第六章 马尔可夫链
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第六章 马尔可夫链
.
8
第六章 Markov链
第一节 基本概念
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarkov链的分布
4.齐次Markov链
５.Markov 链举例
.
9
第一节 基本概念
1. 转移概率
定义 设 {Xn,n0}是马尔可夫链,称条件概率
p i ( j k ) ( n ) @ P ( X n k jX n i ) ,i ,j S ,n 0 ,k 1
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 3）绝对分布
Q
q(n) j
P(Xn
j)
U P( (X0i),Xnj)
i
U P( (X0i,Xnj)
i
P(X0i,Xnj) i
P (X 0 i)P (X njX 0 i) i
q i(0 )p i(jn )(0 . ) n 0 ,i,j S i
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
2）有限维分布
P ( X 0 i ) P ( X t 1 i 1 X 0 i ) P ( X t 2 i 2 X 0 i ,X t 1 i 1 ) i L P ( X t n i n X 0 i ,X t 1 i 1 , L ,X t n 1 i n 1 )
i
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 2）有限维分布 又因为马尔可夫链的k步转移概率由一步转移概率所 完全确定. 所以马尔可夫链的有限维分布由其初始分布和 一步转移概率所完全确定.
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
第六章 6.2 马尔可夫链的概率分布
0 .6 5 P = 0 .1 5 0 .1 2 0 .2 8 0 .6 7 0 .3 6 0 .0 7 0 .1 8 0 .5 2
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
随机过程课件-马尔可夫链
定理二
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
第六章 马尔科夫链
三、马氏链的例子
解：马尔科夫链的 { X n，n 0，2， } 的状态空间为： 1，
S { 0，，， } 1 2
一步状态概率为：
j | X n i}
p， 若 j i 1，i 0；
q， 若 j i 1，i 0；
P{ X n 1
记 ( 0，1， )，( i P{ X 0 i}，i S ) .称
为齐次马尔可夫链的初始分布.
齐次马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移 概率矩阵 P 和初始分布 确定.
三、马氏链的例子
例1 (一个简单的疾病死亡模型)
考虑一个包含两个健康状态S1和S2以及两个死亡状态 S3和S（即由不同原因引起的死亡）的模型。若个体病愈， 4 则认为它处于状态S1，若患病，则认为它处于S2，个体可 以从S1，S2 进入S3和S4，易见这是一个马氏链，转移矩阵为
以{X n，n 0} 表示质点在时刻 n 时的位置，则 X n是齐 次马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其 一步转移概率矩阵. 解：一步状态概率为：
P{ X n 1 j | X n i}
一步状态概率矩阵为：
1 0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 q 0 p 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的状态与其过去的历史状态无关(独立).
一、马尔可夫链的定义
【例】 细胞分裂实验
第一节
基本概念
马尔可夫链的研究内容
1、计算马尔可夫链 { X n，n 0} 的有限维分布.
2、对马尔可夫链 { X n，n 0}的状态空间 S 按照某种 规则进行分类.
3、研究马尔可夫链 { X n，n 0} 的极限性质.
