数学建模之马尔可夫预测

马尔可夫预测
马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。

该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。

它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。

三大特点： （1）无后效性
一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。

也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。

（2）遍历性
不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。

（3）过程的随机性。

该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。

1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测，
④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。

2.步骤
①确定系统状态
有的系统状态很确定。

如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。

但很多预测中，状态需要人为确定。

如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。

这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。

在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。

②计算初始概率()0i S
用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑
③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：
1112121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
④计算K 步转移概率矩阵
若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。

K 步转移概率矩阵为：
1112121
2221
2
()k
n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⑤预测及分析
根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即：
()
()11121021
2221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
例题：
设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。

为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。

为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。

市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。

年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。

再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。

调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。

计算各型产品保留和转购变动率。

模型的建立： ①计算初始概率
用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑ （1）
②计算各类产品保留和转购变动率
用1,2,3，分别表示A,B,C 三种产品类型，令由(1,2,3)i E i =型产品转移到
(1,2,3)j E j =型产品的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：
11
12121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2） ③预测与分析
根据产品市场占有率的初始资料（1）和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。

即：
()
()11121021
2221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3） 模型的求解
①计算初始概率
用概率向量0S 表示各类产品市场占有的初始状态，由（1）得
0(0.40.30.3)S = 。

②计算各类产品保留和转购变动率 由（2）计算得一步转移概率矩阵为
0.60.20.20.50.30.20.50.20.3P ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
③预测与分析
由（3）计算得到产品市场占有率的预测如下
()
0.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3K
K S ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
令k=1得后续第l 年各型产品币场占有率预测为
()
10.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.540.230.22)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为54%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
2
20.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.5540.2230.223)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为55.4%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
3
30.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.55540.22230.2223)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为55.54%。

这说明,某企业生产的A 型洗涤剂今后三年的市场占有率为54%、55.4%、55.54%,比目前40%的市场占有率有不同程度的增长,市场容量日益增加。

而其他企业的B 型和C 型产品在今后三年内均为23%、22.3%、22.23%,比目前市场占有率30%都低,市场容量逐渐下降。

对比结果,A 型产品在市场竞争中处于优势。

以上仅仅根据三年的预测资料来说明的。

今后怎样?如果市场顾客购买各型产品的流动倾向长期如此下去,各型产品市场占有率将稳定在一定水平。

这时马尔可夫预测式中的K 趋向∞,各型产品市场占有率将是
()0.60.20.2lim(0.40.30.3)0.50.30.2(0.50.250.25)0.50.20.3k
k k k S →∞
→∞
⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦
它表明A 型产品可长期占有一半市场,而B 、C 型产品可稳占1/4市场。