神奇巧解高考数学选择题专题(绝版)

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浙江高考数学]巧解客观题的10大妙招(一)选择题的解法

直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x
B．y＝ln x
C．y＝ex
D．y＝x3
解析对函数 y＝sin x 求导，得 y′＝cos x，当 x＝0 时，该点处切线 l1 的斜率 k1＝1，
当 x＝π 时，该点处切线 l2 的斜率 k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数 y＝ln x
技法——巧解客观题的10大妙招
(一)选择题的解法
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选择题是高考试题的三大题型之一，浙江卷10个选择题．该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，重视多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技能，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.
7
【例 2】 (1)如图，在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P，
Q 满足 A1P＝BQ，过 P，Q，C 三点的截面把棱柱分成两部分，
则其体积之比为( )
A．3∶1
B．2∶1 C．4∶1
D. 3∶1
(2)已知定义在实数集 R 上的函数 y＝f(x)恒不为零，同时满足
f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当 x＞0 时，f(x)＞1，那么当 x＜0 时，一
2－1 2.
答案 C
25
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法，但大部分选择题的解法是直接法．在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．

专题56 (一元二次)不等式整数解的个数-高考数学压轴题(选择、填空题)(新高考地区专用)

专题56（一元二次）不等式整数解的个数【方法点拨】不等式（一般是一元二次不等式）的整数解的个数问题，一般采用“分离函数”的方法转化为两函数图象间的位置关系较简单，分离函数的的一般策略是“一动一静，一直一曲，动直定曲”.【典型题示例】例1若关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰有3个，则实数a 的取值范围是_________.【答案】2549,916⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析一】原不等式转化为2(4)410a x x -+->，则40,164(4)0a a -<∆=+->，即04a <<而2(4)410a x x -+-=的解为12x x ==由04a <<得：111(,)42x ∈，则(]23,4x =，解之得：2549916a <≤.【解析二】易知0a >，则原不等式可化为21x -<，令()21f x x =-，()g x =问题转化为两函数()f x 、()g x 图象问题，当()f x 的图象在()g x 的图象的下方时的横坐标为整数点有且仅有三个，如下图则(3)(3)(4)(4)g f g f >⎧⎨≤⎩，57⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解之得2549916a <≤故实数a 的取值范围是2549,916⎛⎤ ⎥⎝⎦..【解析三】仿解法二，易知0a >，则原不等式可化为12x-<，令1()2f x x=-，()g x =则(3)(4)f f <≤，即5734<≤，解之得2549916a <≤故实数a 的取值范围是2549,916⎛⎤⎥⎝⎦.点评：解法一是直接利用“数”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数，先将其中一个根的范围进行缩定，然后推测其另一个根的范围，利用之布列不等式求解.解法难度较大，不建议使用.而解法二、三，其关键是利用“形”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数，从两种解法可以看出，解法三更简单，可谓实现“秒杀”，这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离函数”的能力，一般遵循“一动一静，一直一曲，动直定曲”的原则进行.例2已知函数()a f x x x=+，过点(1,0)作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，其中120x x <<.若在区间12(,)x x 内存在唯一整数，则实数a 的取值范围是．【答案】413a -≤<-【分析】利用导数的几何意义，不难得出12,x x 是方程220x ax a +-=的两个根，分离函数212()2x a x =--，问题转化为两函数212(2y x y a x ==--、的交点横坐标间存在唯一整数，利用“形”，易知该整数为1，故只需12(1)1212(2)42a a ⎧-->⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解之得413a -≤<-.【巩固训练】1.（多选题）若关于x 的不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则整数k 的值可以。

