历年高考数学真题精选26 数列的综合

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题26数列的综合（学生版）

1．（2016?新课标Ⅱ）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．

2．（2013?山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T 且1

(2

n n n

a T λλ++=为常数）．令*2()n n c

b n N =∈求数列{}n

c 的前n 项和n R ．

3．（2011?辽宁）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1

{

}2n

n a -的前n 项和n S ．4．（2019?天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +?<

i i i a c n N =∈∑．

5．（2019?新课标Ⅱ）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．

6．（2018?全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S

，1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ．（1）求n S ；（2）求

12231

111

n n S S S S S S +++?+

+++．7．（2018?北京）设{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12n a a a e e e ++?+．

8．（2017?全国）设数列{}n b 的各项都为正数，且11

n

n n b b b +=+．（1）证明数列1n b ??

????

为等差数列；

（2）设11b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n S ．

9．（2017?新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知22S =，36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．

10．（2017?新课标Ⅲ）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++?+-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{

}21

n

a n +的前n 项和．11．（2016?新课标Ⅰ）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n

b 满足11b =，213

b =，11n n n n a b b nb +++=．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．

12．（2016?新课标Ⅱ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =．

（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

13．（2015?福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++?+的值．

14．（2015?山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．

15．（2015?新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2

243n

n n a a S +=+()I 求{}n a 的通项公式：

（Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和．16．（2015?四川）设数列{}(1n a n =，2，3，)?的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<

成立的n 的最小值．17．（2015?天津）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）设2221

log n

n n a b a -=

，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和．18．（2015?陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，?，n x 的各项和，其中0x >，n N ∈，

2n ．

（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(2

，1)内有且仅有一个零点

（记为)n x ，且11122n n n x x +=+；

（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 和()n g x 的大小，并加以证明．

19．（2015?山东）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列1

1

{}n n a a + 的前n 项和为

21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(1)2n a n n b a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

20．（2014?大纲版）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（2014?浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S = ．（Ⅰ）求d 及n S ；

（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++?+=．

22．（2014?新课标Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{

}2n

n

a 的前n 项和．23．（2014?新课标Ⅱ）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1

{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：121113

2

n a a a ++?+<．

24．（2014?安徽）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈．（Ⅰ）证明：数列{

}n

a n

是等差数列；

（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题26数列的综合（教师版）

1．（2016?新课标Ⅱ）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a += ，576a a +=．∴1

1254

2106a d a d +=??+=?，解得：11

25a d =??

?=??，

2355

n a n ∴=

+；（Ⅱ）[]n n b a = ，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．

故数列{}n b 的前10项和103122332424S =?+?+?+?=．

2．（2013?山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T 且1(2n n n

a T λλ++=为常数）．令*

2()n n

c b n N =∈求数列{}n c 的前n 项和n R ．

解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由221n n a a =+，取1n =，得2121a a =+，即110a d -+=①再由424S S =，得1114344()2

d

a a a d ?+

=++，即12d a =②联立①、②得11a =，2d =．

所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-；（2）把21n a n =-代入12n n n

a T λ++=，得22n n n T λ+=，则22n

n n

T λ=-．所以111b T λ==-，

当2n 时，111

22(1)

2()()222n n n n n n n n n b T T λλ

-----=-=---=．所以1

22

n n n b --=

，2211221

24n n n n n n c b ----===．12121

12

10444n n n n R c c c --=++?+=+

++?+

③23112

14444

n n n R -=++?+④③-④得：12111

(1)

3111114

4144444414n n n n n n n R -----=++?+-=--所以431

(1)94

n n n R +=-；

所以数列{}n c 的前n 项和431

(1)94

n n n R +=-．

3．（2011?辽宁）已知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1

{

}2n

n a -的前n 项和n S ．解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110

21210a d a d +=??+=-?，

解得：11

1a d =??=-?

，

故数列{}n a 的通项公式为2n a n =-；

()II 设数列1

{

}2

n n a -的前n 项和为n S ，即2

1122n n n a a S a -=++?+①，故11S =，122242n n

n

S a

a a =++?+②，当1n >时，①-②得：

121

112222n n n n n n S a a a a a a ----=++?+-111121(2422n n

n --=-++?+-1121(1)222n n n n n

--=--

-=，所以1

2n n n S -=

，

综上，数列1{

}2n n a -的前n 项和1

2n

n n

S -=．4．（2019?天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +?<

i i i a c n N =∈∑．

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意有：

26626124q d q d =+??=+?，解得3

2d q =??

