函数的对称性和周期性练习题 本部
函数的对称性与周期性练习题
1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（ ）
A ．0.5
B ．1.5
C ． 1.5-
D ．1
2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+=
=+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35
3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ）
A. 14
B. 14-
C. 12-
D. 12
4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）
A. 可正可负
B. 恒大于0
C. 可能为0
D. 恒小于0
5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 是奇函数
C. ()()2f x f x =+
D. ()3f x +是奇函数
6．函数31()1f x x x
=++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________
8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01
x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则
32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
_________ 9．已知()()()()11,2f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[]0,1内有且只有一个12
，则()f x
在区间[]0,2016内根的个数为_________
10．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，在区间[]1,1-上，1,10()2,011
ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩（其中,a b R ∈），且1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）求,a b 的值；
（2）求函数()()()g x f x f x =+-，[]1,2x ∈的值域。
11．已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图像关于点(),a b 中心对称”。
设函数1()x a f x a x
+-=-，定义域为A （1）写出()y f x =的图像的对称中心，并用以上定理证明；
（2）当[]2,1x a a ∈--时，求()f x 的值域；
（3）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：21()x f x =，32()x f x =，…1()n n x f x +=。
如果i x A ∈（2,3,4,i =），构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止。
若对任意i x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值。
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高三数学周期性和对称性试题答案及解析
高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】【解析】∵是定义在R上且周期为2的函数，即，∴，即①．又∵，，∴②．联立①②，解得，．∴．2.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
3.函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意的都有，所以函数的周期为2. 由在区间上函数恰有四个不同的零点，即函数在上有四个不同的零点.即函数与函数在有四个不同的交点.所以.解得.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.4.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性5.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算6.设是周期为2的奇函数，当时，=，=______.【答案】．【解析】由题意.【考点】函数的性质及解析式.7.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.8.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.9.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】因为，可得，所以是周期为2的函数，又因为是偶函数，且时，，所以当时，.综上时，. 由于函数有4个零点，故与直线有四个交点.如下图：恒过点，要使它们有四个交点，则直线必过，把代入，得，数形结合可得实数的取值范围是.【考点】1.函数的周期性；2.函数的零点.10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=．【答案】【解析】由知，为函数的对称轴，所以，因为α∈(0,π)，所以，得或.【考点】函数对称性、正弦函数性质.11.给出下列五个命题：①函数在区间上存在零点；②若，则函数在处取得极值；③“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；④函数的图像与函数的图像关于轴对称；⑤满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是 .【答案】①③④【解析】①,,则在处取得极值.故正确;②如函数，，而在R上无极值.故错误；③当时，即为奇函数；由在定义域上是奇函数有，则 . 故正确.④设函数的图像上一点，则关于轴的对称点为，此点在图像上,故正确；⑤，而，故 .则这样的三角形只有1个，故错误.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值；3.奇函数的判定；4.解三角形解的个数；5.命题的真假.12.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.13.若对任意的，函数满足，且，则（）A．0B．1C．-2013D．2013【答案】D【解析】由，且，令，可知令，可知依次类推，可得【考点】本小题主要考查抽象函数及其应用.点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且此类问题一般和函数的周期性结合考查.14.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】-10.【解析】是定义在R上且周期为2的函数，,,又，...（1）又f(-1)=f(1), (2)由(1)(2)解得a=2,b=-4..15.设偶函数对任意，都有，且当时，,则= A．10B．C．D．【解析】解：因为f（x+3）="-1" /f(x) ，故有f（x+6）="-1" /f(x+3) ="-1/(" -1 /f(x)) =f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）="-1" /f(2.5) ="-1" /f(-2.5) ="-1/" 4×(-2.5) ="1" /10 ．故选B16.若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是A．2009B．2010C．2011D．2012【答案】D【解析】因为，所以又，所以则；故有；所以故选D17.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C18.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】略19.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是（）A．（4，－2）B．（4，－3）C．（3，）D．（3，－1）【答案】A【解析】略20.设是定义在上的以为周期的奇函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】根据周期为3，得到f（-2）=f（1），根据函数为奇函数，得到f（-2）=-f（2），从而求出a的取值范围．解：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（-2）=f（-2+3）=f（1）＞1而f（-2）=-f（2）=＞1解得-1＜a＜故选C．21.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ w_w_w.k*s 5*u.c o*m于是－＝1 Þ m＝－2答案：A22.若函数的图像关于直线对称，则为A．B．C．D．任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。
高三数学周期性和对称性试题
高三数学周期性和对称性试题1.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2015)＝()A．B．C．13D．【答案】B【解析】由f(x)f(x＋2)＝13，得f(x＋2)f(x＋4)＝13，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，故f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝＝，故选B.2.函数图像的对称中心是．【答案】【解析】因为，而函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是【考点】奇函数性质，图像变换3.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C4.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。
