2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识点总结
2024年新高考版数学专题1_5.3 三角函数的图象及性质
专题五 三角函数与解三角形
5.3 三角函数的图象及性质
基础篇
考点一 三角函数的图象及其变换
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1)正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),
2
,1
,(π,0),
3 2
, 1
,(2π,0).
2)余弦函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),
2
解法二:由辅助角公式得f(x)=sin x+cos x=
2
sin
x
4
,
则y=
f
x
2
2
=
2
sin(
x
3 4
2
)
=2sin2
x
3 4
=1-cos
2x+ 3
2
=1-sin 2x,
所以该函数的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)y=f(x)f
x
4
=sin
2x
4
+
2 2
,由x∈
0,
2
例3 (多选)(2022山东烟台、德州一模,9)将函数y=sin 2x的图象向右平移
个单位长度后得到函数f(x)的图象,则 ( )
6
A.
f(x)=cos
2x
6
B.
6
,
0
是f(x)图象的一个对称中心
C.当x=- 时, f(x)取得最大值
12
D.函数f(x)在区间
,
5 4
上单调递增
解析 将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到函数f(x)=sin
高考数学三角总结知识点
高考数学三角总结知识点数学作为高考的一门重要科目，其中三角函数是考察的重点之一。
掌握好三角函数的相关知识点对于高考数学的顺利完成至关重要。
本文将对高考中常见的三角函数知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。
一、基本概念1. 弧度制和角度制：弧度制是以单位圆上圆心角所对应弧长的长度为1，满足弧长与半径的比值等于角度的弧度数。
角度制是以度为单位来度量角。
2. 三角函数的定义：正弦函数（sin）：对于一个角A，正弦值等于其对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：对于一个角A，余弦值等于其邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：对于一个角A，正切值等于其对边与邻边的比值。
二、基本关系式与基本恒等式1. 基本关系式：sin^2A + cos^2A = 11 + tan^2A = sec^2A1 + cot^2A = csc^2A2. 基本恒等式：sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAtan(-A) = -tanAsin(A ± B) = sinAcosB ± cos AsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA + tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像：正弦函数在[0, 2π]范围内的图像为一条连续的曲线，最大值为1，最小值为-1，并在x = kπ (k为整数)时取得。
2. 余弦函数的图像：余弦函数在[0, 2π]范围内的图像也为一条连续的曲线，最大值为1，最小值为-1，并在x = (2k + 1)π/2 (k 为整数)时取得。
3. 正切函数的图像：正切函数在定义域内为一条连续的曲线，当x = kπ (k为整数)时有奇点。
四、常见角的基本值1. 正弦函数：sin0° = 0sin30° = 1/2sin45° = √2/2 sin60° = √3/2 sin90° = 12. 余弦函数：cos0° = 1cos30° = √3/2 cos45° = √2/2 cos60° = 1/2cos90° = 03. 正切函数：tan0° = 0tan30° = √3/3tan45° = 1tan60° = √3tan90° = 无穷大五、三角函数的运算性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期为π。
新高考三角函数知识点归纳总结
新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。
掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。
本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。
一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。
此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。
5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。
6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。
例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。
2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。
三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。
2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。
3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。
高三数学必修四知识点储备2024
高三数学必修四知识点储备2024引言介绍高三数学必修四在高考中的地位，以及知识点储备的重要性。
一、三角函数与变换1.1 三角函数的定义角度制与弧度制、三角函数的定义。
1.2 三角函数的基本关系六角形记忆法、和差化积、积化和差。
1.3 三角函数的图像与性质周期性、对称性、单调性、值域。
1.4 反三角函数反三角函数的定义、性质、求法。
二、平面向量2.1 向量的基本概念向量的定义、向量的模和方向。
2.2 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘、点积。
2.3 向量在几何中的应用向量在几何题中的应用、向量与三角形的解法。
三、复数3.1 复数的概念复数的定义、复平面。
3.2 复数的运算复数的四则运算、共轭复数。
3.3 复数在几何中的应用复数与平面上点的对应、复数与几何变换。
四、数列与级数4.1 等差数列与等比数列定义、通项公式、求和公式。
4.2 级数的概念级数的收敛与发散、几何级数。
4.3 数列的极限极限的概念、无穷等比数列的极限。
五、空间几何5.1 空间几何体棱柱、棱锥、球的几何特征。
5.2 空间直线与平面直线与平面的位置关系、空间角。
5.3 空间向量空间向量的基本运算、用向量表示空间几何问题。
六、解析几何6.1 平面直角坐标系点的坐标、线段的中点、两直线的交点。
6.2 直线与圆直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系。
6.3 圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质。
