八年级数学下册 18.1 勾股定理 (第1课时)勾股定理课件 人教新课标版
则x2+52=132， 即x2=132-52＝144. 因为x>0，所以 x=12。
因为x>0， 所以 x=10。
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
3 2 . 5 2 . 75
CB 1 . 656
D
在Rt△DCE中,
CE 3
2 2
DE
2
2
CD
2
2
5
C
B E
CE
2 . 236
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移0.58m．
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距 离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多少 千米？
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b;
3 5 4
(3)已知: a =
,b= , 求 c;
5
(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
相传在2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系，我们一起来观察 图中的地面，看看能发现什么。
毕达哥拉斯 (公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
数学家毕达哥拉斯的发现：
A B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
（1）观察图1—1：
C A
正方形A中含有 9 个小 方格，即A的面积是 9 个单位面积； 正方形B中含有 9 个小 方格，即B的面积是 9 个单位面积；
B
图1—1
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
18.1勾股定理（第1课时）
活动 1
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2
S6
S1
S5
S7
=S7
思考
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长 为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和
解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49
已知一条边以及另 两条边之间的关系， 就可以求另两条边的 长度．
课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。 2.已知在Rt△ABC中∠B=90,a、b、c是△ABC的三边则 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b） 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 __________。 4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ A、25 B、14 C、7 D、7或25 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 （ ） A、56 B、48 C、40 D、32
图1-1
图1-2
在中国古代大约是战国时期西汉的数 学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的 一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三， 股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两 条直角边分别为3（短边）和4（长边）时， 径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这 个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为 “勾股定理”或“商高定理”
A的面积+ B的面积= C的面积
正方形周边上的 格点数a=12
正方形内部的格 点数b=13
所以，正方形C的 面积为：
1 2 12 13 1 18
1 2 a b 1
A
• • • ••• •• •
B
图1-1
• •• •C • • •••• ••• •• •
利用皮克公式 S
返回
直角三角形两直边的平方和等于斜边的平方
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
大于 因为AC______木板的宽, 能 所以木板____ 从门框内通过. A B
1m
4.一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上， 这时AC的距离为2.5m．如果梯子顶端A沿墙下 滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
A
C
B
解：在Rt△ABC中,
CB AB AC
2 2 2
A
2 2
C
B
20秒后
4000米
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ00米
A
……
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b平 方和， 等于斜边c的平方。
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用 :
已知任意两条边， 就可以求第三边． 勾股定理 直角三角形 （a2+b2=c2) 中的应用
勾
弦
股
勾股定理
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
40
A
90
B
C 40
160
算一算
1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A
C
B
2.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了。你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
）
今日作业
课本P69习题18.1第1.2题。
b b
c
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么
2+ a
结论变形
c2=a2 + b2
2= b
2 c
c
b
a
学以致用 y=0
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：
2５ A
8
15 49
B
y=0
已知S
1
学海无涯
=1,S 2 =3, S 3 =2, S 4 =4,求 S 5 、 S 6 、 S 7 的值
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图2
直角三 角形三 边关系
合作学习
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米, (2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。 （3）你能发现直角三角形三边长度之间存 在什么关系吗？
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
3.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连接AC,在Rt△ABC中,
AC
2
AB
2
BC
2
1
2
2
2
5
D
C
2m
因此,AC=
5 ≈2.236
S正方形C
4 1 2 3 3 18
C A B
图1－1
分割成若干个直角 边为整数的三角形
返回
S正方形C
1 2 6
2
C A B
图1-1
18
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
（2）观察图1—2：
C A B 图1—2
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积； 正方形B中含有 4 个小 方格，即B的面积是 4 个单位面积；
正方形C中含有 8 个小 方格，即C的面积是 8 个单位面积；
因为x>0， 所以 x=10。
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
3 2 . 5 2 . 75
CB 1 . 656
D
在Rt△DCE中,
CE 3
2 2
DE
2
2
CD
2
2
5
C
B E
CE
2 . 236
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移0.58m．
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距 离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行多少 千米？
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b;
3 5 4
(3)已知: a =
,b= , 求 c;
5
(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
相传在2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系，我们一起来观察 图中的地面，看看能发现什么。
毕达哥拉斯 (公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
数学家毕达哥拉斯的发现：
A B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
（1）观察图1—1：
C A
正方形A中含有 9 个小 方格，即A的面积是 9 个单位面积； 正方形B中含有 9 个小 方格，即B的面积是 9 个单位面积；
B
图1—1
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
