6.4二次函数的应用(3)导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案一、知识回顾在学习《二次函数》这一章节之前，我们已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数的基本知识。
请回顾一下以下问题，并简要作答。
1.什么是函数？2.一次函数的一般形式是什么？具体怎么求解一次函数的值？3.二次函数的一般形式是什么？具体怎么绘制一条二次函数的图像？二、函数的意义和应用1. 函数的意义函数是实际问题和数学之间的一种桥梁，通过函数可以描述和分析现实生活中的各种变化规律。
例如，温度随时间的变化，人口随年份的变化等等。
2. 二次函数的应用场景二次函数在现实生活中有很多应用场景，下面列举几个常见的例子：a. 自由落体运动自由落体运动描述了物体在重力作用下从一定高度自由地落下，二次函数被用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
例如，一个物体从离地面10米的高度自由落下，高度和时间的关系可以用二次函数ℎ(t)=−5t2+10来表示，其中ℎ(t)表示时间t时刻物体的高度。
b. 开放式水槽问题开放式水槽问题是指一个形状为矩形的开放水槽，在一端流入和流出一定量的水，通过二次函数可以描述水槽中水位随时间的变化规律。
例如，一个长方形水槽的底面积为100平方米，已知水进入水槽的速度为2立方米/分钟，出水的速度为1立方米/分钟，通过二次函数可以描述水位ℎ(t)与时间t之间的关系。
三、习题练习请根据以下问题，利用所学知识解答和计算。
1.自由落体运动中，一个物体从15米的高度自由落下，求其落地的时间。
2.某开放式水槽底面积为50平方米，已知水进入水槽的速度为4立方米/分钟，出水的速度为2立方米/分钟，求水槽中水位随时间的变化规律，绘制函数图像。
3.已知若干学生的学习成绩可以用函数y=3x2−5x+2表示，其中x为学生的学习时间（小时），y为学生的成绩（百分制），请问学习时间为几个小时时，学生成绩最高？四、思考与拓展1.除了自由落体运动和开放式水槽问题之外，你还能想到二次函数在哪些实际问题中有应用？尝试描述并给出一个例子。
二次函数的应用导学案
二次函数的应用【第二课时】【学习目标】1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3．发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
【学习重难点】重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
【学习过程】一、复习：利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
（2）在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
例：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？二、例题讲解：例题1．B船位于A船正东26km处，现在A．B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？（1）两船的距离随着什么的变化而变化？x x x x x【答案】C ．13．把抛物线y =x +bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x －3x ＋5，则（ ）A ．B=3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =9，c =5 【答案】A ．14．若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x （x ，）可以由E （x ，）怎样平移得到？22--122+-x x 2x【答案】2． 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线P 的坐标为 。
【答案】或解答题1．已知二次函数112x -)2,6((y =答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分。
初三数学复习课二次函数的应用导学案
二次函数的应用（一）导学案学习目标知识与技能1.梳理本章节的基础知识点，进一步落实基础；2.进一步掌握割补法，特别是水平宽与铅锤高的一半求斜三角形面积的方法；3.掌握线段最值、三角形面积最值间的相互转化方法-化斜为直；4.理解借助平行线转化斜线段最值的方法；过程与方法通过学生课前独立总结与回顾，课堂上老师引导，学生自主进行问题的讨论探究，加强学生对线段最值及三角形面积最值的理解，以及体会数形结合、转化及建模等思想方法在解题中的应用. 情感、态度与价值观1.培养学生总结梳理知识的能力；2.培养学生的提问意识，并在解决自己所提问题的过程中体会到成就感；3.在研究解决问题的方法过程中，培养学生合作交流的意识与探究精神.【学习重点】培养利用二次函数知识解决线段最值、三角形面积最值的能力【学习难点】感受与熟练掌握知识之间的关联和转化.【核心素养】培养数学建模能力、直观想象能力、数学运算能力.一、自主探究（一）课前热身1.如图，根据二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，你能获得哪些信息？ ①_________________; ②_________________;③_________________; ④_________________;……其他：____________________________________________________________________________2.如图，已知顶点A （1，-4），B （3,0），求出二次函数的解析式.（二）基础梳理二、合作探究探究1 如图，抛物线3-2-2x x y =与y 轴交于点D ，过B 、D 两点作直线BD ，与对称轴交于点E.你能解决图象上的哪些问题？y=x 2-2x -3探究2 连接AD 、AB ，得到△ABD ，你能找到与△ABD 有关的问题吗？探究3 若点P 为BD 下方抛物线3-2-2x x y =上的一个动点，连接PB 、PD ，过P 作y 轴的平行线交BD 于M.请以小组为单位进行合作，尽可能多地提出与动点P 相关的问题.问题1：问题2：问题3：其他：y=x 2-2x -3三、思考还有其他办法求出“当P 的坐标是多少时，BD 边上的高PN 的长度最大”吗？四、课堂小结这节课你有哪些收获？五、课后演练1、抛物线3-2-2x x y =与直线y=x -3交于BD 两点，点P 为BD 下方抛物线上的动点.过P 作PN ⊥BD 于N ，当P 的坐标是多少时，BD 边上的高PN 的长度最大？（至少用两种方法求解）2.（2019宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．。
九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc
九年级上册《二次函数的应用》导学案第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=cm，点p从点a出发，沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，s最小？最小值是多少？巩固练习：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，s△ab c为30cm2，ah为△abc在bc边上的高，求△abc 的内接长方形的最大面积。
智者加速：1．有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。
初中数学《二次函数的应用》导学案
二次函数的应用 第1课时
