马氏链模型
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔科夫链
.建模过程马尔可夫链在股市分析的应用文献综述摘要：马尔可夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型，它对一个系统由一种状态转移到另一 种状态的现状提出了定量分析。
马尔可夫链在社会、经济、金融市场、农业、生态、环境、 工业控制等领域的一些动态问题上都有广泛的应用。
在证券投资分析中，因为证券市场的运作随机性很大，股市常受到很多随机因素的影响，从而使股票的价格涨落呈现出不确定性。
运用马尔可夫链理论模拟股市运行规律， 并以此对我国股票市场的个股进行实证分析，结果是有效的。
关键词：马尔可夫链；股市分析；预测一.马尔可夫过程概述.若对任意的整数n € T 及任意的i0 , i1 , ? , in+ 1€ E, 条件概率满足P{X n J 九 1 IX 。
=i 0,X^i 1,,,X^i n ^ P{X n i =i n i | X^i n } , (1)则称｛ X n , n € T ｝为马尔可夫链，简称马氏链.(1)式称为过程的马尔可夫性(或称无后效性). 它表示若已知系统现在的状态，则系统未来所处状态与过去所处的状态无关 定义2称条件概率pij ( m ,1) = P ｛ Xm+ 1 = j | Xm = i ｝ ( i , j € E) (2)为马氏链｛ X n , n € T ｝在时刻m 的一步转移概率，简称为转移概率.若对任意的i, j € E,马 尔可夫链｛ X n , n € T ｝的转移概率p ij ( m ,1)与m 无关,则称马氏链是齐次的，记p ij ( m ,1)为 p ij . 同时定义：系统在时刻m 从状态i 出发，经过n 步后处于状态j 的概率pij ( n , m) = P ｛ Xm+n = j | Xm = i ｝ ( i , j € E, m > 0 , n 》1) (3)为齐次马尔可夫链｛ Xn , n € T ｝的n 步转移概率.由齐次性知其与m 无关，故简记为pij (n). 定义3 齐次马尔可夫链的所有一步转移概率 pij 组成的矩阵P1 =( pij )称为它在时刻m 的 一步转移概率矩阵(i , j € E).所有n 步转移概率p ij ( n)组成的矩阵Pn = ( pij ( n))为马 尔可夫链的n 步转移概率矩阵，其中：0 w pij ( n) < 1 ,艺j € E p ij ( n) = 1.设｛ Xn , n € T ｝为齐次马尔可夫链，则=P 1P 1(nX) =P ；(n -1)且若它的状态空间E 是有限的 对一切i , j € 常数n( j),使得li m pdn)=恵(j),,则称此马氏链具有遍历性，且n ( j)是方程组n —二(j)八・=j)p iji满足条件n ( j) > 0, 二(j) =1的唯一解，即经历一段时间之后，系统达到平稳状态J定义1设有随机过程｛ X , n € T ｝, 其时间集合T = { 0 ,1 ,2 , ? }，状态空间E = { 0 ,1 ,2 , ? ｝,亦即Xn 是时间离散状态离散的 E 存在不依赖于i 的马尔可夫链的马氏性是指在现在的条件的下， 将来与过去是无关的，这样决定了我们可以利用马尔可夫做预测，国内各行业的科技工作者都在运用马氏链理论结合实际情况进行与 预测分析。
基于马氏链的股票价格预测模型
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＡＮＧＳＵ ＴＥ Ｉ ＡＣＨＥＲＳ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｔ ＯＦ Ｉ Ｙ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧ。（ ａ Ｙ ｔ
江 苏技 术师 范学 院学报 （ 自然 科 学 版）ｉｎｃｅＥｄｉｉｎ ｅ ｔ０ Ｓ ｃ
Ｖｏ．４． ． １１ Ｎｏ２
关键词 ： 股票价格 ；马尔科 夫链 ； 预测模型
中图分类号 ： ２ １ Ｏ １． ６ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ：１７ — ２ ２ ２ ０ ）２ ０ ３ — ６ ６ ４ ２２ （０ ８０ — ０ ３ ０
０ 引 言
从现象上看， 股票价格与商 品价格一样， 都是由供求关系决定的。 当供过于求时， 股票价格就下跌 ； 当
，
（ ３ ）
（） ４
选取置信度 ， 查表得 （ 一 ） ， （ １ ）如果 ２ （一 ） 则认 为符合 马 氏链 。可建 立马 氏链 预测模 型 。 ＾ （ １ ２ ）
＋ ￡ ｌ２ … ， ， 。 ｙ （ ， ， Ｊ） ＝ ７ 、
２ 实 例分 析
作为实例， 下面利用该方法采用深市桂林旅游（ ０ ０９ ８ ０４ ７ １日一 ０８ ４ ３ Ｓ ００７ ） ０ 年 月 Ｚ ２ ２０ 年 月 ０日（ ０ ９ ０ 个交易 日 的历史行情相关数据（ ） 见表 １， ）讨论该股的预测问题。
１ 马 尔 可 夫 链 预 测 模 型
１１ 马 尔科 夫链 基本 概 念 ．
马尔科夫过程是研究事物的状态及其转移的理论， 它既适合于时间序列， 又适用于空间序列， 一个时
间与状态都是离散的马尔科夫过程 叫马尔科夫链 。马尔科夫链 的特点是作为一种特殊的随机事件序列，
