北大随机过程课件泊松过程PPT
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第3讲 第三章泊松过程(1)
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1
t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
泊松过程合成和分解.ppt
例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 p10 1.则所有状态互达。 集合{n 1: p00 (n) 0} {2,4,6,...}， 其最大公约数为 2，d (0) 2. {X n}不遍历
例：设{X n}Markov链，状态空间 I {0,1}, p01 1, p10 p11 0.5.则所有状态互达。 集合{n 1: p11(n) 0} {1,2,3,4,...}， 其最大公约数为 1，d (1) 1.
例1：有10把步枪，其中两把已校正，命中率为p1; 其余
未校正,命中率为p2 ,这里p1 p2.某人任取一把开始打靶，
令X n为第n次命中的次数,即X n
1 0
第n次命中 第n次未命中
（1）对n
m，求（X
n，X
）的联合分布律和边缘分布律。
m
（2）以Sn表示前n次命中的次数，求Sn的分布律。
（3）若p1 1，p2 0，写出所有样本函数，写出Sn的分布律.
若i可达j, j可达i,则称i和j互达
设i是一个状态，定义 i的周期 d (i)为 集合{n 1: pii (n) 0}的最大公约数。 若d (i) 1,则称i非周期；否则称 i是周期的
性质：若 i和j互达，则 d(i) d( j)
定理：设{X n}是状态有限的 Markov链， 并且所有状态互达。则 以下3条相互等价。 （1）{X n}遍历； （2）所有状态非周期； （3）某一状态非周期。
此时对n
m，X
n和X
独立吗？为什么？
m
解: 令A "取到已校正的枪", 由全概率公式得:
(1) p11 P( X n 1, X m 1)
P( X n 1, X m 1| A)P( A) P( X n 1, X m 1| A)P( A) 0.2 p12 0.8 p22; 同理p01 p10 0.2 p1(1 p1) 0.8 p2 (1 p2 ); p00 0.2(1 p1)2 0.8(1 p2 )2 P( X n 0) 0.2(1 p1) 0.8(1 p2 ) P( X n 1) 0.2 p1 0.8 p2
泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
7-3 随机过程第三章讲课版
k
,
四、Poisson过程 (1)放射性物质在[0，t]中放出的α－粒子的数目. (2)某服务台在[0，t]中到达的顾客数. (3)某建筑物指定面积上出现的点负荷数目.
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
k 1
应 用 举 例
设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡 获得的保险金为Di,诸Di相互独立，均服从[10000，20000] 上的均匀分布.若在[0,t]内死亡的人数N(t)，t 0为强度为 5 的Poisson过程，并与{Dn}独立.试求保险公司在 [0,t]内将要支付的总保险金额 X (t ) 的均值与方差.
3.3 非齐次泊松过程
解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时， • 则
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
3.3 非齐次泊松过程
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数X(t)服从参数为 (t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
3.2 泊松过程的性质
• 一、数字特征 设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， 对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
北京大学 泊松过程 讲义
2 2
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
第三章泊松过程PPT课件
பைடு நூலகம்
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
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事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即
Pr{ x<y}。
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5). (续)
1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
2018/11/10
泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).(续)
( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
n 1
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(4). 泊松过程{N(t), t>0}在（0,t）
内有一个事件出现，它的到达时
间s的概率密度分布.
P[ N ( s) 1] Pr [ N (t ) N ( s)] P[ N ( s) 1 / N (t ) 1] P[ N (t ) 1]
内容
基本概念
泊松过程的分布特征 泊松过程的统计特征 泊松分布的相关问题
2018/11/10
基本概念
计数过程
独立增量过程 平稳增量计数过程 泊松过程
2018/11/10
基本概念--计数过程
计数过程
定义：计数过程 在(0, t)内出现事件A的总数所组成的过 程{ N(t), t>0 }称为计数过程.
2018/11/10
基本概念--计数过程
独立增量过程
定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件 A的次数是相互统计独立的则A事件的计数 过程为独立增量过程.
2018/11/10
基本概念--计数过程
平稳增量计数过程
定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔(t, t+s)内出现事件A的次数 [N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t) 为平稳增量计数过程.