18.1勾股定理（第1课时）
活动 1
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2
S6
S1
S5
S7
=S7
思考
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长 为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和
解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49
已知一条边以及另 两条边之间的关系， 就可以求另两条边的 长度．
课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。 2.已知在Rt△ABC中∠B=90,a、b、c是△ABC的三边则 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b） 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 __________。 4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ A、25 B、14 C、7 D、7或25 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 （ ） A、56 B、48 C、40 D、32
图1-1
图1-2
在中国古代大约是战国时期西汉的数 学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的 一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三， 股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两 条直角边分别为3（短边）和4（长边）时， 径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这 个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为 “勾股定理”或“商高定理”
A的面积+ B的面积= C的面积
正方形周边上的 格点数a=12
正方形内部的格 点数b=13
所以，正方形C的 面积为：
1 2 12 13 1 18
1 2 a b 1
A
• • • ••• •• •
B
图1-1
• •• •C • • •••• ••• •• •
利用皮克公式 S
返回
直角三角形两直边的平方和等于斜边的平方
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
大于 因为AC______木板的宽, 能 所以木板____ 从门框内通过. A B
1m
4.一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上， 这时AC的距离为2.5m．如果梯子顶端A沿墙下 滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
A
C
B
解：在Rt△ABC中,
CB AB AC
2 2 2
A
2 2
C
B
20秒后
4000米
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ00米
A
……
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b平 方和， 等于斜边c的平方。
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用 :
已知任意两条边， 就可以求第三边． 勾股定理 直角三角形 （a2+b2=c2) 中的应用
勾
弦
股
勾股定理
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
40
A
90
B
C 40
160
算一算
1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A
C
B
2.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了。你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
）
今日作业
课本P69习题18.1第1.2题。
b b
c
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么
2+ a
结论变形
c2=a2 + b2
2= b
2 c
c
b
a
学以致用 y=0
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：
2５ A
8
15 49
B
y=0
已知S
1
学海无涯
=1,S 2 =3, S 3 =2, S 4 =4,求 S 5 、 S 6 、 S 7 的值
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图2
直角三 角形三 边关系
合作学习
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米, (2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。 （3）你能发现直角三角形三边长度之间存 在什么关系吗？
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
3.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连接AC,在Rt△ABC中,
AC
2
AB
2
BC
2
1
2
2
2
5
D
C
2m
因此,AC=
5 ≈2.236
S正方形C
4 1 2 3 3 18
C A B
图1－1
分割成若干个直角 边为整数的三角形
返回
S正方形C
1 2 6
2
C A B
图1-1
18
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
（2）观察图1—2：
C A B 图1—2
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积； 正方形B中含有 4 个小 方格，即B的面积是 4 个单位面积；
正方形C中含有 8 个小 方格，即C的面积是 8 个单位面积；
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人教版八年级数学下册《勾股定理1》优质课件ppt1
17.1 勾股定理（1）
课件说明
• 本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了 等腰直角三角形三边之间的数量关系，再通过观察 网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面 积关系，发现网格中的一般直角三角形也具有这种 三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两 直角边的平方和等于斜边平方，介绍了赵爽的证明 方法．
问题1 你见过这个图案吗？入课题
问题2 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
B
A
C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？
a
初步应用定理
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
初步应用定理
练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
B
A
C
D
E
初步应用定理
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
课件说明
• 学习目标： 1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理 的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究 勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪 感； 2．能用勾股定理解决一些简单问题.
• 学习重点： 探索并证明勾股定理．
创设情境 引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
课件说明
• 本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了 等腰直角三角形三边之间的数量关系，再通过观察 网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面 积关系，发现网格中的一般直角三角形也具有这种 三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两 直角边的平方和等于斜边平方，介绍了赵爽的证明 方法．
问题1 你见过这个图案吗？入课题
问题2 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
B
A
C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？
a
初步应用定理
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
初步应用定理
练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
B
A
C
D
E
初步应用定理
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
课件说明
• 学习目标： 1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理 的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究 勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪 感； 2．能用勾股定理解决一些简单问题.