5.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．6. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).所以f(x)是周期函数,故选D.7.设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D【解析】因为是函数的极大值点，并不是函数的最大值点所以A选项不正确.B选项中函数的图像表示与函数的图像是关于y轴对称.所以是函数的的极大值点.所以B选项不正确.C选项中函数图像与函数的图像关于x轴对称.所以是函数的的极小值点.所以C选项不正确.因为图像是关于中心对称.所以D选项正确.故填D.【考点】1.函数图像的对成性.2.学会看函数的表达式来了解函数的性质.8.设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两个函数的图象关于某条直线对称，一般都是设是一个函数图象上的任一点，求出这个点关于直线对称的点，而点就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（2）函数有且只有一个零点，一般是求，通过讨论函数的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于与的图象关于直线对称，因此的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线上，这个交点是函数图象与直线的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（3）考虑，当然要解不等式，还需求，讨论的单调性，极值，从而确定不等式的解集．试题解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，，，，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当时，设，则，当时，，，当时，，．在上是减函数.又＝0，不等式解集是．【考点】（1）两个函数图象的对称问题；（2）函数的零点与切线问题；（3）解函数不等式．9.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。
函数的周期性与对称性
2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的周期性与对称性一．最新考试说明：1. 理解函数的周期性，会判断函数的周期性．【例】(2018 全国卷Ⅱ)已知 f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数，满足 f (1- x ) = f (1+x ) ． 若 f (1) = 2，则 f (1) + f (2) + f (3) +…+ f (50) = A ．-50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】解法一 ∵ f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数， f (-x ) = - f (x ) ．且 f (0) = 0 ．∵ f (1- x ) = f (1+ x ) ，∴ f (x ) = f (2 - x )， f (-x ) = f (2 + x )，∴ f (2 + x ) = - f (x )，∴ f (4 + x ) = - f (2 + x ) = f (x ) ， ∴ f (x ) 是周期函数， 且一个周期为 4 ，∴ f ( 4 )= f( 0=) ，f (2) = f (1+1) = f (1-1) = f (0) = 0 ， f (3) = f (1+ 2) = f (1- 2) = - f (1) = -2，∴ f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) =12⨯0 + f (49) + f (50) = f (1) + f (2) = 2 ，故选C ．π解法二 由题意可设 f (x ) = 2sin( 2x ) ，作出 f (x ) 的部分图象如图所示．由图可知， f (x ) 的一个周期为 4，所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) ， 所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) = 12⨯ 0 + f (1) + f (2) = 2，故选 C ．【例】(2016 山东)已知函数 f (x )的定义域为 R ．当 x <0 时， f (x ) = x 3 -1 ；当-1 ≤ x ≤ 1 时，f (-x ) = - f (x ) ；当 x > 1 2 时， f (x + 1) = f (x - 1) ，则 f (6)=2 2A ．−2B ．−1C ．0D ．2【答案】D 【解析】当-1剟x1 时， f (x ) 为奇函数，且当 x > 1时， f (x +1) = f (x )，2y23xO-241 2m所以 f (6) = f (5⨯1+1) = f (1) ．而 f (1) = - f (-1) = -[(-1)3 -1] = 2 ，所以 f (6) = 2 ，故选D ．2. 理解函数的对称性，会判断函数的对称性．【例】【2020 年高考天津卷 3】函数 y = 4xx 2 +1的图象大致为（ ）A.B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得： f (-x ) =-4x x 2 +1= - f ( x ) ，则函数 f ( x ) 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 CD 错误；当 x = 1时， y = 41+1= 2 > 0 ，选项 B 错误．故选 A ．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想， 考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【例】(2016 全国 II) 已知函数 f ( x )( x ∈ R )满足 f (-x ) = 2 - f ( x ) ，若函数 y = x + 1 与 y = f ( x ) 图像的交点 x为( x 1 ，y 1 ) ， ( x 2 ，y 2 ) ，…， ( x m ，y m ) ，则∑( x i+ y i) =i =1A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B33 22【解析】由 f (-x ) = 2 - f ( x ) 得 f (-x ) + f (x ) = 2 ，可知 f ( x ) 关于(0 ，1) 对称，而 y =x +1 = 1+ 1 也关 xx于(0 ，1) 对称，∴对于每一组对称点 x i + x i ' = 0 y i + y i '=2 ，∴ mmmm． ∑( x i + y i ) = ∑ x i + ∑ y i = 0 + 2 ⋅ 2= mi =1i =1i =13. 利用函数周期性、对称性求函数值及求参数值．【例】(2014 新课标Ⅱ)偶函数 f (x ) 的图像关于直线x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = ．【答案】3【解析】∵函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称，所以 f (x ) = f (4 - x )，f (-x ) = f (4 + x )，又 f (-x ) = f (x ) ，所以 f (x ) = f (4 + x ) ，则 f (-1) = f (4 -1) = f (3) = 3 ．⎧-4x 2 + 2, 【例】(2014 四川)设 f (x ) 是定义在R 上的周期为 2 的函数，当 x ∈[-1,1) 时，f (x ) = ⎨ -1 ≤ x < 0,，则 f ( ) = ． 2【答案】1⎩x ,0 ≤ x < 1, 【解析】 f ( ) = f (- 1 ) = -4 ⨯(- 1 )2 + 2 = 1．2 2 2二．命题方向预测：1. 利用函数的周期性、对称性求函数的值、求函数的零点、求方程的根、研究函数的图象是历年高考考查的热点．2. 题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1. 若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称，则 f ( x ) 可以表示为 f ( x ) = 1 ⎡⎣ f ( x ) + f (-x )⎤⎦ + 1 ⎡⎣ f ( x ) - f (-x )⎤⎦ ，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．2. 函数 y = f (x )与函数 y = f (- x )的图像关于直线 x = 0（ y 轴）对称．3. 函数 y =f (x )与函数 y = - f (x )的图像关于直线 y = 0 （ x 轴）对称．4. 函数 y = f (x )与函数 y = - f (-x ) 的图像关于坐标原点中心对称．5. 函数 y = a x 与函数 y = logax (a > 0, a ≠ 1) 的图像关于直线 y = x 对称．6. 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a＝－b|.7. 若在定义域内满足 f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a ) 1 ，f (x ＋a )＝－ 1(a >0)．则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．8. 对称性与周期的关系：f (x ) f (x ) (1) 若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．四、名师二级结论：一条规律若 T 是函数的周期，则kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期． 两个应用1. 已知函数的周期性求函数的值．2. 已知函数的对称性研究函数的图象． 三种方法求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法．五、课本经典习题：(1)新课标人教 A 版必修四第 46 页习题 1.4A 组第 10 题设函数 f (x )(x ∈ R ) 是以 2 为最小正周期的周期函数，且 x ∈[0, 2]时， f (x )=(x -1)2 ，求 f (3)，f ( 7 ) 的2值。
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
函数对称性与周期性习题(绝对物超所值)精编
