人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲 任意角与三角函数诱导公式

1. 知识要点

角的概念的推广：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念：

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

终边相同的角的表示：

α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；

α终边在y 轴上的角可表示为：,2

k k Z π

απ=+

∈；

α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z πα=

∈.

角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

α与2

α的终边关系：

任意角的三角函数的定义:

设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是0r =

>，那么sin ,cos y x r r

αα=

=

，

()tan ,0y x x

α=

≠，cot x y

α=

(0)y ≠，sec r x

α=

()0x ≠，()csc 0r y y

α

=

≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线A T“站在点(1,0)A 处(起点是A )”

同角三角函数的基本关系式：

1. 平方关系：222222

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

== 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形式。

三角函数诱导公式：“ （2

k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”

典型例题

例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4

5π

例2．求下列各式的值： （1）sin(－3

4π)； (2)cos(－60o)－sin(－210o)

例3．化简 )

180sin()180cos()1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα

例4．已知cos(π+α)=－

2

1，

2

3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． (A)2

3

(B) 2

1 (C)－2

3 (D)±

2

3

例5、求证：

)

2

cos(

)5cos()2

sin()4sin()

cot()2tan()2

3cos(

)2sin(απαπαπαπαπαπαπ

απ

+-+--=

+-+---+k k k

例6 的值。求)4

(

cos )4

(cos 2

2α+π+α-π

例7 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=

课后练习

1.在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ）

A ．αβ=

B ．()2k k Z απβ=+∈

C ．απβ=+

D ．()()21k k Z απβ=++∈

2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）

A ．等于1弧度

B ．大于1弧度

C ．小于1弧度

D ．无法判断 3. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．

2

2 B ．-

2

2 C ．±

2

2 D ．1

4. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝

4

2x ，则sin α的值为（ ）

A ．410

B ．46

C ．42

D ．－4

10

5.设角α是第二象限角，且|cos 2α

|＝－cos 2α

，则角2α

是（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

6. 已知

45

cos sin -

=-αα，则ααcos sin ?等于（ ）

A ．47

B ．－169

C ．－329

D ．329

7. 函数x

x

x

x

y sin cos 1cos sin 12

2

-+

-=

的值域是（ ）

A ．｛0，2｝

B ．｛－2，0｝

C ．｛－2，0，2｝

D ．｛－2，2｝ 8. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）

A 、4cos 4sin +

B 、4cos 4sin -

C 、4sin 4cos -

D 、4cos 4sin -- 9. 若2cos sin =

+αα，则ααcot tan +等于（ ）

A 、1

B 、2

C 、-1

D 、-2

10. 若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ）

A 、A C

B sin )sin(=+ B 、A

C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+

D 、A C B cot )cot(=+

11. 若10

1)sin(=+απ，则

)

270cos()540csc()90sin()sec(?

?

?

------+-αααα的值是（ ）

A 、3

1-

B 、27

1± C 、3

1 D 、3

3-

12. 若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242

=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）

A 、??

????-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m

13. .定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，

2

π］时，f （x ）=sin x ，则f （

3

π5）的值为( ) A.－2

1 B.

2

1

C.－

2

3 D.

2

3

14. 函数lg(2cos y x =-的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11(2,2)()6

k k k Z ππππ++∈

C ．(2,2)()

6

k k k Z πππ-

∈

D ．(2,2)()

6

k k k Z πππ+

∈

15. 下列说法只不正确的是 ( )

A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；

B ．余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1；

C ．余弦函数在[2kπ+

2

π

,2kπ+

32

π]( k ∈Z)上都是减函数；

D ．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数

16. 若a =sin 460,b =cos 460,c =tan360，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ． c > a > b B. a > b > c C. a >c > b D. b > c > a

18. 若α是第四象限角，则απ-是 （ ）

A ． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限

19.若0cos 3sin =+αα，则

α

αααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .

20.sin

4

9πtan

3

7π= _________

21.若α是第二象限的角，则2α

是第 象限的角。

22.若θ角的终边与85π

角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4θ

的角终边相同的角

为 ；

23.终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。

24. 已知x x x f +-=

11)(，若

???

??∈ππ

α，2，求)cos ()(cos αα-+f f 的值。

25. 已知2

1)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(?---的值.

26. 已知：2

1cos sin =+αα，求θθ33cos sin +和θθ4

4cos sin +的值。

27. 若cos α＝23

，α是第四象限角，求

sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)

απαπαππαπααπ-+--------的值

第二讲 三角函数的图像与性质

1．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是

?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)

(2Z k k x ∈+=+π

π?ω，凡是该图象与

直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

2．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

3．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 4．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图：

典例解析 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）

例2．试述如何由y =3

1sin （2x +3

π）的图象得到y =sin x 的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移

2

π

个单位，再

沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）

A ．（1－y ）sin x +2y －3=0

B ．（y －1）sin x +2y －3=0

C ．（y +1）sin x +2y +1=0

D ．－(y +1)sin x +2y +1=0

例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。

例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；

（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域；

例6．求下列函数的单调区间：

（1）y =21

sin （

4

π－

3

2x ）；（2）y =－｜sin （x +

4

π）｜。

例7．关于x 的函数f （x ）=sin （x + ）有以下命题：

①对任意的?，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f （x ）是奇函数； ④对任意的?，f （x ）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是 .

