山东省2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
高二上学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）
A ．ac bc >
B ．a c b c ->-
C ．22a b >
D ．11a b
< 2．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++等于（ ）
A ．18
B ．18-
C ．578
D ．558
3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：111632OP OA OB OC =
++，则（ ） A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面
C ．四点O 、P 、B 、C 必共面
D ．五点O 、P 、A 、B ，C 必共面
4．己知双曲线22
215
x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A
B ．3
C ．5 D
．5．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，
则MN 等于（ ）
A ．221332a b c ++
B ．111222a b c +-
C ．211322a b c -++
D ．121232
a b c -+ 6．等差数列{}n a 和{}n b ，{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切正整数n ，都有
1n n T S n n =+，则55
a b 等于（ ） A ．34 B ．56 C ．910 D ．1011
7．不等式2210ax x -+>对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,1)
D ．[1,)+∞
8．已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ）
A ．23
B ．43
C ．323
D ．163 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）
A ．0d >
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）
A ．1ab ≤
B ≤
C ．222a b +≥
D ．112a b
+≥ 11．给出下列命题其中正确命题有（ ）
A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B ．己知向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面
D ．已知向量组{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{}
,,a b m 也是空间的一个基底 12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上一点，若122PF PF =则椭圆的离心率可以是（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“2
[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定为__________．
14．已知数列满足221n S n n =-+，则通项公式n a =________．
15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，上底面中心为O ，则异面直线AO 与1DC 所成角的余弦值为_______．
16．设椭圆22162x y +=与双曲线2
213
x y -=有公共焦点12,F F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠等于________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．
17．（本题10分）已知命题p ：“曲线212
2:128
x y C m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线
． （1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围；
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．
18．（本题12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和． 19．（本题12分）已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-⋃+∞．
（Ⅰ）求a 和b 的值；
（Ⅱ）求不等式2
()0ax c b x bc -++<的解集．
20．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*n N ∈．
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设n n n
b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 21．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．
（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ）设2AB PA ==．
①求异面直线PB 与AD 所成角的正弦值；
②求二面角E AF C --的余弦值．
22．己知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（3）若直线l 过点)(0,2Q ，求OAB 面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列2,4,6,8,--的通项公式可能是A.(1)2n n a n =-B.1(1)2n n a n +=-C.(1)2n n n a =-D.1(1)2n n n a +=- 2.若抛物线2x my =过点()1,4-，则该抛物线的焦点坐标为 A.1(0,)16- B.1(,0)16- C.(1,0)-D.(0,1)-3.与双曲线***-*****x y -=有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为A.22*****y x += B.***-*****x y += C.***-*****y x += D.***-*****x y += 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,；正方形数1,4,9,16,；等等.右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为A .35B .51C .70D .92 5.设12,F F 是椭圆22:193x y C m m+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=，则m 的取值范围是A.(],3-∞B.(]3,3-C.[)3,+∞D.[]3,3-a a a a a +-??=??? ()n *∈N ，则2021a = 21 2 21 D.27.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线的虚轴长为A.458 B.454 C.452 D.458.已知数列{}n a 的通项公式为41()n a n n *+∈N ，将数列{}n a 中的整数从小到大排列得到新数列{}n b ，则{}n b 的前100项和为A.9900B.*****C.*****D.*****二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省日照市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
6．如图.在正方体 中，若 为 的中点，则直线 与 所成的角的余弦值是（）
A． B． C． D．
7．如图在四面体 中， ， 分别在棱 ， 上且满足 ， ，点 是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为左顶点，过点 且斜率为 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则该双曲线的离心率是（）
15．设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值为______.
16．在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数 存在，求 的值；若 不存在，请说明理由.
设 为等差数列 的前 项和， 是等比数列，______， ， ， .是否存在 ，使得 且 ？
四、双空题
17．数列 、 满足 ，且 、 是函数 的两个零点，则 ________，当 时， 的最大值为________．
五、解答题
18．已知动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，其轨迹为 .
（1）求 的方程
（2）过点 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．
3．A
【分析】
由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解.
【详解】
解：由 ，但 时 不一定成立，例如当 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题.
2023-2024学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．1802．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．103．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+146．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．7207．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣110．若(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（ ） A ．a 0＝1 B ．a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝16 C ．a 0+a 2+a 4＝41D ．a 1+a 3＝4011．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A ．A 与D 相互独立 B ．A 与B 相互独立 C ．B 与D 相互独立 D ．A 与C 相互独立12．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点M 是直线x ＝4上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则（ ）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为.（结果用数字作答）14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=2√3，平面α经过点A，且直线AA1与平面α所成的角为30°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则点A1到平面α的距离为，直线AA1与BH所成角的范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点E是B'C的中点．（1）证明：D′E∥平面A′BD；（2）求直线D′E与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）求△AOB的面积．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．180解：C 53+C 54=C 52+C 51=5×42×1+5=15． 故选：A ．2．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．10 解：空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），a →∥b →，则−21=−42=k −1，解得k ＝2．故选：A ．3．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直解：因为k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，所以k 1k 2＝﹣1，所以两条直线垂直． 故选：B ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →解：AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则AP →=23AC 1→=23(AB →+BC →+CC 1→)=23(AB →+AD →+AA 1→)=23a →+23b →+23c →．故选：A ．5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+14 解：由题意可得，半圆所在圆的方程为x 2+y 2＝1，半椭圆所在椭圆方程为y 22+x 2=1，把x =√22分别代入圆与椭圆方程，可得A （√22，−√22），B （√22，1）， ∴|AB |=√22+1，又F 到AB 所在直线的距离为√22， ∴△ABF 的面积为12×√2+22×√22=√2+14．故选：D ．6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．720解：先把6人分为3组，一组3人，一组2人，一组1人，有C 63C 32C 11=60种分法，再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教，所以不同的分法种数为60×A 33=360． 故选：B ．7．