学习目标：
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系；
2、会用二次函数知识求出实际问题的最值。
一、创意引入
问题1：如图，现有一块直角三角形废料，要想在它内部截一个面积最大的矩形，应该怎样截才符合要求？
问题2：生活中经常遇到“最大面积”“成本最低”“最划算”等问题，怎样用数学知识加以解决？这将是本节课我们一起探讨的问题。
二、知识生成
问题：求二次函数2422++=x x y 的最值。
追问（1）在上题中，如果增加一个条件：12≤≤-x ，其最值又是多少？
（2）如果取值范围变为25-≤≤-x 呢？
（3）如果取值范围变为4
171≤
≤x ，且x 为整数呢？
三、知识应用
例1、如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园，墙长32米，这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大，
最大是多少？
变式训练：
1.引例
2.引例变式
四、反思感悟
五、当堂检测。
新人教版九年级数学上册二次函数的应用(3)导学案
新人教版九年级数学上册二次函数的应用（3）导学案一、学习目标体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、知识回顾1．二次函数的三种解析式（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴的交点坐标怎么求？（1）令x=0，代入抛物线解析式，可得y=c，（0，c）就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）令y=0，即ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程，求得x的解，即可得到抛物线与x轴的交点坐标.3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为y=ax2．三、新知讲解利用二次函数解决拱桥问题、投球问题、运动轨迹问题、喷水问题等实际问题的一般解题思路：（1）建立适当的平面直角坐标系（若题目中已经给出，无需再建）；（2）根据题意找出已知点的坐标；（3）求出抛物线解析式；（4）直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．注：通过建立平面直角坐标系，可以将有关抛物线图象转化为二次函数模型．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．实际问题与二次函数——拱桥问题【例1】（2013秋•云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？总结：1.拱桥问题的题目分为两大类：①求拱宽；②求拱高．2.拱桥问题的解题步骤如下：（1）建立适当直角坐标系，可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；（3）根据抛物线上点的坐标求二次函数解析式；（4）求特定点的拱宽或拱高（横坐标值或纵坐标值）．练1．（2014秋•硚口区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（26﹣4）m D．（6﹣2）m2．实际问题与函数关系——投球问题【例2】（2013•武汉模拟）在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．总结：解投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题，一般分为以下四个步骤：1．建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；2．根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；3．利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：（1）当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；（2）当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-h)2+k求其解析式；（3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；4.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解．练2．（2012•杭州模拟）林书豪身高1.91m，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=15x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（）A．3.2m B．4m C．4.5m D．4.6m3．实际问题与函数关系——喷水问题【例3】（2015•武汉模拟）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米．（1）建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？ （3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度达到多少米？ 总结：1． 在“喷水”问题中，可根据自变量的实际意义，将喷嘴或出水点建立在y 轴上，以便在坐标系中快捷地找出一些重要点的坐标，为求得抛物线的解析式提供充分条件.2． 在“喷水”问题中，如果已知抛物线的顶点坐标，常将抛物线的解析式设为y =a （x -h ）2+k ；如果已知抛物线与x 轴的两个交点，常设抛物线的解析式为y =（x -x 1）（x -x 2）．练3．（2013秋•海阳市期中）一个台型喷泉，若沿着中轴线截面，得到如图所示的抛物线，一个单位长度是1米，已知这两段抛物线关于y 轴对称，其右侧的抛物线为：2144(1)8y x x x =-+≤≤． （1）喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是多少？（2）喷泉水柱的最高处形成一个环形，这个环形的直径是多少？五、课后小测一、选择题1．（2015•铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m2．（2014•河口区校级模拟）小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=﹣15x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m3．（2014秋•孝南区期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣112x2+23x+53，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m4．（2014秋•莱城区校级月考）拱桥呈抛物线型，其函数解析式为214y x =-，当拱桥下水面宽为12m 时，水面离拱桥顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m5．（2012•株洲模拟）株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（ ）米．A ．7B ．7.6C ．8D ．8.46．（2012秋•渝中区校级月考）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M 距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N 距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF 长为（ ）A ．