例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4

)12(

=π

f ，

（1）求ω、a 、b 的值；

（2）的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

例9．函数y ＝

x

x cos sin 21

++的最大值是（ ）

A ．2

2－1 B ．2

2＋1 C ．1－2

2 D ．－1－2

2

课后练习

1、3sin(2)4

y x π

=+

的最小正周期是 、对称轴是 、单调递

增区间是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由sin y x =变化而来。 2、求3sin(2),[,]422

y x x π

ππ

=+

∈-

的单调递减区间。

3、比较大小

6cos(),sin

,sin

8

7

6

π

ππ

-

；

tan 1,tan 2,tan 3

4、求3sin(2),[,]3

66

y x x π

ππ

=+

∈-

的最大值、最小值及对应的x 的取值范围。

5、求3sin(2),[,],03

66

y a x x a π

ππ

=+

∈-

≠的最值及对应的x 的取值。

6、若2sin(2),[0,

]3

2

y a x b x π

π

=-

+∈的最大值是1，最小值是5-，求a b ，的值。

7、为了得到3sin(2)6

y x π

=+的图象，只须将3sin(2)3

y x π

=-

的图象向 平移 个单

位。

8、定义在R 的函数()f x ，对任意x R ∈都有(2)[1()]()1f x f x f x +-=+。（1）证明()

f x 是周期函数。（2）若(1)2f =-，求(2013)f 。

9、若sin()(0,0,)2

y A x B A π

ω?ω?=++>><

，在其一个周期内的图象上有一个最高点

(

,3)12

π

和一个最低点7(

,5)12

π-，求这个函数的解析式。

10、求2

15()2cos 2sin ,[

,]2

66

f x x a x b x ππ

=++-

∈的值域

第三讲 三角函数两角和公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA

cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =

cotA

cotB 1cotAcotB -+

倍角公式 tan2A =

A

tan 12tanA 2

- Sin2A=2SinA?CosA

cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(3

π

+a)·tan(

3

π

-a)

半角公式 sin(

2

A )=

2

cos 1A

- cos(

2

A )=

2

cos 1A

+

tan(2

A )=

A

A cos 1cos 1+- cot(

2

A )=

A

A cos 1cos 1-+

tan(

2

A )=

A

A sin cos 1-=

A

A

cos 1sin +

万能公式

sina=

2

)

2

(tan

12tan

2a a + cosa=

2

2

)

2(tan 1)2(tan

1a a +- tana=

2

)

2

(tan

12tan

2a a -

例1. 求值：（1）.75cos 75sin 75cos 75sin )

2(;70sin 20sin 10cos 2?

-??+??

?

-?

例2. 已知3sin β＝sin （2α＋β）且tan α＝1，求tan （α＋β）.

例3. 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0（a ＞1）的两根分别为tan α，tan β且α，β∈ （－2

,2

ππ)，求sin 2（α＋β）＋sin （α＋β）cos （α＋β）＋2cos 2

（α＋β)的值.

例4. ()()();cos 2sin 2sin 1 B A A

B A +-+化简

()().cos ,tan ,cos ,的值求为锐角、已知

β-

=β-α=

αβα3

15

4 2

例5. （1）如果方程()102

≠=++c c bx x 的两根为tanα、tanβ，求

()()()()βαβαβαβα++++++2

2

cos

cos sin sin

c b 的值；

（2）在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA·tanB·tanC ．

例6. 化简().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin 1?

?-???+?

()(

).50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2

2?

?+?

+

?+?

例7. 已知2

1cos cos ,3

1sin sin =

--

=-βαβα，α、β都是锐角，求tan （α－β）的值．

课后练习

1．选择题

())(

37sin 83sin 37cos 7sin

1的值为??-??

(A)2

3-

(B)2

1-

(C)2

1

(D)2

3

())(

75tan 75tan 1

22

的值为?

?

-

(A)32 (B)3

32

()32 -C (D)3

32-

())(

3232 3的值是则若x ,x cos x cos x sin x sin

=

(A)10

π

(B)6

π

(C)5

π

(D)4

π

2．填空题

().________3sin ,2,23,51

cos 4=??? ?

?

+??? ??∈=

πθππθθ

则若

()._________

15tan 3115tan 3

5=?

+

?-

()()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα

3．解答题

()()().60tan tan 360tan tan 7αααα-?+-?+化简

()().cos ,,2,2,0,1411

cos ,7

1cos 8的值求且已知

βππβαπαβαα???