七、概率与统计7.1 概率的基础知识随机事件的概率、互斥事件、独立事件。
7.2 统计的基本概念数据的收集、处理、描述和分析。
7.3 统计案例分析用样本估计总体、假设检验、回归分析。
八、数学思维与解题策略8.1 数学思维归纳推理、演绎推理、类比推理。
8.2 解题策略常见题型的解题方法、解题技巧。
结语对高三数学必修四知识点的总结，鼓励学生系统复习、积极备考。
2024年高考数学知识点归纳总结
2024年高考数学知识点归纳总结1. 函数与方程- 函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等- 初等函数与非初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等- 函数的图像与性质：平移、反射、缩放等- 一元二次方程：求解方法、解的性质、根与系数的关系等- 二元一次方程组：解的存在唯一性、解的判别、解的性质等2. 三角函数与解析几何- 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等- 三角函数的图像与性质：周期性、对称性、增减性等- 三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式等- 解析几何的基本概念：点、直线、平面、距离、角度等- 解析几何中的基本定理：垂直定理、平行定理、相交定理等3. 概率与统计- 随机事件与概率：样本空间、事件的概率、事件的运算等- 概率的计算方法：古典概型、几何概型、排列组合等- 离散型随机变量与概率分布：离散型随机变量、概率质量函数、期望、方差等- 正态分布与标准正态分布：正态分布的性质、标准化、概率计算等- 统计与抽样：样本、总体、样本统计量、抽样分布等4. 数列与数列极限- 数列的定义与性质：有界性、单调性、极限等- 等差数列与等比数列：通项公式、求和公式、递推公式等- 数列的极限：极限存在性、夹逼定理、单调有界准则等- 无穷级数与数列项数的关系：收敛性、发散性、级数求和等- 函数极限：无穷小与无穷大、连续性、导数等5. 导数与微分- 导数的定义与性质：导数的计算、导数与函数的关系、高阶导数等- 函数的极值与最值：驻点、强弱单调性、极值判定等- 导数的应用：函数与图像的性质、曲线的弧长、曲率、斜率等- 微分与中值定理：微分的定义、中值定理的应用、不等式等- 函数的逼近与泰勒展开：泰勒公式、泰勒展开、误差估计等通过对以上知识点的归纳总结可以发现，2024年高考数学考试的重点主要集中在函数与方程、三角函数与解析几何、概率与统计、数列与数列极限以及导数与微分等方面。
2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》任意角弧度制及任意角的三角函数
2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．若角α的终边经过点－22，sin α＝，cos α＝.答案22－224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z(阴影部分)是()答案C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点Pθ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θθ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2k πk ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为．答案2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈ZN |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案B解析由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53，－23π，π3，43π4．若角α是第二象限角，则α2是第象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αkk ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)．所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C ．3D.3答案D解析如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．答案518解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r 3πr 2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为－12，sin α·tan α等于()A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且|cosθ2|＝－cos θ2，则θ2是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵|cos θ2|＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角．命题点2三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是．答案|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是．答案sin α<cos α<tan α解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cosα等于()A ．－55B ．±55C ．－35D ．±35答案B解析∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，∴m >0时，sin α＝－2m 5m ＝－25cos α＝m 5m ＝15，∴sin α＋cos α＝－55；m <0时，sin α＝－2m －5m ＝25，cos α＝m －5m ＝－15，∴sin α＋cos α＝55；∴sin α＋cos α＝±55，故选B.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是()答案C解析当x ∈π2，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当xOB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈πsin x >cosx ；当x ∈5π4，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是()A ．第一象限角一定不是负角B ．不相等的角，它们的终边必不相同C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，＋l ＝6，＝2，＝1，4＝2，2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于()A ．－3B ．3C.163D ．±3答案B 解析sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为()－12，－32，－－12，－－32，答案A解析点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．故选C.6．sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案A解析∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为()A ．－12B ．－32C.12D.32答案C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12，又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案2解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝.答案2解析由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 2π3，cos α的最小正值为．答案11π6解析由题意知，点r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.12．函数y ＝sin x －32的定义域为．答案2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为．答案α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π∴α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝.答案±34解析由角β12，m cos β＝12sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点12，m 12＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案5解析如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×33×32＋＝943＋98≈5(平方米)．16．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．解(1)经过1s 后，质点A 运动1rad ，质点B 运动2rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9，即经过5π9s后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．。
2024年高考数学 高三大一轮复习专题13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
专题13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识精讲】一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=−∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan152,tan 752︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=−=−； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα−=−=． 五、三角函数的诱导公式【题型精讲】题型一 角的有关概念【例1-1】在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间[)720,360−︒−︒内的角. 【答案】(1)54π− (2)34π (3)134π−【解析】 【分析】（1）与495°角终边相同的角为1124k ππ+，由11204k πππ−<2+<且k ∈Z ，求出k ，即可得解；（2）由110224k πππ<+<且k ∈Z ，求出k ，即可得解； （3）由11224k ππππ−4≤+<−且k ∈Z ，求出k ，即可得解. (1) ∵114954π︒=，∴与495°角终边相同的角为1124k ππ+，k ∈Z .由11204k πππ−<2+<且k ∈Z ，可得2k =−，故所求的最大负角为54π−； (2) 由110224k πππ<+<且k ∈Z ，可得1k =−，故所求的最小正角为34π； (3)由11224k ππππ−4≤+<−且k ∈Z ，可得3k =−，故所求的角为134π−. 【例1-2】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1)780︒ (2)1560−︒ (3)67.5︒ (4)103π− (5)12π(6)74π【答案】(1)133π弧度 (2)263−π弧度 (3)38π弧度 (4)600−︒ (5)15︒ (6)315︒ 【解析】 【分析】利用π弧度180=︒即可得出，即角度化弧度乘以180π，弧度化角度乘以180π，需注意单位为度． (1) 解：780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， (2)解：15601560180π−︒=−⨯弧度263π=−弧度， (3) 解：67.567.5180π︒=弧度38π=弧度．(4) 解：103π−弧度101806003=−⨯︒=−︒，(5) 解：12π弧度1801512︒==︒， (6) 解：74π弧度71803154=⨯︒=︒．【例1-3】设α是第四象限的角． (1)试讨论2α是哪个象限的角； (2)写出3α的范围； (3)写出2α的范围．【答案】(1)第二或第四象限的角 (2)()222,33233k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭(3)()()243,44k k k Z αππππ∈++∈ 【解析】 【分析】（1）根据α是第四象限的角，先表达出α与2α，然后分k 为偶数和奇数，分别求出此时2α位于哪个象限；（2）利用α的范围，表达出3α的范围；（3）利用α的范围，表达出2α的范围 (1)α是第四象限的角，即()32222k k k Z ππαππ+<<+∈． ()342k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =，n Z ∈时，32242n n παπππ+<<+，n Z ∈；此时2α是第二象限角； 当21k n =+，n Z ∈时，722242n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α是第四象限角 所以，2α是第二或第四象限的角 (2) 因为()32222k k k Z ππαππ+<<+∈，所以()22232333k k k Z ππαππ+<<+∈，故()222,33233k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭(3) 因为()32222k k k Z ππαππ+<<+∈，所以()43244k k k Z ππαππ+<<+∈，故()()243,44k k k Z αππππ∈++∈【例1-4】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).【答案】π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫−≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可. 