数学最值题巧解显神奇

第40卷第2期 2021年3月数学教学研究43数学最值题巧解显神奇王晖(安徽省灵璧县黄湾中学234213)摘要：结合高考等实际数学案例，归纳总结了 14种求数学最值问题的方法，以求更好地掌握和理解最值问题的巧妙解法.关键词：解法归类；最值；解法例析大家在学习数学知识的过程中，经常会遇到有关求最值的问题，对于此类问题只要开拓思维，活用方法，常常可以巧妙、简捷获解.下面举例分析，希望读者从中能够受到有益的启示.1利用一次函数的增减性求最值一次函数>;=々了+6(6夫0)的自变量T的取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大(小）值；不过，当w时.此时的一次函数的图像变成了一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大(小）值了.例1某工程队要招聘甲、乙两个工种的个工人150人，甲、乙工种的工人的月工资分别是1600 元和2000元.现要求乙工种的人数不少于甲工种人数的2倍.问甲、乙工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解析设招聘甲工种的工人为x人，则乙工种的工人为（150 —x)人.由题意可得150 —j：>2_r，所以0<_r<50.设所招聘的工人共需付月工资^元，则有：y=1600+2000 (150—j)=—400jt+300000 (0<x<50).因为y随x的增大而减小，所以当x=50时.y m i…=100000(元）.2利用二次函数最值公式求最值二次函数^二“:^+^+以“^“为常数且“夫0)性质中有：①若a〉0，当：r=_厂时，；y有最小值，l a'—4ac— b2②若a<0，当J：=一 f时，31有最大值，ia_ia c~b2^m»x_4a•利用二次函数的上述性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决问题的目的.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得〃次测量分别得到a,，a2共 »个数据.我们规定所测得物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定从U l，a2，…，a,,推出《 =解析由题意A = (a 一a , )'+ (a—a2)2 +•.. +(〇 —a…)~=ncT_2(u i+a2+…十a…)aa\~\~a\~\~•m•^a2,, »于是由二次函数性质，当------1时，An有最小值.即应填广+a2+，"+夂n例3 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每曰最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产1只玩具熊猫的成本为R(元），售价每只P (元），且尺，P与J的关系式分别为i? =500 +30j:，P=170-2jt.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为收稿日期：2020-08-2444数学教学研究第40卷第2期 2021年3月1750 元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解析（1)根据题意有1750 =R r—i?，B P(170 — 2x)x— (500 +30j:)=1750，整理得•r2— 70 :r+1125 =0,解得■r1=25，:r2=45(不合题意，舍去）.(2)由题意知，利润为P x-i? =—2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950.所以当_r=35时，最大利润为1950元.3利用判别式求最值利用判别式求最值是一种较为常用的方法，过程简捷，易于理解.例4求丨的最大值与最小值.x~\~x~r1解析本题要直接求最大值与最小值可谓困难重重.若能够根据题意构造一个关于未知数i的一元二次方程，再根据x是实数，推得A>0,进而求出>的取值范围，并由此得出 > 的最值.设:-J- +1+7T TP整理得一x+1=y x2+yx+y,即 (1—y)x2_(1+3;)x+1一3;=0.因为i是实数，所以即(l+：y)2—4 (1—_y)2>0，解得所以~r:=-r|l的最大值是3,最小值是JT十JT十1 〇4利用圆锥曲线定义求最值当最值问题与圆锥曲线有关时，利用圆锥曲线定义求解最值，不仅直观简便.而且快捷明了.22例5 已知椭圆k+^=l,定点A(2,0), B(—1,1),M为椭圆上任一点，求2|iW A | +丨的最小值.解析由椭圆定义.注意到离心率为可求出]^(-^—,1)，2|从4| +丨]^6|的最小值为9，如图1所示.5构造函数求最值最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数.例6求代数式1^/1^的最大值与最小值.解析y =x y1— x1，一再令：r=sin a，一贝lj有y=x v1—*r2 =sin a VT—sin“a=sin a •cos a=—sin2a.所以 > 的最大值为I,最小值为一|.即的最大值为I,最小值为一6利用非负数的性质求最值在实数范围内，显然有厂+々>々，当且仅当^=6==0时，等号成立，即y+M+z i:的最小值为k.例7设a，6为实数，那么a2+a6+62—a—2b 的最小值为______.解析 a2+a6+62—a—2/;=a l J r i b-l)a Jr b2-2b=(a+¥)2++62-吾卜+=(a H—)~+— (/;—l)2—— 1.Z4当a+’’2 1 =0，/)—1=0，即《=〇，/)=1 时，上式等号成立.故a2+a/?+//—“一2/;的最小值为一1.7利用讨论法求最值通过讨论然后进行比较判断是求最值常用的一种方法.例8求函数—11 —U+4I—5的最大第40卷第2期 2021年3月数学教学研究45值.解析先用零区间讨论法消去函数^中的绝对值符号，然后求出^在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值.易知该函数有两个零点x=l，:r=—4.当 _r<—4 时，3；=— (jr— l)+(x+4) —5 =0;当一4<:c<l 时，:y=—(:r—1) —U+4)—5 =—2x—8，得一10<;y=— 2x— 8^0;当 _r>l 时，：y=(_r—1)—(:r+4)—5=—10.综上所述，当x<— 4时有最大值,y m a x=0.例9 (2015年湖北卷）设R，[x]表示不超过x的最大正整数.若存在实数h使得[f]=l，[/2] =2，_",[/"]=，；同时成立，则正整数n的最大值是().(A)3 (B)4 (05(D)6解析由[f] =l，得 l<z<2;由[f2] =2,得 2<，<3;由[«4] =4,得 4<广<5;所以d•由|>3] =3,得 3<;3<4,所以 6<^<4V5■.由|>5] =5, 得5々5<6,这与6<f5<4A矛盾，故正整数》的最大值是4.应选B.例10(2014年辽宁卷）已知定义在[0，1]上的函数/(•r)满足：①/(0)=/(1)=0;②对所有X d 6[0，1]，且 _r关:y，有 |/(：1.)—/(：y) |<I.综上，l/h )—/(>)|<+，所以应选 B.8利用不等式与判别式求最值在不等式中，:r=a是最大值，在不等式x中，是最小值.例11已知：r，3>为实数，且满足x+y+w= 5，_r：y+：y w+/H x = 3,求实数w的最大值与最小值.解析由题意可得X + y= b — m,■sxy = 3 — r w(x+3^)= 3 — w(5 — m )=m z—5w+3.所以：r，：y是关于/的方程纟2— (5 —w)r+ (m2— 5爪 + 3)=0的两个实数根.所以A=[-(5-//i)]2-4(w2-5m+3)>0,即3w2—10m—13^0,解得一所以，《的最大值是的最小值是一i.例12(2014年辽宁卷）对于(•>0,当非零实数a，/)满足4a - — 2a6+ 4/厂一c=0 且使|2a+6|最大时，一一 —H的最小值为.a b c解析设2a+ 6 =/，则2a =〖一 /?，因为4““_ 2ab-\~i b~—c=0，所以将2a=/—代人整理可得6心2—3"出2—c=0(1)若对所有：r，3；6[0，l]，l/(:r)_/(：y；)|<a 恒成立，则々的最小值为（)•(A)j(B)t(C)^(d)I由A>0解得一当 |2“+M 取最大值时，z=，代人（1)式得6解析不妨令当+时，|/(_r)—/(3〇|<去丨.厂_y丨<+;当了<1—时，=l[/(x)-/(l)]-[/(^)-/(〇)]l<|/(_r)—/(l)I+1/(3；)—/(0)|<Y |x — l l+y l^;—〇|=j(l-_r) + }广+ +}(厂 x)<|.再由2a=〖一6,得，所以3 4 , 5 ZyiO4/10" ,5-----—---------------------1---u b c f f c5 2/1〇 _V5c VF v r-V2)2-2^—2,当且仅当r=|■时等号成立.9数形结合求最值在解决问题的过程中，将数量关系与图形性质结合起来考虑，以“形”助数.可使问题变得简单、直46数学教学研究第40卷第2期 2021年3月观，降低解题难度，从而易于求解.例13求满足k+ 3 — 3i|的辐角主值最小的复数.解析满足条件的复数是以（一#，■#)为圆心、半径为W的圆上的点，如图2所示.于是问题转化为求过原点与圆相切的直线的切点坐标.法，使用时需要一定的技巧变形，使之达到：和或积为常数；能取到等号.例16母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角p为（）.(A)^,(0^2"7r(D)解析设圆锥底面半径为r、高为/z，则有r^-\~h z=l,V=— • 7rr2/z,V = j i,2r A h22：=3(cos120°+isin120°)3V3 .—r—1例14已知l d=2,则|z— i|的最大值为（）.(A)l(B)2 (05(D)3解析如图3所7K，显见|z—i|max为圆心到点(0，1)的距离与半径的和.故应选D.10利用夹逼法求最值在求解某些数学问题时.通过转化、变形和估值，将有关量限制在某一数值范围内.再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法.例15不等边A A B C的两边上的高分别为 4 和12,且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________.解析设^2,/：)，£'3边上高分别为4，12，/;.因为2S aabc=，所以“=36.又因为r<a+/，=4/，，代人126 = 4，得12/>< 4M,所以/;>3.又因为r>a—6 = 26,代人12/) = t'/!，得126> 2M，所以/i<6.所以3</;<6,故整数A的最大值为 5.11利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是求解此类问题常用方2221 ^273^* 27^^当且仅当7=时取等号，/!V3 V6.此时$丌■应选D.例 17 设复数2：=3cos (9+2isin <9,求函数_y= (9一a rg z的最大值以及对应的(9值.解析根据题意、2tan 沒、^7：tan(arg z)=—-—>0(0*<(9<—),tan3;=tan(d— arg z)=tan0—tan(arg2)1 +tan d •tan(arg z)tan63 +2tan6tan d■h2tan62^6V612此时由^= 2 —=f，得V6_V60=arg tan例18 圆柱轴截面的周长为定值Z，那么圆柱第40卷第2期 2021年3月数学教学研究47的体积的最大值是（）.(A)(4-):,7r(B)^-(4-)37t〇9 2所以 /i+A=y+l+l—^ =2—.y+y.根据圆的方程可得(C)( +)3t t(D)2(y)37T解析设圆柱底面半径为/•，高为/i，则由轴截面周长为/，可得4r+2/2 =/，即2r+/! =体积V=Jrr2/i<;r(^±i)3=(|)37rjO D当且仅当/•=/! 时取等号.故应选A.6例19要建造一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为______元.解析水池底长为《米、宽为6米，则由题意知a6=4,总造价：y=120c/6 +320(u +6)=480+320 (a+/))>480+640V^"=1760 元，当且仅当u=6 =2时取等号.12利用三角函数的恒等变换根据题意，利用三角恒等变换，再结合三角函数的有界性，常常可以顺利求解一类问题的最值.例20 (2017年全国卷H1 )在矩形A B C D中，x=—sin d：y=—cos d»V5 V5所以21.u+A=2----cos---sin6V5 V5=2----Vicos d—sin6)V5=2— sin(.9—<p),显然（/u+A)m a x= 3.故应选A.点评本题主要考査平面向量的基本定理以及三角函数恒等变换求最值问题.考查推理能力和计算能力.平面向量既有数的特征也有形的特征，利用平面向量的数的特征.通过建立坐标系可以巧妙地解决具有平面几何特征的平面向量问题.13利用导数和函数的单调性求最值例21 (2014年北京卷）已知函数/(x)=:rcos:r.r r丌i—sin :r，x6(1)求证:/(■!)<0;(2)若 a---■</•> 对 >r€■ [0，-^]恒成立，求 ax LA B=1，AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若=+,则A的最大值为（）.(A)3 (B)2V2 (C)V5 (D)2解析根据已知条件.以C为圆心.B C为x 轴.C D为y轴建立平面直角坐标系.设圆的半径是r.由题意知=|,利用等面积法可得S A/JC D=r XV^=2,解得r=g.所以圆的方程是5由题意得《(—2,0)，4(一2，1)，0(0,1).设尸(■r,：y),因为 =所以(_r +2，_y— 1)=A(0.一1)+/乂（2,0)，|j+2=2« .即丨l：y—1=—A.的最大值与的最小值.思路分析（1)首先观察函数式，求出其导函数，根据导函数判断其单调性，从而进一步判断/(•r)与0的大小关系.（2)根据不等关系，可以构造含参数u 4的不等式.根据区间范围.利用导函数即可求出参数的范围或取值.解析（1)由/(jt)=x c o s_r—sin j•，得/(x)=cos x—xsin x— cos x=—xsin j：.因为在区间（0,f)上/"(O')=—:r sin:r 0，所以/(■r)在区间[0,|]上单调递减.从而/(x)</(0)=0.si n t(2)当：时，~_>a”等价于“sinXsin r>0”；“:—<6”等价于“sin _r—/«•<0”.X48数学教学研究第40卷第2期 2021年3月令 g(:r)=sin:r—c r，贝lj g '(:r)=c o s:r—c.当时，^■(:?:)〉0对任意:r6(0，y)恒成立•当时，因为对任意c o s x—r<0,所以g(:r)在区间[0，音]上单调递减.从而^'(jt)<#(0)=0对任意了 6(0，|)恒成立•当0<f<l时，存在唯一的_1-。