随机过程课件-马尔可夫链
随机过程课件-马尔可夫 链
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
马尔可夫过程与泊松过程
P{X mk aimk |X m aim , X m1 aim1 ,, X1 ai1 }
P{Xmk aimk |Xm aim }
6.1 马尔可夫链
一、定义及一般特性 典型马尔可夫链
一维随机游动
4 3 2 1 0
Xn
+ + + +
1 p
0
p
x
+
+
1
T
T P (1)p(1) p(1) , p(1) p1 , p2 , , pN 中取N-1个方程 在方程
11 p1 21 p2 N 1 pN p1 12 p1 22 p2 N 2 pN p2 1N p1 2 N p2 NN pN pN
当随机过程在时刻 t i 所处的状态已知时，过程在时
刻 t (t ti ) 所处的状态仅与过程在 t i 时刻的状态有关， 而与过程在 t i 时刻以前所处的状态无关。
P 将来 现在，过去 =P 将来 现在
பைடு நூலகம்
马尔可夫过程
马尔可夫过程分类：
1.马尔可夫链 时间离散，状态离散； 2.离散马尔可夫过程 时间连续，状态离散； 3.马尔可夫序列
四、状态分类
3、常返态和滑过态（非常返态）
定义： fij (n) P xn j; xm j, m 1,2,..., n 1| x0 i
自状态i出发，在时刻n首次到达状态j的概率
很显然，
fij (1) P x1 j | x0 i Pij fij () P xn j; 对一切n 1| x0 i
p1 p2 pN 1
《马尔可夫链分析法》课件
特点
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链
n
n
P{Tij l, X n j | X 0 i} P{Tij l | X 0 i}P{X n j | Tij l, X 0 i}
l 1
l 1
n
fij (l)P{X n j | X 0 i, X1 j, X l1 j, X l j} l 1
n
n
fij (l)P{X n j | X l j} fij (l)Pjj (n l)
p
j
jl
n
m
p
j
i
mpii
n
pij
l
pii
n
定理8 若 i j ，则 （1）i与j同为常返或同为非常返； （2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返； （3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。
遍历性与平稳分布
1 遍历性
定义1 设齐次马氏链 {X (n), n 0}的状态空间为E，若对一切 i, j E ，存在 不依赖于i的极限
显然有
fij () P{Tij } 1 fij
（i 不能到达 j 的概率）
0 fij (n) fij 1
fjj 表示从 j 出发迟早返回 j 的概率
定理4： 对任何状态 i, j G, n 1, 有
n
pij n fij lp jj n l i 1
证明：
pij (n) P{X n j | X 0 i} P{Tij n, X n j | X 0 i}
则称马尔可夫链具有遍历性。并 p j称为状态j的稳态概率。
定理9
对于一有限状态的马氏链，如 m 0,对一切i, j I, pij m 0
则 此链具有遍历性。且 p j p1, p2,p3, , pN
是
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第二节 Markov链的状态分类及性质 第三节 极限定理及平稳分布 第四节 Markov链的应用
8/32
第六章
第一节 基本概念
Markov链
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. Markov链的分布 4.齐次Markov链 ５.Markov 链举例
9/32
第一节 基本概念
P{
tn , i1, i2 ,
, in , i S
, X tn in }
, X tn in }
P{
i
i
( X 0 i), X t1 i1 , X t2 i2 ,
P( X 0 i, X t1 i1 , X t2 i2 ,
i
( X 0 i, X t1 i1 , X t2 i2 ,
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
若取m=1,则由C-K方程的矩阵形式:
P( k m) (n) P( k ) P( k ) (n)P(1) (n k )
P( k 1) (n) P(n k 1) P(n k )
Markov 过程
Markov过程
安德雷.安德耶维奇.马尔可夫
(A.A.Markov):
俄数学家，1856~1922
概率和统计领域专家。
当年Markov研究普希金诗歌里元音字母和
辅音字母交替出现的规律时提出了Markov过程的
数学模型
Markov过程80年代兴起，在现代工程、自然
2014-12-15 科学、社会科学中应用广泛。
1．马尔可夫性 定义 设 { X (t ), t T } 是一个随机过程，如果
{ X (t ), t T } 在t0时刻所处的状态为已知，它在 时刻 t t0 所处状态的条件分布与其在 t0 之前
所处的状态无关。
通俗地说，就是在知道过程现在的条件下，其 将来的条件分布不依赖于过去，则称 { X (t ), t T } 具有马尔可夫（Markov)性。
P( X tn in X tn1 in 1 )
(0) t1 ii1 t2 t1 i1i2
, X tn1 in1 )
P( X 0 i) P( X t1 i1 X 0 i) P( X t2 i2 X t1 i1 )
i
qi p (0) p
