二次函数的实际应用教案
二次函数教案(优秀5篇)
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二次函数在实际问题中的应用复习教案
二次函数在实际问题中的应用一、知识回顾二次函数是一种常见的函数形式。
其一般式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是实系数，a≠0。
在二次函数图像的右开口和左开口两种情况下，其又有不同的性质：1.右开口。
此时 a>0，二次函数在顶点处取得最小值，最小值等于 c-b^2/(4a)。
2.左开口。
此时 a<0，二次函数在顶点处取得最大值，最大值等于 c-b^2/(4a)。
在实际问题中，用二次函数可以描述很多现象。
下面就来看看具体的应用。
二、实际问题中的应用1.水桶倒水有一个体积为 V 的圆柱形水桶，现在要倒掉其中的水，当水流速度为 v 时，需要 t 秒才能将桶内的水倒光。
现在需要求出水面下降深度 h 随时间 t 的变化关系。
分析：设最初水面为 y=0，水倒光时水面到桶底的距离为 h0。
可知 h(t)=h0-Vt/S，其中S 是底面积。
由于水的体积随时间的变化遵循等速度变化规律，即 V=Stv，将其代入 h(t) 中得到 h(t)=h0-tv。
得到与时间 t 的关系式后，可化为二次函数形式，即 h(t)=-\frac{v}{2}t^2+h0。
此时二次函数是左开口的，其最大值为 h0，即水面下降到最大深度时的位置。
2.抛物线运动有一个物体从平地上以初速度 v0 竖直向上抛，忽略空气阻力，球的落地时间为 t0。
现在需要求出球的最高高度和以及任意时间离落地面的高度 h(t)。
分析：在竖直上抛运动过程中，球的高度随时间的变化遵循自由落体公式 h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t。
由于自由落体是二次函数，且此时为右开口，所以球的最高高度为 h_max=v0^2/(2g)。
而将 t0 代入二次函数中，可以得到球落地时的高度 h0，即 h0=-\frac{1}{2}gt0^2+v0t0。
再将 h(t) 化为二次函数形式：h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t0+\frac{1}{2}gt0^2，此时是左开口的二次函数形式。
二次函数实际应用教案
学习过程一、复习预习1.解决函数应用性问题的思路面→点→线.首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”，如此将应用性问题转化为纯数学问题.2.解决函数应用性问题的步骤（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题.（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论.（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一.）3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数.求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法.二、知识讲解1.解决函数应用性问题的思路面→点→线.首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”，如此将应用性问题转化为纯数学问题.2.解决函数应用性问题的步骤（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题.（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论.（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一.）3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数.求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法.三、例题精析【例题1】1.(2015·贵州六盘水，第10题3分)如图5，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2【答案】C【解析】试题分析：设BC=x m，表示出AB，矩形面积为y m2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．试题解析：设BC=x m，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，当x=8m时，y m ax=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故选C．点评：此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．2.（2015·山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】C【解析】试题分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK． ∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 都为矩形． ∴∠ADO=∠AKO=90°． 连结AO ，在Rt△AOD 和Rt△AOK 中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL ）． ∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出AD=x ，∴DE=6﹣2x ，∴纸盒侧面积=3x （6﹣2x ）=﹣6x 2+18x ，=﹣6（x ﹣）2+，∴当x =时，纸盒侧面积最大为． 故选C ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键． 考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．