高考数学命题热点名师解密：专题(39)快速解选择题的解法大全(理)(含答案)

专题39 快速解选择题的解法大全一、题型特点近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．三、典例分析 (一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】选A .由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0, 即x 20－3＋y 20<0. ∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20. ∴2＋2y 20－3＋y 20<0， ∴－33<y 0<33.故选A . 【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．练习1．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．三种形状都有可能【答案】C练习2．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D。

2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)

，∴
t
=
1 4
(1−
m)
，
解
得
m
=
3 7
，∴
4
1 2
(1
−
t
)
=
m
t
=
1 7
OM
=
1 7
OA +
3 OB 7
，设 OM
=
xOE
+
yOF
=
xλOA +
yµOB
，则
xλ
yµ
= =
1 7 3 7
7x ，即 7 y
= =
1 λ 3 µ
，
即
1 λ
+
3 µ
=
7
，故
λ
+
µ
=
1 7
(λ
+
µ )
1 λ
=
2 λ
,
PF PD
=
λ
λ +
2
,故选
A.
uuur uuur 7．由点 P 向圆 O ：x2 + y2 = 2 引两条切线，切点为 A ，B ，则 PA⋅ PB 的最小值是（）
A． 4 2-6
B． 2 2 − 3
C． 3 − 2 2
D． 6 − 4 2
【答案】A
【解析】
设
OP = x
，
则
PA2 = x 2 − 2
P(x , y) ,
uuur 由已知 AP
=
1 ，得 ( x
−
2)2
+
y2
=
1 ，又
uuuur PM
=
uuuur MC

