2018-2019学年江苏省常州市九年级上期末数学试卷(含答案)
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2018-2019 学年江苏省常州市九年级（上）期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）
1．（2 分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如
下：
尺码
39 40 41 42 43
平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12
23．（8 分）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，矩形 DEFG 的顶点 D、G 分别在 AC、 BC 上，边 EF 在 AB 上． （1）求证：△AED∽△DCG； （2）若矩形 DEFG 的面积为 4，求 AE 的长．
24．（8 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 E 在⊙O，C 为 的中点，过点 C 作直线 CD⊥AE 于 D，连接 AC、BC． （1）试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AD=2，AC= ，求⊙O 的半径．
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25．（10 分）如图，平面直角坐标系中有 4 个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D （3，3）． （1）在正方形网格中画出△ABC 的外接圆⊙M，圆心 M 的坐标是 ； （2）若 EF 是⊙M 的一条长为 4 的弦，点 G 为弦 EF 的中点，求 DG 的最大值； （3）点 P 在直线 MB 上，若⊙M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间距离小于 1，直接写出点 P 横坐标的取值范围．
16．（2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别是（0，2）、（4，0），点 P 是直 线 y=2x+2 上的一动点，当以 P 为圆心，PO 为半径的圆与△AOB 的一条边所在直线相切时， 点 P 的坐标为 ．
三、解答题（共 9 小题，满分 68 分） 17．（8 分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2； （2）计算： sin45°+3cos60°﹣4tan45°． 18．（8 分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各 10 名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班 成绩如下： 甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12 乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13 （1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩； （2）哪个班的成绩比较整齐？ 19．（8 分）校园歌手大赛中甲乙丙 3 名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺 序． （1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率． 20．（6 分）如图，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上△ABC 和△DEF 相似吗？为什么？
=10，
∴圆锥的侧面积为： ×12π×10=60π．
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故选：C． 6．（2 分）已知关于 x 的方程 x2+x﹣a=0 的一个根为 2，则另一个根是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 2+t=﹣1，解得 t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选：A． 7．（2 分）半径为 r 的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A．2r B． C． D． 8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下 的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分） 9．（2 分）tan60°= ．
10．（2 分）已知 ，则 xy= ． 11．（2 分）一组数据 6，2，﹣1，5 的极差为 ． 12．（2 分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率 是 ．
14．（2 分）某超市今年 l 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 2.88 万元，从 1 月份到 3 月份，该超市销售额平均每 月的增长率是 20% ． 【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x）万元，三
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月份销售额为 2（1+x）2 万元， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该超市销售额平均每月的增长率是 20%． 故答案为：20%． 15．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为 D．给出下列四个结论：① sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有 ①②③④ ．
8．（2 分）如图，在△ABC 中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下 的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错 误； B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似， 故本选项正确． 故选：D． 二、填空题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分） 9．（2 分）tan60°= ． 【解答】解：tan60°的值为 ． 故答案为： ．
A．2r B． C． D． 【解答】解：如图所示，OB=OA=r；， ∵△ABC 是正三角 形 ， 由于正三角形的中心就是圆的圆心， 且正三角形三线合一， 所以 BO 是∠ABC 的平分线；
∠OBD=60°× =30°，
BD=r•cos30°=r• ；
根据垂径定理，BC=2× r= r． 故选：B．
【解答】解： ∵∠A=90°，AD⊥BC， ∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°， ∴∠α=∠B，∠β=∠C， ∴sinα=sinB，故①正确； sinβ=sinC，故②正确； ∵在 Rt△ABC 中 sinB= ，cosC= ， ∴sinB=cosC，故③正确； ∵sinα=sinB，cos∠β=cosC， ∴sinα=cos∠β，故④正确； 故答案为①②③④． 16．（2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别是（0，2）、（4，0），点 P 是直 线 y=2x+2 上的一动点，当以 P 为圆心，PO 为半径的圆与△AOB 的一条边所在直线相切时， 点 P 的坐标为 （0，2），（﹣1，0），（﹣ ，1） ．