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）解：根据题意，圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m ，圆心为（﹣2，2），半径R =√m ， 圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1，圆心为（1，﹣2），半径r ＝1，圆心距d =√9+16=5，若两圆相交，则有|√m −1|＜5＜√m +1，解可得16＜m ＜36，即m 的取值范围为（16，36）． 故选：D ．8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10解：CD →=CA →+AB →+BD →，两边平方得（CD →）2＝（CA →+AB →+BD →）2， 所以|CD →|2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →•AB →+2CA →•BD →+2AB →•BD →，由题可知|AB →|=√3，|CA →|＝1，|BD →|＝2，＜CA →，AB →＞=π2，＜CA →，BD →＞=2π3，＜AB →，BD →＞=π2，所以|CD →|2＝12+（√3）2+22+2•1•√3cos π2+2•1•2•cos 2π3+2•√3•2•cos π2=6，所以|CD →|=√6． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣1 解：因为直线l ：y ＝x ，对于A ：设与l 平行的直线方程为y ＝x +b ，代入A （0，﹣1），得b ＝﹣1， 所以，过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1，故A 正确；对于B ：点A （0，﹣1）关于y ＝x 对称的点的坐标为（﹣1，0），故B 错误； 对于C ：点A 到直线x ﹣y ＝0的距离为√2=√22，故C 正确； 对于D ：设与l 垂直的直线方程为y ＝﹣x +m ，代入A（0，﹣1），得m＝﹣1，所以，过点A与l垂直的直线的方程为y＝﹣x﹣1，故D正确．故选：ACD．10．若(2x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（）A．a0＝1B．a0+a1+a2+a3+a4＝16C．a0+a2+a4＝41D．a1+a3＝40解：对于A，令x＝0得，a0＝（﹣1）4＝1，故A正确；对于B，令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，故B错误；对于C，D，令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣2﹣1）4＝81，又因为a0+a1+a2+a3+a4＝1，所以两式相加得，2（a0+a2+a4）＝82，两式相减得，2（a1+a3）＝﹣80，所以a0+a2+a4＝41，a1+a3＝﹣40，故C正确，故D错误．故选：AC．11．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）=24×23+24×23=23，P（B）=24=12，P（C）=24×13+24×23=12，P（D）=24×13+24×13=13，P（AD）＝0，P（AB）=24×23=13，P（BD）=24×13=16，P（AC）=24×23=13，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件，故A错误；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件，故B正确；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件，故C正确；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件，故D正确．故选：BCD．12．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x＝4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则（）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2解：根据题意可得a＝2，b=√3，c＝1，对A选项，∵△AF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，∴A选项正确；对B选项，设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则x124+y123=1，∴3x12+4y12=12，同理可得3x22+4y22=12，对x24+y23=1两边关于x求导可得：x2+2y⋅y′3=0，∴y′=−3x4y，∴切线AM方程为y−y1=−3x14y1(x−x1)，∴3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，故切线AM方程为3x1x+4y1y＝12，同理可得切线BM的方程为3x2x+4y2y＝12，又切线AM与切线BM都过M（4，t），∴{12x1+4y1t=12 12x2+4y2t=12，∴AB直线方程为12x+4ty＝12，∴AB直线过定点F2（1，0），∴A，F2，B三点共线，∴B选项正确；对C选项，由B选项分析可知AB直线过F2（1，0），∴AB为焦点弦，根据椭圆的几何性质可得焦点弦AB为通径时最短，∴|AB|≥2b2a=3＞2，∴C选项错误；对D选项，如图，由B选项分析可知AB直线斜率为−3 t ，又MF2直线的斜率为t−04−1=t3，∴k AB⋅k MF2=−1，∴AB⊥MF2，在直线AB上取AF′＝AF1，BF1＝BF″，则|AF1′|+|AF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，同理可得|BF1″|+|BF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，∴|F1′F2|＝|F1″F2|，又AB⊥MF2，∴∠F1′MF2＝∠F1″MF2，设∠F1MA＝θ，∠F1MF2＝φ，∠F2MB＝γ，∵MA，MB为椭圆C的两条切线，∴根据椭圆的光学性质可得：∠F1′MA＝∠F1MA＝θ，∠F1″MB＝∠F1MB＝φ+γ，又∠F1′MF2＝∠F1″MF2，∴2θ+φ＝γ+φ+γ，∴θ＝γ，∴∠AMF1＝∠BMF2，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为160.（结果用数字作答）解：二项式(x+2x)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（2x）r＝2r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，得r＝3，故常数项是23•C63=160．故答案为：160．14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为25．解：甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件是甲、乙两个机构都没有研究成功，∴甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：P＝1﹣（1−15）（1−14）=25．故答案为：2 5．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为8．解：抛物线y2＝8x，p＝2，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2．设P 到准线的距离为PD ，（即PD 垂直于准线，D 为垂足），则|P A |+|PF |＝|P A |+|PD |≥|AD |＝8，（当且仅当P 、A 、D 共线时取等号）． 故答案为：8．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =2√3，平面α经过点A ，且直线AA 1与平面α所成的角为30°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则点A 1到平面α的距离为 2 ，直线AA 1与BH 所成角的范围为 [30°，60°] ． 解：如图，连接AH ，因为A 1H ⊥α，AH ⊂α，所以A 1H ⊥AH ，所以H 在以AA 1为直径的球面上，又直线AA 1与平面α所成角为30°，而∠A 1AH 即为直线AA 1与平面α所成的角，因此∠A 1AH =30°，因此H 在以AA 1为轴，顶角为60°的圆锥面上，过H 作HO ⊥AA 1于点O ，则HA 1=2，HA =2√3，HO =√3，A 1O =1，AO =3，其中HA 1的长即为A 1到平面α的距离，所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O 为圆心，半径为√3，以AB 为y 轴，AA 1为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，2√3，0)，设H(√3cosθ，√3sinθ，3)，BH →=(√3cosθ，√3sinθ−2√3，3)，取AA 1→的一个方向向量为n →=(0，0，1)， cos〈BH →，n →〉=|BH →⋅n →||BH →||n →|=3√3cos 2θ+3(sinθ−2)2+9=324−12sinθ∈[12，√32]， 又0≤＜BH →，n →＞π，所以〈BA →，n →〉∈[π6，π3]，所以直线BH 与AA 1所成角的范围是[π6，π3]，即[30°，60°]，故答案为：2；[30°，60°]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，点E 是B 'C 的中点．（1）证明：D ′E ∥平面A ′BD ；（2）求直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值．（1）证明：在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，B ′D ′∥BD ，A ′D ∥B ′C ，B ′D ′∩B ′C ＝B ′，BD ∩A ′D ＝D ， 所以平面A ′BD ∥平面B ′D ′E ，又D ′E ⊂平面BD ′E ， 所以D ′E ∥平面A ′BD ；（2）解：以D 为原点，DA →，DC →，DD′→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），C ′(0，1，1)，D ′(0，0，1)，E(12，1，12)，所以D ′E →=(12，1，−12)，又平面ABCD 的法向量n →=(0，0，1)，设直线D ′E 与平面ABCD 所成角为θ，sinθ=|cos〈n →，D′E →〉|=|D′E →⋅n →||D′E →|⋅|n →|=12√32=√66，所以直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 18．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求C 的方程； （2）求△AOB 的面积．解：（1）由已知及抛物线的定义可得p ＝|MF |cos （180°﹣135°）=2√2cos45°＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由（1）知F （1，0），设直线AB ：x +y ﹣1＝0，将其代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝﹣4，y 1y 2＝﹣4，△AOB 面积为：12|OF ||y 1﹣y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√32=2√2．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．解：（1）根据题意，记事件A 为“车床加工的零件为次品”，事件B i 为“该零件由第i 台车床加工的零件”，i ＝1，2，则P （A |B 1）＝6%，P （A |B 2）＝5%，已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，则P （B 1）＝40%，P （B 2）＝60%，故P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）+P （B 2）P （A |B 2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054； （2）根据题意，由贝叶斯公式P （B 1|A ）=P(AB 1)P(A)=P(B 1)P(A|B 1)P(A)=0.4×0.060.054=0.0240.054=49． 20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 解：（1）因为点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，所以{1a 2=12a 2−3b 2=1，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线C 的方程为x 2−y 23=1， 又c =√a 2+b 2=2， 所以C 离心率e =ca=2，渐近线方程为y =±√3x ； （2）证明：易知k 1，k 2一定存在且k 2≠±1， 因为F （2，0），x 0＞0， 所以k PF =k 1=y 0x 0−2，k PA 1=k 2=y0x 0+1， 此时2k 21−k 22=2y 0x 0+11−y 02(x 0+1)2=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02，因为点P 在双曲线C 上，所以x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3， 则2k 21−k 22=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02=2y 0(x 0+1)−2(x 0−2)(x 0+1)=−y 0x 0−2=−k 1．故k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，CD ＝BC ＝2√2， 所以BD ＝4，∠CBD ＝45°，在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝4√2，由余弦定理可得AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =4， 所以AD 2+BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ， 取AD 的中点O ，连接PO ， 因为△P AD 是等边三角形， 所以PO ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂面P AD ， 所以PO ⊥面ABCD ， 因为BD ⊂面ABCD ， 所以PO ⊥BD ，又因为PO ∩AD ＝O ，PO ，AD ⊂面P AD ， 所以BD ⊥面P AD ．