2023年高考数学复习压轴题专练(选择+填空)专题02 函数的奇偶性与单调性

专题02 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数f (x )＝1－a5x ＋1为奇函数，且存在m ∈[－1，1]，使得不等式f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 成立，则x 的取值范围是．【答案】[－2,2]【解析】求得a =2，且f (x )为R 上的增函数，f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 可化为f (x 2)＋x 2≤2－mx －f (mx －2) 由f (x )为奇函数，得2－mx －f (mx －2)= 2－mx ＋f (2－mx )令F (x )=f (x )＋x ，则F (x 2)≤F (2－mx )，故有x 2≤2－mx ，即x 2＋mx －2≤0 令G (x )= x 2＋mx －2因为存在m ∈[－1，1]，使G (x )= x 2＋mx －2≤0 故G (－1)= x 2－x －2≤0或G (1)= x 2＋x －2≤0 解之得－2≤x ≤2.例2 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，在f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1[1,]2-【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将2(1)(2)0f a f a -+≤移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f ”．【解析】 ∵f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )且x ∈R ， ∴f (x )是奇函数∵函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，∴f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ≥0(当且仅当x ＝0时取等号)，∴f (x )在R 上单调递增.，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a ). 所以2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例3 已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为．【答案】()1,3-【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令()()1e e x xx F x f -=-=-，易知()F x 是奇函数且在R 上单调递增由2(21)42)(f x f x +->-得[]2(4)11(21)(21)1f x f x f x -->--=--- 即2(4)(21)F x F x ->--由()F x 是奇函数得(21)(12)F x F x ---=，故2(4)(12)F x F x ->-由()F x 在R 上单调递增，得2412x x ->-，即2302x x -<-，解得13x -<<，故实数x 的取值范围为()1,3-.例4 已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(),8-∞【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围．【解析】函数222()()131xx f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131xx x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x xxx x F x F x -----===-++，所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->，即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-，因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31x F x x =-+在(0,)+∞上为增函数，由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈，由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <，即实数a 的取值范围是(,8)-∞．故答案为：(,8)-∞．例5 已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（） A ．[2,1]-- B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】函数1112,1()22,1x x x x f x x ----⎧==⎨<⎩，故()f x 关于直线1x =对称，且在[1，)+∞上单减，函数()f x 的图象如下： 2(22)(2)x f x x --+，且f22172()124x x x -+=-+>恒成立，2|221|21x x x ∴---+-，即2|23|1x x x --+，当32x时，不等式化为：2231x x x --+，即2340x x -+，解得x ∈R ，即32x ；当32x <时，不等式化为：2321x x x --+，即220x x +-，解得2x -或1x ，即2x -或312x <；综上，2(22)(2)f x f x x --+时，实数x 的取值范围是(-∞，2][1-，)+∞．故选：D ．例6 已知函数，，则t 的取值范围是．【答案】[1,)+∞【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为3133(3log 1)log (12log )f t t f t -≥--，易知是奇函数，故进一步变为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-（#），故下一步需构造函数()()F x f x x =+，转化为研究()()F x f x x =+的单调性，而()()F x f x x =+单增，故（#）可化为3log 0t ≥，即333log 12log 1t t -≥-，解之得1t ≥.例7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数()422xf x x =-+，()3log 2a f =，()4log 3b f =，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【分析】分析可知函数()f x 在()1,+∞上为增函数，推导出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，可得出23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数()f x 在(),1-∞上()33x xf x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x xf x -=-的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【解析】令()422xg x x =-+，其中x ∈R ，则()10g =，因为函数y x =、422x y =-+均为R 上的增函数，故函数()g x 也为R 上的增函数，当1x >时，()()10g x g >=，此时()442222x x f x x x =-=-++，故函数()f x 在()1,+∞上为增函数，因为()()2322222244222222222x xxx x f x x x x -----+--=--=-=-+++ ()()3222442222222xxx x x x x x x f x --⋅=-=-=-=+++故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，所以，4233c f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223<，则3lg 22lg3<，即3lg 22log 2lg 33=<， 2343<，则2lg 43lg3<，则4lg 32log 3lg 43=>，即342log 2log 313<<<，因此，b c a <<. 故选：B.【巩固训练】1．若函数(()=ln f x x x +为偶函数，则实数a = 2.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-3.已知函数1()22x x f x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是．4. 已知函数()||31f x x x x =⋅++，若()2()22f a f a +-<，则实数a 的取值范围__________.5.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________.6.已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7. （多选题）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（） A ．图像关于y 轴对称 B ．图像关于原点对称 C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于08.已知函数())20202020log 20201xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（）.A ．1,2020⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2020,-+∞C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭9.已知函数222()131x x f x x =-++.若存在m ∈(1,4)使得不等式(4)f ma -+2(3)2f m m +>成立，则实数a 的取值范围是A . (),7-∞B . (],7-∞C . (),8-∞D . (],8-∞ 10. 已知函数()e e 2sin xxf x x -=--，则关于x不等式()()2320f x f x -+<的解集为（） A. ()3,1-B. ()1,3-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. []1,3-11. 已知()sin xxf x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．12.已知()sin xxf x e ex x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围_ __． 13. 已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,114.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x xf f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案或提示】1．【答案】1【解析】(g()=ln x x +奇函数，g(0)=0=，1a =.2. 【答案】B【解析】()f x 偶函数，且在(0,)+∞单增，()()1f x f >转化为1x >，解得1x >或1x <-. 3.【答案】（2,3）【解析】()f x 奇函数，且单减，2(5)(6)0f x x f -+>转化为2560x x -+<，解得23x <<.4. 【答案】(2,1)-【解析】设()||3g x x x x =⋅+，则()g x 奇函数，且单增，而()()1f x g x =+，由()2()22f a f a +-<得()2211()f a f a --<-即()22()()g a g a g a -<-=-，故22a a -<-，解之得21a -<<.5.【答案】(2,1)-【解析】22y x x =+在[0,)+∞上单调递增，22y x x =-在(,0)-∞上单调递增，且220+20=200⨯⨯-，()f x ∴在R 上单调递增，因此由()()22f a f a ->得2221aa a ->∴-<<，，故答案为：()2,1-6. 【答案】A 【解析】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x xe e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A. 7.【答案】ACD 8. 【答案】C【解析】构造函数()())202012020log 2020xx F x fx x -=-=+-，x>=0x>，所以()F x 的定义域为R .())20202020log 2020x xF x x --=+-20202020log 2020x x xx -⎡⎤=+-20202020log 2020x x-⎡⎤=+-)()20202020log 2020x x x F x -=--=-，所以()F x 为奇函数， ()00F =.当0x >时，)20202020,2020,log x xy y y x -==-=都为增函数，所以当0x >时，()F x 递增，所以()F x 在R 上为增函数.由()()21120f x f x +++->，得()()211110f x f x +-++->，即()()2110F x F x +++>，所以2110x x +++>，解得23x >-. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C 9. 【答案】C【解析】22222231()1111313131xx x x x f x x x x -⎛⎫=-+=-+=⋅+ ⎪+++⎝⎭设231()()131x x g x f x x -=-=⋅+，则()g x 为定义在R 的奇函数所以()f x 关于点()0,1对称又2223131312ln 33()231313131x x x xx x x x x g x x x x '⎡⎤---⋅⋅''⎡⎤=⋅+⋅=⋅+⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦所以当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞上单增故()g x 在(),-∞+∞上也单增因为2(4)(3)2f ma f m m -++>可化为2(4)1(3)1f ma f m m -->-++所以2(4)(3)g ma g m m ->-+因为()g x 为R 的奇函数，22(4)(3)(3)g ma g m m g m m ->-+=--所以243ma m m ->--又因为存在m ∈(1,4)使得不等式243ma m m ->--成立，分参得43a m m<++ 易得[)437,8m m++∈，所以8a <，故选C . 10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数且在R 上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数()e e 2sin xxf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0xxf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<< 所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A11.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x xf x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 12.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin x x f x e e x x f x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x ff ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 13.【答案】D【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【解析】()1e e 21x x x f x -=+-+， ()()1111e e e e 121212121x x x x x x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x x x x x x x g x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭，又利用基本不等式知e 2+1e x x ≥当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立； ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122x x =，即0x =时等号成立；故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦，即()()()21221g ax g ax g ax ≥--=-，即2210ax ax -+≥对x ∀∈R 恒成立. 当0a =时显然成立；当0a ≠时，需20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤，综上可得01a ≤≤，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围.【解析】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-，∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=++>，即()g x 为增函数，∴()()39334x x x f f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--， ∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113x x +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈(),1-∞.故选：A。

2024届高考数学复习：专项(利用导数解决双变量问题)练习(附答案)