3.（2015年浙江金华3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线21y (x 80)16400=--+，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴. 若OA=10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米 【答案】B 【解析】试题分析：如图，∵OA=10，∴点A 的横坐标为-10，∴当x 10=-时，2117y (1080)164004=---+=-.∴AC=174米. 故选B.考点：二次函数的应用（实际应用）；求函数值.4.（2013·哈尔滨，题号10分值 3）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD ．设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式是( )(A)y =一2x +24(0<x <12) (B)y =一x 十12 (0<x <24) (C)y =2x 一24(0<x ≮12) (D)y = x 一12(0<x <24) 【答案】B 【解析】试题分析：本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．AB+CD+BC=24，即2AB+x =24，2y +x =24，所以y =12-21x ．因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x (BC)只要小于24即可，又边长大于零，所以x 取值范围0＜x ＜24，故选B ．点评：根据矩形的周长公式本题易得解，但要注意矩形的第四边的特殊要求.5.（2013浙江省绍兴，12，5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高40916417407164151212度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为() x －y 24121=+3，由此可知铅球推出的距离是 m.【答案】10 【解析】试题分析：要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值，即21(4)3012x -+=，解得10x =．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．6.（2015年浙江温州5分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门. 已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2【答案】75 【解析】试题分析：设垂直于墙体的一面长为xm ，建成的饲养室总占地面积为2ym ，则垂直于墙体的一面长为()2733x m +-， ∴()()223033303575y x x x x x =-=-+=--+. ∵3<0-，∴能建成的饲养室总占地面积最大为275m .考点：二次函数的应用（实际问题）.7.（2015年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：x y t（1（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足 ①用含的代数式表示；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求的值.【答案】（1）0.4t =秒；（2）2.5米.（3）①14k a =-.②a 【解析】试题分析：（1）由表格中数据直接得出.（2）判断出y 是x 的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设顶点式()210.45y a x =-+. 求得y =0时的x 值即为所求.（3）①求出乒乓球落在桌面时的坐标代入2(3)y a x k =-+即可得结果. ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，所以扣杀路线在直线110y x =上，将110y x =代入21(3)4y a x a =--，得()22012021750ax a x a -++=，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的a ，符合题意的即为所求.试题解析：如答图，以点 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐标系.（1）由表格中数据可知，当0.4t =秒时，乒乓球达到最大高度.y x k x a y +-=2)3(a k a（2）由表格中数据可判断，y 是x 的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设()210.45y a x =-+.将（0，0.25）代入，得()20.25010.450.2a a =-+⇒=-， ∴()20.210.45y x =--+.当0y =时，()20.210.450x --+=，解得 2.5x =或0.5x =-（舍去）. ∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是2.5米. （3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.∴将（2.5，0）代入2(3)y a x k =-+，得20(2.53)a k =-+， 化简整理，得14k a =-.②由题意可知，扣杀路线在直线110y x =上， 由①得21(3)4y a x a =--， 令211(3)410a x a x --=，整理，得()22012021750ax a x a -++=. 当()212024201750a a a ∆=+-⋅⋅=时，符合题意，解方程，得12661010a a --==.当a =时，求得x =当610a -=时，求得2x =，符合题意.答：当a =时，可以将球沿直线扣杀到点A.四、课堂运用8.