（2）取AB 的中点N ，连接ON ，ON ∥BD ， 所以AD ⊥ON ，以O 为原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则A （0，﹣2，0），D （0，2，0），B （4，2，0），C （2，4，0），P （0，0，2√3），AP →=（0，2，2√3），DM →=DP →+PM →=DP →+λPC →=（0，﹣2，2√3）+λ（2，4，﹣2√3）＝（2λ，4λ﹣2，2√3（1﹣λ）），0≤λ≤1， 又DB →=（4，0，0），设平面MBD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{DM →⋅n →=2λx +(4λ−2)y +2√3(1−λ)z =0DB →⋅n →=4x =0，当λ=12时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意，当λ≠12时，令z ＝2λ﹣1，得平面MBD 的法向量为n →=（0，√3（λ﹣1），2λ﹣1），又平面ABCD 的一个法向量为m →=（0，0，1），由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√1313， 所以|cos ＜m →，n →＞|=√[√3(λ−1)]+(2λ−1)=√1313，解得λ=13或λ=35． 22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．解：（1）因为x 2+y 2+2√3x −21=0， 所以(x +√3)2+y 2=24， 所以T(−√3，0)，半径r =2√6，因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ， 所以|RH |＝|RG |，所以|RT|+|RH|=|RT|+|RG|=|TG|=2√6＞|TH|=2√3，所以动点R 的轨迹是以T(−√3，0)，H(√3，0)为焦点，长轴长为2√6的椭圆， 所以a =√6，c =√3，b =√3， 故曲线E 的方程为x 26+y 23=1；（2）λ+μ＝4．证明：当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x =√3，与y 轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣3）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 26+y 23=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2−4√3k 2x +6k 2−6=0，Δ＞0恒成立， 所以{x 1+x 2=4√3k1+2k2x 1x 2=6k 2−61+2k 2， 又因为直线AB 与y 轴的交点为C ，所以C(0，−√5k)， 所以CA →=(x 1，y 1+√3k)，AH →=(√3−x 1−y 1)， CB →=(x 1，y 2+√3k)，BH →=(√3−x 2，−y 2)，又因为CA →=λAH →，所以x 1=λ(√3−x 1)，同理x 2=μ(√3−x 2)， 所以λ=13−x 1μ=23−x 2， 所以λ+μ=x 1√3−x 1x 2√3−x 2=√3(x 1+x 2)−2x 1x 23−√3(x 1+x 2)+x 1x 2=√3×4√3k21+2k 2−2×6k2−61+2k23−√3×4√3k 21+2k 2+6k 2−61+2k2， 整理后得λ+μ=12k 2−12k 2+123+6k 2−12k 2+6k 2−6=−123=−4， 所以λ+μ 为定值﹣4，原题得证．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），显然PQ 的斜率存在，x1≠2，x 2≠2，设PQ 的方程是y ＝hx +m ，由{y =kx +mx 2+2y 2=6，消去y 得：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0， 由韦达定理得{x 1+x 2=−2km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1，由已知k MP •k MQ ＝1，可得y 1−1x 1−2−y 2−1x 2−2=1，即y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4， 又y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，代入上式整理得m 2+（8k +2）m +12k 2﹣3＝0， 则m ＝﹣6k ﹣3或m ＝1﹣2k ，当m ＝﹣6k ﹣3时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣6）﹣3， 所以直线PQ 经过定点（6，﹣3），当m ＝1﹣2k 时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣2）+1， 所以直线PQ 经过定点（2，1）与M 重合，舍去， 故直线PQ 经过定点K （6，﹣3），又因为MD ⊥PQ ，所以D 在以线段MK 为直径的圆上， 所以F 为线段ME 的中点，即F （4，﹣1），所以|DF|=12|MK|=12×√(6−2)2+(−3−1)2=2√2为定值．。
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。
山东省德州市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
高二数学试题（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1-3页，第Ⅱ卷4-6页，共150分，测试时间120分钟。
注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
）1．已知两个向量(1,1,2),(1,1,)a b m ==r r ，若a b ⊥rr ，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知集合{1,2,3},{4,5,6,7}M N =-=--，从集合M 中选一个元素作为点的横坐标，从集合N 中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．123．5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x 12345销售量y （千部）0.50.81.01.21.5若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.28ybx =+，则可以预测6x =时，该商城5G 手机的销量约为_________千部．（）A ．1.48B ．1.56C ．1.64D ．1.724．某物理量的测量结果服从正态分布()2100,N σ，下列结论中错误的是（）A ．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5B ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(99101)，的概率越大C ．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(99102)，与落在(100103)，的概率相等5．在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为6，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．66B ．427C ．147D ．776．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，y （x ，y ∈N ）代替，分布列如下：X i =123456()P X i =0.210.200.5x 0.100.1y0.10则31123P X ⎛⎫<<=⎪⎝⎭（）A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.657将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成1(1)rnn C +，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果2n ≥（n 为正整数），则下列结论中正确的是（）第0行11第1行1212第2行131613第3行1411211214…………A ．当2023n =时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．当2024n =时，中间一项为1013202412025C C ．第6行第5个数是1105D ．11111(,1)(1)(1)r r r n n nr r n n C n C nC --+=∈≤≤++N8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11220,F A F B F B F A ⋅==-uuu r uuu r uuu r uuu r，则双曲线C 的离心率为（）A ．312+B 1C ．512+D 1二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
2023—2024学年度第一学期教学质量检测高二数学试题（答案在最后）2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.注意事项：1.答第I 卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，2.选出每小题答案前，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()0,1 B.()0,2 C.()2,0 D.()1,02.已知四面体OABC 中，,,,(0),OA a OB b OC c OM MA N λλ====>为BC 中点，若111422MN a b c =-++，则λ=（）A.3B.2C.12D.133.正方体1111,,ABCD A B C D E G -分别111,C D D D 的中点，则直线CE 与直线AG 所成角的余弦值为（）A.13B.12C.25D.354.等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，若236,,a a a 成等比数列，则d =（）A.0或-2B.2或-2C.2D.0或25.已知两点()()3,0,1,2A B -，以线段AB 为直径的圆截直线20x y ++=所得弦长为（）A. C.4D.26.已知椭圆22:13x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，直线3y x =-与C 交于,A B 两点，则1F AB 的面积与2F AB 面积的比值为（）A.3B.27.某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.3≈≈≈）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.曲线22x y x y +=+围成图形的面积为（）A.2πB.πC.2π4+ D.π2+二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1:880l ax y +-=与直线2:20l x ay a +-=，下列说法正确的是（）A.当8a =时，直线1l 的倾斜角为45B.直线2l 恒过()0,1点C.若4a =，则1l ∥2lD.若0a =，则12l l ⊥10.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）A.若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列B.若{}n b 的前n 项和22n S n n =++，则数列{}n b 为等差数列C.若数列{}n a 为等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 成等比数列D.若数列{}n b 为等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 成等差数列11.下列说法正确的是（）A.已知()()0,1,1,0,0,1a b ==- ，则a 在b上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若G 是四面体OABC 的底面ABC 的重心，则()13OG OA OB OC =++ C.若234555OG OA OB OC =-++，则,,,A B C G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（,,x y z都是不共线的非零向量）则称p 在基底{},,x y z 下的坐标为{},,m n k ，若p 在单位正交基底{},,a b c 下的坐标为{}1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c -+下的坐标为13,,322⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12.已知点()0,2,,A AM AN -为圆22:410C x y x +--=的两条切线，切点分别为,M N ，则下列说法正确的是（）A.圆C 的圆心坐标为()2,0B.切线AM =C.直线MN 的方程为2210x y ++=D.15sin 8MAN ∠=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l 在x 轴､y 轴上的截距分别是32和-3，则直线l 的一般式直线方程为__________.14.若双曲线2221(0)y x m m-=> 的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =__________.15.如图，两条异面直线,a b 所成的角为60 ，在直线,a b 上分别取点1,A E 和点,A F ，使11,A A a A A b ⊥⊥，已知11,2,3A E AF EF ===，则1AA =__________.16.如图所示，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，1122,4F A F B BF AF ⊥=，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE =，点F 为BD 中点.