2024届高考数学复习：专项（利用导数解决双变量问题）练习一、单选题 1．设函数()311433f x x x =-+，函数()221g x x bx =-+，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（）A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知函数1()ln f x x a x x=-+，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中(]11,2x ∈，则()()12f x f x -的最小值为（） A ．35ln 2-B ．34ln 2-C ．53ln 2-D ．55ln 2-3．已知函数()e ,()ln xf x xg x x x ==，若()()12f x g x t ==，其中0t >，则12ln tx x 的最大值为（）A ．1eB ．2eC ．21e D ．24e 4．设函数()12ln 133f x x x x=-+-，函数()25212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数()224x x f x x ++=-，()111323x xxx g x -⋅-=，实数a ，b 满足0a b <<．若[]1,x a b ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D．二、解答题 6．已知函数()2x f x x e =-．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，求证：122ln 2x x +<． 7．已知函数()()3ln f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（ii ）求函数()()()9g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（2）当3k ≥-时，求证：对任意的[)12,1,x x ∈+∞且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 8．已知函数21()ln 2f x x a x =-.其中a 为常数. （1）若函数()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>. 9．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax b =+，设()()()F x f x g x =-．（1）若1a =，求()F x 的最大值；（2）若()F x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：()()12122x x g x x ++>.10．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >. （1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由11．已知函数()ln(1)ax f x e x =+，2()ln g x x a x=+-，其中a R ∈. （1）若函数()y f x =的图象与直线y x =在第一象限有交点，求a 的取值范围. （2）当2a <时，若()y g x =有两个零点1x ，2x ，求证：12432x x e <+<-.12．已知函数()2211ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在()0,+?单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.13．已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--.14．已知函数2()(2)()x f x xe a x x a R =-+∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a e>时，函数()f x 有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，求证：1232x x x lna ++<． 15．已知函数()223x xe f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递增；（2）设0a >，函数()212cos cos 3g x x a x a =+--，如果总存在[]1,x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围.16．已知函数()()21ln 212h x x b x =+-，()21ln 2f x x a x =-．其中a ，b 为常数．（1）若函数()h x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x的两个不同的零点，求证：12x x +>． 17．已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.18．已知函数()()22ln xg x x t t R e=-+∈有两个零点1x ，2x . （1）求实数t 的取值范围；（2）求证：212114x x e+>. 19．已知函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+?上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）20．已知函数2()(2)ln ()f x a x ax x a R =++-∈．（Ⅰ）当0a =时，求证：2()22x f x x >-．（Ⅱ）设232()3g x x x =-，若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x …成立，求实数a 的取值范围． 21．设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈．（1）当1a =时，试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若函数()y h x =与函数y m =有两个不同交点1(C x ，)m ，2(D x ，)m ，设线段的中点为(,)E s m ，试问s 是否为()0h s '=的根？说明理由．22．已知函数()()2ln 1f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[)1,+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()210ln f x x <<（注：e 为自然对数的底数）23．已知函数()ln x f x e x λλ=-（1）当1λ=-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0e λ<<，函数()f x 的最小值为()h λ，求()h λ的值域.24．已知函数21()ln ()2f x x ax x a =-+∈R . （1）若()f x 在定义域单调递增，求a 的取值范围；（2）设1e ea <+，m ，n 分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围. 25．已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）任取[3,5]a ∈，函数()f x 对任意1212,[1,3]()x x x x ∈≠，恒有1212|()()|||f x f x x x λ-<-成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、单选题 1．设函数()311433f x x x =-+，函数()221g x x bx =-+，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（）A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【要点分析】由题意只需()()min min f x g x ≥，对函数()f x 求导，判断单调性求出最小值，对函数()g x 讨论对称轴和区间[]0,1的关系，得到函数最小值，利用()()min min f x g x ≥即可得到实数b 的取值范围. 【答案详解】若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，因为()311433f x x x =-+，所以()24f x x '=-，当[]1,2x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]1,2上是减函数，所以函数()f x 取得最小值()25f =-．因为()()222211g x x bx x b b =-+=-+-，当0b ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增，函数取得最小值()01g =，需51-≥，不成立；当1b ≥时，()g x 在[]0,1上单调递减，函数取得最小值()122g b =-，需522b -≥-，解得72b ≥，此时72b ≥；当01b <<时，()g x 在[]0,b 上单调递减，在(],1b 上单调递增，函数取得最小值()21g b b =-，需251b -≥-，解得b ≤或b ≥综上，实数b 的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选:A ．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.2．已知函数1()ln f x x a x x=-+，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中(]11,2x ∈，则()()12f x f x -的最小值为（） A ．35ln 2- B ．34ln 2-C ．53ln 2-D ．55ln 2-【答案】A 【要点分析】()f x 的两个极值点12,x x 是()0f x '=的两个根，根据韦达定理，确定12,x x 的关系，用1x 表示出2x ，()()12f x f x -用1x 表示出，求该函数的最小值即可.【答案详解】解：()f x 的定义域()0,∞+，22211()1a x ax f x x x x'++=++=，令()0f x '=，则210x ax ++=必有两根12,x x ， 2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪=>⎩，所以2111112,,a x a x x x ⎛⎫<-==-+ ⎪⎝⎭， ()()()11211111111111ln ln f x f x f x f x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111111111122ln 22ln x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(]11()22ln ,1,2h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22211112(1)(1)ln ()2121ln x x x h x x x x x x x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∴=+--++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当(]1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，所以()()min 235ln 2h x h ==-()()12f x f x -的最小值为35ln 2-故选：A. 【名师点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.3．已知函数()e ,()ln x f x x g x x x ==，若()()12f x g x t ==，其中0t >，则12ln tx x 的最大值为（） A ．1eB ．2eC ．21eD ．24e 【答案】A 【要点分析】由题意转化条件2ln 2ln x ex t ⋅=，通过导数判断函数()f x 的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知12ln x x =，进而可得12ln ln t t x x t =，最后通过设函数()()ln 0th t t t=>，利用导数求函数的最大值. 【答案详解】由题意，11e x x t ⋅=， 22ln x x t ⋅=，则2ln 2e ln xx t ⋅=，()()1x x x f x e xe x e '=+=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又(),0x ∈-∞时，()0f x <，()0,x ∈+∞时，()0f x >，作函数()e xf x x =⋅的图象如下：由图可知，当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，且1>0x ，∴1222ln ln ln ln t t tx x x x t==⋅⋅，设ln ()t h t t =，0t >，则21ln ()th t t-'=，令()0h t '=，解得e t =，易得当()0,e t ∈时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，当()e,t ∈+∞时，()0h t '<，函数()h t 单调递减，故()()1e eh t h ≤=，即12ln t x x ⋅的最大值为1e .故选：A . 【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断12ln x x =. 4．设函数()12ln 133f x x x x=-+-，函数()25212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【要点分析】根据对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，用导数法求得()f x 的最小值，用二次函数的性质求得()g x 的最小值，再解不等式即可. 【答案详解】因为()12ln 133f x x x x =-+-，所以()211233'=--f x x x，211233=--x x， 22323-+=-x x x，()()2123--=-x x x ，当12x <<时，()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上是增函数，所以函数()f x 取得最小值()213f =-. 因为()()2225521212=--=---g x x bx x b b ，当0b ≤时，()g x 取得最小值()0251=-g ，因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，所以()()10≥f g ，不成立；当1b ≥时，()g x 取得最小值()71212=-g b ，因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，所以722123-≤-b ，解得58≥b ，此时1b ≥；当01b <<时，()g x 取得最小值()2512=--g b b ，因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，所以221352--≤-b ，解得12b ≥，此时112b ≤<；综上：实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A 【名师点睛】本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．已知函数()224x x f x x ++=-，()111323x xxx g x -⋅-=，实数a ，b 满足0a b <<．若[]1,x a b ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．【答案】A 【要点分析】首先化简函数()42,0f x x x x ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，和()11233xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定,a b 值. 【答案详解】()42f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，0x <()241f x x '=-+，0x <，当()0f x '>时，解得：20x -<<，当()0f x '<时，解得：2x <-，所以()f x 在(),0-∞的单调递增区间是()2,0-，单调递减区间是(),2-∞-，当2x =-时取得最小值，()22f -=()11233xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数在[]1,1-单调递增，()3116g -=-，()13g =，所以，()3136g x -≤≤，令()3f x =，解得：1x =-或4x =-，由条件可知()[],,,0f x x a b a b ∈<<的值域是()[],1,1g x x ∈-值域的子集，所以b 的最大值是1-，a 的最小值是4-，故b a -的最大值是3. 