（2015年浙江温州10分）某农业观光园计划将一块面积为900m 2的园圃分成A ，B ，C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株. 已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为.（1）求该园圃栽种的花卉总株数关于的函数表达式；)(2m x y x（2）若三种花卉共栽种6600株，则A ，B ，C 三个区域的面积分别是多少？（3）已知三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价. 【答案】（1）2110800y x =-+.（2）200 m 2，400 m 2，300 m 2.（3）36000元. 【解析】试题分析：（1）用x 分别表示出B ，C 两个区域的面积，即可根据条件“每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株”列出函数关系式.（2）求出6600y =时关于x 方程求解即可.（3）设甲、乙、丙三种花卉的单价分别为,,a b c 元，则45a b c ++=.∵在（2）的前提下，全部栽种共需84000元， ∴320064001230084000a b c ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 即()()6001800120084000a b c b c c +++++=， ∴()402600451800451200840003ca c a +⋅+-+=⇒=. ∵三种花卉的单价都是整数，∴1,4,7,10,c =⋅⋅⋅ .当c=1时，14,20a b == ，不符合三种花卉的单价差价均不超过10元； 当c=4时，16,15a b == ，不符合三种花卉的单价差价均不超过10元； 当c=7时，18,10a b == ，不符合三种花卉的单价差价均不超过10元； 当c=10时，20,15a b == ，符合三种花卉的单价差价均不超过10元. ∵种植面积最大的花卉是乙，∴种植面积最大的花卉总价为24001536000⨯=元.试题解析：（1）∵()361290032110800y x x x x =++-=-+，∴该园圃栽种的花卉总株数y 关于x 的函数表达式为：2110800y x =-+.（2）当6600y =时，21108006600x -+=，解得200x =.∴2400,9003300x x =-= .答：A ，B ，C 三个区域的面积分别是200 m 2，400 m 2，300 m 2. （3）种植面积最大的花卉总价为36000元.考点：一次函数和多元方程的应用；整除问题；分类思想的应用.9.（2015年浙江嘉兴12分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系式：()()5005301205<15x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+≤⎪⎩.（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润=出厂价-成本）？【答案】（1）第10天生产的粽子数量为420只；（2）第12天的利润最大，最大值是768元. 【解析】试题分析：（1）把y =420代入y =30x +120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答； 试题解析：（1）设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n +120=420，解得n =10．答：第10天生产的粽子数量为420只． （2）由图象得，当0≤x ≤9时，p=4.1；当9≤x ≤15时，设P=kx +b ，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，9 4.115 4.7k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.13.2k b =⎧⎨=⎩，∴p=0.1x +3.2，①0≤x ≤5时，w=（6﹣4.1）×54x =102.6x ，当x =5时，w 最大=513（元） ②5＜x ≤9时，w=（6﹣4.1）（30x +120）=57x +228， ∵x 是整数，∴当x =9时，w 最大=714（元）；③9＜x ≤15时，w=（6﹣0.1x ﹣3.2）（30x +120）=﹣3x 2 +72x +336， ∵a =﹣3＜0，∴当x =12时，w 最大=768（元）； 综上所述，w 与x 之间的函数表达式为()()()2102.605572285<<9372336915x x w x x x x x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪-++≤≤⎩ 第12天的利润最大，最大值是768元.点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式 考点：一元一次方程、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用.10.（2015•福建泉州第24题9分）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）设AB =x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？【答案】（1）BC =72﹣2x ；（2）小英说法正确，理由见解析【解析】试题解析：（1）设AB =x 米，可得BC =69+3﹣2x =72﹣2x ；（2）小英说法正确；矩形面积S =x （72﹣2x ）=﹣2（x ﹣18）2+648，∵72﹣2x ＞0，∴x ＜36，∴0＜x ＜36，∴当x =18时，S 取最大值，此时x ≠72﹣2x ，∴面积最大的表示正方形．11.