郴州数学全等三角形专题练习(解析版)

郴州数学全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．

【答案】10

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．

【详解】

解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，

∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，

∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，

∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，

∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，

∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，

过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152

DE BD ==，12

BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=

∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，

∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，

∴11451022

ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．

2．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

3．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．

【答案】10

【解析】

利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.

故答案为10.

4．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

?为等腰三角形，符合条件的C点有∠=?，在x轴或y轴上取点C，使得ABC

36

ABO

__________个．

【解析】

【分析】

观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．

【详解】

解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个；

若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；

线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．

∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．

5．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?，

92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．

【答案】128?

【解析】

【分析】

连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，

ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证?ACE??BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则

∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72

ABC EDC

∠=∠=?=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在?ACE与?BCD中，

∵

CA CB

ACE BCD

CE CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴?ACE??BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在?BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128?．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

6．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

【答案】8

【解析】

【分析】

分别以A 、B 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可（A 、B 、C 共线除外）；此外加上在AB 的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.

【详解】

解：以A 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可，（A 、B 、C 共线除外）；以B 点为圆心，AB 为半径作圆，在⊙B 上的格点为C 点；在AB 的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC 是等腰三角形的格点C 有8个．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．

7．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.

【答案】10.

【解析】

【分析】

延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE

???，而后证明AFG

?、CDF

?是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.

【详解】

解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，

∵点E是线段AB的中点，

∴AE=BE,

∴在BDE

?和AGE

?中，

BE AE

BED AEG

DE EG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

,

∴BDE AGE

???,

∴AG=BD, BDE AGE

∠=∠,

∵AF=BD=8,

∴AG=AF,

∴AFG AGE

∠=∠

∵AFG DFC

∠=∠,

∴BDE DFC

∠=∠,

∴FC=DC,

∴FC=2,

∴AC=AF+FC=8+2=10.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8．如图,在ABC中,90,

ACB ABD

?

∠=是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5

AE=,13

AF=,则DE=______．

【答案】4．

【解析】

【分析】

连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．

【详解】

解：连接BE ，BF ，

∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，

∴△ABD ≌△ACB ，

∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，

∴∠BCF=90°，

∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，

∴BE=BF ，

在Rt △DBE 和Rt △CBF 中

BD BC EB FB =??=?

，

∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），

∴DE=CF ，

设DE=x ，则CF=x ，

∵AE=5，AF=13，

∴AC=AD=5+x ，

∴AF=5+2x ，

∴5+2x=13，

∴x=4，

∴DE=4，

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．

9．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．

34

【解析】

【分析】

如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝

C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为

C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．

【详解】

解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，

则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝

∠COD′＝45°，

∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，

当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，

作C′T⊥D′O于点T，

则C′T＝OT2，

∴D′T＝2，

∴C′D34

∴CP+PM+DM34

34

【点睛】

本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

10．如图：在ABC ?中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=?，则DCE ∠的大小为______.

【答案】036

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.

【详解】

∵∠ACB=1080，

∴∠A+∠B=1800-1080=720,

∵AC=AE,BC=BD,

∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,

∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902

A =-∠ 01(180)2BDC

B ∠=-∠

=01902

B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，

∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22

A B --∠--∠

=11

22

A B ∠+∠

=1

() 2

A B ∠+∠

=360

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

【答案】D

【解析】

【分析】

本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求．

【详解】

由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有3个；

以AP、BP为腰的三角形有2个；

以BP、AB为腰的三角形有2个．

所以，这样的点P共有7个.

故选D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．

12．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边

时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．

【详解】

如图，分两种情况进行讨论：

当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；

∴满足条件的点P 共有8个，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．

13．如图,ABC ?中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )

A ．1.5

B ．3

C ．4.5

D ．9

【答案】C

【解析】

【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．

【详解】

延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．

∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°．

∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ．

∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ．

∵DC =CA ，∴∠CDA =∠CAD ．

∵∠CAD +∠H =90°，∠CDA +∠CDH =90°，∴∠CDH =∠H ，∴CD =CH =AC ．

∵BD =DH ，AC =CH ，∴S △CDH =

12S △ADH 14=S △ABH ． ∵AE =EC ，∴S △ABE 14

=S △ABH ，∴S △CDH =S △ABE ． ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD ．

∵AC =CD =3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12?3×392

=

． 故选C ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

14．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ?是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）

A ．120°

B ．75°

C ．60°

D ．30°

【答案】C

【解析】

【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.