【详解】 因为5π7512rad =，由图（1）知：以射线OA 为终边的角的集合为15π|2π,1Z 2k S k α∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，330角的终边与30−即π6rad −的角的终边相同，以OB 为终边的角为2π|2π,6Z S k k α⎧∈⎫=−⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫−≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.因为π306rad =，7π2106rad =， 由图（2）知：以射线OA 为终边的角为3πZ 6|2π,n S n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，以射线OB 为终边的角为47πZ 6|2π,S n n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，所以终边在直线AB 上的角为：()πππ2π,Z 21π|||666,Z π,Z n n n n k k S ββββββ+∈++⎧⎫∈+⎧⎫⎧⎫==⋃===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩∈⎭⎩⎭⎩⎭，同理终边在y 轴上的角为ππ,Z |2k k ββ+∈⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 所以终边落在阴影部分内的角的集合ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【练习1-1】把375−︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12−C ．5π12D ．5π12−【解析】 【分析】由37515360−=−︒−︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】∵37515360−=−︒−︒︒，∴π3752πrad 12⎛⎫−︒=−− ⎪⎝⎭故选：B【练习1-2】已知集合ππ,42k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，ππ,24k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ） A ．N M ⊆ B ．M N ⊆ C ．MND ．M N ⋂=∅【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的基本关系求解 【详解】解：因为()2πππ,,424k k M x x k x x k ⎧⎫+⎧⎫⎪⎪==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ，()21π,4k N x x k ⎧⎫+⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z ，当k ∈Z 时，21k +是奇数，2k +是整数，所以N M ⊆． 故选：A ．题型二 三角函数的定义【例2-1】已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y −，则sin tan αα＝______．【答案】32−【解析】 【分析】根据单位圆求出y ，然后由三角函数定义求得sin ,tan αα，再相乘可得．由题意2114y +=，2y =±，y =sin α=，tan α=，3sin tan 2αα=−，y =sin α=tan α=3sin tan 2αα=−， 综上，3sin tan 2αα=−．故答案为：32−．【例2-2】已知()2,P y −是角θ终边上一点，且sin 5θ=，则y 的值是（ ）A ．BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】根据sin 0θ>，可判断点()2,P y −位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可. 【详解】解：因为()2,P y −是角θ终边上一点，sin 0θ=>，故点()2,P y −位于第二象限，所以0y >，sin θ==整理得：21732y =，因为0y >，所以y 故选：D.【练习2-1】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =上，则tan θ=（ ）A．B ．12−C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得答案.因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y 上，所以tan yxθ== 故选：D【练习2-2】已知角α的终边经过点(,3)P x −，且3tan 4α=−，则cos sin αα+=（ ）A ．15B ．15±C D ．15−【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出x ，再根据三角函数的定义分别求出cos ,sin αα，即可得解. 【详解】解：角α的终边经过点(,3)P x −，由3tan 4α=−，可得334x −=−，所以4x =， 所以4cos 5α==，3sin 5α==−， 所以431cos sin 555αα+=−=. 故选：A ．题型三 利用三角函数的定义解三角不等式【例3-1】集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝_______.【答案】5[0,)(,2]44πππ⋃【解析】 【分析】由函数值的大小关系确定集合B 中α的范围，并在单位圆中画出其角度所在象限，再应用集合的交运算求A ∩B 即可. 【详解】由题设，3{|22,}44B k k k Z ππαπαπ=−<<+∈，如下图阴影部分所示(不含终边在y x =上∴5[0,)(,2]44A B πππ⋂=⋃.故答案为：5[0,)(,2]44πππ⋃.【例3-2】利用单位圆中的三角函数线 ，分别确定角θ的取值范围.(1)sin 2θ≥; (2)1cos 22θ−≤<.【答案】(1),32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ . (2)22362k k πππθπ<−−+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ 【解析】 【分析】（1）按照三角函数的定义画出单位圆，再按图分析即可； (2)按照三角函数的定义画出单位圆，再按图分析即可. (1)下图中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围， 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ ；(2)下图中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围， 即22362k k πππθπ<−−+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ ；故答案为：,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+， 22362k k πππθπ<−−+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+.【练习3-1】设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】在单位圆中做出三角函数线即可比较大小. 