(2015山东青岛，第22题，10分)如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为m . （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这c bx x y ++-=261217辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1），拱顶D 到地面OA 的距离为10米；（2）可以通过；（3）【解析】 试题分析：（1）先确定B 点和C 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D 的坐标，从而得到点D 到地面OA 的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x =6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m ，则货运汽车最外侧于地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值于6进行大小比较即可判断； （3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 试题解析：（1）根据题意得B （0，4），C （3，172）， 把此两点的坐标代入y =﹣x 2+bx +c 得41719326c b c = ⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩． 所以抛物线解析式为y =﹣x 2 +2x +4，则y =﹣（x ﹣6）2 +10，所以，当x =6时，y 最大=10，即D （6，10），所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m(2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）（或（10，0））当时，，所以可以通过； (3)令，即，可得，解得42612++-=x x y )10(2==x x 或6322＞=y 8=y 842612=++-x x 024122=+-x x 326,32621-=+=x x 3421=-x x答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用. 12.（2015•安徽省，第22题，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y =﹣x 2+30x （0＜x ＜40）；当x =20时，y 有最大值，最大值为300平方米．【解析】试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE =2BE ，设BE =a ，则有AE =2a ，表示出a 与2a ，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．试题解析：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，∴AE =2BE ，设BE =a ，则AE =2a ，∴8a +2x =80，∴a =﹣x +10，2a =﹣x +20，∴y =（﹣x +20）x +（﹣x +10）x =﹣x 2+30x ，∵a =﹣x +10＞0，∴x ＜40，则y =﹣x 2+30x （0＜x ＜40）；（2）∵y =﹣x 2+30x =﹣（x ﹣20）2+300（0＜x ＜40），且二次项系数为﹣＜0，34∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．点评：此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．五、课程小结1.每件商品的利润P=售价－进价；商品的总利润Q=总成本×利润率=每件商品的利润×销售量.2.二次函数的综合应用⑴通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性.⑵建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合.⑶综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.3.解决实际问题时的基本思路：⑴理解问题；⑵分析问题中的变量和常量；⑶用函数表达式表示出它们之间的关系；⑷利用二次函数的有关性质进行求解；⑸检验结果的合理性，对问题加以拓展等.六、课后作业13.（2013浙江省嘉兴市，22，12分）某汽车租赁公司拥有2O辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时，日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元(用含x的代数式表示);(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?0.(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏?【答案】（1）1400-50x；(2)当日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元.(3)当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏.【解析】试题分析：（1）每辆车的日租金为400+50（20－x）＝1400-50x;(2) 由基本的等量关系:日收益＝日租金收入一平均每日各项支出; 日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，不难得出y与x的函数关系式.转化为顶点式，求最值即可.(3) 租赁公司的日收益不盈也不亏，即y＝0时，求x的值..试题解析：（1）1400-50x;(2)y＝x(－50x+1400)-4800＝－50x2+1400x-4800＝－50(x－14) 2+5000.当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.∴当日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元.(3) 租赁公司的日收益不盈也不亏，即y＝0.即－50(x－14) 2+5000＝0，解得x1＝24，x2＝4.∵x＝24不合题意，舍去.