其序列的所有历史信息都可通过其现在的状态来 ， 看成是一随机时间序列， ｔ ， ， Ⅳ） ＝ 通过 Ｍ ｔｂ画出价格一时间图， ａａ ｌ 利用
《工学马氏链》课件
通过建立马氏链模型，可以生成具有艺术性的音乐片段，为音乐创作提供灵感和创新。
垃圾邮件过滤
工学马氏链可以用于垃圾邮件过滤算法的设计，帮助识别垃圾邮件并提高电子邮件系统的安 全性。
状态转移概率矩阵
状态转移概率是指在马氏链中，从一个状态转移到另一个状态的概率。状态 转移概率矩阵是描述这些概率的矩阵。
• 植被模拟：使用马氏链模拟植被的生命周期，研究不同环境因素对植 被类型和分布的影响。
• 音乐生成：通过马氏链模型生成新颖的音乐片段，帮助音乐创作者创 作出独特的音乐作品。
• 垃圾邮件过滤：通过分析邮件内容和发件人的信息，使用马氏链算法 识别并过滤垃圾邮件。
这பைடு நூலகம்实际应用展示了马尔科夫过程在各个领域中的价值和潜力。
定义马氏链
马氏链是一种随机过程，其状态转移的概率只依赖于其当前状态，而不受其 过去状态的影响。它可以用于模拟各种随机事件的进程，如物质的扩散、金 融市场的波动等。
马氏链的定义包括状态空间、初始状态概率分布以及状态转移概率矩阵。
工学马氏链的应用
植被模拟
工学马氏链可以模拟植被的生长和变化过程，帮助环境科学家研究植被对气候变化的响应和 适应性。
《工学马氏链》PPT课件
# 工学马氏链 PPT课件大纲 ## 简介 - 定义马氏链 - 工学马氏链的应用 ## 状态转移概率矩阵 - 状态转移概率的定义 - 状态转移概率矩阵的构建 - 实例演示 ## 平稳分布 - 平稳分布的定义 - 构建平稳分布的方法 - 实例演示 ## 过渡概率矩阵 - 过渡概率矩阵的定义 - 过渡概率矩阵的构建 - 实例演示
过渡概率矩阵
过渡概率矩阵是描述马氏链中从一个状态转移到另一个状态的概率的矩阵。 它包含了马氏链中所有状态之间的转移概率。
马尔科夫链
马尔科夫链（Markov Chain ）在传染病刚爆发阶段，我们可以认为患者、潜伏期患者每天接触到的都是正常人，每个患者的有效感染人数与时期无关，在这样的假设下，我们应用马氏链对疫情的前期状况进行模拟。
我们先粗略的将所有人分为患者（I ）、潜伏期患者（E ）、正常人（S ）、治愈者（R ）、死亡者（D ），以每一天为单位，将第n 天的状态向量表示为：(n)(I(n)(n)(n)(n)(n))T X E S R D =下面建立第n+1天与第n 天之间的状态转移方程：321213311(n 1)(n)(1)(n)1(n 1)(n)(1)(n)fr (n)pr (n 1)(n)(n)f r (n)pr 1(n 1)(n)(n)1(n 1)(n)(n)(1)I I E a E E I E S S I E R R I a D D I a τλλτλλμμ⎧+=-+⎪⎪⎪+=-++⎪⎪⎪+=--⎨⎪⎪+=+⎪⎪⎪+=+-⎪⎩表示成矩阵形式：321(n 1)(n)2133111000(n 1)(n)11000(n 1)(n)100(n 1)(n)(n 1)(n)0010(n 1)(n)10001a I I fr pr E E fr pr X AX S S R R a D D a τλλτλλμμ+⎛⎫- ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭其中A 为相应的随机矩阵。
通过该状态转移方程，我们可以求出当n 较小时的任意时刻的各个状态的具体人数，计算公式为：(n)(n 1)2(n 2)(0)...n X AX A X A X --====(0)X 为初始时刻的各个状态的人数所组成的列向量，f 表示没进医院的患者占所有患者的比率，1λ、2λ分别表示患者、潜伏期患者接触到正常人时使别人患病的概率，μ为医院的治愈率。
随着疫情的加重，病人和潜伏期病人会接触到越来越多已经感染病毒的人群，但是患病者不再对他们进行感染，所以患者的有效感染人数会越来越小。
马氏链的应用
份子，两者有很大差别。
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马氏链的应用
PageRank基本思想
1. 对于前者，似乎可用对方的重要性传播过来来刻画。
2. 对于后者，对方的重要性的影响跟对方发出的链接数目(出度)有关，
出度越大, 能分到的越少，因此可以采用（1/出度）进行加权。
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马氏链的应用
随机冲浪模型
根据上面的思想，对于网页 u, 如果它被多个网页 v 所链接，如果 用pr(u)表示网页 u 的重要性，那么该网页的重要性可以由下面的公式确
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马氏链的应用
参考文献
1. 钱敏平, 龚光鲁. 应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型. 北京： 清华大学出版社, 2004. 2. David W. Mount. Bioinformatics, Sequence and Genome Analysis. Cold Spring Harbor Laboratory Press, 2002. 3. Amy N. Langville，Carl D. Meyer. Deeper Inside PageRank. Internet Mathematics, 2004, 1(3): 335-380.