函数周期性与对称性1．已知)(x f 在R 上是奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,22)(x x f =,则)7(f 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．98-D ．98 2．已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-．则以下四个命题对以上的三个函数都成立的是（ ）命题p ：()f x 是奇函数； 命题q ：(1)f x +在(0,1)上是增函数； 命题r ：11()22f >； 命题s ：()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题,p qB ．命题,q sC ．命题,r sD ．命题,p r3．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013()f =A ．0B ．2013C ．3D ．2013- 4．设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=-,且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =,则()107.5f =（ ） A ．10 B ．110 C ．-10 D ．110- 5．下列函数为周期函数的是： （ ）A ．()f x =sinx ]2,0[π∈xB ．()f x =xxx 2sin C ．()f x =sin x D ．()f x =2014（Z x ∈）6．函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是（ ）． A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝17．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)3f f ==，则(8)(4)f f -的值为 A ．1- B ．1 C ．2- D ．28．若(2)y f x =的图像关于直线2a x =和2bx =()b a >对称，则()f x 的一个周期为（ ） A ．2a b + B ．2()b a - C ．2b a - D ．4()b a -9．将边长为2的等边PAB ∆沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2；②()f x 是周期函数；③()()()4.12013f f f π<<；④()6092f x dx π=⎰， 其中正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.310．若f （x ）是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）－f （4）＝（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2 11．已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A.)1(ee ，- B.)1(e e ，-C.)(e ，-∞D.)1(e，-∞ 12．函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f π1)(，下列结论不正确．．．的 A ．此函数为偶函数 B ．此函数是周期函数 C ．此函数既有最大值也有最小值 D ．方程1)]([=x f f 的解为1=x 13．已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图象关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =A.0B.4-C.8-D.16-14．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()f x x =，则(8.5)f 等于（ ） A ．0.5- B ．1.5 C ． 1.5- D.0.5 15．对于定义在R 上的函数()y f x =，有下述命题：①若()y f x =是奇函数，则函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)A 对称 ②若函数(1)y f x =-的图象关于直线1=x 对称，则函数()y f x =为偶函数 ③若对R x ∈，有(1)()f x f x -=-，则函数()y f x =为周期函数，且周期为2 ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1217．定义在R 上的函数)(x f y =具有下列性质:①0)()(=--x f x f ;②1)()1(=⋅+x f x f ;③)(x f y =在]1,0[上为增函数,则对于下述命题：①)(x f y =为周期函数且最小正周期为4; ②)(x f y =的图像关于y 轴对称且对称轴只有1条;③)(x f y =在]4,3[上为减函数. 正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个18．已知*21()1(,)nnn k x g x x R n N k=+=∈∈∑,则下列说法正确的是（ ）①()n g x 关于点(0,1)-成中心对称 ②()n g x 在(0,+)∞单调递增 ③当n 取遍*N 中所有数时不可能．．．存在2,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()0n g c = A ．①②③ B ．②③ 错误!未找到引用源。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
函数周期性结论和练习题
函数周期性结论和练习题（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）若f(a-x)=f(a+x)，则f(x)关于x=a轴对称（2）若f(a-x)=f(b+x)，则f(x)关于x=(a+b)/2轴对称3、中心对称的等价描述：（1）f(a-x)=-f(a+x),则f(x)关于（a,0）中心对称（2）f(a-x)=-f(b+x)，则f(x)关于（(a+b)/2,0）中心对称4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设f(x)的定义域为D，若有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是一个周期函数，称T为f(x)的一个周期2、函数周期性的判定：（1）f(x+a)=f(x+b):可得f(x)为周期函数，其周期T=|b-a| （2）f(x+a)=-f(x)，则f(x)周期T=2a（3）f(x+a)=1/f(x)，则f(x)的周期T=2a3、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（三）典型例题：例2中f(x)虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案
第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．987．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．28．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－210．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．1014．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4C ．14D ．14-针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣x C ．1﹣x D ．x +118．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f << B ．313()(1)()23f f f << C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．201827．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=. A ．1- B ．0 C ．1 D ．228．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ）A ．2-B ．0C ．1-D ．129．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132B ．134C ．2D ．430．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8第二章 函数2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一 周期性与对称性的判断1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】A 【解析】 【详解】根据函数的奇偶性定义可知函数3sin ,y x y x ==为奇函数，sin y x =为周期函数，选A.2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质直接进行分析即可. 【详解】因为()3lg x f x x =+的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，排除A 和B ； 又因为3,lg x y y x ==在()0,∞+上单调递增， 所以()f x 易知不是周期函数，排除C ，()f x 在()0,∞+上单调递增没有最大值，故D 正确，故选：D. 3．函数221()f x x x =+的图像关于（ ） A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【答案】A 【解析】 【分析】函数221()f x x x =+，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是y 轴. 【详解】函数的定义域为R ， ()()()()222211f x x x f x x x -=-+=+=-， ()221f x x x ∴=+是一个偶函数， 由偶函数的性质知函数221()f x x x=+的图像关于y 轴对称. 故选：A . 【点睛】本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题.4．函数5x y =与5-=x y 的图象（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称【答案】A 【解析】 【分析】设()5x f x =，得()5xf x --=，根据函数()y f x =与函数()y f x =-之间的对称性可得出正确选项. 