【详解】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>， AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>> ∴c a b >> 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数值比较大小，借助三角函数线容易得出结果. 【练习3-2】求下列函数的定义域：（1）y = （2）lg(1)y x =.【答案】（1）22/,2cot ()33x k πππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）3572,22,2()4444x k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z . 【解析】 【分析】（1）由题可得2sin 0x ，即3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；（2）由题可得1010x x ⎧>⎪⎨+⎪⎩即cos x <，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案. 【详解】（1）∵2sin 0x ≥，∴3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得22,2()33x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .①（2）∵1010x x ⎧>⎪⎨⎪⎩∴cos x <，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得3572,22,2()4444x k k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z .② 【点睛】本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.题型四 弧度制的应用【例4-1】已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若100,2r α=︒=，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 【答案】(1)10π9(2)最大值为25；2α= 【解析】 【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；（2）由题意可知扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==−⋅=−−+，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解 (1)因为π5π1001001809α=︒=⨯=， 所以扇形的面积为21115π10π422299S lr r α===⨯⨯=；(2)由题意可知：220l r +=，即202l r =−，所以扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==−⋅=−−+，当=5r 时，扇形面积的最大值为25， 此时202510l =−⨯=，1025l r α=== 【例4-2】已知半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6. (1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求圆心角α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形．．的面积.S 【答案】(1)π3(2)2l π=，6S π=−【解析】 【分析】（1）根据三角形形状得圆心角α的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解. (1)解：半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6， 所以三角形OAB 为正三角形， 所以弦AB 所对圆心角α为π3，(2)解：由弧长公式得：62,3l r παπ==⨯=扇形的面积11266.22S lr ππ==⨯⨯=扇形又1662AOBS=⨯⨯=所以6AOBS S Sπ=−=−扇形．．的面积6S π=− 【例4-3】如图，扇环ABCD 中，弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==，则扇环ABCD 的面积S =__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据弧长公式求出OB ，OA ，再由根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】 设AOB θ∠=,因为弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==， 所以4OA θ⨯=，2OB θ⨯=， 所以2OA =，1OB =，又扇形AOD 的面积为12OA AD ⋅⋅，扇形BOC 的面积为12OB BC ⋅⋅，所以扇环ABCD 的面积1111241232222S OA AD OB BC =⋅⋅−⋅⋅=⨯⨯−⨯⨯=．故答案为：3【练习4-1】已知一扇形的圆心角为()0αα>，周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ． (1)若35α=︒，8r =cm ，求扇形的弧长；(2)若16C =cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)149πcm ； (2)S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角为2． 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式l r α=即可计算；（2）将S 表示成二次函数形式，利用二次函数性质即可求其最值. (1)35α=︒＝735rad rad 18036ππ⨯=， 扇形的弧长7148369l r αππ==⨯=cm ； (2)设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则216r l +=，∴162l r =−()08r <<，则()()2211162841622S lr r r r r r ==−=−+=−−+，当4r =时，2max 16cm S =，16248l =−⨯=cm ，2l rα，∴S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角2α=．【练习4-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）A ．22π−B ．23πC ．32π−D ．33π−【答案】B 【解析】 【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得； 【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =−=−，112AD AB ==，由勾股定理可得222ODADOA ，即(2221r r ⎡⎤−+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此2212222343MBBAOB S S Sππ=−=⨯⨯−=弓形扇形 故选：B【练习4-3】已知圆锥的表面积为28π，其侧面展开扇形的圆心角大小为3π，则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥展开图的特征列出关于半径r ，母线长l 的方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意，有228rl r πππ+=①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为3π，所以23l r ππ=，即6l r =②，由①②得12l =，2r =， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2.