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马氏链的应用
句子的平均长度
1. 序例如列为
TGCAATCGGATAACCAAACA
2. 限制性内切酶将序列切成如下片断
TGCAATCGGATAACCAAACA
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马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
1. 状态集合{A, B, AA} 。 2. xn={原始链上第 n 个位置示从网页 v 发出的网页数目，L(u) 表示所有指向网页 u 的
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马氏链的应用
随机冲浪模型的迭代计算
5马尔可夫链模型
马尔可夫链模型在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。
这种性质称为无后效性或马尔可夫性。
通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。
具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。
马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。
值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。
马氏链简介：马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为0,1,2,n =，对每个n ，系统的状态用随机变量nX 表示，设nX 可以取k 个离散值1,2,,nX k= ，且nXi=的概率记作()ian ，称为状态概率，从nXi=到1n Xj+=的概率记作ijp ，称为转移概率。
如果1n X+的取值只取决于nX 的取值及转移概率，而与12,,n n XX --的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为1(1)()1,2,,ki jijj a n an p i k=+==∑并且()ian 和ijp 应满足11()10,1,2,;0;11,2,,kkjij ij j j an n p p i k====≥==∑∑引入状态概率向量和转移概率矩阵12()((),(),,()){}k ij ka n a n a n a n P p ==则基本方程可以表为1(1)()(0)n a n a n Pa P++==例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。
若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。
马尔科夫链模型简介
马 氏 链 模 型 简 介1、随机过程的概念。
定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。
其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。
（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。
其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。
（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。
随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。
当T 为时间时，该随机序列就是一个时间序列。
如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。
（2）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。
（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。
马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。
2、（离散时间）马尔可夫链——马氏链。
定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。
若对于任意正整数m 、n 。
如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ 成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。
（时间、状态均为离散的随机转移过程） 从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。
则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。
（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。
（3）条件概率)(i j P n m n ==+ξξ是指，第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 发生的条件下，第m n +步时的随机变量m n +ξ所处的状态j ，发生的条件概率。
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1 马氏链模型
正则链 从任意的状态出发经过有限次的转移都能达到另外的任意状态，
定义如下： 一个有K 个状态的马氏链如果存在正整数N ，使从任意状态i 经过N 次转移都以大于零的概率到达状态j （i ，j=1,2，...k ）则称为正则链。
定理1 若马氏链的转移矩阵为P ，则它是正则链的充要条件是：存在正整数N 使p N >0(指p N 的每个元素大于零)
定理2 正则链存在唯一的极限状态概率w=()12k ωωω ，，，使得当n →∞时状态概率()a n w →，w 与初始状态概率无关，w 又称稳定概率，满足
11
k i i wP w
w ===∑
从状态i 出发经过n 次转移，第一次到状态j 的概率称为i 到j 的首次概率，记作()ij f n 于是
()1ij ij n nf n μ∞
==∑
为状态i 第一次到达状态j 的平均转移次数，特别地，ij μ是状态i 首次返回的平均转移次数。
ij μ与稳定概率ω有密切地关系，即
定理3 对于正则链
ij =1/μω
吸收链 1ii p =，于是系统一旦进入状态i 就不再离开它，可以把它看作“吸收”其它状态的一个状态，并且从其它的状态可以经过有限次的转移到达状态i 定义如下： 定义2 转移概率1ii p =的状态i 称为吸收状态。
如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次的转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。
吸收链的转移矩阵可以写成简单的标准形式，若有r 个 吸收状态，k-r 个非吸收状态，则转移矩阵P 可表示为
r r I O P R Q ⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
其中k-r 阶子方阵Q 的特征值λ满足1λ＜这要求子阵()k r r R -⨯中必含有非零元素，已满足从任意一非吸收状态出发经有限次转移可到达某个吸收状态的条件。
这样Q 就不是随机矩
阵， 它至少存在一个小于1的行和，且如下定理成立
定理4 对吸收链P 的标准形式，（I-Q ）可逆，
()10s s M I Q Q ∞-==-=∑记元素全为1的列向量()1,1,,1T
e = 则y=Me
的第i 个分量是从第i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数。
设状态i 是非吸收状态，j 是吸收状态，那么首达概率()ij f n 实际上是i 经过n 次转移被j 吸收的概率，而
()n =ij ij
f f n ∞
∑ 则是从非吸收状态i 出发终将被吸收状态j 吸收的概率。
记作{}()ij
k r r F f -⨯=下面的定理给出了计算ij f 的方法
定理5 设吸收链的转移矩阵P 表为标准形式，则
F MR =。