【详解】设()5x f x =，得()5x f x --=，由于函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于y 轴对称，因此，函数5x y =与5-=x y 的图象关于y 轴对称. 故选A. 【点睛】本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题. 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】C 【解析】 【分析】作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图，即可得到答案． 【详解】根据余弦函数的图像，作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图如下：由图可得函数cos y x =与函数cos y x =-的图象关于x 轴对称， 故答案选C 【点睛】本题考查余弦函数的图像问题，属于基础题．针对练习二 由函数周期性求函数值6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此求得()2019f 的值. 【详解】由于(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()22019505411212f f f =⨯-=-=⨯-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的周期性化简求值，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【详解】函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数, (2)(2)(2)(2)0f f f f ∴-==-⇒=,又122711()()()log 1222f f f =-=-=-=,所以()7212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选A. 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得1(2021)(2022)(2023)2()2f f f f -+--=即可求解.【详解】因为3()()2f x f x -=-，所以(3)()f x f x -=，因此函数的周期为3，所以(2021)(2022)(2023)f f f -+--(2)(0)(1)f f f =-+--， 又函数()f x 是R 上的奇函数，所以(3)()()f x f x f x -==--， 所以(1)(2)f f -=--，即(2)(1)f f =-，所以原式1(2)(0)(1)(2)(1)2(1)2()2f f f f f f f =-++=-+==，又当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，可得1()22f =-，因此原式1242f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+，则(2022)f =（ ） A ．5 B ．12C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，先确定函数以4为周期，利用函数周期性，再由给定区间的解析式，即可求出结果. 【详解】由()()2=-+f x f x 可得()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 以4为周期，又当(]0,2x ∈时，()22log xf x x =+， 所以()()222450522log 25(2022)f f f =+⨯==+=.故选：A.10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（ ）.A ．403B ．405C ．806D ．809【答案】B 【解析】 【分析】由函数的周期性计算． 【详解】由()()5f x f x +=得()f x 是周期函数，周期是5，2(1)log 10f ==，2log (2)21f ==，(3)(2)(2)11f f =-=---=，(4)(1)0f f =-=，(5)011f =--=-，所以(1)(2)(3)(4)(5)1f f f f f ++++=，()()()1220224041(1)(2)405f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=．故选：B ．针对练习三 由函数对称性求函数值11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．12- B ．13-C ．14-D ．15-【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的奇偶性和对称性可分别求得()3f 和32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，相加即可求得结果. 【详解】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-， 则()()()()()()()()31322121100f f f f f f f f =-=-=-=--=--===，2333111112222224f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，()31324f f ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =A ．3B ．3-C ．7D ．7-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 【详解】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （ ）A ．1B ．4C ．8D ．10【答案】A 【解析】根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解. 【详解】因为(1)f x +是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =图象的对称中心为(1,0)，且(1)0f =． 因为(4)(2)f x f x +=-，所以()y f x =图象的对称轴方程为3x =， 故()f x 的周期8T =，(2021)(5)==f f (1)0f =，(2022)(6)(0)1===f f f ，从而(2021)(2022)1+=f f ， 故选：A ．14．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32x =对称，()54f =，则()1f -=（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()(2)54f f -==， 又因为函数()y f x =为偶函数，所以()2(2)4f f -==，()1(1)f f -=， 而函数()y f x =的图象关于直线32x =对称，所以()1(1)(2)4f f f -===.故选：B15．已知函数()2f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】B 【解析】 【分析】根据()()22f x f x -=+得到()f x 关于2x =对称，利用对称轴公式得到答案. 【详解】()()22f x f x -=+则()f x 关于2x =对称，故242aa -=∴=-故选：B 【点睛】本题考查了函数的对称问题，根据()()22f x f x -=+确定函数的对称轴是解题的关键.针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[)2,0-转化到(]4,6上，则f (x )在区间[)2,0-上的表达式可求． 【详解】当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，(]44,6x ∴-+∈又②当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，4(4)21x f x -+∴-+=+又(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4T =，(4)()f x f x ∴-+=-又②函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴4()21x f x -+-=+，∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．故选：B ． 【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（ ） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣xC ．1﹣xD ．x +1【答案】B 【解析】 【分析】先设x ∈（1，2），根据周期性和奇偶性将x 转化到（0，1），代入函数解析式，然后根据性质化简求出解析式即可． 【详解】设x ∈（1，2），则﹣x ∈（﹣2，﹣1），2﹣x ∈（0，1）， ∴f （2﹣x ）＝2﹣x +1＝3﹣x ，函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数， ∴f （x +2）＝f （x ），f （﹣x ）＝f （x ）， 则f （2﹣x ）＝f （﹣x ）＝f （x ）＝3﹣x . 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等有关性质，同时考查了函数解析式的求解方法，属于基础题．18．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．4x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得 (2)()f x f x +=，则当[2,1]x ∈--时，4[2,3],()(4)413x f x f x x x +∈=+=+=++；当 [1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈， 2[2,3]x -∈，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，应选D.考点：分段函数的解析式及分类整合思想.