马氏链案例
—马氏链的应用-随机过程论文
随机过程论文——马氏链的应用学院：东凌经济管理学院班级：金融0902班姓名:一、文献综述马氏链在日常生活诸多领域中有着广泛的应用0我引用了五篇文献，分别是刘家军的马氏链在无赔款优待模型中的应用；廖捷、陈功的叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用；郭小溪的借助于马尔柯夫链的无后效性性质，预测2000~ 2005年6年的8项支出量；吴加荣、谢明铎、何穗的一类马氏链的数据仿真与应用；肖定文、黄崇起的用马尔柯夫过程预测股市短期或中长期走势。
刘家军在2009年介绍了马氏链在无赔款优待模型中的应用，利用mat lab7. 0计算在未来几年中索赔事件发生的强度分布与被保险人所处折扣等级的分布以及两者的极限分布，并依此计算纯保费。
降水量的预测是气象学中一项重要的研究工作。
由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点。
廖捷、陈功2010年引入了叠加马尔科夫链模型，以位于川西高原的小金站1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用。
廖捷、陈功利用均值-均方差分级法对年降水量进行分级，并由此将小金站各年的全年降水量划分为5 个状态。
根据各年降水量的状态，可统计得到不同步长的概率转移矩阵。
在进行降水量的叠加预测时，主要考虑利用步长为1~4的概率转移矩阵进行计算。
首先利用1961〜2000长度为40年的降水量序列预测了2001年的降水量，之后去掉1961年降水量值，加入2001年实际观测降水量值，保持序列长度不变，预测2002年的降水量。
以此类推，利用叠加马尔科夫链模型预测了小金站200N2010共十年的降水量，并与该站实际观测降水量进行了对比。
2006年郭小溪利用长春市居民1998、1999连续两年的收、支数量变化，借助于马尔柯夫链的无后效性性质，建立居民消费性支出结构的概率转移矩阵，进而预测出自2000年至2005年6年的8项支出值；进一步分析居民消费性支出变化的基本规律和受控因素，并与经济发展条件一起探讨发展经济的人文环境影响作用。
马氏过程-1028
• Xn = fn (Xn−1 , ξn ), 其中 fn 是给定函数, {ξn : n ≥ 0} 为独立随机
变量序列
• X0 与 {ξn : n ≥ 1} 相互独立，或 X0 为某个确定值
特别地，如果 {ξn : n ≥ 1} 独立同分布， fn (x, t) 与 n 无关，那么这是 时齐马氏链, 而且一步转移概率为 pij = P {f (i, ξ1 ) = j } 思考：简单随机游动是否构成 Markov Chain? 如果带反射壁和吸收态 呢？
2014 年《随机过程》 马氏过程
时齐 Markov Chain 的概率分布
时齐 Markov Chain {Xn : n ≥ 0} 的概率分布:
• π 0 : 初始分布 • P : 一步转移矩阵
[P (Xn = i)]i = π 0 P n π 0 的维度是什么? 上式右侧 π 0 和 P n 的次序可以交换吗?
. . ..
马氏链 (Markov Chain)
. 胡鹏
2014 年秋季学期
华中科技大学管理学院
. .
2014 年《随机过程》
马氏过程
Markov Chain(马氏链)
本讲介绍马氏过程/马氏链的相关知识
1 . .
基本概念，初始分布与转移概率，C-K 方程 状态分类及性质，平稳分布和极限分布 马氏过程的应用
P {Xn+1 = j |Xn = i, Xn−1 = in−1 , · · · , X0 = i0 } = P {Xn+1 = j |Xn = i} 上述等式称为马氏性或无后效性
2014 年《随机过程》
马氏过程
马氏链简介
显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好； 表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息 的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假， 有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假； 表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)
5 10
5 102
a2 (n)
4 9
5 10n
5 10
1 (
1 10n1
数学建模：马氏链及其应用
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
离散时间马氏链例题
离散时间马氏链例题离散时间马氏链（离散时间马尔科夫链）是一种随机过程，其中每个状态的未来转变仅依赖于其当前状态，而不依赖于过去的状态或转变。
以下是离散时间马氏链的一个简单例题：天气预报问题假设明天的天气仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
如果今天下雨，那么明天下雨的概率为0.7；如果今天不下雨，那么明天下雨的概率为0.4。
我们要求出今天下雨并且四天后仍然下雨的概率（假设α=0.7，β=0.4）。
解：定义状态：我们可以定义两个状态，状态0表示不下雨，状态1表示下雨。
建立转移概率矩阵：根据题目描述，我们可以得到以下的转移概率矩阵P：P = [0.6 0.4; 0.3 0.7]其中，P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 应用马氏链的性质：我们知道马氏链的性质是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
因此，我们可以使用转移概率矩阵来计算四天后仍然下雨的概率。
我们从今天下雨（状态1）开始，想要知道四天后仍然下雨的概率。
我们可以通过连续应用转移概率矩阵来计算这个概率：今天下雨并且四天后仍然下雨的概率= P(1, 1)^4但是这是错误的，因为我们不能直接取四次方。
正确的做法是，考虑所有可能的路径，即在这四天中，天气可能如何变化。
例如，它可能一直保持下雨，或者可能在中间某天下雨然后再次下雨等等。
我们需要考虑所有这些可能性。
但是，对于较大的n值，直接计算所有路径是不切实际的。
我们可以使用一种称为“稳态概率”的概念来简化计算。
稳态概率是指，当时间趋于无穷大时，马氏链处于某个特定状态的概率。
在这个例子中，我们可以计算出稳态概率，然后用它来估计四天后下雨的概率。
然而在这个特定的例子中，由于转移概率矩阵不是对称的，因此没有简单的公式可以直接计算出n步转移概率。
我们需要使用矩阵的n次幂来计算这个概率。
但是注意，我们不能简单地取P(1,1)的四次幂，因为那将假设每天都独立地下雨，而实际上每天的天气都依赖于前一天的天气。
《马氏链简介》课件
4 周期性
某些状态可以周期性地访问其他状态。
马氏链的状态和状态转移概率
状态
• 什么是状态？在轮盘赌中，可能的状态是数 字1到36。
• 状态也可以是有限和无限的符号序列、音符 或语言。
• 状态空间是状态转移概率？它是从当前状态到下 一个状态的概率。
• 状态转移概率通常用转移矩阵表示，转移矩 阵包含所有状态间的概率。
• 状态转移概率也可以是连续随机变量的概率 密度函数。
马氏链的平稳分布和收敛性
平稳分布 收敛速度 应用实例
当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布会收敛 到平稳分布。
收敛速度取决于马氏链的特性，包括连通性、可 逆性和状态转移概率。
平稳分布可用于模拟MC的渐近行为，预测马氏链 未来的状态。