• 学习重点： 探索并证明勾股定理．
创设情境 引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
18.1勾股定理(第1课时)课件
2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
数学：18.1勾股定理说课课件(人教新课标八年级下)
教学方法、教学手段的选择
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重 要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其 然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对 八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选 择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般 的提出问题,引导学生自主探索，合作交流， 这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代 精神。基本的教学程序是“提出问题-实验操 作 -归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业” 六个方面。
学法指导
新课标明确提出要培养“可持续发展的
学生”，因此教师要有组织、有目的、 有针对性的引导学生并参入到学习活动 中，鼓励学生采用自主探索，合作交流 的研讨式学习方式，培养学生“动手”、 “动脑”、“动口”的习惯与能力，使 学生真正成为学习的主人。
教学程序设计
教学流程图
创 设 情 境 探 索 新 知 实 验 操 作 获 取 新 知 归 纳 验 证 完 善 新 知 问 题 解 决 应 用 新 知 课 堂 小 结 巩 固 新 知
2、再问：
当边长不为整数的直角三角形是否也存在这一结论 呢？投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有 小数的直角三角形，让学生计算。
3.6
3.9
1.5
归纳验证
对于定理的证明，是本堂课的难点，所以我采取 四人小组进行分组讨论，让学生尝试解决。学生讨论 时，我进行巡回指导。如果有些学生感到困难，可以 进行适当点拨, 在这一环节中，学生充分讨论，各抒己 见，充分暴露其思维过程。通过学生的互相讨论，激 发学生的思维活动，可以发现一些解题的方法。 学生代表上台展示拼图结果,对学生的不同解法用 实物投影仪展示出来，选一种方法用电脑显示详细解 题过程.
10分钟
5、课堂小结
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
(课件1)18.1勾股定理
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看 一 看
发们 映 友 现， 直 家 什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？ 也 角 ， 25 来 形 发 00 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋
（1）观察图2-1
C A B 图2-1 A B
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 7 25
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( A ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
C A B 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
数学八年级下人教版18.1勾股定理课件人教版八年级下
b
米；
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一 共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘 米）A G
B
E
C
F
D
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边c平方
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长
2、已知： Rt∆ABC中c ＝10，a＝6，求b
3、已知： 如图c ＝13，a
c
＝5，
a
求阴影总分面积
▪ 一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的 薄木板能否从门框内通过
门框能横着或竖着通过 吗
∵ 木板的宽2.2米大于1米
∴横着不能从门框通过
2.2米
∵ 木板的宽2.2米大于2米 ∴竖着也不能从门框通过
勾股定理的内容是什么
勾股定理：直角三角形两条直角边 a,b的平方和，等于斜边c的平方
a2+b2=c2
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝ 3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC A
＝17，BC＝16，则高 AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
B DC
学以致用
1、已知：Rt∆ABC中a＝3， b＝4， 求c
好奇是人你能用三角形的边长 表示正方形的面积吗?
2.你能发现直角三角形三
如果直角三角 形两直角边分 别为a, b,斜边 为c,那么
边长度之间存在什么关系 a2+b2=c2
吗? 3.分别以5cm,12cm为直
角边作出一个直角三角形, 并测量斜边的长度,上面 a
c
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
利用多媒体展示分割、拼接的过程.让学生体会图形之间的联系。
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
最新人教版初二数学下册勾股定理ppt课件ppt课件
二、教法与学法分析
• （一）学情分析
• 在心理特征上：八年级学生独立思考和探索的愿望有 所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点。在解 题时学生急于追求结果，常常丢写或错写证明的条件， 应注意让学生感受几何推理的严谨性，所以在本节课 中设置了一些针对性的练习题，保证学生对基础知识 和方法的掌握。
• 在知识结构上：学生已经学习了一般三角形和直角三 角形的相关概念和性质，并且对于解证明题已经具有 了一定的方法和技巧。
三、教学过程
温
取
故
其
反
推
精
思
陈
华
任
追
出
古
务
溯
新
为
后
历
借
今
延
情
史
古
用
境 导 入
解
鼎
密
新
真
源
相
于
生
活
课前准备
• 每个学生准备四个全等的直角三角形 • 背过1—20个数的平方 • 教师准备多媒体课件和几何多功能展示板
勾股定理（1）
• 你知道吗？
情 • 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈 境 妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机。 导 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 入 85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货 源 员搞错了。你同意他的看法吗? 于 生 活
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个成边长为6的 正方形面积的一半
1 62 2
1 8（单位面积）
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？