【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭入手，探究出其周期为 2，再分类求出当[]2,0x ∈-时，和当[1,0]x ∈-时函数的解析表达式分别为4[2,3],()(4)x f x f x +∈=+413x x =+=++和 [0,1],2[2,3]x -∈-，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，从而使得问题巧妙获解．19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x【答案】D 【解析】任取函数()f x 上的一点(),x y ，先求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点(),x y -在曲线2log y x =上，整理即可得出结果.【详解】任取函数()f x 上的一点(),x y ，由函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称， 则点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -， 又点(),x y -在曲线2log y x =上， 可得222log log log 1y y xx x -=⇒=-=， 则()21log f x x=. 故选：D. 【点睛】关键点睛：求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标是解题的关键.20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +【答案】C 【解析】 【分析】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，由对称性的知识可知，点(),x y 关于直线2x =的对称点在函数ln y x =的图象上，然后计算即可得解. 【详解】在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ， 则点(),x y 关于直线2x =对称的点为()4,x y -，且点()4,x y -在函数ln y x =的图象上，所以()ln 4y x =-. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.针对练习五 由周期性与对称性比较大小21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（ ）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f << D ．133()()(1)32f f f <<【答案】D 【解析】 【分析】由f （x+2）=﹣f （x ），得f （x+4）=f （x ），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小． 【详解】②f （x+2）=﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数， ②f （x+2）=﹣f （x ）=f （﹣x ）， ②函数f （x ）关于x=1对称， 且f （x+4）=f （x ），②函数是周期为4的周期数列． ②f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，②f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，f （x ）在[1，2]上是减函数， f （133）=f （4+13）=f （13）=f （53），②f （x ）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53， ②f （1）＞f （32）＞f （53）， 即f （133）＜f （32）＜f （1），故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题． 22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； ②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+ 则13f ⎛⎫⎪⎝⎭，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ）A ．831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．813332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．138323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．381233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据②可得()y f x =在()1,2上单调递减，根据②可得()y f x =的图象关于1x =对称，根据②可得()y f x =周期为2，根据单调性、周期性、对称性即可比较大小. 【详解】因为②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； 可得()y f x =在()1,2上单调递减， 因为②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； 可得()y f x =的图象关于1x =对称， 因为②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+， 所以()y f x =周期为2，因为()y f x =的图象关于1x =对称，所以1533f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =周期为2，所以824333f f f ⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()y f x =在()1,2上单调递减，435323<<， 所以435323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A.23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()111f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()111f x f x -=-+，可得函数()f x 周期4T =，将自变量的值利用周期转化到[]2,0-，结合单调性，即得解 【详解】由题意，()()111f x f x -=-+，则()()113f x f x +=-+ ()1(3)f x f x ∴-=+()(4)f x f x ∴=+，可得函数()f x 周期4T =()6(2)a f f ∴==-，(()4b f f ==，()4(0)c f f ==由于()f x 在[]2,0-上单调递增(2)4)(0)f f f ∴-<<即a b c ∴<< 故选：D 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】由条件②确实单调性，条件②确定周期性，条件②确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、 【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8； 由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<． 故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>【答案】B 【解析】根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小．【详解】解：②函数()f x 满足：(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称； (2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则()()()()1232018f f f f ++++= ( )A ．1-B ．0C ．1D ．2018【答案】A【解析】【分析】 首先求得函数()f x 为周期函数,周期为4,故()()()()()()()()()()1232018504123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦,分别求得()()()()1,2,3,4f f f f ,问题得解．【详解】解：因为()()2f x f x +=-,()()()()()222,42,f x f x f x f x f x ++=-++=-+=则 所以函数()f x 为周期函数,且周期为4,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦．因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且()01f =,所以()()401f f ==,当1x =-时,()()()111f f f =--=-,所以()10f =,当0x =时,()()201f f =-=-,当1x =时,()()310f f =-=,所以()()()()12340f f f f +++=,所以()()()()1232018f f f f ++++()()()()()()504123412f f f f f f ⎡⎤=+++++⎣⎦1=-． 故选A ．【点睛】本题考查函数的周期性以及奇偶性,比较基础．27．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=.A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得()()()2f x f x f x +=-=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即可得()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()()20202021f f +的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()1f x +是偶函数，则()()11f x f x -+=+，变形可得()()2f x f x +=-.又由()f x 是R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，变形可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4得周期函数.因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，则()()()20200505400f f f =+⨯=；()()()()202115054111f f f f =+⨯==--=-.