=?，4(1)331n a n n ∴=+-?=+，

16232n n n b -=?=?．

（Ⅱ）()i 数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +?<

∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：

22(1)941n n n a c -=?-．

1

2(21)

(243)(941)

2n n n

n

i i =-=?+?+?-∑21

1

4(14)(32

52)914

n n n n

---=?+?+?--2112725212n n n --=?+?--．*()n N ∈．

5．（2019?新课标Ⅱ）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）设等比数列的公比为q ，

由12a =，32216a a =+，得22416q q =+，即2280q q --=，解得2q =-（舍)或4q =．∴11211242n n n n a a q ---==?=；

（2）2122log 221n n n b a log n -===-，11b = ，12(1)1212n n b b n n +-=+--+=，

∴数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，

则数列{}n b 的前n 项和2(1)2

12

n n n T n n -?=?+

=．6．（2018?全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S

，1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ．（1）求n S ；（2）求

12231

111

n n S S S S S S +++?+

+++．解：（1

）1a =0n a >，11()2n n n a S S +++= ，可得11()()2n n n n S S S S ++-+=，

可得22

12n n S S +-=，

即数列2

{}n

S 为首项为2，公差为2的等差数列，可得2

22(1)2n

S n n =+-=，由0n a >

，可得n S =（2

）

11n n S S +=

+

22=

=，即有12231

111

n n S S S S S S +++?+

++

+122

=+-?+

1)=

．7．（2018?北京）设{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12n a a a e e e ++?+．

解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，且12a ln =，2352a a ln +=．可得：12352a d ln +=，可得2d ln =，{}n a 的通项公式；1(1)2n a a n d nln =+-=，

（Ⅱ）22n

n a ln n e e ==，

∴1

2

1

2

3

12(12)

22222212

n

n a a a n

n e e e +-++?+=+++?+=

=--．8．（2017?全国）设数列{}n b 的各项都为正数，且11

n n n b

b b +=+．

（1）证明数列1n b ??

????

为等差数列；

（2）设11b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n S ．解：（1）证明：数列{}n b 的各项都为正数，且11

n

n n b b b +=+，两边取倒数得

1111

1n n n n

b b b b ++==+，

故数列1n b ??????

为等差数列，其公差为1，首项为11

b ；

（2）由（1）得，111b =，1

11

(1)n n n b b =+-=，故1

n b n =

，所以1111(1)1

n n b b n n n n +==-++，因此11111122311

n n

S n n n =-

+-+?+-=

++．9．（2017?新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知22S =，36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．解：（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则332628a S S =-=--=-，则31228a a q q -==，32

8

a a q q

-==，由122a a +=，

2882q q

--+=，整理得：2

440q q ++=，解得：2q =-，

则12a =-，1(2)(2)(2)n n n a -=--=-，{}n a ∴的通项公式(2)n n a =-；

（2）由（1）可知：11(1)2[1(2)]1

[2(2)]11(2)3

n n n n a q S q +----=

==-+----，则211[2(2)]3n n S ++=-+-，321

[2(2)]3n n S ++=-+-，

由231211

[2(2)][2(2)]33n n n n S S +++++=-+--+-，

1211

[4(2)(2)(2)(2)]3n n ++=-+-?-+-?-，

1111

[42(2)]2[(2(2))]33n n ++=-+-=?-+-，

2n S =，

即122n n n S S S +++=，

1n S +∴，n S ，2n S +成等差数列．

10．（2017?新课标Ⅲ）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++?+-=．

（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{

}21

n

a n +的前n 项和．解：（1）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++?+-=．

2n 时，1213(23)2(1)n a a n a n -++?+-=-．

(21)2n n a ∴-=．2

21

n a n ∴=

-．当1n =时，12a =，上式也成立．

2

21n a n ∴=-．（2）211

21(21)(21)2121n a n n n n n ==-

+-+-+．∴数列{

}21

n a n +的前n 项和1111112(1)()(

133521212121n

n n n n =-+-+?+-=-=-+++．11．（2016?新课标Ⅰ）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，21

3

b =，11n n n n a b b nb +++=．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++= ．当1n =时，1221a b b b +=．11b = ，213b =，