题型五 诱导公式【例5-1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P −.(1)求cos()cos 2ππαα⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的值； (2)求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫−−−+ ⎪⎝⎭⎛⎫−++− ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)15−(2)6427【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，求得cos ,sin αα的值，再利用诱导公式即可求解；（2）先求得tan α的值，利用诱导公式及商数关系化简即可求解. (1)解：∵角α的终边经过点()3,4P −，∴3cos 5α==−，4sin 5α==，∴341cos()cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫−++=−−=−=− ⎪⎝⎭.(2)解：由（1）知：3cos 5α=−，4sin 5α， ∴4tan 3α=−，∴sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫−−−+ ⎪⎝⎭⎛⎫−++− ⎪⎝⎭ sin sin sin tan cos cos (cos )(tan )αααααααα−=−−33464tan 327α⎛⎫=−=−−=⎪⎝⎭. 【例5-2】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．13−C ．79D ．79−【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−+=− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：B.【练习5-1】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=−−−+.(1)化简()f α；(2)若31cos 25πα⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】(1)()f αcos α= (2)()5f α=±【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）由题知1sin 5α=，进而根据同角三角函数关系求解即可.(1)解：由题意得()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=−−−+()()()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα−−−=−−−cos α=(2)解：∵31cos sin 25παα⎛⎫−=−=− ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=. ∴α为第一或第二象限角，∴cos α== ∴()f α=【练习5-2】已知2sin 33πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，且α为锐角，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．23B ．23− C．D【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式直接求出. 【详解】因为2sin 33πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以2cos cos sin 63233ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−+=−−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.题型六 同角三角函数的基本关系【例6-1】已知12tan 5α=，求sin α，cos α的值.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 解 由sin 12tan cos 5ααα==，得12sin cos 5αα=. 又22sin cos 1αα+=，所以22212cos cos 15αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得225cos 169α=. 又由tan 0α>，知α是第一或第三象限角. 若α是第一象限角， 则5cos 13α=，12tan 5α=，12sin 13α=；若α是第三象限角， 则5cos 13α=−，12tan 5α=，12sin 13α=−.【例6-2】已知423sin ,cos 55−−==++m m m m αα，α是第四象限角.求： （1）m 的值； （2）1tan tan αα+的值. 【答案】（1）8；（2）16960−. 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=即22423155−−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭m m m m ，解方程得到m 的值，再代入检验是否满足α是第四象限角即可； （2）因sin cos 1tan cot cos sin sin cos αααααααα+=+=，由（1）可得到125sin ,cos 1313=−=αα，代入计算即可. 【详解】（1）∵22sin cos 1αα+=，∴22423155−−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭m m m m .化简整理，得(8)0−=m m .解方程，得0m =或8m =.当0m =时，43sin ,cos 55αα==−，与α是第四象限角矛盾，舍去；当8m =时，125sin ,cos 1313=−=αα成立. 综上所述，8m =.（2）由（1）知，1258,sin ,cos 1313==−=m αα. ∴1sin cos 1169tan tan cos sin sin cos 60αααααααα+=+==−.【点晴】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 【练习6-1】已知3sin 5α=，且α为第一象限角，则cos α=（ ） A ．45B ．45−C ．34D ．34−【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出． 【详解】因为α为第一象限角，3sin 5α=，所以4cos 5α=． 故选：A ．【练习6-2】已知sin α，cos α是方程2220x kx k k −++=的两根，则k 的值为（ ）A B ．12− C ．1D ．