a第11讲第四章马尔可夫链4
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
随机过程第四章马尔可夫链
0,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
即P(n)也为随机矩阵.
当n
1时,
p (1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时,规定pi(j0)
0 , i 1 , i
j j
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn, nT}为马尔可夫链, 则对任意 整数n0, 0l<n和i,jI, n步转移概率 p具i(jn) 有性
Ckx 0
pxqy ，
,
k ( j i)为偶数 k ( j i)为奇数
11
4.1 马尔可夫链与转移概率
例4.4 具有吸收壁和反射壁的随机游动状态空间 {1,2,3,4}, 1为吸收壁, 4为反射壁.
解：状态转移图
状态转移矩阵
1 3
1 0 0 0
1
1
3
1 1
3
1
1
1 1 1
1 3
1 3
2
P 3
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
6
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn, nT}在时刻n的一步转移概率,简 称转移概率,其中i,jI.
P{X 0 i}P{X1 i1 | X 0 i} iI
P{X 2 i2 | X1 i1} P{X n in | X n1 in1}
马尔可夫链课件
PPXX00 ii00，X1PXi1，1L，i1 |XXk01 ii0k1L PXk 马ik |氏Xk性1 ik1 P X k ik |X 0 i0，X1 i1，L ，X k 1 ik 1
P即X马0尔 i可0，夫X链1 {i1，XLn，，Xn k10}i的k1有 限维分布完全由初始
分布PPX{kX0 ik|Xi}k1 和 ik条1件概率 P{Xn j | Xn1 i} 确定.
PX 0 i0，X1 i1，L ，X k 2 ik 2
马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0，L ，X k 2 ik 2
P X k ik |X k 1 ik 1
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布 • 第四节 Markov链的应用
第一节 基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方 程
第一节 基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性)
过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时 刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
则称 {Xn，n 0}为齐次马尔可夫链，称 pij 为从状态 i 转移到状态 j 的一步转移概率.
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是有限集，则 称 {Xn，n 0}为有限状态的马尔科夫链；
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是可列集，则 称 {Xn，n 0}为可列状态的马尔科夫链.
是状态有限的马尔科夫链. 1.求其一步转移概率矩阵； 2.若 0.7， 0.4 ，且今天有雨，求第四天有雨的
概率.
四、n步转移概率、C-K方程
a第11讲第四章马尔可夫链4-3
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由状态转移图易见各状态的周期 d = 3 ， 固定状态 i = 1，
令
( G0 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn ) > 0} = {1,4,6} ( 3 n + 1) G1 = { j : 对某 n ≥ 0有p1, j > 0} = ( G2 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn + 2 ) > 0} =
由比值判别法
n =1
∑
∞( Biblioteka ) p00=m =1
∑ am
∞
收敛，
故状态0是非常返的。
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定理 4.10 任一马氏链的状态空间 I ,可惟一地分解成有限个或 可列个互不相交的子集 D, C1 , C 2 ,L之和，使得
(1) 每一C n 是常返态组成的不可约闭集 (2) C n 中状态同类，或全是正常返，或全是零常返。 它们有相同的周期且 f ik = 1, j , k ∈ C n (3) D 由全体非常返态组成。自 C n 中的状态不能到达
{3,5} {2}
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∴ C = G0 U G1 U G2 = {1,4,6} U { 3,5} U { 2}
定理 4 .12 设{X n , n ≥ 0}是周期为 d 的不可约马氏链，则在 定理 4.11 的结论下有 （1） 如只在时刻 0, d ,2d ,L上考虑{X n }，即得一新马氏链， 其转移阵 P
证
无限制随机游动的所有状态都是互通的。 故只需判断状态0是零常返还是非常返态。
m ⎧C 2 m p m q m (n Q p00 ) = ⎨ 0 ⎩ 其中 q = 1 − p ，
∞ ∞
n = 2m n = 2m − 1, m = 1,2,L,
第四章 马尔可夫链
第四章 马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质： （1）0,,ij p i j I ≥∈； （2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
第4章 马尔可夫链
（2）状态的常返性
首中概率——状态 i 经 n 步首次到达状态 j 的概率：
f ij( n ) P{ X m n j , X m v j , 1 v n 1 X m i}, n 1
f ij( 0 ) 0
系统从状态 i 出发，经有限步迟早会（首次）到达 状态 j 的概率：
i I
p i p ii1 p i n 1i n
马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和 一步转移概率所决定。
马尔可夫链的几个简单例子
[例1] 二进制对称信道模型——是常用 于表征通信系统的错误产生机制的离 散无记忆信道模型。假设某级信道输 入0, 1数字信号后，其输出正确的概 1 率为p，产生错误的概率为q，则该级 信道输入状态和输出状态构成一个两 状态的齐次马尔可夫链。 一步转移概率矩阵： p q P q p 0
目录
4.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链，其状态空间 I = { 0, 1, 2, … }，转移概率是 pij ， i , j I ，初始分布 为{ Pj , j I } 。