1 ( 1 2 )
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及 {N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1 、λ2 ，设t1k是第一过程出现第k 次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件 的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二 个过程的第一个事件的概率，即Pr{ t1k < t21} 。
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e
2018/11/10
泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
2018/11/10
泊松过程
泊松过程
泊松过程递推微分方程 泊松过程母函数 泊松分布的几个问题
非齐次泊松过程
复合泊松过程 过滤泊松过程
2018/11/10
泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
P0 (t t ) P0 (t )(1 t ) 0(t )
2018/11/10
基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
2018/11/10
泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
方程的解
P0 (t ) e
t
P1 (t ) t e
t
( t ) n t PN (t 0 t ) N (t 0 ) n Pn e n!
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泊松过程的分布特征
Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t ) t 0(t ), k 1
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
其中
Pn (t ) Pr N (t ) N (0) n
d P0 (t ) P0 (t ) dt d Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) d松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
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泊松分布相关的问题
Pr{ x<y}。
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泊松分布相关的问题
(5). (续)
1 x 2 x dx e e 1 0 1 dx ( 1 2 )e ( ( 1 2 ) 0
1 2 ) x
泊松分布的母函数
( t ) t n t (1 s ) (s) Pn s e s e n! n 0 k 0
n n
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泊松过程的统计特征
泊松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
se s e (t s ) s t t te
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及
{N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平
均数分别是λ1 、λ2，设x，y分别是两个过程出
现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个
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泊松分布相关的问题
(5).(续)
( 1 x ) 1 x 2 x 0 dx 1 (k 1)! e e
fTn (t ) e
t
(t 0)
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泊松分布相关的问题
(3). 泊松过程{N(t), t>0}的第n个 事件到达时间t的概率密度分布 .
0 ~ t 到达n-1个， 即： t ~ t t 内有一 个到达。
( ) f ( ) e (n 1)!
n 1
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泊松分布相关的问题
(4). 泊松过程{N(t), t>0}在（0,t）
内有一个事件出现，它的到达时
间s的概率密度分布.
P[ N ( s) 1] Pr [ N (t ) N ( s)] P[ N ( s) 1 / N (t ) 1] P[ N (t ) 1]
内容
基本概念
泊松过程的分布特征 泊松过程的统计特征 泊松分布的相关问题
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基本概念
计数过程
独立增量过程 平稳增量计数过程 泊松过程
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基本概念--计数过程
计数过程
定义：计数过程 在(0, t)内出现事件A的总数所组成的过 程{ N(t), t>0 }称为计数过程.
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基本概念--计数过程
独立增量过程
定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件 A的次数是相互统计独立的则A事件的计数 过程为独立增量过程.
2018/11/10
基本概念--计数过程
平稳增量计数过程
定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔(t, t+s)内出现事件A的次数 [N(t+s)-N(t)]仅与s有关而与t无关，则称 N(t) 为平稳增量计数过程.
1 ( 1 2 )
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泊松分布相关的问题
(5).有两个相互独立的泊松过程{N1(t), t>0}及 {N2(t), t>0}，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是λ1 、λ2 ，设t1k是第一过程出现第k 次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件 的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二 个过程的第一个事件的概率，即Pr{ t1k < t21} 。
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即：0 ~ t 内无到达，
f ( ) e
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泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
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泊松过程
泊松过程
泊松过程递推微分方程 泊松过程母函数 泊松分布的几个问题
非齐次泊松过程
复合泊松过程 过滤泊松过程
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
P0 (t t ) P0 (t )(1 t ) 0(t )
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基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时)， λ 为一常数；在(t，t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t)；
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
方程的解
P0 (t ) e
t
P1 (t ) t e
t
( t ) n t PN (t 0 t ) N (t 0 ) n Pn e n!
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泊松过程的分布特征
Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t ) t 0(t ), k 1
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泊松过程的分布特征
齐次泊松过程的递推微分方程
其中
Pn (t ) Pr N (t ) N (0) n
d P0 (t ) P0 (t ) dt d Pn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) d松过程的均值:
E N (t ) nP{N (t ) n}
n 0
d ( z ) dz z 1 d t (1 z ) e dz z 1 t
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泊松分布相关的问题