∴当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏.点评：本题主要考查二次函数的实际应用，最值问题. 考查学生分析问题、解决问题的能力.解题的关键是审清题意，找出基本的等量关系，然后列式，解答即可.14.（2013江苏省无锡市，24，8′）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方形形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在ＡＢ边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).（1）若折成的包装盒恰好是个正方形，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？x=时，S取得最大值384cm²【答案】（1）3；（2）当8【解析】试题分析：（1）根据折叠前后图形特点，若折成的包装盒恰好是个正方形，则这包装盒的长、宽、高相等，利用等腰直角三角形的性质，可以用x形式表示出AE、EF、BF的长度，再利用正方形ABCD的边长为24cm，构造有关x的方程，进一步求出其值.正方形的体积公式：3=其中a表示正方形的边长.（2）用利用等腰直角三角形的性质，可以用x形式表示出V aAE 、EF 、BF 的长度，进一步求出包装盒的表面（不含下底面）积22224))6966(8)384S ah a x x x x =+=-+=-+=--+，利用二次函数的知识求其最值.试题解析：（1）根据题意，知这个正方形的底面边长,2a EF x ===∴224,x x x ++=∴6x =∴333)a V a cm ==== （2）设包装盒的底面边长为acm ，高为hcm ，则,)a h x ===-∴22224))6966(8)384S ah a x x x x =+=-+=-+=--+∵012x <<∴当8x =时，S 取得最大值384cm ²点评：本题利用折叠考查了学生的空间想象能力，用x 形式正确表示出相关线段的长度，进一步求出相关的体积和面积表达形式，利用二次函数求代数式的最值，把平面几何与代数的知识柔和在一起，难度属于中等偏上.15.（2013山东省潍坊市，题号23，分值10）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x 度的范围是9018≤≤x ），记录相关数据得到下表：量y 升与旋钮角度x 度的变化规律？（2）当旋钮角为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量.【答案】(1)选用二次函数()901897585012≤≤+-=x x x y 能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律；(2)当旋钮角度为40度时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；(3)23立方米【解析】试题解析：（1）若设)0(≠+=k b kx y ，由⎩⎨⎧+=+=b k b k 50652073，解得⎩⎨⎧=-=772.0b k 所以772.0+-=x y ，把70=x 代入得8365≠=y ，所以不符合 若设()0≠=k x k y ，由2073k =解得1460=k 所以xy 1460= 把50=x 代入得，672.29≠=y 所以不符合若设()02≠++=a c bx ax y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 70490083502500672040073，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==9758501c b a 所以()901897585012≤≤+-=x x x y 把80=x 代入得97=y ，把90=x 代入得115=y ，符合题意所以选用二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律(2)由（1）得()6540501975850122+-=+-=x x x y 所以当40=x 时， y 取得最小值65即当旋钮角度为40度时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升.（3）由(2)及表格知采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115－65=50升设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得1011550 a 解得a =23（立方米）即该家庭以前每月平均用气量为23立方米 点评：本题考查了实际问题中函数类型的判定，二次函数的最值计算.解决此类问题的关键在于根据题目中提供的信息，建立适当的函数模型，从而求解.考点：一次函数、反比例函数、二次函数的判别，二次函数的最值计算.。
二次函数教学设计(精选6篇)
二次函数教学设计（精选6篇）（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
九年级数学上册《二次函数的应用》教案、教学设计
-通过动画展示二次函数图像的平移、伸缩等变换，使学生直观地感受图像的性质。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地掌握二次函数的知识。
-从简单的二次函数图像识别，到求解实际问题中的二次函数，逐步提高问题的难度。
4.采用小组合作、讨论交流的学习方式，促进学生之间的思维碰撞，共同解决难题。
5.学会运用二次函数的知识，解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解决问题的能力：
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和团队精神。
2.利用数形结合的方法，引导学生观察、分析二次函数的图像，培养学生直观想象和逻辑推理能力。
5.反思与总结：
-请同学们在作业本上写下本节课的学习心得，包括对二次函数的理解、学习过程中的困惑以及解题方法的总结。
-教师在批改作业时，应及时给予反馈，鼓励学生持续反思，不断提高。