故选：A 【名师点睛】本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型. 二、解答题 6．已知函数()2x f x x e =-．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，求证：122ln 2x x +<．【答案】（Ⅰ）1y x =-；（Ⅱ）证明见解析. 【要点分析】（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）首先确定函数零点的区间，构造函数()()()ln 2ln 2F x f x f x =+--，利用导数判断函数()F x 的单调性，并得到()()ln 2ln 2f x f x +<-在()0,∞+上恒成立，并利用单调性，变形得到122ln 2x x +<. 【答案详解】（Ⅰ）()2e xf x '=-，所以()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-．（Ⅱ）令()2e 0xf x '=-=，解得ln 2x =，当ln 2x =时()0f x '>，()f x 在(),ln 2-∞．上单调递增；当ln 2x >时，()0f x '< ， ()f x 在()ln 2,+∞上单调递减．所以ln 2x =为()f x 的极大值点，不妨设12x x <，由题可知12ln 2x x <<．令()()()ln 2ln 242e 2e xxF x f x f x x -=+--=-+，()42e 2e x x F x -'=--，因为e e 2x x -+…，所以()0F x '…，所以()F x 单调递减．又()00F =，所以()0F x <在()0,∞+上恒成立，即()()ln 2ln 2f x f x +<-在()0,∞+上恒成立．所以()()()()()()()12222ln 2ln 2ln 2ln 22ln 2f x f x f x f x f x ==+-<--=-，因为1ln 2x <，22ln 2ln 2x -<，又()f x 在(),ln 2-∞上单调递增，所以122ln 2x x <-，所以122ln 2x x +<．【名师点睛】思路名师点睛：本题是典型的极值点偏移问题，需先要点分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得x 与ln 2x -在同一个单调区间内，进而利用函数的单调性要点分析.7．已知函数()()3ln f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（ii ）求函数()()()9g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（2）当3k ≥-时，求证：对任意的[)12,1,x x ∈+∞且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【答案】（1）（i ）98y x =-；（ii ）递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞；极小值为()11g =，无极大值；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）（i ）确定函数()f x ，求出()f x '，然后利用导数的几何意义求出切线方程即可；（ii ）确定函数()g x ，求出()g x '，利用导数研究函数()g x 的单调性与极值即可；（2）求出()f x '，对要证得不等式进行等价转换后，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合等价转换后的结果即可证明结论成立. 【答案详解】（1）（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，故()263f x x x'=+. 可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. （ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，()0,x ∈+∞，从而求导可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x'-+=. 令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x ()0,11()1,+∞()g x ' -+()g x极小值所以，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；()g x 的极小值为()11g =，无极大值.（2）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln h x x x x=--，[)1,x ∈+∞. 当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当1t >时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->，因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->. ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，对任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【名师点睛】结论名师点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集. 8．已知函数21()ln 2f x x a x =-.其中a 为常数. （1）若函数()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>. 【答案】（1）0a >；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性，从而得极值点个数，由此可得结论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时a 的范围，设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞，引入函数()))(0g x fx fx x =-≤≤，由导数确定它是减函数，得))f x f x <-，然后利用()()))()21111f x f x f x f x f x ⎤⎤==->=-⎦⎦，再结合()f x 的单调性得出证明．【答案详解】（1）()2(0)a x ax x x xf x --'==>，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得x =，当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以此时()f x 只有一个极值点．0a ∴>（2）由（1）知当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当x =()f x 取得最小值()1ln 2a fa =-，当0a e <<时，1ln 0a ->，0f>，函数()f x 无零点，不合题意，当a e =时，1ln 0a -=，0f =，函数()f x 仅有一个零点，不合题意，当a e >时，1ln 0a -<，0f <，又()1102f =>，所以()f x 在(x ∈上只有一个零点，令()ln 1p x x x =-+，则()11p x x'=-，故当01x <<时，()0p x '>，()p x 单调递增，当1x >时，()0p x '<，()p x 单调递减，所以()()10p x p ≤=，即ln 1≤-x x ，所以ln 221a a ≤-，所以22(2)2ln 22(21)0f a a a a a a a a =-≥--=>，又2a >，所以()f x 在)x ∈+∞上只有一个零点.所以a e >满足题意.不妨设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞，令()))(0g x f x fx x =--≤≤，则()))ln ln g x a x a x =-+-，()22x ag x ='+=-，当0x <<时，()0g x '<，所以()g x在(上单调递减，所以当(x ∈时，()()00g x g <=，即))f x fx +<-，因为(1x ∈(1x ∈，所以()()))()21111f x f x f x f x f x ⎤⎤==-->+-=-⎦⎦，又)2x ∈+∞，)1x ∈+∞，且()f x在)+∞上单调递增，所以21x x >-，故12x x +>>. 【名师点睛】关键点名师点睛：本题考查用导数研究函数的极值点、零点，证明不等式．难点是不等式的证明，首先由零点个数得出参数范围，在不妨设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞后关键是引入函数()))(0g x fx f x x =-≤≤，同样用导数得出它的单调性，目的是证得))f x f x +<-，然后利用这个不等关系变形()f x 的单调性得结论．9．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax b =+，设()()()F x f x g x =-．（1）若1a =，求()F x 的最大值；（2）若()F x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：()()12122x x g x x ++>. 【答案】（1）最大值为1b --；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）首先求出函数的导函数，再判断()F x '的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）由题知，121212ln ln x x ax b ax b x x =+=+，，即2111ln x ax bx =+，2222ln x ax bx =+，要证()()12122x x g x x ++>，即可212112ln ln 2x x x x x x ->-+，令21x t x =，则只需证2(1)ln (1)1t t t t ->>+．构造函数2(1)()ln (1)1t t t t t ϕ-=->+，利用导数说明其单调性即可得证；【答案详解】解：ln ()()()xF x f x g x ax b x =-=-- （1）解：当1a =时，ln ()xF x x b x=-- 所以21ln ()1xF x x -'=-．注意(1)0F '=，且当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递增减．所以()F x 的最大值为(1)1F b =--．（2）证明：由题知，121212ln ln x xax b ax b x x =+=+，，即2111ln x ax bx =+，2222ln x ax bx =+，可得212121ln ln ()[()]x x x x a x x b -=-++． 121212122()()2()x x g x x a x x b x x ++>⇔++>+212112ln ln 2x x x x x x -⇔>-+．不妨120x x <<，则上式进一步等价于2211212()ln x x x x x x ->+．令21x t x =，则只需证2(1)ln (1)1t t t t ->>+．设2(1)()ln (1)1t t t t t ϕ-=->+，22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=>+，所以()t ϕ在(1+)∞，上单调递增，从而()(1)0t ϕϕ>=，即2(1)ln (1)1t t t t ->>+，故原不等式得证．【名师点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．10．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）5(2a ∈，)+∞；（2）M （a ）存在最大值，且最大值为4e．【要点分析】（1）求出函数()f x 的导数，将题意转换为1a x x=+在(2,)x ∈+∞上有解，由1y x x =+在(2,)x ∈+∞上递增，得15(2x x +∈，)+∞，求出a 的范围即可；（2）求出函数()f x 的导数，得到21[()()]()()max f x f x f n f m -=-，求出M （a ）11()()()()n f n f m alnm n m n m=-=+-+-，根据函数的单调性求出M （a ）的最大值即可．【答案详解】解：（1）2221(1)()1a x ax f x x x x --+'=--=，(0,)x ∈+∞，由题意得，210x ax -+=在(2,)x ∈+∞上有根（不为重根），即1a x x =+在(2,)x ∈+∞上有解，由1y x x=+在(2,)x ∈+∞上递增，得15(2x x +∈，)+∞，检验，52a >时，()f x 在(2,)x ∈+∞上存在极值点，5(2a ∴∈，)+∞；（2）210x ax -+=中2=a 4∆-，若02a <…，即2=a 40∆-≤22(1)()x ax f x x --+∴'=在(0,)+∞上满足()0f x '…，()f x ∴在(0,)+∞上递减，12x x < ()()12f x f x ∴> 21()()0f x f x ∴-<，21()()f x f x ∴-不存在最大值，则2a >；∴方程210x ax -+=有2个不相等的正实数根，令其为m ，n ，且不妨设01m n <<<，则01m n a mn +=>⎧⎨=⎩，()f x 在(0,)m 递减，在(,)m n 递增，在(,)n +∞递减，对任意1(0,1)x ∈，有1()()f x f m …，对任意2(1,)x ∈+∞，有2()()f x f n …， 21[()()]()()max f x f x f n f m ∴-=-，M ∴（a ）11()()()()n f n f m aln m n m n m=-=+-+-，将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去a ，m 得： M （a ）112[()()]n lnn n n n =++-，12a e e <+…，∴11n e n e++…，1n >，由1y x x=+在(1,)x ∈+∞递增，得(1n ∈，]e ，设11()2()2()h x x lnx x x x =++-，(1x ∈，]e ，21()2(1h x lnx x'=-，(1x ∈，]e ， ()0h x ∴'>，即()h x 在(1，]e 递增，[()]max h x h ∴=（e ）4e =， M ∴（a ）存在最大值为4e．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．11．已知函数()ln(1)ax f x e x =+，2()ln g x x a x=+-，其中a R ∈. （1）若函数()y f x =的图象与直线y x =在第一象限有交点，求a 的取值范围. （2）当2a <时，若()y g x =有两个零点1x ，2x ，求证：12432x x e <+<-. 【答案】（1）1(0,)2；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据题意设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-，问题转化为方程()0g x =，在(0,)+∞有解，求导，分类讨论①若0a …，②若102a <<，③若12a …时，要点分析单调性，进而得出结论. （2）运用要点分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证. 【答案详解】解：（1）设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-，则由题设知，方程()0g x =，在(0,)+∞有解，而1()()1[ln(1)1()11axax g x f x e a x e F x x '='-=++-=-+. 设()()1ax h x e F x =-，则22221()[()()][(1)](n 1)l ax ax ax a h x e aF x F x e a x x +-'=+'=+++.①若0a …，由0x >可知01ax e <…，且11()ln(1)111F x a x x x =++<++…，从而()()10ax g x e F x '=-<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，从而()(0)0g x g <=恒成立，因而方程()0g x =在(0,)+∞上无解.②若102a <<，则221(0)0(1)a h x -'=<+，又x →+∞时，()h x '→+∞，因此()0h x '=，在(0,)+∞上必存在实根，设最小的正实根为0x ，由函数的连续性可知，0(0,)x x ∈上恒有()0h x '<，即()h x 在0(0,)x 上单调递减，也即()0g x '<，在0(0,)x 上单调递减，从而在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g '<'=，因而()g x 在0(0,)x 上单调递减，故在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g <=，即0()0g x <，注意到ax e ax >，因此()(1)ln(1)ln [ln(1)1]ax g x e x x ax x x x a x =+->+-=+-，令1ax e=时，则有()0>g x ，由零点的存在性定理可知函数()y g x =在0(x ，1)a e 上有零点，符合题意.