103米B ．63米C ．12米D ．10米二、填空题7．（2015•滕州市模拟）滕州市政府大楼前广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．8．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．9．（2014•绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．10．（2014秋•建湖县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．三、解答题11．（2015•杭州模拟）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？12．（2014•曲靖模拟）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4m．ED离水面的高FC=1.5m，求涵洞ED宽是多少？是否会超过1m？（提示：设涵洞所成抛物线为y=ax2（a＜0））13．（2014•仙居县模拟）如图，要建造一座抛物线型拱桥，其水面跨度为160m，桥面主跨度AB为120m，桥面离水面高度为16m．（1）求该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度；（2）如果要在桥面上每隔15m设置一根钢索，垂直于桥面连接到桥拱上，请问，共需要钢索多少米？（不计穿过桥拱和桥面部分钢索长度，精确到1m）．14．（2014秋•龙口市期末）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+2.6．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m．（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．15．（2013•鞍山二模）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．典例探究答案：【例1】分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x =3米时y 的值，用拱桥最大高度减去｜y ｜，然后与3.6相比较即可得出答案． 解答：解：（1）设抛物线解析式为y =ax 2，因为抛物线关于y 轴对称，AB=20，所以点B 的横坐标为10，设点B （10，n ），点D （5，n +3），n =102•a =100a ，n +3=52a =25a ，即100325n a n a=⎧⎨+=⎩， 解得4125n a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴2125y x =-. （2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x =3， ∴当x =3时，1925y =-⨯ ∵925-﹣（﹣4）＞3.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练1．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±6664．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【例2】分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a（0﹣5）2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x﹣5）2+3=0，解得：x1=5﹣5，x25即5∵OC=6，∴51米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m﹣5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网，∴m的取值范围为：6＜m＜8．点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练2．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，加上2.5即为所求的数值．解答：解：由题意得：3.05=15x2+3.5，x2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5，∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m，故选B．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．【例3】分析：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式，（2）令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，求出x 的值即可得出答案，（3）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a =﹣1，当x =3.5时，y =0，进而求出答案即可．解答：解：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，因为顶点为（1，2.25），设解析式为y =a （x ﹣1）2+2.25，因为抛物线过点（0，1.25），解得a =﹣1，所以解析式为：y =﹣（x ﹣1）2+2.25.（2）由（1）可知：y =﹣（x ﹣1）2+2.25，令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，解得x =2.5 或x =﹣0.5（舍去），所以水池半径至少为2.5m ；（3）根据题意得出：设y =﹣x 2+bx +c ，把点（0，1.25），（3.5，0）代入关系式，得1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则y =﹣x 2+227x +54=﹣（x ﹣117）2+729196，故水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196． 点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．练3．分析：（1）将函数的解析式2144(1)8y x x x =-+≤≤转化为顶点式就可以求出结论；（2）由抛物线的顶点式可以求出顶点B 的坐标，就可以求出A 的坐标，求出AB 的值就是环形的直径．解答：解：（1）∵y =﹣4x 2+4x ， ∴y =﹣4（x ﹣12）2+1， ∴顶点B 的坐标为（12，1）， ∴喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是1米；（2）∵两段抛物线关于y 轴对称，∴A （﹣12，1）， ∴AB=1，∴喷泉水柱的最高处形成一个环形的直径是1米．点评：本题考查了抛物线的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键．课后小测答案：一、选择题1．解：根据题意B 的纵坐标为﹣4，把y =﹣4代入y =﹣125x 2， 得x =±10，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），∴AB=20m ．即水面宽度AB 为20m ．故选C ．2．解：当y =3.05时，﹣15x 2+3.5=3.05，解得x 1=﹣1.5（舍去），x 2=1.5，∴l =2.5+1.5=4m ．