3.马尔可夫链 定义 参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程 称为马尔可夫链。 注 只讨论马尔可夫链的状态空间为有限或可列无限. 则马尔可夫性可表示为
对n 2, t1 t2
tn T , i1 , i2 ,
, in S ,
, X (tn 1 ) in 1 )
有 P( X (tn ) in X (t1 ) i1 , X (t2 ) i2 ,
P(n) P(n 1)
P(n k 1) P(n k )
(n, k 0)
分量形式
( k 1) pij (n) j1 j2
p
jk
ij1
(n) p j1 j2 (n 1)
p jk j (n k )
(n, k 0, i, j S )
第一节 基本概念
(k) 相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为 P 与P
(k ) k (1) P P , k 0; 定理 (2) q ( k ) q (0) P k , k 0;
(3) { X n , n 0}的有限维分布由其初始分布和一
步转移概率所完全确定
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例
例１(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的 天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设 今天下雨、明天有雨的概率为a， 今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设 有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气. Xn表示时刻n时的天气状态，则
, X tn in )} , X tn in )
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 2）有限维分布
P( X 0 i) P( X t1 i1 X 0 i) P( X t2 i2 X 0 i, X t1 i1 )
i
P( X tn in X 0 i , X t1 i1,
i
P(
P( X 0 i , X n j )
i
P( X 0 i ) P ( X n j X 0 i )
q p (0)
(0) i ( n) ij i
i
n 0, i, j S
第一节 基本概念
4.齐次马尔可夫链 定义 设{X n , n 0} 是一马尔可夫链,如果其一步转移 概率 pij (n) 恒与起始时刻n无关，记为 pij
称 q
( n) j
P( X n j), n 0, j S
为马尔可夫链 {X n , n 0}的绝对分布
(n) (0) q q 称 第j个分量为 j 的(行)向量 为马尔可夫链
( n) ( n) q ( q {X n , n 0}的绝对分布向量. 即 j )
绝对分布、初始分布和n步转移概率有如下关系：
是一随机矩阵.
特别
k＝０时，约定
p
(0) ij
1 i j ij , i, j S , n 0 0 i j
此时 P(0) (n) I为单位矩阵.
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
定理 (C-K方程) （解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）
定理 (C-K方程) （解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）
( k m) (k ) ( m) pij (n) pil (n) plj (n k ), n, m, k 0, i, j S
( k m) (k ) ( m) P ( n ) P ( n ) P (n k ) 或矩阵形式
( k m) (k ) ( m) pij (n) pil (n) plj (n k ), n, m, k 0, i, j S
( k m) (k ) ( m) P ( n ) P ( n ) P (n k ) 或矩阵形式
l
证明
( k m) pij (n) P{X nk m j X n i)
P( X (tn ) in X (tn 1 ) in 1 ), xn R
Markov过程
时间离散状态离散的马尔科夫链 时间离散状态连续的马尔科夫序列 时间连续状态连续的马尔科夫过程 时间连续状态离散的马尔科夫过程
2014-12-15
7
第六章
Markov链
第一节 基本概念
(k ) ( m) pil (n) plj (n k )
l
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
C-K方程的直观意义： 系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于 n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经 过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时 从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最 终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.
在条件 X (tn1 ) xn1下的条件分布函数,即
P( X (tn ) xn X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , , X (tn 1 ) xn 1 ) P( X (tn ) xn X (tn 1 ) xn 1 ), xn R
则称{X (t ), t T }为马尔可夫过程.