③若12a …时，则由0x >可知，()0h x '>恒成立，从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，也即()g x '在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)0g x g >=恒成立，故方程()0g x =在(0,)+∞上无解. 综上可知，a 的取值范围是1(0,2.（2）因为()f x 有两个零点，所以f （2）0<，即21012ln a a ln +-<⇒>+，设1202x x <<<，则要证121244x x x x +>⇔-<，因为1244x <-<，22x >，又因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以只要证明121(4)()()0f x f x f x -<==，设()()(4)g x f x f x =--(02)x <<，则222222428(2)()()(4)0(4)(4)x x x g x f x f x x x x x ----'='-'-=+=-<--，所以()g x 在(0,2)上单调递减，()g x g >（2）0=，所以124x x +>，因为()f x 有两个零点，1x ，2x ，所以12()()0f x f x ==，方程()0f x =即2ln 0ax x x --=构造函数()2ln h x ax x x =--，则12()()0h x h x ==，()1ln h x a x '=--，1()0a h x x e -'=⇒=，记12(1ln 2)a p e a -=>>+，则()h x 在(0,)p 上单调递增，在(,)p +∞上单调递减，所以()0h p >，且12x p x <<，设2()()ln ln x p R x x p x p-=--+，22214()()0()()p x p R x x x p x x p -'=-=>++，所以()R x 递增，当x p >时，()()0R x R p >=，当0x p <<时，()()0R x R p <=，所以11111112(2ln )x x p ax x lnx x p x p--=<++，即22111111(2)()22l l n n ax x p x px x p x p p -+<-++，211(2ln )(22ln )20p a x ap p p p x p +-+--++>，1(a p e -=，1)lnp a =-，所以21111(23)20a a x e x e --+-+>，同理21122(23)20a a x ex e --+-+<，所以2112111111(23)2(23)2a a a a x e x e x e x e ----+-+<+-+，所以12121()[(23)]0a x x x x e --++-<，所以12123a x x e -+<-+，由2a <得：1122332a x x e e -+<-+<-，综上：12432x x e <+<-. 【名师点睛】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.12．已知函数()2211ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在()0,+?单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）1；（2）0,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【要点分析】（1）由()f x 在()0,+?单调递增，利用导数知()0f x ¢³在()0,+?上恒成立即可求参数a 的值；（2）由()()f x g x x =有()11ln 24g x x a x x a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二阶导数可知()g x '在()0,+?上单调递增，进而可知()01,x e ∃∈，使得()00g x '=，则有()g x 的单调性得最小值()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，结合1344a e <<并构造函数可求0x 取值范围，进而利用导数研究()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调性即可求范围；【答案详解】（1）()()ln f x x a x '=-，又()f x 在()0,+?单调递增，∴()0f x ¢³，即()ln 0x a x -≥在()0,+?上恒成立，（i ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ii ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（iii ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥；综上所述：1a =；（2）()()11ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，()11ln 24a g x x x '=-+，()212a g x x x ''=+，∵1344a e <<，有()0g x ''>， ∴()g x '在()0,+?上单调递增，又()1104g a '=-+<，()304a g e e '=-+>， ∴()01,x e ∃∈，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增，故()g x 的最小值为()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭，由()00g x '=得00011ln 24a x x x =+，因此()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()11ln 24t x x x x =+，()1,x e ∈，则()13ln 024t x x '=+>， ∴()t x 在()1,e 上单调递增，又1344a e <<，()114t =，()34t e e =，∴0x 取值范围为()1,e ，令()31ln ln 42x x x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1x e <<），则()()()21131ln ln 2ln 3ln 102444x x x x x ϕ'=--+=-+->，∴函数()ϕx 在()1,e 上单调递增，又()10ϕ=，()4ee ϕ=， ∴()04e x ϕ<<，即函数()h a 的值域为0,4e ⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；13．已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出导函数，根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将()()21f x f x -转变为关于12x x ，函数，再运用12x x ，的关系将不等式转化为证22212ln 0x x x -->，构造函数1()2ln (1)g x x x x x=-->，要点分析函数()g x 的单调性，得出最值，不等式可得证. 【答案详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2'212()22x ax f x x a x x-+=-+=，则24a ∆=-.①当0a ≤时，对(0,),()0x f x '∀∈+∞>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <≤时，0∆≤，所以对(0,),()0x f x '∀∈+∞≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当2a >时，令()0f x '>，得02a x -<<或2a x >，所以函数()f x在⎛ ⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；令'()0f x <，得22a a x <<，所以()f x在22a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：由（1）知2a >且1212,1,x x a x x +=⎧⎨=⎩，所以1201x x <<<.又由()()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+()()()()()()22222222221212121212111122ln22ln 2ln x x x x x a x x x x x x x x x x x x x =---+=--+-+=--+. 又因为()()()()()()()()222121212121212121(2)222a x x x x a x x x x x x x x x x x x --=---=--+-=---.所以要证()()()2121(2)f x f x a x x -<--，只需证()22112ln2x x x x <-. 因为121=x x ，所以只需证22221ln x x x <-，即证22212ln 0x x x -->. 令1()2ln (1)g x x x x x =-->，则2'2121()110g x x x x ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以对1,()(1)0x g x g ∀>>=.所以22212ln 0x x x -->. 所以若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，则()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，要点分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的. 14．已知函数2()(2)()x f x xe a x x a R =-+∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a e >时，函数()f x 有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，求证：1232x x x lna ++<．【答案】（1）增区间为(,1)-∞-，(2,)ln +∞；减区间为(1,2)ln -；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；（2）由(0)0f =，可得0x =是函数的一个零点，不妨设30x =，把问题转化为证122x x lna +<，即证122x x a e+>．由()0f x =，得(2)0x e a x -+=，结合1x ，2x 是方程(2)0x e a x -+=的两个实根，得到1212x x e e a x x -=-，代入122x x a e +>，只需证1212212x x x x e e e x x +->-，不妨设12x x >．转化为证1212212()10x x x x ex x e----->．设122x x t -=，则等价于2210(0)t t e te t -->>．设2()21(0)t t g t e te t =-->，利用导数证明()0g t >即可．【答案详解】（1）解：()(22)(1)(2)x x x f x e xe x x e '=+-+=+-，令()0f x '=，得11x =-，22x ln =．当1x <-或n 2>x l 时，()0f x '>；当12x ln -<<时，()0f x '<．()f x ∴增区间为(,1)-∞-，(2,)ln +∞；减区间为(1,2)ln -；（2）证明：(0)0f = ，0x ∴=是函数的一个零点，不妨设30x =，则要证122x x lna +<，只需证122x x a e +>．由()0f x =，得(2)0x e a x -+=，1x ，2x 是方程(2)0x e a x -+=的两个实根， ∴11(2)x e a x =+，①22(2)x e a x =+，②，①-②得：1212x x e e a x x -=-，代入122x x a e+>，只需证1212212x xx x e e e x x +->-，不妨设12x x >．120x x -> ，∴只需证1212212()x x x x e e x x e+->-．20x e >，∴只需证1212212()10x x x x e x x e ----->．设122x x t -=，则等价于2210(0)t t e te t -->>．设2()21(0)t t g t e te t =-->，只需证()0g t >，又()2(1)t t g t e e t =--'，设()1(0)t t e t t ϕ=-->，则()10t t e ϕ'=->，()t ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0t ϕϕ>=．()0g t ∴'>，从而()g t 在(0,)+∞上是增函数， ()(0)0g t g ∴>=．综上所述，1232x x x lna ++<．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．15．已知函数()223x xe f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递增；（2）设0a >，函数()212cos cos 3g x x a x a =+--，如果总存在[]1,x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）ln 2a ≥. 【要点分析】（1）直接对函数求导，判断导函数在对应区间上的符号即可证明；（2）总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈都有12()()f x g x …，即函数()y f x =在[a -，]a 上的最大值不小于()y g x =，x ∈R 的最大值；借助单调性换元法，结合二次函数的性质分别求最值列不等式求解即可【答案详解】（1）证明：()()23x xe ef x -='- 令()0f x '>，解得0x >，∴()f x 在()0,∞+上单调递增令()0f x '<，解得0x <，∴()f x 在(),0-∞上单调递减（2）总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈都有12()()f x g x …，即函数()y f x =在[a -，]a 上的最大值不小于()y g x =，x ∈R 的最大值()()()()max 23a af x f a f a e e -=-==+ 令[]()cos 1,1t x t =∈-，∴()2123g t t at a =+--，对称轴02a t =-< ∴()()max 513g t g ==∴()2533a a e e -+≥，52a a e e -+≥，令(),0ae m m =>，∴152m m +≥，∴2m ≥ ∴2a e ≥，∴ln 2a ≥【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角函数的有界性，二次函数的最值以及恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.16．已知函数()()21ln 212h x x b x =+-，()21ln 2f x x a x =-．其中a ，b 为常数．（1）若函数()h x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>．【答案】（1）(),0-∞；（2）证明见解析．【要点分析】（1）首先求函数的导数，根据题意转化为222y x x b =-+在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解b 的取值范围；（2）求出当函数()f x 有两个零点时，求出a e >，再构造函数()))(0g x fx f x x =-≤≤，利用导数判断函数的单调性，得到))f x f x +<-，再通过构造得到()()21f x f x >-，利用函数的单调性证明结论.【答案详解】（1）()2222121212'b x x b x x x x h x -+⎛⎫=+=> ⎪--⎝⎭，因为函数()h x 在定义域有且仅有一个极值点，所以222y x x b =-+在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知21122022b ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭，解得0b <，即实数b 的取值范围为(),0-∞．（2）()2'(0)a x ax x x xf x -=-=>，当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，。

