人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)1
tan( )
提示:
sin( ) tan( ) cos( ) sin cos cos sin cos cos - sin sin
当cos cos 0时，
分子分母同时除以cos cos
tan tan 可得 tan 1 tan t , 是第四象限角，求 tan( )的值. 5 4 3 解：由sin , 是第四象限角，得 5 4 2 2 3 cos 1 sin 1 ( ) , 5 5 3 sin 3 5 所以 tan . 4 cos 4 5 3 tan tan 1 tan 1 4 tan( ) 4 7. 4 1 tan tan 1 tan 1 ( 3 ) 4 4
4.公式的变形应用
tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan
例 4 求 tan 17 tan 43 3 tan 17 tan 43 的 值 .
tan 60 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43 3.
1 tan (2)因为 ，所以 tan =1.所以 4 1 tan tan tan tan[ ] tan . 1 tan tan
【变式练习】
1 tan 75 . 求值: 1 tan 75
3.1.2 两角和与差的正弦、
余弦、正切公式（二）
两角和正弦公式： (S() )
sin( ) sin cos cos sin
两角差正弦公式： (S() )
sin( ) sin cos cos sin
两角差余弦公式：(C() )
【变式练习】
求值：tan 75 .
tan 45 tan 30 解：tan 75 tan(45 30 ) 2 3. 1 tan 45 tan 30
分解为两个特 殊角的和或差
2.公式的逆用 例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值. 1 tan15 1 tan （ 1） . ，化简 . （ 2 ）已知 1 tan15 4 1 tan 1 tan15 tan 45 tan15 解：（1） tan （ 45 15 ） 1 tan15 1 tan 45 tan15 tan 60 3;
称为两角差的正切公式.
两角和与差的正切公式的说明 1.必须在定义域范围内使用上述公式. 2.注意公式的结构，尤其是符号.
【即时练习】
tan 15 . 求值:
tan 45 tan 30 解析： tan15 tan(45 30 )= 1 tan 45 tan 30
1 tan 75 解析： tan （ 45 75 ） tan120 3. 1 tan 75
3.公式的活用
2 1 例 3 已知 tan , tan( ) , 5 4 4 求 tan( ). 4 解： tan( ) tan[( ) ( )] 4 4 tan( ) tan( ) 3 4 . 1 tan( ) tan( ) 22 4
分析：tan17 tan 43
tan(17 43 )(1 tan17 tan 43 ).
解：tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
tan 17 43 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
2 3.
探究二：两角和与差的正切公式的应用
1.公式的直接应用 例1 求值： tan 105 .
tan 60 tan 45 解： tan105 tan(60 45 ) 2 3. 1 tan 60 tan 45
分解为两个特 殊角的和或差
的公式 tan 、 tan 吗？
1.掌握两角和与差的正切公式.(重点） 2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值、 化简和证明. (重点、难点）
探究一：两角和与差的正切公式的推导 当 cos( ) 0, 你能用 sin( ),cos( ) 表示 吗？
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式：(C() )
cos( ) cos cos sin sin
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
C() ,S() 出发，推导出用任意角 , 的正切表示
简记为T()
称为两角和的正切公式.
类比和角的正切公式，如何推导差角的正切公式？
提示: tan( ) tan[ ()] tan tan() 1 tan tan()
tan tan . 1 tan tan
简记为T (α -β )
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人教数学必修四课件-312两角和与差的正弦余弦正切公式二
复习引入
基本公式：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
复习引入
基本公式：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
tan(
)
tan tan 1 tan tan
练习 教材P.132练习第6题.
练习
教材P.132练习第6题.
思考：
怎样求 a sin bcos 的类型？
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3), n (cos A,sin A),
且 m n 1.
(1) 求角A；
(2)
若 1 2sin B cos B cos2 B sin2 B
3,求tan C的值.源自2413sin( ) 3 , 求sin 2 .
5
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
和正切公式的应用及asin＋bcos
类型的变换.
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十一的
第1、2、3题.
***两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
讲解范例：
例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
讲解范例：
例1. 化简 2 cos x 6 sin x. 思考：
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课件
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
tan α＋tan β
1.对于任意角 α，β，总有 tan(α＋β)＝1－tan αtan β .( × )
提示 公式成立需 α，β，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z.
2.使公式 tan(α±β)＝1t∓antaαn±αttaannββ有意义，只需 α，β≠kπ＋π2(k∈Z)即可.( × )
α，β，α－β 均不 等于 kπ＋π2(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
1.T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β) . tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β) .
tan α＋tan β 1－ tan αtan β＝ tanα＋β . 2.T(α－β)的变形： tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan αtan β) . tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝ tan(α－β) . tan α－tan β tan αtan β＝ tanα－β －1 .