故选B ．3．解：由题意可得：y =0时，212501233x x -++=， 解得：x 1=10，x 2=﹣2，故由此可知铅球推出的距离是：10m ，故选A ．4．解：由题意可得：x =6时，y =﹣14×62=﹣9． 故水面离拱桥顶端的高度h 是9m ．故选：D ．5．解：根据题目条件B 的坐标是（10，﹣10），设抛物线的解析式为y =ax 2，将B 的坐标代入y =ax 2，得﹣10=100a解得：a =﹣0.1．所以抛物线的表达式y =﹣0.1x 2．可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y ），于是y =﹣0.1×42=﹣1.6，∴中柱右边第二根支柱的高度是：10﹣1.6=8.4（米）．故选：D ．6．解：由题意得，M 点坐标为（0，6），A 点坐标为（﹣10，0），B 点坐标为（10，0）， 设中间大抛物线的函数式为y =﹣ax 2+bx +c ，代入三点的坐标得到6100100100100c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩， 解得350b 06a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．∴函数式为y =23550x -+． ∵NC=4.5米，∴令y =4.5米，代入解析式得x 1=5，x 2=﹣5，∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米．故选择D ．二、填空题7．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+6x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+6x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =﹣x 2+6x =﹣（x ﹣3）2+9，∴顶点坐标为：（3，9），∴喷水的最大高度为9米，故答案为：9．8．解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a =﹣0.5，所以抛物线解析式为y =﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y =﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y =﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x =6，所以水面宽度增加到26米， 故答案为：26．9．解：由题意可得出：y =a （x +6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a （﹣12+6）2+4，解得：a =﹣19，∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y =﹣19（x +6）2+4．故答案为：y =﹣19（x +6）2+4．10．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+4x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故答案为：4．三、解答题11．解：（1）M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32，0）， 设抛物线的解析式为y =ax 2+k ， ∵抛物线过点M 和点B ，则k =5，54a =- ． 即抛物线解析式为2554y x =-+； （2）当x =1时，y =154；当x =32时，y =3516． 即P （1，154），Q （32，3516）当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=310×7=2.1． ∵2.1＜154且2.1＜3516， ∴网球不能落入桶内；（3）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内， 由题意，得，3516≤0.3m ≤154， 解得：7724≤m ≤1122； ∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12．∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．12．解：∵抛物线y =ax 2（a ＜0），点B 在抛物线上，将B （0.8，﹣2.4），它的坐标代入y =ax 2（a ＜0）， 求得154a =-， 所求解析式为215=4y x -． 再由条件设D 点坐标为（x ，﹣0.9）， 则有：2150.9=4x --， 解得：0.240.25x =＜故宽度为0.24=65 ， ∴x ＜0.5，2x ＜1，所以涵洞ED 不超过1m ．13．解：（1）以桥面所在的直线CD 为x 轴，以过桥拱的顶点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，∴A （﹣60，0），B （60，0）．E （﹣80，﹣16）设抛物线的解析式为y =ax 2+c ，由题意，得36000640016a c a c +=⎧⎨+=-⎩， 解得：11751447a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y =﹣1175x 2+1447， ∴当x =0时，y =1447． 答：该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度为1447； （2）由题意，得 当x =0时，y =1447， 当x =15时，y =1357， 当x =30时，y =1087， 当x =45时，y =9． 故钢索的总长度为：1447+2×1357+2×1087+2×9=108米． 答：共需要钢索108米．14．解：（1）把点A （0，2）代入关系式得：2=a （﹣6）2+2.6， 解得：a =﹣160， 则y 与x 的关系式为：y =﹣160（x ﹣6）2+2.6；优质文档（2）∵当x=9时，y=﹣160（9﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过球网；∵当x=18时，y=﹣160（18﹣6）2+2.6=0.2＞0，∴球会出界．15．解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=1 12 -，则抛物线是y=112-（x﹣4）2+3；（2）当x=0时，y=112-×16+3=3﹣43=53＜2.44米．故能射中球门．。
中考数学专题复习数学专题复习《二次函数的实际应用》导学案