4.通过小组合作，培养学生互相尊重、团结协作的品质，增强集体荣誉感。
5.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程、不等式等知识，对于函数的概念也有初步的理解。在此基础上，学生对二次函数的学习将面临以下挑战：
-完成课后作业中的基础题，旨在让学生通过实际操作，加深对二次函数图像特征的理解。
2.提高作业：
-选做课本第chapter页的提高题，涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、面积计算等，以提升学生解决问题的能力。
-设计一道综合性的应用题，要求学生运用本节课所学知识，结合生活实际，解决实际问题。
《二次函数的应用》教案
《二次函数的应用》教案1教学目标知识与技能1．会利用二次函数的性质解决抛物线型实际问题．2．使学生体验建模思想、数形结合思想．3．培养学生分析实际问题、解决实际问题的能力．数学思考与问题解决经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程，在此过程中培养建模思想，共同探究实际问题的解决方法．情感与态度在共同的探究过程中增强用数学的意识，发展应用观点．重点难点重点：建立平面直角坐标系解决抛物线型实际问题．难点：建立函数模型．教学设计导入新课通过多媒体展示生活中的抛物线图片，如喷出的水柱，投出的篮球运动路线，桥拱等．提问：这些图像的形状有什么共同特点？探究新知出示教材第41页例1．问题1：对于例题，你联想到用什么数学知识去解决？答：二次函数．问题2：求篮球运动员出手时的髙度是多少，应用二次函数知识解决时应该求什么？答：求该点的纵坐标．问题3：求坐标的前提是什么？答：在平面直角坐标系中．问题4：对于本题又该怎样解决？答：先建立平面直角坐标系，求出抛物线的表达式，再求篮球运动员出手点的纵坐标．师：同学们回答得非常正确，下面就请同学们独立思考，然后小组讨论，看哪种建坐标系的方法简单可行，并把解题步骤写在练习本上．学生思考、讨论，教师引导，巡回检査．学生建坐标系的方案有如下几种．教师让学生展示每种坐标系下的解题过程，充分发挥生的主体性，最后展示第一种方案的完整答案，并总结解题方法．巩固练习出示教材第42页“做一做”，让学生独立做出答案．教师巡回检査，搜寻发现的问题．展示学生答案，表扬学生的解题过程，在完整答案的基础上，点明个别学生出现的问题，以防学生以后再次犯错．课堂小结学生谈本节的收获．布置作业教材第4243莨习题A组、B组．《二次函数的应用》教案2教学目标知识与技能会利用二次函数解决实际应用的最值问题．数学思考与问题解决在经历探索实际问题中两个变量之间的函数关系的过程中培养数学建模思想．情感与态度在共同探究问题中增强用数学的意识，发展应用观点．重点难点重点：利用二次函数解决实际生活中的最值问题．难点：利用二次函数解决综合性的问题．教学设计一、导入新课如图所示，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场，你能算出四个矩形的总面积吗？二、自主探究，合作交流1．如上题：(例1)(1)设毎个小矩形垂直于墙的一边的长为x m，试用x表示小矩形的另一边的长．(2)设四个小矩形的总面积为ycm2，请写出用x表示y的函数表达式．(3)你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出：y的最大值？(4)你能画出这个函数的图像并借助图像说出y的最大值吗？2．例2教材第44页例2．3．例3教材第44页例3．分析：设生产x档次的产品，则产品提髙了(x-1)个档次，每提髙一个档次，产品利润增加2元，提髙(x-1)个档次，产品利润增加2(x-1)元，那么产品销量就减少4(x-1)件，现在的销量就变为[80-40(x-1)]件．所求获得的利润是每件获得的利润乘销量．4．例4(教材第44页“做一做”)分析：开关转过的一个角度对应一个所用燃气量，这就相当于一个点的坐标．任选三个点的坐标设二次函数的一般式即可求解．5．课堂练习课本第45页练习．三、课堂小结本节课你有什么收获？有什么困惑？(1)求最值的方法；(2)应注意的问题．四、布置作业必做题：教材第45页习题A组第1，2题．选做题：教材第46页B组第1、2题．《二次函数的应用》教案3教学目标知识与技能1．进—步体会运用函数知识解决问题的步骤．2．能熟练运用二次函数和其他知识相结合解决数学综合性问题．数学思考与问题解决经历一元二次方程和函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待问題的思考方法．情感与态度体会解决问题方法的多样性，形成合作交流的意识及独立思考的习惯．重点难点重点：运用二次函数和其他数学知识解决综合性问题．难点：熟练运用函数和其他数学知识解决综合性问题教学设计创设情境，引人新课前面我们已经学习了二次函数在现实生活中的应用：解决抛物线型的问题，解决最值问题，实际上现实生活中还有许许多多的问题要用二次函数的知识去解决．二次函数和其他知识相联系的问题更是比比皆是．请看下面的图片．出示图片：一个交通事故的现场．探究新知1．出示教材第46页“做一做”．同学们，现在请你作为一名交警，你能解决这两个问题吗？分析：对于s 甲=0．1x +0．01x 2，已知s 甲=12，求x 就是已知二次函数图像上点的纵坐标求横坐标的问题，这里的函数和实际问题联系起来，求出的坐标要进行取舍．解：(1)当s 甲=12m 时，12=0．1x +0．01x 2． 解这个方程得：X 1=-40(舍去)，x 2=30．甲车的行驶速度是30km /h ，小于．40km /h ．所以甲车不违章超速．(2)当纪s 乙=10m 时，10= 14x ．∴x =40．当s 乙=12m 时，12= 1 4x ．∴x =48．即乙车的行驶速度在40km /h<x<48k m /h 范围内，而乙车的限速为40km /h ，所以乙车违章超速．问题：在解决这个问题的时候，用到了什么方法？从这个事例当中，我们可以体会到，当二次函数：y =ax 2+b x +c 的某函数值y =m 时，就可以利用一元二次方程ax 2+b x +c =m 来求对应的值．这样，就把一元二次方程和二次函数联系起来了．2．出示教材第47页例4．本题的图形是三角形相似的一个基本图形，用三角形相似对应边成比例列出表达式是解决本题的第一步．