【详解】

∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，

∠AOC=30?，

当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30?，

当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠?--=120?，

当OC=OE 时，∠OEC=12

（180COE ∠?- ）=75?， ∴∠OEC 的度数不能是60°，

故选：C.

【点睛】

此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.

15．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，

30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°

A ．15

B ．18

C ．20

D ．25

【答案】A

【解析】

【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.

【详解】

如图，延长BD 到M 使得DM =DC.

∵∠ADB =75°，

∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.

∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，

∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，

∴∠ADM =∠ADC.

在△ADM 和△ADC 中，

∵

AD AD

ADM ADC

DM DC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADM≌△ADC，

∴AM=AC.

∵AC=AB，

∴AM=AC=AB

，∠ABC=∠ACB.

∵∠ABD=60°，

∴△AMB是等边三角形，

∴∠M=∠DCA=60°.

∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠ODC=30°.

∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，

∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，

∴∠CBD=15°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.

16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）

A．16 B．18 C．20 D．24

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.

【详解】

解：∵DE 是BC 的垂直平分线，

∴DB=DC ，BC=2CE=8

又∵AABC 的周长为24，

∴AB+BC+AC=24

∴AB+AC=24-BC=24-8=16

∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

17．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )

A ．15°≤ a <18°

B ．15°< a ≤18°

C ．18°≤ a <22.5°

D ．18° < a ≤ 22.5°

【答案】C

【解析】

【分析】

由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.

【详解】

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴∠P 1P 2A=∠A=a

由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a

同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，

∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，

∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，

在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a

当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，

∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°

又∵等腰三角形底角只能是锐角，

∴4a ＜90°，解得a ＜22.5

∴1822.5οο≤

故选C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.

18．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】 首先证明△AEC ≌△GEC （SAS ），推出CA =CG ，∠A =∠CGE =45°，推出DE =DG ，故②正确；再证明△EDC ≌△GDB ，推出∠CED =∠BGD ，ED =GD ，由三角形外角的性质得出∠HDG =∠HDE ，进而得出∠GDH =∠EDH =45°，即可判断①正确；

通过证明△EDC 和△EMD 是等腰直角三角形，得到ED 2MD ，再通过证明

△EFC ≌△EDC ，得到EF =ED ，从而可判断③错误；由CG =CD +DG ，CD =AD ，ED =GD ，变形即可判断④正确．

【详解】

∵AC =BC ，∠ACB =90°，AD =DB ，

∴CD ⊥AB ，CD =AD =DB ，∠A =∠CBD =45°．

∵EH 平分∠AEG ，

∴∠AEH =∠GEH ．

∵∠AEH +∠AEC =180°，∠GEH +∠CEG =180°，

∴∠AEC =∠CEG ．

∵AE =GE ，EC =EC ，

∴△AEC ≌△GEC （SAS ），

∴CA =CG ，∠A =∠CGE =45°．

∵∠EDG =90°，

∴∠DEG =∠DGE =45°，

∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

故②正确；

∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，

∴△EDC≌△GDB（SAS），

∴∠CED=∠BGD，ED=GD．

∵HD平分∠CHG，

∴∠GHD=∠EHD．

∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，

∴∠HDG=∠HDE．

∵∠EDG=∠ADC=90°，

∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；

∵∠EDC=90°，ED=GD，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠DEG=45°．

∵∠GDH=45°，

∴∠EDH=45°，

∴△EMD是等腰直角三角形，

∴ED MD．

∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

∴∠AFE=∠CFG=90°．

∵∠EDC=90°，

∴∠EFC=∠EDC=90°．

∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH．

∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，

∴∠FEC=∠DEC．

∵EC=EC，

∴△EFC≌△EDC，

∴EF=ED，

∴EF MD．

故③错误；

∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，

∴CG=2DE+AE，

故④正确．

故选B．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

19．如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）

A ．52

B ．125

C ．4

D ．53

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =

12AC?BC=12

AB?CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】

根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECF=45°，

又∵CE ⊥AB ，

∴△ECF 是等腰直角三角形，

∴EF=CE ， 又∵S △ABC =

12AC?BC=12

AB?CE ， ∴AC?BC=AB?CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,

∴125CE =

， ∴EF 125

=. 所以答案为B 选项.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

20．如图，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，下面四个结

论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第

4

3

秒或第8

3

秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．

②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；

④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．

【详解】

①在等边△ABC中，AB=BC．

∵点P、Q的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

∴BP=CQ．

只有当CM=CQ时，BP=CM．

故①错误；

②∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵

AB CA

ABQ CAP

AP BQ

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）．

故②正确；

③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，