12a ∴=，

又{}n a 是公差为3的等差数列，31n a n ∴=-，

（Ⅱ）由()I 知11(31)n n n n b b nb ++-+=，即13n n b b +=，∴数列{}n b 是以1为首项，以1

3

为公比的等比数列，

{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313

n

n n n S ---==-=-- ．12．（2016?新课标Ⅱ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =．可得44a =，则公差1d =．n a n =，

[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==，11[11]1b lg ==，101[101]2b lg ==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===?==，101112991b b b b ===?==．1001011021039992b b b b b ====?==，10,003b =．

数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893?+?+?+=．13．（2015?福建）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++?+的值．解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=??+++=?，

解得13

1a d =??=?

，所以3(1)2n a n n =+-=+；

（Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，

所以21012310(21)(22)(210)

b b b b +++?+=++++?++210(222)(1210)=++?++++?+102(12)(110)102101122

-+?=+=-．

14．（2015?山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =，当1n >时，11233n n S --=+，

此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=?，即13n n a -=，所以13,13, 1.

n n n a n -=?=?>?．

（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以11

3

b =，

当1n >时，133log 3n n b -= 11(1)3n n n --=-?，所以1113

T b ==

；当1n >时，121121

(1323(1)3)3

n n n T b b b n ---=++?+=

+?+?+?+-?，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+?+?+?+?+-?，两式相减得：

10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n n

n n

n T n n --------+=++++?+--?=+--?=--?，

所以1363

1243n n

n T +=-?，经检验，1n =时也适合，

综上可得1363

1243n n

n T +=

-

?．15．（2015?新课标Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2

243n

n n a a S +=+()I 求{}n a 的通项公式：

（Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和．

解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得22

1112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，

0n a > ，12n n a a +∴-=， 当1n =时，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =，

则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列，{}n a ∴的通项公式32(1)21:

n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+ ，111111

()(21)(23)22123

n n n b a a n n n n +∴=

==-

++++，∴数列{}n b 的前n 项和1111111111())23557212323233(23)

n n

T n n n n =

-+-+?+-

=-=++++．16．（2015?四川）设数列{}(1n a n =，2，3，)?的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<

成立的n 的最小值．解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=-(2)n ，

即12(2)n n a a n -= ，

从而212a a =，32124a a a ==，又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．

∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

112

n n a =，∴211[1()]

11112211222212

n n n n

T -=++?+==--．由1|1|1000n T -<

，得11

|11|21000

n --<，即21000n >．9102512100010242=<<= ，

10n ∴ ．

于是，使1

|1|1000

n T -<

成立的n 的最小值为10．17．（2015?天津）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）设2221

log n

n n a b a -=

，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）2(n n a qa q += 为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，3a q ∴=，25a q =，42a q =，

又23a a + ，34a a +，45a a +成等差数列，

22323q q q ∴?=++，

即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，

1

2

22,2,n n n

n a n -??∴=???

为奇数

为偶数；（2）由（1）知2221121log 222

n n n n n n a log n b a ---===，*n N ∈，

记数列{}n b 的前n 项和为n T ，

则232111111

1234(1)22222

n n n T n n --=++++?+-+ ，

233211111

222345(1)22222

n n n T n n --∴=+++++?+-+ ，

两式相减，得232111111

322222

n n n T n --=+

+++?+- 21

11

[1()]

12231212n n n ---=+-- 2

1

113122n n n --=+--

1

2

42n n -+=-

．18．（2015?陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，?，n x 的各项和，其中0x >，n N ∈，

2n ．

（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(2

，1)内有且仅有一个零点

（记为)n x ，且11122n n n x x +=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 和()n g x 的大小，并加以证明．

证明：（Ⅰ）由2()()212n n n F x f x x x x =-=+++?+-，则n F （1）10n =->，

1

21

1()111112()1()()22012222212n n n n F +-=+++?+-=-=--．

()n F x ∴在1

(2

，1)内至少存在一个零点，

又1()120n n F x x nx -'=++?+>，()n F x ∴在1

(2，1)内单调递增，

()n F x ∴在1

(2，1)内有且仅有一个零点n x ，

n x 是()n F x 的一个零点，()0n n F x ∴=，即11201n n n

x x +--=-，故11122n n n x x +=+；

（Ⅱ）由题设，(1)(1)

()2

n n n x g x ++=，

设2

(1)(1)