（1）求点1D 到直线EF 的距离；（2）求证：1AC ⊥面BDE .18.（12分）M 是坐标平面内一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为6.（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）如图所示，斜率为(0)k k >且过()6,0的直线l 与曲线C 交于,G H 两点，点N 为线段GH 的中点，射线ON 与曲线C 交于点E ，与直线2x =交于点F .证明：,,ON OE OF 成等比数列.19.（12分）已知等差数列{}n a 中的前n 项和为n S ，公差为0d ≠，且2514,,a a a 成等比数列，525S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前30项的和30T .20.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,2,60,,ABCD PA AC ABC E F ∠︒===分别在梭,PD PC 上，M 为BC 的中点.（1）若2,PE DE F =为PC 中点，证明：BF ∥面ACE ；（2）若PE DE =，是否存在点F ，使得ME 与平面AMF 所成角的正弦值为15？若存在，求出PC PF的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{}n a .（1）写出n a 与1n a +的递推关系，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且122n n b S +=+，在n b 与1n b +之间插入n 个数，若这2n +个数恰能组成一个公差为n d 的等差数列，求数列{}n n a d ⋅的前n 项和n T .22.（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点()0,3E ，过抛物线C 的焦点且平行于x 轴的直线l 与圆E 相切，与C 交与,P Q 两点，4PQ =.（1）求C 和圆E 的方程；（2）过C 上一点A 做圆E 的两条切线,AM AN 分别与C 交于M N ､两点，判断直线MN 与圆E 的位置关系，并说明理由.参考答案一､选择题二､填空题13.230x y --=16.105三､解答题17.解：证明（1）由题知以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：正四棱柱1124,4,AA AB CC CE F ===为BD 中点()()()()()110,0,4,0,2,1,1,1,0,0,2,3,1,1,1D E F ED EF ∴=-=--3d ∴===（2）法一：由（1）知()()()10,2,0,2,2,0,2,0,4C B A ()()()12,2,4,2,2,0,0,2,1A C DB DE ∴=--==又DB DE D⋂= 11,A C DB A C DB ∴⋅∴⊥110,A C DE A C DE⋅=∴⊥1AC ∴⊥面BDE 法二：设面BDE 的法向量(),,m x y z =则有0202200m DE y z x y m DB ⎧⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩令1x =，则()1,1,2m =-112A C m A C ∴=-∴ ∥m .1AC ∴⊥面BDE .18.（1）设动点(),M x y ，由于,MA MB 分别与直线,y x y x ==-垂直，所以，四边形OAMB 是矩形，6MA MB ∴⋅=MA MB ==2212x y ∴-=,A B 两点分别在一､四象限，0,0x y x y ∴->+>M ∴点的轨迹方程C 为：2212,(0)x y x -=>（2）设直线l 的方程为：()()()11226,,,,y k x G x y H x y =-，中点()00,N x y 直线l 的方程与C 的方程联立()22612y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得：()222211236120k x k x k -+--=210Δ000k k k ⎧-≠⎪>∴>⎨⎪>⎩且1k ≠2122121k x x k -+=-20261k x k -∴=-将其代入()6y k x =-得0261k y k -=-要证,,ON OE OF ∣成等比数列，只要证明,,N E F 三点的横坐标成等比数列即可.直线ON 的斜率1ON k k=直线ON 的方程为1y x k=方程1y x k =与方程C 联立得E 点横坐标222121E k x k =-，F 点的横坐标显然2F x =222022612211F Ek k x x x k k -⋅=⨯==-- ,,ON OE OF 成等比数列.19.解：（1）由题意，2151141,4,13a a d a a d a a d=+=+=+2514,,a a a 成等比数列，25214a a a ∴=⋅，即()()()2111413a d a d a d +=+⋅+又51545252dS a ⨯=+= 解得112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-（2）21n a n =- ，1212(1)(1)(21)n n n n b a n ++∴=-=--3012330T b b b b ∴=+++ 22222213575759=-+-+- ()()()()()()1313575757595759=-++-++-+()21355759=-+++++ 1800=-20.解：（1）2,60PA AC ABC ∠=== ，所以ABC 为等边三角形，M 为BC中点,AM BC AM ∴⊥==，又AD ∥BC ，所以AM AD⊥以A 为原点，,,AM AD AP 分别头,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则11,0),(0,2,0),(0,0,2),,,122B C M D P F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭422,0,,33PE DE E ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭)3342,,1,,0,2233BF AC AE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设平面ACE 的一个法向量(),,m x y z =则00420033y m AC y z m AE ⎧+=⋅=⎪∴⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩令1x =解得(1,m =(3,,11,022BF m ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭BF m∴⊥ 又BF ⊂ 面ACEBF ∴∥面ACE（2）设()01PF tPC t =≤≤，则))()()),0,0,2,0,1,1,,,22M CP E F t t-))(),,,22,AM AF t t ME ∴==-= 设平面AMF 的法向量(),,n x y z =，则()0,0,220,0,n AM ty t z n AF ⎧⎧=⋅=⎪⎪⎨++-=⋅=⎪⎩令z t =，得平面AMF 的一个法向量()0,22,n t t =- 设ME 与平面AMF 所成的角为θ，则1sin cos ,5ME n ME n ME n θ⋅=== 解得12t =或45t =即存在点F ，且2PC PF =或54PC PF =21.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以有11n n a a n +-=+，所以()()()()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=（2）由122n n b S +=+，得()1222n n b S n -=+≥两式相减得()132n n b b n +=≥{}n b 为等比数列，211223b S b ∴=+=，解得12b =123n n b -∴=⋅123nn b +=⨯()121n n n b b n d +=++- ，1431n n d n -⨯∴=+123n n n a d n -∴⋅=⋅，()012121323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ()124321323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ()()1231213321333332313nn n n n n T T n n ---=+++++-⋅=-⋅- 11322nn T n ⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭22.解（1）由题意知直线l 的方程为2py =与2:2C x py =方程联立可得,,,22p p P p Q p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24PQ p ∴==C ∴的方程为24x y =，直线l 的方程为1y =又 直线l 与圆E 相切，∴圆E 的半径为2圆E 的方程为22(3)4x y +-=（2）设C 上三点222312123,,,,,444x x x A x M x N x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然123x x x ≠≠∴直线AM AN MN ､､的斜率都是存在的∴直线AM 的斜率22211221444AMx x x x k x x -+==-∴直线AM 的方程为()121240x x x y x x +--=同理AN 的方程为()131340x x x y x x +--=MN 的方程为()323240x x x y x x +--= 圆E 与直线AM 相切，∴2=化简得：()222121214168040x x x x x -++-=同理，圆E 与直线AN 相切，可得()222131314168040x x x x x -++-=所以：23,x x 是方程()2221114168040x x x x x -++-=的两个根，由韦达定理123212123211648044x x x x x x x x -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩E ∴点到直线MN的距离()()212184244x d x +====+。
2023-2024学年山东省威海市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={z|z =i n +1in ，n ∈N ∗}，则A 的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为（ ）A ．±2B ．2C ．±4D ．43．设v 1→，v 2→分别是空间中的直线l 1，l 2的方向向量，A ∈l 1，B ∈l 2．记甲：v 1→，v 2→，AB →不共面，乙：l 1与l 2异面，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知点A （﹣2，4），B （﹣1，﹣3），若直线y ＝kx 与线段AB 有公共点，则（ ） A ．k ∈[﹣∞，﹣2]∪[3，+∞] B ．k ∈[﹣2，3] C ．k ∈[﹣∞，−12]∪[13，+∞]D ．k ∈[−12，13]5．已知直线x ﹣y +1＝0与圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，则实数m ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知双曲线C 与椭圆x 29+y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且P 为C 与椭圆的一个交点，若∠F 1PF 2＝120°，则C 的方程为（ ） A ．x 220−y 212=1 B ．x 212−y 220=1C ．x 23−y 25=1D ．x 25−y 23=17．已知在空间直角坐标系中，直线l 经过A （3，3，3），B （0，6，0）两点，则点P （0，0，6）到直线l 的距离为（ ） A ．6√2B ．2√3C ．2√6D ．68．一个边长为1的正方形被等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第n 次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（ ）A ．9n −8n 9nB ．8n −3n 5⋅3n C ．8n −17⋅9nD ．8n −7n9n二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题一、单选题 1．164是数列12、14、18、116、的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】A【分析】列举出该数列的前6项，可得结果.【详解】由题意可知，该数列为12、14、18、116、132、164、，故164是数列12、14、18、116、的第6项.故选：A.2．已知椭圆2213x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若过1F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF △的周长为（ ） A ．2 B．C ．4 D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义可求得2ABF △的周长. 【详解】在椭圆2213x y +=中，a =所以，2ABF △的周长为()()2212124AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==故选：D.3．在数列{}n a 中，12,123,1n n n n n a a a a a +<⎧=⎨->⎩，若125a =，则103a =（ ）A ．15B ．25C ．45D ．85【答案】D【分析】推导出对任意的n *∈N ，4n n a a +=，利用数列的周期性可求得103a 的值.【详解】在数列{}n a 中，12,123,1n n n n n a a a a a +<⎧=⎨->⎩，且125a =，则21425a a ==，32825a a ==，431235a a =-=，54225a a ==，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，4n n a a +=，所以，1034253385a a a ⨯+===.