8 1 9 2 1 1 6 1 5 2/3 1/3 1 4 1
1 7
( 2 ) P{ X n 2 c X n b}
17 30 1 3 1 2 1 ( 2) 2 8 (1) P P 15 4 5 3 5 50 17 30 1 (2) ( 2 ) P{ X n 2 c X n b} Pbc 6 9 40 3 10 3 20 5 24 1 6 17 90
连续马尔可夫过程（或扩散过程）
4.1 马尔可夫链的概念及转移概率
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由图知 3 吸收的，故{3}是闭集。
{1,4},{1,4,3},{1,2,3,4}都是闭集. 其中{3}及{1,4}是不可约的。 I 含闭子集，故{X n }不是不可约链
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定理 4.10 任一马氏链的状态空间 I ,可惟一地分解成有限个或 可列个互不相交的子集 D, C1 , C 2 ,L之和，使得
= 1,
( f11n )
= 0, n ≠ 3 ∴ µ1 =
n =1
∑
∞
(n) nf 11
=3
解
( ( f113 ) = 1, f11n ) = 0, n ≠ 3 ∴ µ1 =
n =1
( nf 11n ) = 3 ∑
∞
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可见1为正常返状态且周期等于3。 含1的基本常返闭集为
C1 = {k : 1 → k } = {1,3,5}
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由状态转移图易见各状态的周期 d = 3 ， 固定状态 i = 1，
令
( 3 n + 1) G1 = { j : 对某n ≥ 0有p1, j > 0} = {3,5} ( 3 n+ 2 ) G2 = { j : 对某 n ≥ 0有p1, j > 0} = {2}
( G0 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn ) > 0} = {1,4,6}
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§4.3 状态空间的分解
前面给出了马氏链状态分类的一些基本概念 以及如何判别状态分类的定理，但如果对状态空 间中的每个状态都按照这些定理逐一检查分类， 这不仅是很繁琐的甚至是不可能的，因此,如果 能够借助状态之间的转移使得对状态分类不再是 一个一个地进行，而是“群体”地进行，也就是说 如果能从某个状态的分类来确定一类状态的分 类，无疑这将给我们带来很大方便。从某种意义 上看相当于对状态空间进行分解。
(n p ik ) = 0, n ≥ 1
证略
例 4.11 设马氏链{X n }的状态空间 I = {1,2,3,4,5}, 转移矩阵为
⎡1 2 ⎢1 2 ⎢ P=⎢ 0 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 0 0 0 1 1 2 0⎤ 1 2 0 0⎥ ⎥ 1 0 0⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎦ 0
例 4.14 设不可分马氏链的状态空间为C = {1,2,3,4,5,6}， 转移矩阵为 ⎡ 0
0 12 0 12 0 ⎤ ⎢1 3 0 0 1 3 0 1 3⎥ ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 P=⎢ 0 0 1 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 1 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 14 0 34 0 ⎦ ⎣
从而状态3及5也为正常返 且周期为3。 同理可知6为正常返状态。 含6的基本常返闭集为 C 2 = {k : 6 → k } = {2,6} 可见2是遍历状态
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(1 (n 由于 f 44 ) = 1 3 ， f 44 ) = 0, n ≠ 1，
故4非常返， 周期为1，
I 可分解 I = D U C 2 U C 2
(1) 每一C n 是常返态组成的不可约闭集 (2) C n 中状态同类，或全是正常返，或全是零常返。 它们有相同的周期且 f ik = 1, j , k ∈ C n (3) D 由全体非常返态组成。自 C n 中的状态不能到达
D 中的状态。
I = D U C1 U C 2 U L
状态空间分解定理
例 4.13 设 I = {1,2,L ,6}，转移矩阵为
(d )
=
(d ) ( pij ) ，对此新链，每一 Gr 是不可约
（2） 如原马氏链{X n }常返，{X nd }也常返， 。
闭集，且Gr 中的状态是非周期的；
0 ⎡ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 P=⎢ 13 13 ⎢ ⎢ 1 0 ⎢ ⎣ 0 12 1 0 0 0 0 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 2⎦
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0 0 1 0 13 0 0 0 0 0 0 0
试分解此链并指出各状态的常 返性以及周期性。 解
( f113 )
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∴ C = G0 U G1 U G2 = {1,4,6} U { 3,5} U { 2}
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定理 4 .12
设{X n , n ≥ 0}是周期为 d 的不可约马氏链，则在
定理 4.11 的结论下有 （1） 如只在时刻 0, d ,2d ,L上考虑{X n }，即得一新马氏链， 其转移阵 P
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§4.3
定义 4.9
状态空间的分解
C 是状态空间 I 的子集，如果对任意 i ∈ C 及 k ∉ C
都有 pik = 0 ，C 称为（随机）闭集。
如果C 的状态互通的闭集，称C 为不可约的。
如果马氏链{ X n }的状态空间不可约，称{ X n }为不可约的。
引理 4.4
C 是闭集的充要条件为对任意 i ∈ C 及 k ∉ C 都有
= {4} U {1,3,5} U {2,6}
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定理 4.11 周期为 d 的不可约马氏链，其状态空间C 可惟一 地分解为 d 个互不相交的子集之和，即
d −1 r =0
C=
U Gr , G r I G s = ∅ , r ≠ s
且使得自Gr 中任一状态出发， 经一步转移必进入Gr + 1 中 （其中Gd = G0 ）