人教备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．解下列方程：

（1）x 2﹣3x=1．

（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-=

= ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，

∵b 2﹣4ac=13＞0

∴

． ∴12313313,22

x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，

∴12223,223y y =-+=--

2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（215 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=522m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

；

(2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

=

=. 【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．计算题

（1）先化简，再求值：2

1x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）2

1x x -÷（1+211x -） =2221111

x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x

+-?- =x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，

解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622

x x ??--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

5．已知关于x 的一元二次方程()2211204

x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；

()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184

x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =

【解析】

【分析】

（1）根据方程有两个实数根得0?≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.

【详解】

（1）解：()22114124m m ???=+-??- ???

22218m m m =++-+

29m =+

方程有两个实数根

0∴?≥，即290m +≥

92

m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-

（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =

- 由2

2212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ????-+--=- ?????

13m ∴=，25m =- 92

m ≥- 3m ∴=

【点睛】

本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

6．阅读下面的例题，

范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，

解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2

请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．

【答案】x 1=4，x 2=﹣5．

【解析】

【分析】

分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．

【详解】

当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；

当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，

故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．

7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同

的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【答案】(1)2000；(2)2米

【解析】

【分析】

（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；

（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程

【详解】

解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：4600022000

x

-

﹣

4600022000

1.5x

-

= 4

解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解;

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56

解得：x=2或x=26

3

（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．

8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．

(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm2？

(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?

(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．

【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三

角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x 秒后线段PQ 的长为42cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；

（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断．

【详解】

(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2，

则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ，

∵∠B ＝90°，

∴

12

(6－t)× 2t ＝8， 解得t 1＝2，t 2＝4， ∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2；

(2)设x 秒后，PQ ＝42 cm ，

由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32，

解得x 1＝

25，x 2＝2， 故经过25

秒或2秒后，线段PQ 的长为42 cm ； (3)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，

S △PBQ ＝

12

×(6－y)× 2y ＝10， 即y 2－6y ＋10＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0，

∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.

9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=? ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点

Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，

Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.

（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；

（2）若四边形

ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=

或163

. 【解析】

【分析】

（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.

【详解】

解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.

∴PM DC 12==，

∵QB 16t =-，

当t=2时，则BQ=14，

则1S QB PM 2=

?=12

×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：

解得：t 5=

∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.

（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：

①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得

()2221216t t +=- 解得：7t 2

= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得

()()22

2 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，

此时，()232431447040=--??=-<△ ,

所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；

③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,

得

116 3

t=，

216

t=（不合题意，舍去）；

综上所述，当

7

t

2

=或

16

3

时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】

本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.

10．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151

∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），

五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）

则有151=1.7×80+（80－m）×

即m2－80m+1500=0

解得m1=30，m2=50．

又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．

∴m=50

【解析】