1【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理得到sin cos αα+，sin cos αα，由同角三角函数平方关系可构造方程求得k ，由sin cos αα+的范围求得k 的范围，由此可得k 的取值. 【详解】由题意得：2sin cos 2sin cos kk kαααα+=⎧⎨=+⎩， ()()22222sin cos sin cos 2sin cos 421k k k αααααα+=+−=−+=，即22210k k −−=，解得：k =；sin cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，sin cos αα⎡∴+∈⎣，即2k ⎡∈⎣，22k ⎡∴∈⎢⎣⎦，k ∴=. 故选：B.题型七 sinx+cosx 、sinx-cosx 、sinxcosx 之间的关系【例7-1】已知(0,π)α∈ ，且1sin cos 5αα+= ，给出下列结论：①ππ2α<<； ②12sin cos 25αα=− ； ③3cos 5α=； ④7cos sin 5αα−=− . 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①③④【答案】A 【解析】 【分析】由(0,π)α∈ ，且1sin cos 5αα+=，将等式两边平方可得12sin cos 025αα=−<，可判断ππ2α<<，即可判断①②③；继而利用2()cos sin 12sin cos αααα=−−求得7cos sin 5αα−=−，判断④，可得答案.【详解】∵(0,π)α∈, 1sin cos 5αα+=，等式两边平方得21sin cos 12sin cos 25()αααα+==＋ ， 解得12sin cos 25αα=−，故②正确； ∵(0,π)α∈，12sin cos 025αα=−<， ∴ππ2α<<，cos 0α<,故①正确，③错误； 由ππ2α<<可知，cos sin 0αα−< ， 且212cos sin 12sin cos 12()252549()αααα−−=−⨯−== ， 解得7cos sin 5αα−=−，故④正确，故选：A【例7-2】已知()221tan cos 5cos 4θθπθ−=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A ．2425 B ．2425−C ．725D ．725−【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式化简可得()221tan cos cos 4θθπθ−=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin )θθ+，结合()21c 2sin cos os sin θθθθ=++和二倍角的正弦公式即可得出结果.【详解】()22221tan cos cos 42θθπθ−=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin )5θθ=+=，∴7cos sin 5θθ+=， ∴()24912sin cos sin cos 25θθθθ=+=+， ∴24sin 225θ=. 故选：A.【例7-3】求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++，,122x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】3342⎡⎢⎣ 【解析】 【分析】利用sin cos ,sin cos x x x x +的关系，将目标函数化为二次函数，即可求其值域. 【详解】y =(sin 1)(cos 1)sin cos sin cos 1x x x x x x ++=+++令sin cos x x t +=，则211sin cos 22x x t =−，由sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又,122x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则3,464x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,142x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故t ∈⎣，则()211,2y t t =+∈⎣故)2max13122y ==+2min 13124y ⎫==⎪⎪⎝⎭，即该函数值域为：33,422⎡+⎢⎣. 【练习7-1】已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m −−=的两根， (1)求sin cos αα+的值； (2)求m 的值； (3)若0απ<<，求sin cos αα−的值. 【答案】(1)12 (2)34(3)2【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系可求出结果，（2）利用根与系数的关系列方程组，结合22sin cos 1αα+=可求出m 的值，（3）先判断出2απ<<π，则sin cos αα−=，再代值计算即可 (1)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m −−=的两根， 所以1sin cos 2αα+= (2)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m −−=的两根， 所以1sin cos 2αα+=，sin cos 2mαα=−，且2(1)8()0m ∆=−−−≥，所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=， 所以114m −=，得34m =，满足180m ∆=+≥，所以34m = (3)由（2）可得1sin cos 2αα+=，3sin cos 08αα=−<，因为0απ<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以2απ<<π，所以sin cos αα−==【练习7-2】若ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且21cos sin 4αα−= ，则tan α=_____.【答案】3【解析】【分析】根据同角平方和关系可解得1sin 2α=，进而根据角的范围可得5π6α=，进而可求.【详解】因为21cos sin 4αα−=，所以()241sin 4sin 10αα=－－－即24sin 4sin 30αα+=－ ，∴解得1sin 2α=或3sin 2α=− （舍去）． ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5π6α∴=，因此5πtan tan 6α== ．故答案为：题型八 齐次式下弦切互化【例8-1】已知3π4απ<<， 110ta tan n 3a α=−＋. (1)求tan α的值； (2)求sin cos sin cos αααα+−的值； (3)求222sin sin co 3co s s αααα−− .的值【答案】(1)13−(2)12−(3)115【解析】 【分析】 （1）根据110ta tan n 3a α=−＋可得210tan 33tan 0a α+=＋，解方程并结合角的范围求得tan α；（2）利用弦化切，将sin cos sin cos αααα+−化为tan 1tan 1αα+−，可得答案；（3）利用221sin +cos αα=，将222sin sin co 3co s s αααα−−化为22222sin sin co 3co sin cos s s αααααα−−+，继而化为222tan tan 3tan 1ααα−−+，求得答案.