故选：D.4．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m 时，拱顶距离水面4m ，当水面上升1m 后，桥洞内水面宽为（ ）A ．4mB ．43mC ．83mD ．12m【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，过原点且垂直于y 轴的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，分析可知点()8,4-在该抛物线上，求出p的值，可得出抛物线的方程，将=3y -代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，过原点且垂直于y 轴的直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意可知点()8,4-在抛物线上，所以，()6424p =-⨯-，可得8p =，所以，抛物线的方程为216x y =-， 当水面上升1m 后，即当=3y -时，248x =，可得43x =± 因此，当水面上升1m 后，桥洞内水面宽为83m . 故选：C.5．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（ ） A ．12B ．24C ．48D ．96【答案】B【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.【详解】设灯塔每层的灯数满足数列{}n a ，顶层的灯数为1a ，前n 项和为n S ， 则{}n a 为公比为2的等比数列，根据题意有()7171238112a S -==-,解得13a =，∴334123224a a =⨯=⨯=，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24. 故选:B .6．若椭圆C 的中心为坐标原点､焦点在y 轴上；顺次连接C 的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接C的四个顶点构成四边形的面积为C 的方程为（ ） A ．22143y x +=B ．22162y y +=C ．22184y x +=D ．22186y x +=【答案】A【分析】由题可知，22221222a c a b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩a 和b 的值，从而求得椭圆的方程；【详解】设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由题可知，22221222a c a b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩2a =，3b =，故椭圆的标准方程为22143y x +=．故选：A.7．已知数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为31n a n =-和()43n b n n *=-∈N ，设这两个数列的公共项构成集合A ，则集合{}2023,A n n n *⋂≤∈N 中元素的个数为（ ）A ．166B ．168C ．169D ．170【答案】C【分析】利用列举法可知，将集合A 中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为{}n c ，可知数列{}n c 为等差数列，求出数列{}n c 的通项公式，然后解不等式2023n c ≤，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列:2n a 、5、8、11、14、17、20、23、26、29、，数列:1n b 、5、9、13、17、21、25、29、33、37、，将集合A 中的元素由小到大进行排序，构成数列:5n c 、17、29、，易知数列{}n c 是首项为5，公差为12的等差数列，则()5121127n c n n =+-=-， 由1272023n c n =-≤，可得1015116966n ≤=+， 因此，集合{}2023,A n n n *⋂≤∈N 中元素的个数为169.故选：C.8．已知直线l 过双曲线22:13y C x -=的左焦点F ，且与C 的左､右两支分别交于,A B 两点，设O 为坐标原点，P 为AB 的中点，若OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（ ） A． B． C．D． 【答案】D【分析】由点差法得3OP AB k k ⋅=，由条件知直线OP 的倾斜角为AB 倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式3OP AB k k ⋅=即可求得l 的斜率. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y , 由,A B 均在22:13y C x -=上，P 为AB 的中点， 得221122223333x y x y ⎧=+⎨=+⎩，则()()()()121212123x x x x y y y y -+=-+， ∴01212121212120232y y y y y y y x x x x x x x -+-=-+⋅-⋅=， ∴3OP AB k k ⋅=，设直线AB 的倾斜角为α，则tan AB k α=，不妨设α为锐角，∵OFP △是以FP 为底边的等腰三角形，∴直线OP 的倾斜角为2α，则tan 2OP k α=. ∴tan tan 23αα⋅=， ∴22tan tan 31tan ααα⋅=-，解得15tan α= ∴由对称性知直线l 的斜率为15. 故选：D【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于A B ，两点，中点为P ，则有21AB OP k k e =-，（O 为坐标原点）此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了AB k 与OP k 的关系，另一方面通过OFP △是以FP 为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.二、多选题9．已知曲线()22:121x y C m m m -=∈--R ，下列说法正确的有（ ）A ．若曲线C 表示椭圆，则m>2或1m <B ．若曲线C 表示椭圆，则椭圆的焦距为定值 C ．若曲线C 表示双曲线，则12m <<D ．若曲线C 表示双曲线，则双曲线的焦距为定值 【答案】BCD【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出m 的取值范围，可判断AC 选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD 选项.【详解】对于A 选项， 若曲线C 表示椭圆，则201021m m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩，解得1m <，A 错；对于B 选项，若曲线C 表示椭圆，则1m <，椭圆C 的标准方程为22121x y m m+=--， 椭圆C 的焦距为2=，B 对；对于C 选项，若曲线C 表示双曲线，则()()210m m --<，解得12m <<，C 对； 对于D 选项，若曲线C 表示双曲线，则双曲线C 的标准方程为22121x y m m -=--， 双曲线C的焦距为2=，D 对.故选：BCD.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，若14120,a S S >=，则（ ）A ．公差0d <B ．790a a +<C ．n S 的最大值为8SD ．满足0n S <的n 的最小值为16【答案】AC【分析】根据14120,a S S >=求出1a 与公差d 的关系即可判断AB ；再根据等差数列前n 项和公式即可判断CD.【详解】因为14120,a S S >=，则()()1411241222a a a a ++=，即()141123a a a a +=+， 则12015d a =-<，故A 正确；7912140a a a d d +=+=->，故B 错误；由790a a +>，得80a >， 911802a a d d =+=<, 因为100,d a <>，所以数列{}n a 是递减数列，且当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 所以n S 的最大值为8S ，故C 正确； 2211116221515n a a d d S n a n n n ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令0n S <，解得16n >，所以满足0n S <的n 的最小值为17，故D 错误. 故选：AC.11．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则（ ） A ．数列{}2nn a 为等差数列B ．32n nna -=C ．n S 随n 的增大而减小D ．n S 有最大值【答案】ABD【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断AB ；根据数列{}n a 的符号，即可判断n S 的增减性，即可判断CD. 【详解】由11212n n na S ++=+， 当2n ≥时，111212n n n a S --+=+， 两式相减得11222n n n na a a +-+=-， 即1122n n na a +=-，所以()112212n nn n a a n ++-=-≥， 当1n =时，21322a a +=，则214a =， 则221221a a -=-，所以数列数列{}2nn a 是以1-为公差，122a =为首项的等差数列，故A 正确；则23nn a n =-，所以32n nna -=，故B 正确； 由32n nna -=，得当2n ≤时，0n a >，30a =，当4n ≥时，0n a <， 所以当2n ≤时，n S 随n 的增大而增大，当4n ≥时，n S 随n 的增大而减小，故C 错误； 所以当2n =或3时，n S 取得最大值，故D 正确. 故选：ABD.12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，则（ ） A ．过点()0,2A 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 B ．设点()3,2B ，则PB PF -的最大值为C ．点P 到直线30x y -+=的最小距离为2D ．点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值为1 【答案】BCD【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A 选项；数形结合求出PB PF-的最大值，可判断B 选项；设点()24,4P t t ，其中t ∈R ，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C 选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设过点A 的直线为m ，若直线m 方程为0x =，此时直线m 与抛物线24y x =只有一个公共点，若直线m 的方程为2y =，此时直线m 与抛物线24y x =只有一个公共点， 若直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的方程为2y kx =+，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩可得()224440k x k x +-+=，若直线m 与抛物线24y x =相切，则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=--=⎪⎩，解得12k =， 此时，直线m 的方程为122y x =+， 综上所述，过点()0,2A 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A 错； 对于B 选项，如下图所示：易知点()1,0F ，()()2231202PB PF BF -≤=-+-=当且仅当点P 为射线BF 与抛物线24y x =的交点时，等号成立， 故PB PF -的最大值为22B 对；对于C 选项，设点()24,4P t t ，其中t ∈R ，则点P 到直线30x y -+=的距离为222114242244322222t t t t d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===≥， 当且仅当12t =时，等号成立，故点P 到直线30x y -+=的最小距离为2，C 对； 对于D 选项，如下图所示：抛物线24y x =的准线为:1l x =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为点A ，设PA 交y 轴于点B ， 过点P 作直线4360x y -+=的垂线，垂足为点D ，连接PF ， 则11PB PD PA PD PF PD +=+-=+-，当DF 与直线4360x y -+=垂直时，PD PF +取最小值， 且最小值为点F 到直线4360x y -+=的距离()22243d ==+-，因此，1211PB PD PF PD +=+-≥-=，故点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴距离之和的最小值为1，D 对. 故选：BCD.三、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，35125a S =，则公差d 的值为__________. 【答案】1或4-##4-或1【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得3a 的值，由此可求得d 的值. 【详解】由等差数列的求和公式可得()1553552a a S a +==，则23535125a S a ==，可得35a =±.当35a =时，3112a a d -==；当35a =-时，3142a ad -==-.综上所述，1d =或4-. 故答案为：1或4-.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心､a 为半径的圆与C 的一条渐近线相交于,M N 两点，若120MAN ∠=，则C 的离心率为__________. 【答案】233##233【分析】由题意知120MAO ∠=,所以30MOA ∠=,故tan 30ba=,从而求得离心率. 【详解】如图所示，设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，由题意可得OA AN AM a ===，所以N 与O 重合, 所以120MAO ∠=，所以30θ=. 