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神奇巧解高考数学选择题专题
前言
高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。

考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。

下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。

例题与题组
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（）。

A 、132()()()323f f f p p
B 、231
()()()323
f f f p p
C 、213()()()332f f f p p
D ．321()()()233f f f p p
【解析】、当1x ≥时，()31x f x =-，()f x 图象关于直线1x =()|1|f x x =-的图象代替它也可以。

由图知，
符合要求的选项是B ，
【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）
A 、30x y --=
B 、230x y +-=
C 、10x y +-=
D 、250x y --=
（提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ）
【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（）
A 、9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B 、[)9
,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C 、(][),36,-∞+∞U D 、[]3,6 （提示：把y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A 。

）
【练习3】
、曲线[]12,2)y x =∈-
与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，
k 的取值范围是（）
A 、5(0,)12
B 、11
(,)43
C 、5(,)12+∞
D 、53(,)124
（提示：事实上不难看出，曲线方程[]12,2)y x =∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。

直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D ）]
【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间
A 上是增函数，则区间A 是（）
A 、(]0,∞-
B 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0
C 、[)+∞,0
D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2
1 （提示：作出该函数的图象如右，知应该选B ）
【练习5】、曲线
13
||2||=-y x 与直线y =2有两个交点，则m 的取值范围是（）
A 、4φm 或4-πm
B 、44ππm -
C 、3φm 或3-πm
D 、33ππm -
（提示：作出曲线的图象如右，因为直线
m x y +=2与其有两个交点，则4φm 或4-πm ，选A ）
【练习6】、（06湖南理8）设函数()1
x a f x x -=-，集合{}|()0M x f x =p ，{}'|()0P x f x =f ，若M P ⊆，则实数a 的取值范围是（）
A 、(,1)-∞
B 、(0,1)
C 、(1,)+∞
D 、[1,)+∞
（提示：数形结合，先画出()f x 的图象。

111()1111
x a x a a f x x x x --+--=
==+---。

当1a p 时，图象如左；当1a f 时图象如右。

由图象知，当1a f 时函数()f x 在(1,)+∞上递增，'()0f x f ，同时()0f x p 的
解集为(1,)+∞的真子集，选C ）
【练习7】、（06湖南理10）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点
到直线:0l ax by +=的距离为，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是（）
A 、,124ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B 、5,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C 、,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D 、0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣
222(2)(2)x y -+-=，由题意知，圆心到直线
的距离
d 应该满足0d ≤≤
的同心圆，则过原点的直线:0l ax by +=。

）
【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a ，b 满足| ）
A 、|2b | ＞ | a-2b |
B 、|2b | ＜ | a-2b |
C 、|2a | ＞ | 2a-b |
D 、|2a | ＜ | 2a-b |
（提示：关键是要画出向量a ，b 的关系图，为此
先把条件进行等价转换。

|a-b |=| b |⇔|a-b |2=
| b |2⇔ a 2+b 2-2a ·b= b 2⇔ a ·（a-2b ）=0⇔
a ⊥（a-2
b ），又a-（a-2b ）=2b ，所以|a |，| a-2b ||2b |为边长构成直角三角形，|2b |为斜边，如上图，
∴|2b | ＞ | a-2b |，选A 。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB ，使OB=AB ，
再构造R △OAC ，如下图，因为OC ＞AC ，所以选A 。

）
【练习9】、方程cosx=lgx 的实根的个数是（）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象，如图，
由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C ）
【练习10】、(06江苏7)若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =U I ，则一定有（）
A 、A C ⊆
B 、
C A ⊆ C 、A C ≠
D 、A =Φ
（提示：若A B C ==≠Φ，则,A B A B C B A ===U I
成立，排除C 、D 选项，作出Venn 图，可知A
【练习11】、(07天津理7)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-。

若()f x 在区间[1，2]上是减函数，则()f x （）
A 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数（提示：数形结合法，()f x 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结。