马氏链的定义和概念
定义
什么是马氏链？它是一个随机过程，其下一个 状态只有当前状态有关。
转移概率
什么是转移概率？它是从一个状态到另一个状 态的概率。
状态空间
什么是状态空间？它是指所有可能状态的集合。
时间齐次性和无后效性
什么是时间齐次性和无后效性？简单来说，它 们是指转移概率不会随着时间而改变，未来的 状态只依赖于当前状态，而不依赖于先前状态。
马氏性假设
转移概率不会随着时间而改变， 未来的状态只依赖于当前状态， 而不依赖于先前状态。
马氏链的基本公式和性质
1 转移矩阵和状态向量
2 平稳分布
这些代数结构是描述马氏链基本特性的核心。
平稳分布是指当时间趋于无限大时，状态的 分布不再改变。
3 不可约性和遍历性
一些状态可以从其他状态到达，而一些状态 则不能。
马氏链简介
你听说过马氏链吗？无论你是在研究投资组合、社交网络还是天气预测，都 可以使用它来分析模式的发展。本课件将带你了解马氏链的定义、应用和基 本公式。
第9章马尔可夫预测方法讲述案例
指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬 如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折 价优惠等方法。
假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙 两公司的流失，使保留率从原来的63.16％提高到80％，同 时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序 中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
（2） 争取策略
指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针 与对策。如：通过广告等方法。
设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两 家公司购货的顾客中分别争取20％与15％，此时程 序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：
0.6316 0.1579 0.2105
P
0.2
0.5759 0.2241
( j) 1 的唯一解
j0
注1
定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经 有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。
注2 定理给出了求平稳分布 ( j)的方法。
3．马尔可夫链预测基本步骤
（1）划分状态区间，确定状态空间I =[1, 2，…，N]；
（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指 标值所对应的状态；
设有限马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I={0,1,2,…,s}
如果存在正整数n0 ，使对一切i, j I 都有pi(jn0 ) 0 ，
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状态与状态转移 状态Xn=
1, 第n年健康 2, 第n年疾病
Xn+1只取决于Xn和Pij, 与Xn-1,...无关
状态转移具 有无后效性
状态与状态转移
设投保 时健康
设投保 时疾病
健康与疾病
例2. 健康与疾病状态同上,Xn=1~健康, Xn=2~疾 病,死亡为第3种状态,记Xn=3
状态与状态转移
马氏链的基本方程
基本方程
马氏链的两个重要类型收链 的转移概率阵标准形式
R有非零元素
3.2 钢琴销售的存贮策略
背景与问题
钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金. 钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金. 一家商店根据经验估计, 一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为一架 存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时, 存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时,才 订购3架供下周销售;否则,不订购. 订购 架供下周销售;否则,不订购. 架供下周销售 估计在这种策略下失去销售的机会的可能性有多大, 估计在这种策略下失去销售的机会的可能性有多大,以 及每周的平均销售量是多少. 及每周的平均销售量是多少.
问题分析
顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布, 顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布,其参 数由需求均值为每周一架确定,由此计算需求概率. 数由需求均值为每周一架确定,由此计算需求概率.
动态过程中每周销售量不同,失去销售机会( 动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超 过库存) 过库存)的概率不同 可按稳态情况(时间充分长以后) 可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量
模型假设 钢琴每周需求量服从泊松分布,均值为每周1架 钢琴每周需求量服从泊松分布,均值为每周 架
在稳态情况下, 在稳态情况下,计算该存贮策略失去销售机会 的概率,和每周的平均销售量. 的概率,和每周的平均销售量.
�
第三部分 马氏链模型案例
3.1 健康与疾病 3.2 钢琴销售的存储策略 3.3 基因遗传 3.4 等级结构
马氏链模型 描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型. 描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型. 随机动态系统 系统在每个时期所处的状态时随机的 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 下时期状态值取决于本时期状态和转移概率 已知现在,将来与过去无关(无后效性) 已知现在,将来与过去无关(无后效性) 马氏链( 马氏链(Markov Chain) ) ——时间,状态均为离散的随机转移过程 时间, 时间
3.1 健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质, 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质, 人的健康状态随着时间的推移会随机的发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态做出估计, 保险公司要对投保人未来的健康状态做出估计,以制 定保险金和理赔金的数额 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特定 人的健康状况分为健康和疾病两种状态, 年龄段的人,今年健康, 年龄段的人,今年健康,明年保持健康状态的概率为 0.8,而今年患病,明年转为健康状态的概率为 , ,而今年患病,明年转为健康状态的概率为0.7, 若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率