又tan θ=b a ，所以3b a =∴e=22123113c b a a ==+=+ 2315．去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列{}123:,,,n a a a a ，再将数列{}n a 中所有序号为123,,,a a a 的项去掉，{}n a 中剩余的项按自小到大的顺序排成数列{}()*N n b n ∈，则1920b b +的值为__________.【答案】153【分析】由题意，整理数列{}n a 的通项公式，以及分析数列{}n b 与数列{}n a 的对应关系，可得答案. 【详解】由题意可知，数列{}n a 所有的奇数项为被4除余2的数，所有的偶数项为被4除余3的数，则当n 为奇数时，14222n n a n -=⋅+=；当n 为偶数时，243212n n a n -=⋅+=-. 即12a =，23a =，36a =，47a =，510a =，611a =，显然数列{}n b 是数列{}n a 从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的 对于19b ，由()1912137-⨯+=，则193774b a ==； 对于20b ，由20240⨯=，则2040240179b a ==⨯-=， 故19207479153b b +=+=. 故答案为：153.四、双空题16．在平面直角坐标系中，若点()(),0P x y y ≥到点10,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到x 轴的距离大14，则点P 的轨迹Γ的方程为__________，过点10,4⎛⎫⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线分别与曲线Γ交于点A 、B 和点C 、D ，则2241ABCD+的最小值为__________. 【答案】 2x y =45##0.8 【分析】利用抛物线的定义可得出点P 的轨迹Γ的方程；分析可知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()104y kx k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及二次函数的基本性质可求得2241CD AB+的最小值.【详解】由题意可知，点()(),0P x y y ≥到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与它到直线14x =-的距离相等，故曲线点P 的轨迹Γ是以点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，直线14x =-为准线的抛物线，其方程为2x y =，若直线AB y ⊥轴，则直线CD 为y 轴，此时直线CD 与抛物线2x y =只有一个交点，不合乎题意， 设直线AB 的方程为()104y kx k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2104x kx --=，210k ∆=+>，则12x x k +=， ()212121112AB y y k x x k =++=++=+，同理可得211CD k =+，所以，()()422222222414141111k kkk ABCD++=+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令210t k =+>，则21k t =-，令()()222214521141555t f t t t t t -+⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0t >，所以，()()min 455f t f ==. 故答案为：2x y =；45.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =-，3a 、41a -、51a +成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()22,n n T b n *+=∈N .(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)记[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.13-=-，[]1.21=，设10n n a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n n b c 的前7项和.【答案】(1)49n a n =-，2nn b =(2)218【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件可得出关于d 的等式，解出d 的值，可得出等差数列{}n a 的通项公式，当2n ≥时，由22n n T b =-可得出1122n n T b --=-，两式作差可得出数列{}n b 为等比数列，当1n =时，求出1b 的值，可得出等比数列{}n b 的通项公式；（2）列举出数列{}n c 前7项的值，进而可求得数列{}n n b c 前7项的和. 【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 、41a -、51a +成等比数列，所以()()243511a a a -=+， 即()()()2362544d d d -=--，整理可得28160d d -+=，解得4d =， 故()()1154149n a a n d n n =+-=-+-=-， 因为22n n T b =-①，当2n ≥时，1122n n T b --=-②，①-②可得122n n n b b b -=-，即()122n n b b n -=≥， 又1n =时，1122b b +=，即12b =，所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，故1222n nn b -=⋅=.（2）解：由（1）知，49n a n =-，则4910n n c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121c c ==-，340c c ==，5671c c c ===，则数列{}n n b c 的前7项和()()()123456771220221222218H =-⨯++⨯++⨯++=.18．已知双曲线C 与221416y x -=有相同的渐近线，()2为C 上一点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45的直线与C 相交于A 、B 两点，求2ABF △的面积.【答案】(1)2214x y -=【分析】（1）设双曲线C 的方程为22416y x λ-=，将点()2的坐标代入双曲线C 的方程，求出λ的值，即可得出双曲线C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得2ABF △的面积.【详解】（1）解：设双曲线C 的方程为22416y x λ-=，将点()2代入方程中得14λ=-， 所以双曲线C 的方程为2214164y x -=-，即双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）解：在双曲线C 中，2a =，1b =，则c则()1F ，所以直线AB 的方程为y x =()11,A x y 、()22,B x y ，联立2244x y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得2310y +-=，20120∆=+>，由韦达定理可得12y y +=，1213y y =-，则12y y -==所以，212121212ABF SF F y y y =⋅-=-=. 19．已知数列{}n a 满足()()*112,N n n n a a n a a n +==-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211=-n nb a ，数列{}n b 的前n 顶和为n S ，求证：1132n S ≤<. 【答案】(1)2n a n = (2)证明见解析【分析】（1）由()1+=-n n n a n a a 得1111n n a a a n n -===-，可求得{}n a 的通项公式； （2）用裂项求和求得111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再根据单调性求得n S 的范围.【详解】（1）由()1+=-n n n a n a a 得，()11n n n a na ++=， 所以11n na a n n+=+对任意*N n ∈恒成立， 于是1111n n a a a n n -===-，又12a =，所以2n a n =. （2）由（1）知，211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以12111111123352121n n S b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 因为110213n <≤+，所以2111321n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭， 从而1132n S ≤<.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过拋物线C 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，当30MNF ∠=时，1MN =. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，与,x y 轴分别交于,P Q （异于坐标原点O ），且2AP PB =，若AP BP OP OQ λ=，求实数λ的取值范围.【答案】(1)23y x = (2)1λ≥【分析】（1）由抛物线的定义可知MNF 为等腰三角形，当1MN =时，3NF =. 设准线与x 轴交点为T ，则32TF p ==，求得抛物线方程. （2）设直线方程为()()()()11220,,,,,,0x my t m A x y B x y P t =+≠，联立直线与抛物线方程得韦达定理，由2AP PB =得122y y =-，代入韦达定理得26t m =，根据条件AP BP OP OQ λ=可得112m mλ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，由基本不等式求得λ的取值范围. 【详解】（1）如图：设准线与x 轴交点为T ， 由题意知30MNF NFO ∠∠==，由抛物线的定义可知MNF 为等腰三角形，所以30MNF MFN ∠∠==，120NMF ∠=， 由1MN =得，1MF =，在MNF 中由余弦定理得3,NF = 在Rt NTF 看，3cos30,2TF NF ==则32TF p ==，故抛物线方程为23y x =.（2）设直线方程为()()()()11220,,,,,,0x my t m A x y B x y P t =+≠，显然0t ≠，联立23x my t y x=+⎧⎨=⎩，消x 得2330y my t --=，所以123y y m +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①，123y y t =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅②因为2AP PB =，所以()()1122,2,t x y x t y --=-，可得122y y =-， 将122y y =-代入①式得23y m -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅③，将122y y =-代入②式得2223y t -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅④，将③式平方代入④得26t m =.由题意可得，22121,1AP m BP m =++，所以()()222121181AP BP m y y m m =+=+，又336||tOP OQ t m m=⋅=， 所以211122AP BPm m OP OQ m m λ⎛⎫+===+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故1λ≥，当且仅当1m m=，即1m =±时等号成立. 21．已知数列{}n a 满足()*1133,N 222n n na a a n a +=-=∈-. (1)证明：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()1312n n b n a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T tb ≤对*N n ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；12223n na =⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)21t -≤≤【分析】（1）将1322n n n a a a +=-变形为1121233n n a a +=⋅-，两边同加2后可证得12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并可求得{}n a 通项公式.（2）由错位相减求和法求得n T ，由n n T tb ≤恒成立分离常数后得t 的取值范围. 