故()()202020211f f +=-.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题． 28．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（ ） A ．2-B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，并求出()()()()1234f f f f +++以及()2020f 值，结合周期性可求得所求代数式的值.【详解】因为函数()y f x =为奇函数，()1f x -为偶函数，所以()()()111f x f x f x -+=--=-，则()()()311f x f x f x +=-+=-，所以函数()y f x =是周期为4的周期函数.因为奇函数()y f x =的定义域为R ，所以()00f =.因为函数()y f x =与直线y x =有一个交点()()1,1f ，所以()11f =.所以()()200f f =-=，()()311f f =-=-，()()400f f ==.所以()()()()()410120130f f f f =++++++-=.故()()()()()12320182019f f f f f +++++=()()()()()()()()123201820192020202002020000f f f f f f f f ++++++-=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查抽象函数值的计算，涉及函数对称性的应用，推导出函数的周期性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.29．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．132 B ．134 C ．2 D ．4【答案】A【解析】先由题意推出函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()(99)3f f =，然后由()(2)13f x f x ⋅+=和(1)2f =解得13(3)2f =，即可得出答案. 【详解】由题意定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，则有(2)(4)13f x f x +⋅+=，联立解得()(4)f x f x =+，则得函数()f x 为周期函数且周期为4，则有()()(99)42433f f f =⨯+=；又因(1)2f =，则由(1)(3)13f f ⋅=解得13(3)2f =，所以可得13(99)2f =. 故选：A.【点睛】本题考查了函数周期性的判断与求解，考查了函数周期性的应用，属于一般难度的题.30．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（ ）A ．0B ．4C ．5D ．8 【答案】D【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，可得()f x 为偶函数，再对()()()21f x f x f +-=赋值1x =-可得()10f =，从而可得()()+2f x f x =，即()f x 的最小正周期为2，从而可得()()()()9910010f f f f +=+.【详解】因为()+2=y f x 的图象关于直线2x =-对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，即()f x 为偶函数.因为()()()+21-=f x f x f ，所以()()()1211f f f -+--=，又()()11f f -=，所以()10f =，可得()()+2f x f x =，所以()f x 的最小正周期为2，所以(99)(1)0f f ==，(100)(0)8f f ==，所以(99)(100)8f f +=.故选：D.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题.。
第8节 专题：函数的周期性与对称性—答案版
第八节专题:函数的周期性与对称性核心基础达标【1】详见解析解析:①202T =-=②303T =--=③()()60f x f x +-=等价()()6f x f x +=,606T =-=④347T =--=⑤2408T =-=⑥20(2)4T =--=⑦()()70f x f x ++=等价()()7f x f x =-+,20714T =-=⑧22710T =-=⑨()()230f x f x -++=等价()()23f x f x -=-+,22310T =--=⑩2306T =-=⑪()2048T =--=⑫22310T =--=⑬()22412T =--=⑭()()31f x f x +=等价于()()13f x f x =+,2036T =-=⑮()()132f x f x ++=等价于()()213f x f x +=+,2134T =-=⑯2102T =-=⑰2138T =--=⑱2036T =-=⑲()()21f x f x +=-等价于()()12f x f x =-+,2024T =-=⑳()()322f x f x -+=-等价于()()232f x f x --=+,23210T =--=【2】详见解析解析:①因为()()33f x f x +=-,满足轴对称模型,3332x +==,所以函数关于3x =成轴对称.②因为()()24f x f x +=-,满足轴对称模型,2432x +==,所以函数关于3x =成轴对称.③因为()()370f x f x +---=,等价于()()37f x f x +=--,满足轴对称模型,3722x -==-,所以函数关于2x =-成轴对称.④因为()()130f x f x +--=,等价于()()13f x f x +=-,满足轴对称模型,1322x +==,所以函数关于2x =成轴对称.⑤因为()()4363f x f x +=--,满足轴对称模型,4612x -==-,所以函数关于1x =-成轴对称.⑥因为()()262f x f x =--,满足轴对称模型,0632x -==-,所以函数关于3x =-成轴对称.⑦因为()()440f x f x ++-=,满足点对称模型,4442x +==,所以函数关于()4,0成点对称.⑧因为()()20f x f x +--=,满足点对称模型,0212x -==-,所以函数关于()1,0-成点对称.⑨因为()()15f x f x +=--,等价于()()150f x f x ++-=,满足点对称模型,1532x +==,所以函数关于()3,0成点对称.⑩因为()()60f x f x -+-=,满足点对称模型,0632x -==-,所以函数关于()3,0-成点对称.⑪因为()()2420f x f x +-=,满足点对称模型,0422x +==,所以函数关于()2,0成点对称.⑫因为()()1373f x f x -=-+,等价于()()13730f x f x -++=,满足点对称模型,1742x +==,所以函数关于()4,0成点对称.⑬因为()()334f x f x ++-=,满足点对称模型,3332x +==,所以函数关于()3,2成点对称.⑭因为()()62f x f x +-=,满足点对称模型,0632x +==,所以函数关于()3,1成点对称.⑮因为()()143f x f x +=--,等价于()()134f x f x ++-=,满足点对称模型,1322x +==,所以函数关于()2,2成点对称.⑯因为()()2462f x f x =---等价于()()2624f x f x +--=,,满足点对称模型,0632x -==-,所以函数关于()3,2-成点对称.【3】详见解析解析:①x 前系数为异号,表示对称性,则对称轴为4022x +==②x 前系数为同号,表示周期性,则正周期为()415T =--=③x 前系数为异号,表示对称性,则对称轴为6222x -==④x 前系数为同号,表示周期性,则正周期为426T =--=⑤x 前系数为同号,表示周期性,则正周期为624T =-=⑥x 前系数为异号,表示对称性,4232x +==,对称点为()3,0⑦x 前系数为同号,表示周期性,则正周期为2126T =--=⑧x 前系数为异号,表示对称性,41322x -==,对称点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【4】详见解析解析:（1）因为()f x 为奇函数,所以()f x 关于()0,0点对称,且满足()()40f x f x ++-=,则()f x 又关于()2,0点对称,所以周期2204T =-=,图像如下图.（2）因为()f x 为偶函数,所以()f x 关于0x =轴对称,且满足()()42f x f x +=-,则()f x 又关于3x =轴对称,所以周期2306T =-=,图像如下图.（3）()1f x +为奇函数,则()1f x +关于()0,0点对称,而()1f x +是由()f x 向左平移一个单位得到,等价于()f x 向左平移一个单位关于()0,0点对称,()f x 则关于()1,0成点对称,且满足()()6f x f x +=-,则()f x 又关于3x =轴对称,所以周期4318T =-=,图像如下图.（4）()1f x -为偶函数,则()1f x -关于0x =轴对称,而()1f x -是由()f x 向右平移一个单位得到,等价于()f x 向右平移一个单位关于0x =轴对称,()f x 则关于1x =-成轴对称,且满足()()20f x f x +-=,则()f x 又关于()1,0成点对称,所以周期()4118T =--=,图像如下图.（5）()1f x +为偶函数,则()1f x +关于0x =轴对称,而()1f x +是由()f x 向左平移一个单位得到,等价于()f x 向左平移一个单位关于0x =轴对称,()f x 则关于1x =成轴对称,且满足()()240f x f x +--=,则()f x 又关于3x =成轴对称,所以周期2314T =-=,图像如下图.（6）()5f x +为奇函数,则()5f x +关于()0,0点对称,而()5f x +是由()f x 向左平移5个单位得到,等价于()f x 向左平移5个单位关于()0,0点对称,()f x 则关于()5,0成点对称,且满足()()22f x f x +=--,则()f x 又关于()2,0成点对称,所以周期2526T =-=,图像如下图.（7）()f x 为偶函数,所以()f x 关于0x =轴对称,且满足()()262f x f x -++-=,则()f x 又关于()2,1成点对称,所以周期4208T =-=,图像如下图.