小波图像编码

当预定性能指标达到或数据流已空时，解码停止。
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算法举例
1.建树
小波图像实例
第三级子图像四叉树
第二级子图像四叉树
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2.编码
（1）第1次扫描 步骤1：初始阈值T0=32。 步骤2：设置存放重要系数的主缓冲存储器D1， 存放量化符号的辅缓冲存储器S1。执行主扫 描。当一个系数被指定为T时，所有它的子孙 系数就不再被扫描，用“×”表示。如图。 扫描结束后，D1中系数符号为： D1：P N Z T P T T T T Z T T T T T T T P T T 步骤3：量化系数。对主表中的｛63，34，49， 47｝量化。量化间隔16。扫描后得到符号： S1：1 0 1 0
第一遍扫描 Th=32 主扫描 [0, 32) 0 辅扫描 第二遍扫描 Th=16 主扫描 [0, 16) 0 [16, 32) 1 0 1 0 1 [32, 48) [32, 64) 1 [48, 64)
辅扫描
[16, 24)
[24, 32)
[32, 40)
[40, 48)
[48, 56)
[56, 64)
第8章 小波图像编码
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8.1 从子带编码到小波编码 8.2 PSNR失真度量法 8.3 EZW编码
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8.1 从子带编码到小波编码
子带编码(subband coding，SBC) 基本概念
把信号的频率分成几个子带
然后对每个子带分别进行编码 根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据
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（3）根据压缩率或者数据传输率等要求决定扫描次数。此 例完全做完得到下表。
第6次没有辅助扫描，因为在第五次的辅助扫描中，每个 分段的长度已经达到1了（量化间隔按照扫描次序分别为 16，8，4，2，1），已经能够确定每个系数的具体值， 所以不需要进行辅助编码。
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8.1 从子带编码到小波编码
小波分解图像方法

包括: 均匀分解,非均匀分解,八带分解和小波包分解. 其中八带分解使用最广泛，它属于非均匀频带分割方法。它 把低频部分分解成比较窄的频带,而对每一级分解的高频部分不再 进一步分解.
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8.2 失真的度量方法
失真度量法
用峰值信号噪声比(peak signal to noise ratio, PSNR)来衡量, 定义 为最大像素值的平方与均方差(mean square error，MSE)之比，