【详解】（1）因为11330,222n n na a a a +=-≠=-，所以0n a ≠， 1221212333n n n n a a a a +-==⋅-， 于是*1121221222,N 333n n n n a a a +⎛⎫+=⋅-+=+∈ ⎪⎝⎭， 又因为11423a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以43为首项､23为公比的等比数列， 于是1142222333n nn a -⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12223n na =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得，()()1231323nn n b n n a ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()1231222222104333333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()23122222214333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，()2311422223333333nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()114219342323313n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--⨯⎪⎝⎭-()111442221333333n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以223nn T n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由n n T tb ≤，得()222333nnn t n ⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即()320t n n -+≥恒成立，3n =时不等式恒成立； 3n <时，26233n t n n ≤-=----，()623g n n =---增函数，故当1n =时，()min 1g n =，所以1t ≤；3n >时，26233n t n n ≥-=----，()623g n n =---增函数，所以()2g n <，所以2t ≥-；所以21t -≤≤.22．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的右焦点F 恰为抛物线22y px =的焦点，过点F 且与x 轴垂直的直线截拋物线､椭圆所得的弦长之比为(1)求a 的值；(2)已知P 为直线y a =-上任一点，A B ､分别为椭圆的上､下顶点，设直线PA ，PB 与椭圆的另一交点分别为,C D ，求证：直线CD 过定点. 【答案】(1)2a = (2)证明详见解析【分析】(1)设点(),0F c ，则2pc =，得到过点F 且与x 轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为222b p a､,根据题意建立,,a b c 的方程，求之即可; (2) 设点()()(),2,,,,C C D D P m C x y D x y -，易知()()0,1,0,1A B -，分别求出直线PA 的方程为31,y x PB m=-+的方程为11y x m =--，再分别跟椭圆方程联立求得,C D 的坐标，最后求出直线CD的方程，化为斜截式，可知直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】（1）设点(),0F c ，则2pc =，又过点F 且与x 轴垂直的直线截抛物线､椭圆的弦长分别为222b p a ､，所以222b p a =，又221,1b a c ==+，所以2a =. （2）由（1）知，椭圆的方程为2214x y +=.设点()()(),2,,,,C C D D P m C x y D x y -，易知()()0,1,0,1A B -， 当0m ≠时，直线PA 的方程为31,y x PB m=-+的方程为11y x m =--，联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2222436,3636C C m m x y m m -==++，同理可得22284,44D D m m x y m m --==++，所以21216CD m k m-=， 所以直线CD 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得2121162m y x m -=-，所以直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0m =时直线CD 的方程为0x =，也经过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述,直线CD 恒过定点直线10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，则实数k 的值为（）A.13-B.13C.3D.3【正确答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，所以两直线斜率相等，即3k =.故选：D.2.已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（）A.7B.9C.11D.13【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+=故选：C本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7【正确答案】B【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P 到另一个焦点的距离.【详解】根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为22510a =´=，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B.本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4.已知空间向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- 满足a b ⊥，则实数x 的值是（）A.5-B.4- C.4 D.5【正确答案】D【分析】由已知条件得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】由已知条件得出()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=，解得5x =.故选：D.5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A.431B.531C.631D.1031【正确答案】B【分析】设第一天织布的尺数为x ，则由题意有()234122225x ++++=，据此可得答案.【详解】设第一天织布的尺数为x ，则()234122225x ++++=52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-.故选：B7.设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A.50x y +-= B.210x y --=C.270x y +-= D.30x y +-=【正确答案】A【分析】根据直线PA 的方程，确定出PA 的倾斜角，利用PA PB =且A 、B 在y 轴上，可得PB 的倾斜角，求出P 的坐标，然后求出直线PB 的方程．【详解】解：由于直线PA 的方程为10x y -+=，故其倾斜角为45︒，又||||PA PB =，且A 、B 是y 轴上两点，故直线PB 的倾斜角为135︒，又当2x =时，3y =，即(2,3)P ，∴直线PB 的方程为3(2)y x -=--，即50x y +-=．故选：A ．8.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（） A.63B.33C.2D.12【正确答案】B【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥，有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠==⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos303CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以6cos ,3||||23PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以23cos 1sin 3θθ=-=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线()24R y ax a a =-+∈必过定点()2,4B.直线310x y --=在y 轴上的截距为1C.过点()2,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为210x y ++=D.直线310x +=的倾斜角为120°【正确答案】AC【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将0x =代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程24y ax a =-+，整理可得()24y a x =-+，当2x =时，4y =，故A 正确；对于B ，将0x =代入直线方程310x y --=，可得10y --=，解得1y =-，故B 错误；对于C ，由直线方程230x y -+=，则其垂线的方程可设为20x y C ++=，将点()2,3-代入上式，可得()2230C ⨯-++=，解得1=C ，则方程为210x y ++=，故C 正确；对于D，由直线方程10x ++=，可得其斜率为33-，设其倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，解得150θ= ，故D 错误.故选：AC.10.已知椭圆22:142x y C +=内一点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F ，2F ，则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦点坐标为()2,0，()2,0-B.椭圆C 的长轴长为4C.直线1MF 与直线2MF 的斜率之积为14- D.2153AB =【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆22:142x y C +=，所以2,a b c ===，所以焦点坐标为)()12,F F ，A 选项错误.长轴长24a =，B 选项正确.12111224MF MF k k ⋅==-，C 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y +=+=，两式相减并化简得12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---，即直线AB 的斜率为1-，直线AB 的方程为()131,22y x y x -=--=-+，由2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得261210x x -+=，所以121212,6x x x x +=⋅=，所以3AB ==.故选：BCD11.已知数列{}n a 的前n 项和()2*123N 43n S n n n =++∈，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列 B.数列{}n a 不是等差数列C.2a ，4a ，6a 成等差数列D.63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【正确答案】BCD【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出2a ，4a ，6a 和63S S -，96S S -，129S S -，结合等差数列的定义判断选项C ，D.【详解】()2*12S 3N 43n n n n =++∈ ，2n ∴≥时，()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦，1n =时，114712a S ==，即47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，*N n ∈.2117471212a a =<= ，因此数列{}n a 不是单调递增数列，故A 错误；又1n =时，不满足15212n a n =+，∴数列{}n a 不是等差数列，故B 正确；21712a =，42912a =，64112a =，因此2a ，4a ，6a 成等差数列，故C 正确；()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．6396129,,S S S S S S ∴---成等差数列，故D 正确.故选：BCD.12.平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（）A.当2πθ=时，AC '=B.AC '和BD 总垂直C.θ的取值范围为2(0,3πD.θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是【正确答案】ABC【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.【详解】平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC '=，A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++' ，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ 22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ，令O 为正A BD ' 的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos2cos 22AE AB θθ==，2sin 4sin 22BD AB θθ==，则33sin 632OE BD θ==，显然，AE OE >，即232cos sin232θθ>，则tan 32θ<锐角(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ= 时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等，由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE =-=-=A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得62r =，于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346632V ππ=⨯=，D 不正确.故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.准线方程为2x =的抛物线的标准方程是_______．【正确答案】28y x=-【详解】抛物线的准线方程为2x =，说明抛物线开口向左，且224p =⨯=，所以抛物线的标准方程是28y x =-．