??∈+??? ??∈-

=+=

()().cos ,0cos cos cos sin sin sin 9的值求若βαγβαγβα

-=++=++

第四讲 三角函数复习

一、知识点整理与归纳:

1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算

换算关系:：180()π= 弧度 ，弧长公式:l r θ= ，扇形面积公式:2

1122S lr r θ=

=

2、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：sin ,cos ,tan y x y r

r

x

ααα=

=

=

3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）

4、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =、正切函数tan y x =的图像和性质：

5、函数sin()y A x ??=+的图像和性质：作图时常用两种方法： ①五点法：

②图象变换法：

(1)sin()sin()sin sin()(2)sin ()

y x y x y x y A x y x

y six x ????????=+→=+=→

→=+=→=+

6、结合函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的简图可知： 该函数的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；

7、几组重要公式

一）同角三角函数的基本关系式：

1）平方关系：1cos sin 22=+αα；α

αα

α2

2

2

2

tan 11cos cos 1tan 1+=

?=+

2）商式关系：

αα

αtan cos sin =；sinα=tanα·cosα

二）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”。 三）和角公式和差角公式：

()S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+

()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()

C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβ

αβ

αβ

+=-

()

T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ++=

- ，

()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ--=

+ 四）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，22cos 2cos sin ααα=-，2

2tan tan 21tan ααα

=

-

五）合一变形公式： a sinα＋b cosα＝2

2

b a +sin （α＋φ）＝2

2

b a +cos （α－θ）

六）降次公式： 22

1cos 21cos 2cos ,sin 2

2

αααα+-==

， (sinα±cosα)2＝1±sin2α， 七）正弦定理：

R C

c B

b A

a 2sin sin sin ==

=

及其变形公式有：

（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）R

c C R

b B R

a A 2sin ,2sin ,2sin =

=

=；

（3）sin sin sin ::::A B C a b c =等．

八）余弦定理：222

2cos a b c bc A =+- 及其变形：2

2

2

cos 2b c a

A bc

+-=等；

九）三角形面积公式：1111sin sin sin 22

2

2

A B C S ah bc A ab C ac B ?=

=

=

=．

8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题： （1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角， （3）已知三边求三内角；

（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。 9、解斜三角形的应用题的解题步骤：

（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）； （2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；

（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解； （4）检验并作答.

典型例题： 例1、定义在区间??

?

??

20π,

上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，

过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_________。

例2、已知

4

34π<

α<π，4

0π<

β<，5

3)4

cos(

-

=α+π，13

5)4

3sin(

=

β+π，求sin(α + β)

的值。

例3、已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ω?=+。 （１）右图是sin()I A t ω?=+（ω＞0，||2

π

?<

）在一个周期内的

图象，根据图中数据求sin()I A t ω?=+的解析式； （２）如果t 在任意一段

1150

秒的时间内，电流sin()I A t ω?=+都能取得最大值和最小值，

那么ω的最小正整数值是多少？

例5、已知函数()f x

2cos 2cos 1()x x x x R +-∈。

(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,

2π??

???

?

上的最大值和最小值：

(2)若06

()5f x =，0,42x ππ??

∈????

，求0cos 2x 的值。

课后作业

1、设α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝

2

4

x ，则sin α的值 . 2、已知α是锐角，且10α与α的终边相同，则角α的大小为 .. 3、满足sin α<

2

2

，且α∈(0，π)的角α的集合是_____________．

4、已知tan α＝2

3，则 sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α的值为 .

5、已知cos(3π2＋α)＝－3

5α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为 .

6、函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π

2

)内的图象大致是( )

7、已知sin α、cos α是方程3x 2

－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为 . 8、函数32tan(

3)4

y x π=-的单调递减区间是 ．

9、若sin α＋sin 2

α＝1，则cos 2

α＋cos 4

α的值为 .

10、已知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间????0，π

3上的最大值是2，则ω＝________.

11、已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m

m ＋5

，则tan θ＝________. 12、化简：

sin(2π－α)tan(α＋π)tan(－α－π)

cos(π－α)tan(3π－α)

= .

13、曲线sin()y A x ω?=+的一个最高点为????14，3，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于????－1

4，0，最低点纵坐标为－3，求此曲线的解析式.

14、将最小正周期为π2的函数g (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移π

4个单位长

度，则得到偶函数图象，求满足题意的φ的所有可能的值．

15、已知函数.3

cos

33cos

3sin )(2

x

x x

x f +

=

（1）将f(x)写成sin()A x B ωφ++的形式，（2）求其图象对称中心；

16、（1）已知关于x 的方程2sin ????x ＋

π4＝k 在[0，π]上有两解，求实数k 的取值范围． （2）设关于x 的方程sin ????2x ＋π6＝k ＋12在????

0，π2内有两个不同根α、β，求α＋β的值及k

的取值范围．