P：正的重要元素 N：负的重要元素 T：零树根（本身和所有子节点小于阈值） Z：孤立零点（存在子节点大于阈值但本身小于阈值） 注：在扫描过程中，用一个主扫描表记录这些输出符号。第i次扫描结束后， 将输出符号为P或N的系数的位置标记为0，以免下次主扫描重复编码。
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3.辅扫描
1 SNR 10log10 NMSE
平均绝对误差(mean absolute error，MAE)
1 M 1 N 1 MAE [ x(m, n) x(m, n)] MN m 0 n 0
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8.3.EZW编码
EZW编码是基于如下两个重要的观察分析： 自然图像通常频谱集中于低通频带。当对一幅图像进行小 波变换的时候，随着尺度的减小（小尺度意味着高分辨 率），子带中的能量会减小。因此平均而言，高频子带中 的小波系数会小于低频子带中的。显然，如果把一幅图像 进行序列化，低频信号往往是占主要地位的，高频子带只 是在添加细节。 大的小波系数通常比小的小波系数更为重要。
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（2）第2次扫描 使用0替换上一次扫描识别出的重要系数，然后从 头开始扫描系数。 步骤1：新阈值T1=16。 步骤2：设置存放重要系数的主缓冲存储器D2，存 放量化符号的辅缓冲存储器S2。执行主扫描。当一 个系数被指定为T时，所有它的子孙系数就不再被 扫描，用“×”表示。如图。 扫描结束后，D2中系数符号为： D2：Z T N P T T T T T T T T 步骤3：量化系数。对主表中的｛63，34，49，47 31，23｝量化。量化间隔8，量化区间有[16，32)， [32，48)，[48，64)。扫描后得到符号： S2：1 0 0 1 1 0
EZW算法过程
准备阶段——建树
对一幅经过多级小波变换后的图像，按前面讨论的零树理论，我们可 以使用树来表达小波变换后的图像。
以最左上角的一个数为根节点，将与其相关的次级高频信号作为它的 子树进行建树操作。父-子节点对应关系如下图左侧所示。（LL3对应 HL3、LH3、HH3三个节点，然后每个节点都对应到下一层的四个节 点。）
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定义零树的重要意义在于，如果一棵树是零树，那么这棵 树可以用一个预先定义的符号（T）来代表整棵树，从而 提高了压缩比。
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扫描方式
扫描方法:EZW算法对小波系数进行编码的次序叫做扫描. 包括两种方法:
1,光栅扫描
2,迂回扫描
后文中的例子使用迂回扫描的方法进行的
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Ti Ti 1 / 2, i 1, 2,...L 1
注：之所以是两倍两倍减少，是因为在计算机中二进制算法更为简单， 更为高效。
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2.主扫描
主扫描：扫描每个小波系数以产生系数符号，确定重要系数和零树。 扫描次序采用Morton次序，第i次扫描（i=1,2,…,L）时，算法按此顺序将小波 系数与阈值Ti-1进行比较，已处理的元素由以下输出符号来表示：
注：第一次扫描的时候就必须要决定阈值T0大小。T0不能太大，因 为如果太大了，要减小很多次才能真正开始发送数据。同时T0也不能 设置的过小，若太小，则第一次扫描就会将大部分数据发送出去，对 于嵌入式编码而言就毫无意义，所以必须符合下列不等式：
T0 max{| xi |} 2T0
其中xi表示小波系数。这样第一次扫描时就一定会有数据被发送出去 了。 之后每次扫描的阈值比上一次扫描的阈值减半：
量化 小波变换
EZW中的 Zerotree, Embedding
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熵编码
零树
一幅图像经过若干级小波分解后，在不同子带的相同位置的变换系数 是相关的。 各级子带的系数之间的关系可以用树的形式表示。 可以认为低频中的某个系数在其相邻的高频子带中有4个子孙，如下 图。LL3对应HL3、LH3、HH3三个节点，然后每个节点都对应到下 一层的四个节点。这四个子节点各自在其相邻更高子带中有其4个子 孙。 按照箭头方向，各级系数分别用祖系数，父系数，子系数，孙系数来 称呼。
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零树定义： 父系数和子孙系数幅度均小于阈值T的树。 阈值T=16。把-13当做父系数，它绝对值小于16，而且 它所有子孙系数都小于16，这样的树我们称为零树，系数 -13叫做零树根。而如果把14当作父系数，固然14小于16， 但是它存在子系数47大于16，这样的树就不能称之为零 树。
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8.3.EZW编码
EZW（embedded zerotree wavelet）是” 嵌入式零树小 波算法”的简称。它是一种用于熵编码的高效算法。
W代表wavelet。EZW算法以小波变换为基础，图像在进入EZW 编码器之前先要进行小波变换，以分离高低频信息。
Z代表zerotree。称之为“零树”，指的是小波变换系数之间的一 种数据结构。EZW使用零树来提高压缩比。 E代表embedded。嵌入式编码就是渐进式编码。小波变换具有渐 进特性，即先把最重要的部分进行编码，然后再将次要的部份进 行编码。
( Peak Signal Value)2 PSNR 10log10 MSE
对8位二进制图像，
(db) (db)
2
2552 PSNR 10log10 MSE
M 1 N 1 m0 n 0
其中，
1 MSE MN

x(m, n) x(m, n)
x(m, n) 为原始图像的像素值， x(m, n) 为解压缩之后 其中， 的像素值。
20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上。
20世纪80年代中期开始在图像编码中使用
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图中的符号 表示频带降低1/2，HH 表示频率最高的子带，LL表示频率最低 的子带。
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8.1 从子带编码到小波编码
多分辨率分析
S.Mallat于1988年在构造正交小波基时 提出了多分辨率分析的概念，从空间上 形象的说明了小波的多分辨率的特性， 根据这些科学家的理论，使用一级小波 分解方法得到的图像如右图所示。
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规格化均方差(normalized mean square error，NMSE)
M 1 N 1
NMSE
m0 n0 M 1 N 1 m0 n0
[ x(m, n) x(m, n)]
2 [ x ( m , n )]
2
信号噪声比(signal to noise ratio，SNR)
第一遍扫描 Th=32 主扫描 [0, 32) 0 辅扫描 第二遍扫描 Th=16 主扫描 [0, 16) 辅扫描 [16, 32) 0 1 0 1 [32, 48) [32, 64) 1 [48, 64)
0 [16, 24)
1 [24, 32) [32, 40)[4来自, 48)[48, 56)
[56, 64)
小波变换(wavelet transform) 不损失数据，但它是EZW算法具有渐进特性的基础； 量化(quantization) 对数据会产生损失，数据损失的程度取决于量化阈值的大小， EZW算法指的就是这个模块的算法，它的输出是符号集{P, N, T, Z, 0, 1}中的一系列符号； 熵编码(entropy encoding) 对每个输入数据值精确地确定它的概率，并根据这些概率生成 一个合适的代码，使输出的码流(code stream)小于输入的码 流。