（8）()2f x +为偶函数,则()2f x +关于0x =轴对称,而()2f x +是由()f x 向左平移2个单位得到,等价于()f x 向左平移2个单位关于0x =轴对称,()f x 则关于2x =成轴对称,且满足()()82f x f x +-=-,则()f x 又关于()4,1-成点对称,所以周期4428T =-=,图像如下图.（9）()21f x +为奇函数,则()21f x +关于()0,0点对称,则()1f x +同样关于()0,0点对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化,原点是0所以位置不发生变化）,而()1f x +是由()f x 向左平移1个单位得到,等价于()f x 向左平移1个单位关于()0,0点对称,()f x 则关于()1,0成点对称,且满足()()82f x f x +=--,则()f x 又关于3x =成轴对称,所以周期4318T =-=,图像如下图.（10）()42f x -为偶函数,则()42f x -关于0x =轴对称,则()2f x -同样关于0x =轴对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化,原点是0所以位置不发生变化）,而()2f x -是由()f x 向右平移2个单位得到,等价于()f x 向右平移2个单位关于0x =轴对称,()f x 则关于2x =-成轴对称,且满足()()420f x f x ++--=,则()f x 又关于()1,0成点对称,所以周期42112T =--=,图像如下图.【5】C解析:由已知可得()()()()()()204204f x f x f x f x f x f x ++=⇒+++=⇒+=,即4T =是函数()f x 的一个周期,所以171152122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:C 【6】B解析:()f x 是周期为2的奇函数,()()()0.5=0.51,0.51f f f --=-=,所以()()()2.5=20.5=0.5=1f f f +.故选:B 【7】D解析:因为()()93f x f x +=-+,所以()f x 的周期为12,因为2022121696=⨯-,所以()()20226f f =-,因为当)6,6x ∈-⎡⎣时,()2f x x =-,故()()62022628f f =-=--=.故选:D 【8】0解析:令2x =-,则()()()2222f f f =-+,又()()22f f -=,所以()20f =,于是()()()422f x f x f +=+化为:()()4f x f x +=,所以()f x 的周期4T =,所以()()()20225054220f f f =⨯+==.故答案为:0.【9】14解析:由()()14f x f x =+可得()()148f x f x +=+,所以()()()184f x f x f x +=+,故()f x 为周期函数,且周期为8,()()()112023=1==43f f f -,故答案为:14【10】12解析:根据题意,()()41f x f x ⋅+=,显然()0f x ≠,所以()()14f x f x +=,所以()()18()4f x f x f x +==+,所以函数()f x 的周期为8,所以()()()1119321f f f ===-.故答案为:12【11】()2918f x x x =++解析:因为()()3f x f x -=-,所以()()3f x f x =-+,则()()33f x f x -=+,所以()()6f x f x +=,可得函数()f x 的周期为6,又当0,3x ∈⎡⎤⎣⎦时,()23f x x x =-,则当6,3x ∈--⎡⎤⎣⎦时,60,3x +∈⎡⎤⎣⎦,()()()()226636918f x f x x x x x =+=+-+=++.【12】2()1024f x x x =-+解析:由()()2=f x f x +-,可知()f x 的周期为4∵当[0,1]x ∈时2()2f x x x =-,∴当[4,5]x ∈时,4[0,1]x -∈∴22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+.【13】()22f x x x=+解析:当[2,0]x ∈-时,2[0,2]x +∈,()(2)f x f x =-+=22[2(2)(2)]2x x x x -+-+=+;【14】()2(2)f x x n =-,Z n ∈.解析:令21,212[1,1]x x n n n ∈⇒-∈-⎡⎤⎣⎦-+且Z n ∈,则()22(2)f x n x n -=-,又()2()f x f x +=,则()()2f x f x n =-,即()2(2)f x x n =-,综上,在区间21,21n n -+⎡⎤⎣⎦上()2(2)f x x n =-,Z n ∈.【15】（1）证明见解析；（2）2()68,[2,4]f x x x x =-+∈解析:（1）证明:∵(2)()f x f x +=-,∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=.∴()f x 是周期为4的周期函数.（2）∵[2,4]x ∈,∴[4,2]x -∈--,∴4[0,2]x -∈,∴22(4)2(4)(4)68f x x x x x -=---=-+-.∵2(4)()(),()68f x f x f x f x x x -=-=-∴-=-+-,即2()68,[2,4]f x x x x =-+∈.【16】()2,4626,682x x f x x x -⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩解析:依题意,函数()y f x =是以4为周期的周期函数,当46x ≤<时,042x ≤-<,所以()()424122x x f x f x --=-=+=,当68x ≤<时,280x -≤-<,所以()()868122x x f x f x --=-=+=,综上所述,()2,4626,682x x f x x x -⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩.【17】C解析:由()()32f x f x +=,可得()()()342f x f x f x +==+,所以()f x 的周期为4,则()()()3100032f f f ===-.故选:C .【18】C解析:方法一:因为()()20f x f x -+=,()()10f x f x --=,可得()10f =,()()21f x f x -=--,()()()()21,1f x f x f x f x +=-++=-,即得()()2f x f x +=,所以函数()f x 的周期为2,令1x =,可得()()100f f ==,故A ,B 正确;又()f x 的周期为2,所以()()202400f f ==,故D 正确;而C 不一定正确.故选:C .方法二:由()()20f x f x -+=可知,()f x 关于()1,0成点对称,()()10f x f x --=可知()f x 关于12x =成轴对称,所以14122T =-=.令1x =,可得()()100f f ==,故A ,B 正确;又()f x 的周期为2,所以()()202400f f ==,故D 正确;而C 不一定正确.【19】C解析:方法一:对于A 中,函数()1f x +为偶函数,则有()()11f x f x +=-,可得()()2f x f x +=-,又由()f x 为奇函数,则()()()()22,f x f x f x f x --=-+-=-,则有()()2f x f x --=--,所以()()2f x f x ---=-,即()()2=f x f x --,所以A 错误;对于B 中,函数()1f x +为偶函数,则有()()11f x f x +=-,所以B 不正确;对于C 中,由()()()2+==f x f x f x --,则()()()42f x f x f x +=-+=,所以()f x 是周期为4的周期函数,所以()()22f x f x +=-,所以C 正确;对于D 中,由()f x 是周期为4的周期函数,可得()()()()150********f f f f =-+⨯=-=-,其中结果不一定为0,所以D错误.故选:C .方法二:函数()1f x +为偶函数,所以()f x 关于1x =成轴对称,又因为()f x 为R 上的奇函数,所以()f x 关于()0,0成点对称,则根据周期结论4104T =-=,可根据性质画出函数简图:对于A 中,()()20f x f x --+=等价于函数关于()1,0-点对称,由图像可知错误.对于B 中,()()1f x f x -=+等价于函数关于12x =成轴对称,由图像可知错误.对于C 中,()()22f x f x +=-等价于函数周期为4,正确对于D 中,由()f x 是周期为4的周期函数,可得()()()()150********f f f f =-+⨯=-=-,由图像可知错误,故选C【20】BCD解析:由题设()4()(2)f x f x f x -=-=--,则()6(4)f x f x -=--,所以()6()f x f x -=,故3x =是()f x 的一条对称轴,B 对;且()6(2)(4)()f x f x f x f x -=-⇒+=,则()f x 为周期函数,且周期4T =,A 错;所以()4()()f x f x f x -=-=-且定义域为R ,故()f x 为奇函数,C 对;()2024(5064)(0)(20)(2)0f f f f f =⨯==-==,D 对.故选:BCD方法二:由()()()()2,40f x f x f x f x =-+-=可得函数()f x 关于1x =对称,关于()2,0成点对称,所以周期为4T =,当12x ≤≤时,()2f x x =-+,可画出图像:由图像可知选项的正误.【21】AC解析:∵()1f x +是奇函数,则(1)(1)(2)()f x f x f x f x +=--+⇒+=--,∴(12)(1)(1)0f f f -+=-⇒=,故C 正确;又()()22f x f x +=-,故()(2)()(2)f x f x f x f x --=-⇒-=+,所以(2)(4)()f x f x f x -+=+=,即4T =是()f x 的一个周期,故A 正确;由()f x 关于()1,0中心对称,即函数()f x 在[0,1]上的单调性与1,2⎡⎤⎣⎦上的单调性一致,由(1)202f a a =+=⇒=-,则1,2x ∈⎡⎤⎣⎦时,()222f x x =-+,此时函数单调递减,即B 错误;由上知:213115532()(4)(()2(2333339f f f f =+==-=-⨯+=-,故D 错误.