14.已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43y x =±，请写出双曲线C 的一个离心率______．【正确答案】53（答案不唯一）【分析】分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴、y 轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴时，其渐近线为by x a =±，则43b a =，所以离心率53c e a ====，当双曲线C 的焦点在y 轴时，其渐近线为a y x b =±，则43a b =，即34b a =，所以离心率54c e a ====，综上，可得双曲线的离心率为53或54.故53（答案不唯一）.15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅ 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．【分析】由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得2211n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====，因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，2211n n a a -∴=+,2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=，n a ∴=.本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16.已知过点()4,1P 的直线与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 和B ，在线段AB 上存在点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，则OQ 的最小值为______．【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由,,,A P B Q 四点共线，用向量共线关系表示,A B 两点坐标，又点,A B 在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q 点在一条定直线上，再求最短距离即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，记AP PB AQ QB =，又,,,A P B Q 四点共线，设PA AQ λ= ，则由已知0λ>，且1λ≠，PB BQ λ=-.由PA AQ λ=，得()()11114,1,x y x x y y λ--=--，解得114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，同理PB BQ λ=- ，得()()22224,1,x y x x y y λ--=---，解得224111x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为点A 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ+++=+，①同理点B 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ--+=-，②①-②得164442x yλλλ+=，因为0λ>所以220x y +-=，故点Q 在定直线220x y +-=上，OQ 的最小值为点O 到直线220x y +-=的距离255d ==.故答案为.5解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ，且AP PB λ=，0λ≠,且1λ≠-，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为λ，则有:121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这就是定比分点坐标公式.当P 为内分点时，0λ>；当P 为外分点时，0λ<(1λ≠-).2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B两点．（1）求线段AB 的长；（2）证明：OA OB ⊥．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得AB .（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，得2640x x -+=．126x x +=，124x x =，所以AB ==．【小问2详解】由（1）知：126x x +=，124x x =，所以()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=，所以OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥．18.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【正确答案】（1）342（2）17【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，所以()2,0,3AB =- ，()0,3,3AC =-，()2,0,0OB = ．取()2,0,3a AB ==- ，220,,22AC u AC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则213a = ，322a u ⋅= ，所以点B 到直线AC ()229341322a a u-⋅=-=．【小问2详解】解：设(),,n x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以230330x z y z -=⎧⎨-=⎩，取2z =，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以()3,2,2n = ．设直线OB 与平面ABC 所成角为θ，则317sin cos ,17217OB n OB n OB nθ⋅===⨯⋅ ，所以直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717．19.在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132nn n a a ++=⋅．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.【分析】（1）由132nn n a a +=-+⋅，化简得到11212n n nn a a ++-=--，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnn a =-+，分当n 为偶数和当n 为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足132nn n a a ++=⋅，即132nn n a a +=-+⋅，则111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----，又由11a =，可得1121a -=-，所以数列{}2nn a -表示首项为1-，公比为1-的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nn n n a --=-⨯-=-，所以(1)2n n n a =-+，所以12=222(1)1(1)nnn S ++++-+++- ，当n 为偶数时，可得12(12)=02212nn n S +-+=--；当n 为奇数时，可得12(12)=12312nn n S +--=--，综上可得，1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.20.已知两个定点()1,0M -，()1,0N ，动点P满足MP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【正确答案】（1）22610x y x +-+=（2）1y x =-或1y x =-+【分析】（1）设点(),P x y，后由MP =结合两点间距离公式可得轨迹方程；（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得30PMN ∠=︒，则可得直线PM 方程为()313y x =+或()313y x =-+，将直线方程与轨迹方程联立可得点P 坐标，后可得直线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为(),x y，因为MP =，=整理得22610x y x +-+=，所以点P 的轨迹方程为22610x y x +-+=．【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，直线PM 的斜率为33或33-，所以直线PM 的方程为()313y x =+或()313y x =-+.联立轨迹方程与()13y x =±+，可得()222610410313x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩，解得2x =或2x =-．得直线PM 的方程为()313y x =+时，P的坐标为(2++或(21-.直线PM 的方程为()313y x =-+时，P 的坐标为(21+--或(2．当P的坐标为(2+时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.P的坐标为(21-+时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(21+--时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(2-时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.综上可得直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EF ABCD -的底面ABCD 为一个矩形，28AB EF ==，6AD =，//EF AB ，棱5EA ED FB FC ====，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．（1）求证：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）2114【分析】（1）证明EM AD ⊥以及MN AD ⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BFC 与平面EFCD 法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为EA ED =，M 为AD 的中点，所以EM AD ⊥．在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MNAD ⊥．又EM MN M ⋂=，EM ，MN ⊂平面EFNM ，所以AD ⊥平面EFNM ．又AD ⊂平面ABCD ，所以平面EFNM ⊥平面ABCD ．【小问2详解】在平面EFNM 中，过F 作FH MN ⊥，H 为垂足．因为平面EFNM ⊥平面ABCD ，平面EFNM ⋂平面ABCD MN =，FH ⊂平面EFNM ，所以FH ⊥平面ABCD ．过H 作BC 的平行线，交AB 于点S ，则3HS =，2HN =，3HF =，以H 为坐标原点，以HS ，HN ，HF方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B ，()3,2,0C -，()3,6,0D --，(0,0,23F ，所以(3,2,3BF =-- ，()6,0,0BC =- ，(3,2,23CF =- ，()0,8,0CD =-．设平面EFCD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3223080x y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3z =，解得2x y =-⎧⎨=⎩，所以(3m =- ，同理可得平面BFC 的一个法向量为()3,1n =．设平面BFC 与平面EFCD 夹角为θ．则21cos cos ,14m n m n m nθ⋅=<>==⋅ ，所以平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值为2114．22.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为A ，B ，过点()6,0D 且不与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值．【正确答案】（1）22142x y -=（2）14t =或103t =【分析】(1)由4PD BD ==可得a 的值，再将点()6,4P 代入即可求解；(2)设直线PQ 的方程为6x my =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方程，求出点,M N 的坐标，利用MD ND ⊥即可求出结果.【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==，所以642a OD BD =-=-=，()6,4P ，所以2236414b -=，解得22b =，所以双曲线C 的方程为22142x y -=．【小问2详解】设直线PQ 的方程为6x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22212320m my y -++=，所以122122m y y m +=--，122322y y m =-．直线AP 的方程为()1122y y x x =++，与x t =联立，解得()112,2t y M t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．所以()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ，()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫⎪⎝⎭，因为MD ND ⊥恒成立，所以0DM DN ⋅=恒成立，又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以()()22462t t -=+，解得14t =或103t =．。