跟踪训练2 若A，B是△ABC的内角，并且(1＋tan A)·(1＋tan B)＝2，则A＋B等于
√π A.4
3π
5π
2π
B. 4
C. 4
D. 3
解析 由(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，
PART TWO
题型一 正切公式的正用
例 1 (1)若 tanα－π4＝16，则 tan α＝
7 5
.
解析
方法一
∵tanα－π4＝1t＋antαan－αttaannπ4π4＝t1a＋n αta－n α1＝16.
人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)3
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
【知识提炼】 1.两角和的正切公式 T(α +β )：tan(α +β )=______________. tan tan 2.两角差的正切公式 T(α -β )：tan(α -β )=______________ 1 tantan (注：α 和β 的取值应使分母不为0).
1 tan 75 tan 45 tan 75 1 tan 45tan 75
3 3
3 3
5.若tanα =3，则
=____________. tan( ) 4
【解析】因为tanα =3，所以 案：-2
3 1 4 tan( ) 2. 4 1 tantan 1 3 1 4 tan tan
1 tan tan( ) ； 4 1 tan 1 tan tan( ) . 4 1 tan
3.使用T(α ±β )的注意事项 (1)必须在定义域范围内使用上述公式.tanα ，tanβ ，tan(α ±β ) 只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式. (2)注意公式的结构，尤其是符号.
tan tan tan( ) ， 1 tantan
【解析】1.原式= tan60 tan15 =tan(60°-15°) 1 tan60tan15 =tan45°=1. 答案：1
11 tan tan( ) 12 12 4 6 3 tan tan 1 4 6 3 2 3. 3 1 tan tan 1 4 6 3 (2)因为 tan17 tan28 tan(17 28) ， 所以tan17°+tan28°=tan(17 ° +28 1 tan17 tan28 °)(1-tan17°tan28°) tan
【知识提炼】 1.两角和的正切公式 T(α +β )：tan(α +β )=______________. tan tan 2.两角差的正切公式 T(α -β )：tan(α -β )=______________ 1 tantan (注：α 和β 的取值应使分母不为0).
1 tan 75 tan 45 tan 75 1 tan 45tan 75
3 3
3 3
5.若tanα =3，则
=____________. tan( ) 4
【解析】因为tanα =3，所以 案：-2
3 1 4 tan( ) 2. 4 1 tantan 1 3 1 4 tan tan
1 tan tan( ) ； 4 1 tan 1 tan tan( ) . 4 1 tan
3.使用T(α ±β )的注意事项 (1)必须在定义域范围内使用上述公式.tanα ，tanβ ，tan(α ±β ) 只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式. (2)注意公式的结构，尤其是符号.
tan tan tan( ) ， 1 tantan
【解析】1.原式= tan60 tan15 =tan(60°-15°) 1 tan60tan15 =tan45°=1. 答案：1
11 tan tan( ) 12 12 4 6 3 tan tan 1 4 6 3 2 3. 3 1 tan tan 1 4 6 3 (2)因为 tan17 tan28 tan(17 28) ， 所以tan17°+tan28°=tan(17 ° +28 1 tan17 tan28 °)(1-tan17°tan28°) tan
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)2课件人教新课标
tan[(β－α)－α]＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα＝1＋－－2－22×2＝43．
答案
4 3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型三 给值求角问题
【例 3】 (1)在△ABC 中，tan A＝13，tan B＝－2，则角 C＝
________；
解析
tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－1313×－2－2＝－1，
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
______________．
解析 ∵B 为锐角，sin B＝ 55，∴cos B＝255，∴tan B＝12，
∴tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－13＋13×12 12＝1．
∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4．
答案
π 4
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．求tant1an8°1＋8°ttaann4422°°＋tanta6n01°20°的值．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．已知 tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则 tanα＋2 β＝________．
解析
tanα＋2 β＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝1－1212×－13－13＝17．
人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正切公式
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
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第三章·3.1·3.1.2·
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【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
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第三章·3.1·3.1.2·
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重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
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第三章·3.1·3.1.2·
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预习篇01
新知导学
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第三章·3.1·3.1.2·
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第三章·3.1·3.1.2·
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3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角 函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点 和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子 与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行 三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角， 要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解 原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一 两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1 求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析 (1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 － ＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1
1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2(一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共30张PPT)
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 能够摄取必要营养的人要比吃得很多的人更健康，同样地，真正的学者往往不是读了很多书的人，而是读了有用的书的人。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 驾驭命运的舵是奋斗。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马ห้องสมุดไป่ตู้被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。