(1) 由110ta tan n 3a α=−＋得210tan 33tan 0a α+=＋， 解得tan 3α=−或13− ，因为3π4απ<<，故1tan 0α−<<，则1tan 3α=−；(2)11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα−+++===−−−−−；(3)2222222sin sin co 3co 2sin sin co 3co sin cos s s s s αααααααααα−−−−=+ 222212()32tan tan 31131tan 1513()13ααα−−−−===−+−++.【例8-2】若1sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+=（ ） A ．52B ．18C ．716D ．2332【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出sin 2α的值，由同角三角函数的关系化简求值即可． 【详解】1sin cos 2αα+=，两边平方得11sin 24α+=，即3sin 24α=−则()24422222123sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2232ααααααα+=+−=−= 故选: D【练习8-1】已知2απ<<π，3sin 5α=. (1)求tan α的值；(2)求()()()sin 2cos 2sin cos πααααπ⎛⎫+−− ⎪⎝⎭−−+π−的值．【答案】(1)34−；(2)97−. 【解析】【分析】（1）由平方关系及角的范围求得4cos 5α=−，再根据商数关系即可求tan α.（2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可. (1)因为sin α＝35，则222316cos 1sin 1()525αα=−=−=，又2π<α<π，所以cos 0α<，则4cos 5α=−. 所以sin 3tan cos 4ααα==−. (2)原式=sin 2sin (sin )(cos )αααα−−−−+−=93sin 9534sin cos 7()55ααα−−==−−−−. 【练习8-2】已知 2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=−−，求(1)tan θ 的值;(2)3cos24sin2θθ+ 的值. 【答案】(1)2;(2)75. 【解析】 【分析】（1）将已知等式分子分母同除cos θ，可构造关于tan θ的方程，求得tan θ；（2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母22sin cos 1θθ+=，分子分母同除2cos θ可构造出关于tan θ的方程，代入tan θ可求得结果. (1)2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=−−，2tan 15tan 3θθ+∴=−−，解得：tan 2θ=.(2)()223cos 24sin 23cos sin 8sin cos θθθθθθ+=−+22223cos 3sin 8sin cos sin cos θθθθθθ−+=+ 2233tan 8tan tan 1θθθ−+=+ 3121641−+=+ 75=.。
2024年新高考版数学专题1_5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
综合篇
考法一 三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方 程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一 个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
α
2
k
,
k
Z
.
三、三角函数的诱导公式
公式
角
正弦
Hale Waihona Puke 一2kπ+α
sin α
(k∈Z)
二
π+α
-sin α
三
-α
-sin α
四
π-α
sin α
五
-α
cos α
2
六
2 +α
cos α
七
3
2 π+α
-cos α
八
3
2 π-α
-cos α
余弦 cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α
正切 tan α
tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符 号看象限
高考 数学
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千里之行，始于足下。
2024届全国新高考数学精准复习三角函数知识
点总结
2024届全国新高考数学考试中，三角函数是一个重要的知识点。
以下是三角函数的主要内容和考点总结：
1. 基本概念：
- 弧度与角度的转换：1弧度=180°/π，1度=π/180弧度。
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义与关系。
2. 三角函数的图像与性质：
- 正弦函数和余弦函数的图像特点：周期为2π，在x轴上的零点为kπ，振幅为1。
- 正切函数的图像特点：周期为π，在x轴上的零点为kπ，无振幅。
- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数、正切函数是奇函数。
- 三角函数的周期性：正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
3. 三角函数的性质与关系：
- 三角函数的基本关系：tanx=sinx/cosx，cotx=1/tanx，secx=1/cosx，cscx=1/sinx。
- 三角函数的倒数关系：sinx=1/cscx，cosx=1/secx，tanx=1/cotx。
- 三角函数的平方关系：sin^2x+cos^2x=1，1+tan^2x=sec^2x，
1+cot^2x=csc^2x。
4. 三角函数的性质与特殊值：
- 正弦函数和余弦函数的取值范围：-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1。
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锲而不舍，金石可镂。
- 正切函数和余切函数的取值范围：tanx属于R，cotx属于R。
- 三角函数的特殊值：sin0=0，cos0=1，sin90°=1，cos90°=0，tan45°=1，cot45°=1。
5. 三角函数的解析式与性质：
- sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny。
- cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。
- tan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)。
- sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x，tan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)。
以上是2024届全国新高考数学考试中三角函数的主要知识点总结。
希望对你的复习有所帮助！。