含参方程的解法

一题多解训练，就是启发和引导同学们从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动，从而提高综合运用已学知识解答数学问题的技巧，锻炼思维的灵活性，促进同学们长知识、长智慧，开阔同学们的思路，引导同学们灵活地掌握知识之间的纵横联系，培养和发挥创造性.

例若方程x 2－32x ＝k 在区间(－1,1)内有实数解，试求实数k 的取值范围. 分析本题考查方程在区间内有实数解，考查根的分布问题，由于函数与方程的关系密切，所以解决本题可以利用根的分布得出满足条件的不等式，进而求解；也可以通过构造函数，利用数形结合思想求解.所以有以下几种方法.

解方法一令f (x )＝x 2

－32x －k . 若方程x 2

－32x ＝k 在区间(－1,1)内有两个实数解，则有????? Δ≥0，f 1>0，

f －1>0.

解得－916≤k <－12. 若方程x 2－32

x ＝k 在区间(－1,1)内有一个实数解，

则有f (－1)·f (1)<0，或????? f －1＝0，f 1>0，或????? f 1＝0，f －1>0. 解得－12≤k <52

. 综上所述，实数k 的取值范围为[－916，52

). 评注本方法是利用根的分布，分别讨论有一解、两解的情况，最后把解集取并集即可.

方法二因为f (x )＝x 2

－32x －k 的对称轴x ＝34∈(－1,1)，更确切地说，x ＝34

在(0,1)内，所以方程x 2

－32x ＝k 在区间(－1,1)内有实数解满足的条件是?????

Δ≥0，f －1>0. 解得－916≤k <52. 所以实数k 的取值范围为[－916，52

). 评注该解法的特点是发现了本题的特殊性，即对称轴在已知的区间内，从而迅速将难题破解.

方法三若方程x 2

－32x ＝k 在(－1,1)内有实数解，令y ＝x 2－32x ，x ∈(－1,1)的值域为M ，

则原方程在(－1,1)内有实数解，只需k ∈M 即可.

根据函数y ＝x 2－32x 的对称轴为x ＝34，且x ∈(－1,1)，可知函数在x ＝34

处取得最小值，即y min ＝(34)2－32×34＝－916

；函数在x ＝－1处取得最大值，即y max ＝1＋32＝52

. 所以－916≤k <52

. 所以实数k 的取值范围为[－916，52

). 评注该解法的妙处在于将原问题转化为求二次函数的值域问题，运用了化归与转化思想，而对于值域问题的处理，也就简单多了.

方法四令f (x )＝x 2

－32x ，x ∈(－1,1)，g (x )＝k . 若方程x 2

－32x ＝k 在(－1,1)内有实数解，则只需f (x )和g (x )的图象在(－1,1)内有交点即可，如图所示.

显然－916≤k <52

. 所以实数k 的取值范围为[－916，52

评注该解法很好地将一个代数问题转化为图象交点问题，运用了数形结合的思想，而且该解法还能进一步对解的个数进行讨论.