为√(D² + E² - 4F) = √(36 + 16 - 36) = √16 = 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析几何中的圆及其方程求解圆是我们数学里一个非常重要的几何图形，它可以在解析几何中被理解为平面上所有与固定点距离相等的点构成的图形。
比如我们平常所说的车轮、球、光盘等，都可以被抽象表示为圆形。
接下来，我们将会学习在解析几何中，如何表示圆及其方程的求解方法。
一、圆的表示方式
解析几何中，我们可以用不同的方式来表示圆。
最常使用的是标准方程、一般方程和参数方程。
1、标准方程
标准方程的表达式为：
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
通过标准方程，我们可以得知圆的位置、大小以及形状等信息。
但是，我们需要确定圆
的两个参数$a$和$b$，所以我们需要求解这两个未知数。
通常我
们通过已知圆上一点的坐标来求解$a$和$b$。
2、一般方程
一般方程的表达式为：
$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$
注意，这里的系数$A,B,C,D,E$和常量$F$都可以是有理数和实数。
如果我们需要表示一个圆，那么该方程必须满足$B^2-
4AC<0$，这是因为圆是对称图形，不存在直线$x=y$，所以该方
程的实际解是一组虚数。
通过一般方程，我们可以得到圆的位置、大小以及形状等信息。
3、参数方程
参数方程的表达式为：
$$x=a+r\cos\theta,y=b+r\sin\theta$$
其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径，$\theta$为参数。
通过参数方程，我们可以看到圆的位置和形状，但是需要我们确定一个参数$\theta$，因此我们需要转化成另一个方程。
二、圆的方程求解方法
一般来说，我们在实际应用中需要通过已知条件，求解出圆的方程。
下面，我们将重点介绍几种常用的求解方法。
1、已知圆心和半径
当我们知道了圆心和半径时，我们可以用标准方程来求解。
比如，我们知道圆心坐标为$(5,5)$，半径为$3$时，可以得出：
$$(x-5)^2+(y-5)^2=9$$
2、已知圆上任意一点和半径
当我们知道了圆上任意一点的坐标和半径时，可以通过圆的特殊性质，即圆周长相等，来求解圆心坐标和半径。
比如，我们知道圆上一点坐标为$(3,4)$，半径为$5$时，可以得出：
$$\begin{cases}(x-3)^2+(y-4)^2=5^2\\(x-a)^2+(y-
b)^2=r^2\end{cases}$$
解得圆心坐标为$(a,b)=(3,4)$，半径$r=5$。
3、已知圆周过两点和圆心坐标
当我们知道了圆周过两点和圆心坐标时，可以考虑用标准方程和圆心距离的概念来求解。
比如，我们知道圆周过$(1,1)$和$(3,3)$，圆心坐标为$(2,2)$时，可以得出：
$$(x-2)^2+(y-2)^2=2$$
这是因为圆心到圆周上任意一点的距离等于圆的半径。
通过上述三种常见的求解方法，我们可以得到圆的方程。
同时，我们也可以通过圆的方程来求解圆与直线、圆之间的关系，这在
解析几何中也是一个重要的研究方向。