《二次函数的实际应用》导学案一、知识梳理知识点5：二次函数的实际应用建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤：1.根据题意确定二次函数的表达式;2.根据已知条件确定自变量的取值范围;3.利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最值,注意二次函数的最值不一定是实际问题的最值,要结合自变量的取值范围确定最值.二、课前练习1.(2019通辽)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤.其中错误结论的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2.(2019宜宾)将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为___________________．3.(2019梧州) 我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围．三、例题精讲考点1：面积问题例1(2018荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 ，另外三边由36 长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝，面积为(如图)．(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 ，求的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）14 16 280.4 1 0.4考点2：建模问题例2(2018衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．考点3：与一次函数综合问题例3(2019辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？当堂检测1．(2018贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为______元．2.(2019毕节)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：15 20 30 …25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？3、（2019本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？4、（2019青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？5、（2019鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？。
人教版九年级数学二次函数的应用之三(桥洞问题)导学案教案
九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809 九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809二次函数的应用之三(桥洞问题)1．会根据实际问题构建函数模型，把实际问题中的变量关系表示成二次函数关系；2．会运用二次函数的知识解决有关桥洞、隧道问题．【预习案】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为多少米？【探究案】探究一桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）CO=1米，FG=2米．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）求柱子AD的高度．探究二某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．探究三一座拱桥的轮廓是抛物线型（图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．【训练案】1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若CA=米，则水面的宽度DC为（）．A．160米B．170米C．180米D．190米第2题2．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．。
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B
A
h
6.4二次函数的应用（3）
学习目标：
1、能运用二次函数的解析式解决简单的实际问题。
2、结合具体情景体会二次函数的意义，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，了解数学的建模思想。
3、在数学的学习过程中培养情感体验，了解数学给人们带来价值及美感。
学习过程： 一、情景创设
拱桥造型美，应用广，常见的桥孔形状除半圆形，椭圆形，马蹄形，还有抛物线形，下面请大家欣赏一组图片。
二、探索活动
问题1: 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，所示的坐标系，其函数的表达式为
y= －25
1x 2
，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30这时水面离桥顶的高度h 是（ ）
A 、5米
B 、6米；
C 、8米；
D 、9米
问题2: AB 宽20m ，水位上升到警戒线CD 时，CD 到拱桥顶O 的距离仅为1m,这时水面宽度为10m 。
⑴在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； ⑵若洪水到来时，水位以每小时0.3m 的速度上升， 从正常水位开始，持续多少小时到达警戒水位线？
三、典型例题。
问题3：如图，一座抛物线拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m ，水面AB 宽6m 时，能建立适当的平面直角坐标系吗？并求出相应的函数关系式。
B
A
A
思考与交流
当水位上升1m 时，水面宽多少（精确到0.1m ）?
四、拓展与延伸
一艘装满防汛器材的船,在“问题3”所说的河流中航行，露出水面部分的高为0.5米、宽为4米，当水位上升1米时 ,这艘船能从桥下通过吗?
六、巩固练习
1、闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱跨37.02m ，拱高7.23m 。
试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥拱对应的二次函数关系式。
2、我国台湾南投县附近的高速公路，有一座结构柔和典雅的钢拱桥，索塔为抛物线，塔高60m ，塔底宽85m 。
试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线过塔对应的函数关系式，并与同学交流。
七、课堂作业
1、如图所示，桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y =－
4
1x 2
,当水位线在AB 位置时，
水面的宽度为12m ，这时水面离桥拱顶的高度h 是（ ）
A ．3m
B ．26m
C ．43m
D ．9m
2、如图所示，一桥拱呈抛物线形，桥的最大高度为16m，
跨度为40m，在线段AB上离中点5m的地方M处桥的
高度为m。
3、某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线形不锈钢管组成，如果每段护栏都按0.4m 的间距加装不锈钢管（如图）的立柱，那么制作这些柱共需要多长的不锈钢管（精确到1m）？
4、南宁市的标志性建筑这一—水和大桥，是跨度极大的钢管混凝土拱桥（如图所示），其拱形为抛物线的一部分，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350m，拱高为85m.
⑴如图所示，在所给的直角坐标系中，假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a、b的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a、b的值保留2个有效数字）；
⑵7月份汛期来临时，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位小涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）
图⑴图⑵。