( n) q(jn) qi(0) pij (0) i
n 0, i, j S
( n)
或矩阵形式 q
( n)
q P (0)
( 0)
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 3）绝对分布
q(jn) P( X n j)
P(
i
( X 0 i), X n j ) ( X 0 i, X n j )
２. Chapman-kolmogorov方程
定理 马尔可夫链的k 步转移概率由 其一步 转移概率所完全确定.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 1）初始分布
称 qi(0) P( X 0 i), i S 为马尔可夫链的初始分布
(0) q 称 第i个分量为 i 的(行)向量 q ( 0 )为马尔可夫链的
( 0) ( 0) q ( q 初始分布向量. 即 i )
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 2）有限维分布
定理 马尔可夫链{X n , n 0}的有限维分布由其
初始分布和一步转移概率所完全确定. 证明
对n 1, 0 t1 t2
P{X t1 i1, X t2 i2 ,
t t0 过去 t t0 现在 t t0 将来
2. 马尔可夫过程
定义 设 { X (t ), t T } 的状态空间为S,
如果对n 2, t1 t2
tn T , , n 1下
在条件 X (ti ) xi , xi S , i 1, 2,
X (t n ) 的条件分布函数恰好等于
记为 pij (n)
(1) P (1) ( n ) ( pij ( n ))为系统的一步转移概率矩阵
记为 P(n) pij (n)
第一节 基本概念
1. 转移概率 定义 称可数维的矩阵 P ( pij ) 为随机矩阵，如果
8/32
第六章
第一节 基本概念
Markov链
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. Markov链的分布 4.齐次Markov链 ５.Markov 链举例
9/32
第一节 基本概念
P{
tn , i1, i2 ,
, in , i S
, X tn in }
, X tn in }
P{
i
i
( X 0 i), X t1 i1 , X t2 i2 ,
P( X 0 i, X t1 i1 , X t2 i2 ,
i
( X 0 i, X t1 i1 , X t2 i2 ,
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
若取m=1,则由C-K方程的矩阵形式:
P( k m) (n) P( k ) P( k ) (n)P(1) (n k )
P( k 1) (n) P(n k 1) P(n k )
Markov 过程
Markov过程
安德雷.安德耶维奇.马尔可夫
(A.A.Markov):
俄数学家，1856~1922
概率和统计领域专家。
当年Markov研究普希金诗歌里元音字母和
辅音字母交替出现的规律时提出了Markov过程的
数学模型
Markov过程80年代兴起，在现代工程、自然
2014-12-15 科学、社会科学中应用广泛。
1．马尔可夫性 定义 设 { X (t ), t T } 是一个随机过程，如果
{ X (t ), t T } 在t0时刻所处的状态为已知，它在 时刻 t t0 所处状态的条件分布与其在 t0 之前
所处的状态无关。
通俗地说，就是在知道过程现在的条件下，其 将来的条件分布不依赖于过去，则称 { X (t ), t T } 具有马尔可夫（Markov)性。
P( X tn in X tn1 in 1 )
(0) t1 ii1 t2 t1 i1i2
, X tn1 in1 )
P( X 0 i) P( X t1 i1 X 0 i) P( X t2 i2 X t1 i1 )
i
qi p (0) p
3.马尔可夫链 定义 参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程 称为马尔可夫链。 注 只讨论马尔可夫链的状态空间为有限或可列无限. 则马尔可夫性可表示为
对n 2, t1 t2
tn T , i1 , i2 ,
, in S ,
, X (tn 1 ) in 1 )
有 P( X (tn ) in X (t1 ) i1 , X (t2 ) i2 ,
P(n) P(n 1)
P(n k 1) P(n k )
(n, k 0)
分量形式
( k 1) pij (n) j1 j2
p
jk
ij1
(n) p j1 j2 (n 1)
p jk j (n k )
(n, k 0, i, j S )
第一节 基本概念
(k) 相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为 P 与P
(k ) k (1) P P , k 0; 定理 (2) q ( k ) q (0) P k , k 0;
(3) { X n , n 0}的有限维分布由其初始分布和一
步转移概率所完全确定
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例
例１(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的 天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设 今天下雨、明天有雨的概率为a， 今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设 有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气. Xn表示时刻n时的天气状态，则
, X tn in )} , X tn in )
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 2）有限维分布
P( X 0 i) P( X t1 i1 X 0 i) P( X t2 i2 X 0 i, X t1 i1 )
i
P( X tn in X 0 i , X t1 i1,
i
P(
P( X 0 i , X n j )
i
P( X 0 i ) P ( X n j X 0 i )
q p (0)
(0) i ( n) ij i
i
n 0, i, j S
第一节 基本概念
4.齐次马尔可夫链 定义 设{X n , n 0} 是一马尔可夫链,如果其一步转移 概率 pij (n) 恒与起始时刻n无关，记为 pij
称 q
( n) j
P( X n j), n 0, j S
为马尔可夫链 {X n , n 0}的绝对分布
(n) (0) q q 称 第j个分量为 j 的(行)向量 为马尔可夫链
( n) ( n) q ( q {X n , n 0}的绝对分布向量. 即 j )
绝对分布、初始分布和n步转移概率有如下关系：
是一随机矩阵.