故选:AC 【22】ACD解析:对于A 项,由()11f x +-是奇函数,可得函数()f x 关于点()1,1对称,所以有()11f =,故A 项正确;对于B 项,无法求出()0f 的值,故B 项错误;对于C 项,函数()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()f x 关于0x =成轴对称,又函数()f x 关于点()1,1对称,根据周期相关结论,所以有4104T =-=,所以()f x 是以4为周期的函数,故C 项正确;对于D 项,因为()()()4f x f x f x +==-,所以2x =也是函数()f x 的对称轴.又()f x 是以4为周期的函数,所以()f x 的图象关于6x =对称,故D 项正确.故选:ACD .【23】BCD解析:对于A ,因为()1f x -是奇函数,所以()f x 的图象关于()1,0-对称,且()()0110f f -=-=,因为()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,且当11x -<<时,()2f x x =,作出()f x 的图象,如下图所示:由图可知,()f x 的值域为()1,1-,故A 错误;对于B ,()f x 的图象关于()1,0-对称,()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,根据周期相关结论,所以有4104T =-=,所以()f x 是以4为周期的函数,故B 正确.对于C ,由图象可得在1,1-⎡⎤⎣⎦上,()f x 的图象与x 轴有3个交点,所以函数在1,1-⎡⎤⎣⎦上有3个零点,故C 正确;()f x 对于D ,由题意得()()510f f ==,()()400f f ==,所以()()54f f =,故D 正确.故选:BCD .【24】AC解析:对于AB ,因为()()22f x f x +=-,所以()()31f f =,又()f x 为偶函数,则()()11f f =-,因为()f x 在2,0-⎡⎤⎣⎦上单调递减,所以()112f f ⎛⎫->- ⎪⎝⎭,从而()132f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,因此选项A 正确,B 错误;对于CD ,因为()()22f x f x +=-,所以5322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,因为()f x 为偶函数,所以3322f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为()f x 在2,0-⎡⎤⎣⎦上单调递减,所以3(1)2f f ⎛⎫->- ⎪⎝⎭,所以()512f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,所以选项C 正确,D 错误,故选:AC .【25】D解析:因为()+2y f x =的图象关于直线2x =-对称,所以()y f x =的图象关于直线0x =对称,即()f x 为偶函数.因为()()()+21f x f x f -=,所以()()()1211f f f -+--=,又()()11f f -=,所以()10f =,可得()()+2f x f x =,所以()f x 的最小正周期为2,所以(99)(1)0f f ==,(100)(0)8f f ==,所以(99)(100)8f f +=.故选:D .【26】D解析:因为对任意x R ∈,都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+令1,x =-得(2)(2)9(2),f f f =+解得(2)0,f =则(3)(1),f x f x +=-即(4)(),f x f x +=-所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称,则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称,即函数()f x 为奇函数,所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+=所以8是函数()f x 的一个周期,所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=-故选:D .【27】AD解析:因为()()11f x f x +=-,所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称,故A 正确;因为函数()2y f x =-的图象是函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到,函数()2y f x =-的图象是函数()y f x =-的图象向右平移2个单位得到,又函数()y f x =与函数()y f x =-关于y 轴对称,所以()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线2x =对称,故B 错误;因为()f x 为偶函数,且()()2f x f x +=-,所以()()()()42f x f x f x f x +=-+==-,所以函数()f x 关于直线2x =对称,故C 错误;因为()f x 为奇函数,且()()2f x f x =--,所以()()()2f x f x f x +=-=-,所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称,故D 正确.故选:AD .【28】ABC解析:将2x =代入()()()492f x f x f =-+得()()()2292f f f =+,所以()20f =,故A 正确;将()20f =代入()()()492f x f x f =-+得()()4f x f x =-,所以()f x 关于2x =对称,()9f x +是()f x 向左平移9个单位长度得到,因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称,所以()f x 关于点()0,0对称所以()()()()4,f x f x f x f x =-=--所以()()()44,f x f x f x =-=--()()()4448f x f x f x -=---=--所以()()8f x f x =-,所以()f x 的周期为8,所以()()()()44485400f f f f =+⨯===,()()()()()453863312022f f f f f =-+⨯=-=-=-=-()()()()46286220f f f f =-+⨯=-=-=所以()()()4445462022f f f ++=-,故B 正确;1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 先向右平移一个单位得到()1f x -,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的三倍得到113f x ⎛-⎫⎪⎝⎭,最后向上平移3个单位长度得到1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所以1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称,故C 正确,D 错误;故选:ABC 【29】2解析:由()()3f x f x +-=可得,()f x 关于30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭成点对称,函数()1f x +是偶函数,可得()f x 关于1x =成轴对称,根据周期结论可得4104T =-=,所以()f x 为周期函数,且周期为4,()()20231=2f f =-【30】0解析:因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,所以()00f =,因为()()11f x f x -=+,所以()f x 关于1x =成轴对称,根据周期相关结论可得4104T =-=所以()f x 的周期为4.因为()()040f f ==,()13f =,()f x 关于1x =成轴对称,所以()()020f f ==,()()()1313f f f -==-=-,所以()()()()12340f f f f +++=,则()()()()1232023505000f f f f ++++=⨯+= .【31】 2-解析:因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数,所以()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭成点对称,12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数,所以()f x 关于12x =-成轴对称,所以114422T =+=因为(0)2f =,可作出满足函数性质的简图所以(1)(0)2f f =-=-,(2)(0)2f f =-=-,(3)(1)2f f =-=,(4)(0)2f f ==,所以220()250222k f k ==+⨯--=-∑.故选:C .【32】2-解析:()42f x +为偶函数,则()42f x +关于0x =轴对称,则()2f x +同样关于0x =轴对称（伸缩变换是横坐标发生倍数变化,原点是0所以位置不发生变化）,而()2f x +是由()f x 向左平移2个单位得到,等价于()f x 向左平移2个单位关于0x =轴对称,()f x 则关于2x =成轴对称,因为()f x 为R 上的奇函数,所以()f x 关于()0,0成点对称,则根据周期相关结论,所以有4208T =-=,所以()f x 是以8为周期的函数,.所以()()()()()()2023202425281252810f f f f f f +=⨯-+⨯=-+,又注意到()f x 为R 上的奇函数,所以()00f =,又因为()12f =,所以()()()()()()202320241010202f f f f f f +=-+=-+=-+=-.故答案为:2-.【33】（1）2()68f x x x =-+;（2）0解析:（1）将()()4f x f x =--中的x 用x -代换得()()4f x f x -=-+,又因为()()2f x f x +=-,得()()42f x f x +=-+,将x 用2x -替换得()()2f x f x +=-,所以()()4f x f x +=,且()()f x f x -=-,所以函数周期为4,且函数是奇函数,当2,0x ∈-⎡⎤⎣⎦时,()()22f x f x x x =--=+,向右移4个单位,当2,4x ∈⎡⎤⎣⎦时,()()()2242468f x x x x x =-+-=-+;（2）()00f =,()11f =,()20f =,()31f =-,则()()()()01230f f f f +++=,由周期是4知:()()()()()()0123450443f f f f f f ++++++⨯+ =()()()()01230f f f f +++=.。