()()()12

n n

n n n x h x f x g x x x x ++=-=+++?+-，0x >．

当1x =时，()()n n f x g x =．当1x ≠时，11

(1)()122

n n n n x h x x nx --+'=++?+-．

若01x <<，1111

1

1

(1)(1)(1)()20222

n n n n n n n n x n n x n n x h x x x

nx

------+++'>++?+-=-=．

若1x >，111

1

1

1

(1)(1)(1)()20222

n n n n n n n n x n n x n n x h x x

x nx

------+++'<++?+-=-=．

()h x ∴在(0,1)内递增，在(1,)+∞内递减，()h x h ∴<（1）0=，即()()n n f x g x <．

综上，当1x =时，()()n n f x g x =；当0x >且1x ≠时，()()n n f x g x <．

19．（2015?山东）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列1

1

{}n n a a + 的前n 项和为

21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(1)2n a n n b a =+ ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

解：方法一：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >，1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令1

1

n n n c a a +=

，

则11111111

[][(1)]()(1)n c a n d a nd d a n d a nd

=

=-+-++-+，

1211111111111111[]2(1)n n c c c c d a a d a d a d a n d a nd

-∴++?++=-+-?+-++++-+2

111111111[]()n n

d a a nd a a nd a a dn

=

-==+++，又 数列11{}n n a a + 的前n 项和为

21n n +，∴211

12a a d ?=?

?=??，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；

方法二：设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >，则由数列1

1

{

}n n a a + 的前n 项和为

21n n +，

得1212231131125a a a a a a ?=??

??+=

??，∴1111()3()(2)15a a d a d a d +=??++=?，∴112a d =??=?，

12(1)21n a n n ∴=+-=-；

（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+= ，

121214244n n n T b b b n ∴=++?+=++?+ ，23141424(1)44n n n T n n +∴=++?+-+ ，

两式相减，得1211134

34444433

n n n n n T n ++--=++?+-=

- ，1(31)44

9

n n n T +-+∴= ．

20．（2014?大纲版）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S ，得40a ，50a ，又113a = ，∴13301340d d +??

+? ，解得1313

34d -- ，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为174n a n =-；

（2）174n a n =- ，111111

()(174)(134)4417413

n n n b a a n n n n +∴===-

----，于是12n n

T b b b =++??+1111111[(((413995417413n n =-+-+??+-------111()413413

n =

---13(134)n

n =

-．21．（2014?浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S = ．（Ⅰ）求d 及n S ；

（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++?+=．解：（Ⅰ）由11a =，2336S S = 得，12123()()36a a a a a +++=，

即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=，解得2d =或5-，又公差0d >，则2d =，所以2*1(1)

()2

n n n S na d n n N -=+

=∈ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-，由1265m m m m k a a a a ++++++?+=得，(1)()

652

m m k k a a +++=，

即(1)(21)65k m k ++-=，

又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=?，或(1)(21)165k m k ++-=?，下面分类求解：

当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；

当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去；当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；

当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去；综上得，4k =，5m =．

22．（2014?新课标Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{

}2n

n

a 的前n 项和．解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列，故22a =，43a =，可得21d =，12

d =，故11

2(2)122

n a n n =+-?=+，（2）设数列{

}2n

n

a 的前n 项和为n S ，

3

112123122222

n n n n n a a a a a S --=

+++?++，①31122

341

1

222222n n

n n n a a a a a S -+=+++?++，②①-②得1123411

311

(1)

111111242()1222222222212

n n n n n n n a a a S d -++-=++++?+-=+?--，解得111311

24(1222222

n n n n n n S -++++=

+--=-．23．（2014?新课标Ⅱ）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1

{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：121113

2n a a a ++?+<．

证明（Ⅰ）

1111

313()2223111222

n n n n n n a a a a a a ++

+++===+++

， 113

022

a +

=≠，∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列；

11333222

n

n n a -∴+=?=，即312n n a -=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知12

31

n n a =-，

当2n 时，13133n n n -->- ，∴11122131333

n n n n n a --=<=--，∴当1n =时，

113

12

a =<成立，当2n 时，21121

1()11111131331(1133323213n

n n

n a a a --++?+<+++?+==-<-．∴对n N +∈时，

1211132

n a a a ++?+<．24．（2014?安徽）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈．（Ⅰ）证明：数列{

}n

a n

是等差数列；

（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++ ，