特别
k＝０时，约定
p
(0) ij
1 i j ij , i, j S , n 0 0 i j
此时 P(0) (n) I为单位矩阵.
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
定理 (C-K方程) （解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）
定理 (C-K方程) （解决了k步转移概率与一步转移概率间的关系）
( k m) (k ) ( m) pij (n) pil (n) plj (n k ), n, m, k 0, i, j S
( k m) (k ) ( m) P ( n ) P ( n ) P (n k ) 或矩阵形式
( k m) (k ) ( m) pij (n) pil (n) plj (n k ), n, m, k 0, i, j S
( k m) (k ) ( m) P ( n ) P ( n ) P (n k ) 或矩阵形式
l
证明
( k m) pij (n) P{X nk m j X n i)
P( X (tn ) in X (tn 1 ) in 1 ), xn R
Markov过程
时间离散状态离散的马尔科夫链 时间离散状态连续的马尔科夫序列 时间连续状态连续的马尔科夫过程 时间连续状态离散的马尔科夫过程
2014-12-15
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第六章
Markov链
第一节 基本概念
(k ) ( m) pil (n) plj (n k )
l
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
C-K方程的直观意义： 系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于 n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经 过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时 从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最 终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.
在条件 X (tn1 ) xn1下的条件分布函数,即
P( X (tn ) xn X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , , X (tn 1 ) xn 1 ) P( X (tn ) xn X (tn 1 ) xn 1 ), xn R
则称{X (t ), t T }为马尔可夫过程.
( n) q(jn) qi(0) pij (0) i
n 0, i, j S
( n)
或矩阵形式 q
( n)
q P (0)
( 0)
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 3）绝对分布
q(jn) P( X n j)
P(
i
( X 0 i), X n j ) ( X 0 i, X n j )
２. Chapman-kolmogorov方程
定理 马尔可夫链的k 步转移概率由 其一步 转移概率所完全确定.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 1）初始分布
称 qi(0) P( X 0 i), i S 为马尔可夫链的初始分布
(0) q 称 第i个分量为 i 的(行)向量 q ( 0 )为马尔可夫链的
( 0) ( 0) q ( q 初始分布向量. 即 i )
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 { X n , n 0} 的分布 2）有限维分布
定理 马尔可夫链{X n , n 0}的有限维分布由其
初始分布和一步转移概率所完全确定. 证明
对n 1, 0 t1 t2
P{X t1 i1, X t2 i2 ,
t t0 过去 t t0 现在 t t0 将来
2. 马尔可夫过程
定义 设 { X (t ), t T } 的状态空间为S,
如果对n 2, t1 t2
tn T , , n 1下
在条件 X (ti ) xi , xi S , i 1, 2,
X (t n ) 的条件分布函数恰好等于
记为 pij (n)
(1) P (1) ( n ) ( pij ( n ))为系统的一步转移概率矩阵
记为 P(n) pij (n)
第一节 基本概念
1. 转移概率 定义 称可数维的矩阵 P ( pij ) 为随机矩阵，如果