BE AB=.=，即31-x∴x2-x+3解的x=，x=444416第(1)问能求出x的值，则表示CF的值可能等于3解法1：(1)假设CF=34，设BE=x，则EC=1-x．在正方形ABCD中，∠AEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△Rt ABE∽△Rt ECF．∴CF EC x1 4∴x2-x+3=0．4∵=(-1)2-4×1×34=-2<0，33=0无实根．因此假设CF=不成立．即CF的长不可能等于．444(2)结合(1)，x(1-x)=316时，即16x2-16x+3=0．13133．∴当BE=或BE=时，均有CF=．12解法2．教材第47页．这是同学们讨论交流得出的两种解法，第一种是用方程来解决，要先假设CF=34，如果3，现在方程无解，说明不存在CF=；第44二种方法是二次函数和一元二次方程相结合来说明第(1)问中CF能否为34．从本例可以看出，一元二次方程与二次函数联系紧密，用二次函数可以更方便、更广泛地解决一些问题．课堂小结学习本节课后你的收获是什么？布置作业教材第48页A组题，第49页B组题．。
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题一、引言二次函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题。
通过对二次函数的研究和运用，不仅可以培养学生的数学思维能力，还能帮助他们理解数学与现实世界之间的联系。
本文将介绍一个初中数学教案，通过运用二次函数解决实际问题，来提高学生对这一知识的理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解二次函数在现实生活中的应用方式；2. 掌握使用二次函数解决相关实际问题的基本方法；3. 提高分析和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 了解二次函数：让学生回顾并巩固关于二次函数基本概念和性质的知识。
包括：一般式、顶点式和轴对称式表示法；开口方向及开口情况；顶点坐标及不等式求根法。
2. 运用二次函数解决房屋价格问题：设计一个实际情境：房屋销售商将销售价格建模成一个二次函数，并要求学生根据给定条件利用该模型进行分析和计算。
（1）初步认识条件：给定房屋价格与房屋面积之间的关系，利用这一关系构建二次函数公式。
（2）求解问题：利用二次函数公式，计算不同面积的房屋价格；通过对比和分析数据，了解房屋价格随着面积的变化规律，并做出合理推断。
（3）应用扩展：让学生尝试寻找其它可能影响房屋价格的因素，并进行更复杂的建模和分析。
3. 运用二次函数解决物体抛掷问题：设计一个实际情境：学生在游乐园中进行投篮游戏，需要根据身高选择合适的投篮点位。
要求学生根据所给条件使用二次函数模型帮助他们进行决策。
（1）初步认识条件：给定身高与投篮成功率之间的关系，利用这一关系构建二次函数公式。
（2）求解问题：利用二次函数公式，计算不同身高下的投篮成功率；结合概率知识，判断哪个位置最适合不同身高学生进行投篮。
（3）应用扩展：让学生尝试提出其他可能影响投篮成功率的因素，并进行相应调整和分析。
四、教学过程1. 概念讲解和知识示范：（1）介绍二次函数的定义和性质，帮助学生理解数学与现实世界之间的联系。
（2）通过例题演示，展示如何将实际问题转化成二次函数，并运用相关公式求解。
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二次函数的实际应用教案
教案：二次函数的实际应用
教学目标：
1. 了解二次函数的基本形式及相关概念；
2. 掌握二次函数在实际生活中的应用；
3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学课件。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 利用PPT展示一些实际生活中使用二次函数的例子，如抛物线的运动轨迹、喷泉的水柱高度变化等，引起学生兴趣；
2. 提问引导学生思考：你们平时还能想到哪些实际应用二次函数的场景？
二、讲解二次函数的基本形式及相关概念（10分钟）
1. 引入二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0；
2. 解释二次函数图像的特点：抛物线；
3. 讲解二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等概念。
三、应用-抛物线的运动轨迹（15分钟）
1. 分析问题：如果给定一个抛物线的开口方向、顶点坐标或者对称轴，如何写出对应的二次函数表达式？
2. 以抛物线的运动轨迹问题为例，展示在不同条件下如何确定二次函数的表达式；
3. 提供实际问题，在教师的指导下，让学生自行思考并提出解决思路。
四、应用-喷泉的水柱高度变化（15分钟）
1. 分析问题：如何描述喷泉水柱的高度变化规律？
2. 引导学生思考水柱高度与时间的关系，培养学生建立函数模型的能力；
3. 结合实际问题，让学生动手求解并验证。
五、应用-拱桥的设计（15分钟）
1. 介绍拱桥的结构特点及设计原理；
2. 提示学生思考：如何利用二次函数来描述拱桥的形状？
3. 让学生根据给定条件，设计拱桥的二次函数模型并绘制图像。
六、拓展应用（15分钟）
1. 提供更多的实际问题，让学生运用所学知识进行解决，如抛物线
的最值问题、抛物线的交点问题等；
2. 引导学生思考如何将二次函数的应用拓展到其他学科和领域。
七、总结归纳（10分钟）
1. 学生小结所学内容，对二次函数的实际应用进行总结；
2. 教师进行概念澄清和补充说明；
3. 回答学生提出的问题。
八、作业布置（5分钟）
1. 布置相关的练习题，提供更多实际应用的题目；
2. 要求学生在课外查找更多关于二次函数的实际应用，并进行总结。
教学反思：
本节课主要通过引导学生思考和解决实际问题的方式，帮助学生理
解和掌握二次函数的实际应用。
通过举例和示范，学生能够更好地理
解二次函数的相关概念，并将其运用到实际问题中。
同时，通过设计
拓展应用题目，培养学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思
维和创新意识。