该店主决定本周进货时，增加了一些 41 码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：B． 2．（2 分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A．0 分 B．2 分 C．4 分 D．6 分 【解答】解：（1）x2=1， ∴x=±1， ∴方程 x2=1 的解为±1，所以（1）错误； （2）sin30°=0.5，所以（2）正确； （3）等圆的半径相等，所以（3）正确； 这三道题，小亮答对 2 道，得分：2×2=（4 分）． 故选：C． 3．（2 分）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知 OB=3OB′，则△ A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ）
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A．1：3 B．1：4 C．1：5 【解答】解：∵OB=3OB′，
D．1：9
∴
，
∵以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴
=．
∴
=，
故选：D．
4．（2 分）在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则 cosA 的值是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
10．（2 分）已知 ，则 xy= 6 ．
【解答】解：∵ = ， ∴xy=6． 故答案为：6． 11．（2 分）一组数据 6，2，﹣1，5 的极差为 7 ．
【解答】解：极差=6﹣（﹣1）=7． 故答案为 7．
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12．（2 分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是 ．
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21．（6 分）已知关于 x 的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k 是实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根： （2）当 k 的值取 时，方程有整数解．（直接写出 3 个 k 的值） 22．（6 分）如图，为了测得旗杆 AB 的高度，小明在 D 处用高为 1m 的测角仪 CD，测得旗杆 顶点 A 的仰角为 45°，再向旗杆方向 前进 10m，又测得旗杆顶点 A 的仰角为 60°，求旗杆 AB 的高度．
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【解答】解：∵点 A、B 的坐标分别是（0，2）、（4，0），
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+2， ∵点 P 是直线 y=2x+2 上的一动点， ∴两直线互相垂直，即 PA⊥AB，且 C（﹣1，0）， 当圆 P 与边 AB 相切时，PA=PO， ∴PA=PC，即 P 为 AC 的中点，
∴P（﹣ ，1）； 当圆 P 与边 AO 相切时，PO⊥AO，即 P 点在 x 轴上， ∴P 点与 C 重合，坐标为（﹣1，0）； 当圆 P 与边 BO 相切时，PO⊥BO，即 P 点在 y 轴上， ∴P 点与 A 重合，坐标为（0，2）；
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2018-2019 学年江苏省常州市九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）
1．（ 2 分 ）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如
下：
尺码
39 40 41 42 43
平均每天销售数量（件） 10 12 20 12 12
2018-2019学年江苏省常州市金坛市九年级（上）期中数学试卷.
2018.2019学年江苏省常州市金坛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1.（2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=OB.x3+2x2=x—1C.（x+lXx-2）=0D.x+2=/2.（2分）已知一元二次方程x2+jtv-3=0有一个根为1,则k的值为（）A.-2B.2C.-4D.43.（2分）下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断，正确的是（）A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根4.（2分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（）A.300（1+.x）=507B.300（1+x）2=507C.300（1+x）+300（1+x）2=507D.300+300（1+x）+300（1+x）2=5075.（2分）如图，点4,B,C均在上，若匕4=66。
，则Z.OCB的度数是（）A.24°B.28°C.33°D.48°6.（2分）如图，AB.AC.BD是G）O的切线，切点分别是P、C、D.若佃=5,AC=3,则仞）的长是（）A. 4B.3C.2D.17.（2分）如图，是半圆的直径，。
为圆心，C是半圆上的点，D是左上的点，若ZBOC=40°,则NO的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°8.（2分）在平面直角坐标系中，以点（3,-4）为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则〃的值是（）A.3B. 4C.3或 4D.4或5二、填空题（每小题2分，共20分）9.（2分）方程x2-x=0的解是.10.（2分）关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根，则A的取值范围是_11.（2分）若一元二次方程x2+x-2=0的解为玉、勺,则玉・冯的值是.12.（2分）小明用一根长30ctm的铁她.围成一个斜边长为13cm的直角三角形，则直角三角形的而积是—cm2.13.（2分）如果正数。
2023-2024学年江苏省常州市溧阳市九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）1．（2分）下列关于x的一元二次方程的是（）A．x2+1＝0B．x2+y＝5C．1x2+x=0D．x2﹣x＝3+x22．（2分）一元二次方程2x2﹣x（x﹣4）＝5的一般形式是（）A．x2﹣4x+5＝0B．x2+4x+5＝0C．x2+4x﹣5＝0D．3x2﹣4x+5＝03．（2分）方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝135°．则∠BAC的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．60°5．（2分）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC 的度数（）A．55°B．110°C．70°D．140°6．（2分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交7．（2分）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P 的坐标为（ ）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318）D ．（4，338）8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A （4，0）、B （0，3），以点B 为圆心，2为半径的⊙B 上有一动点P ．连接AP ，若点C 为AP 的中点，连接OC ，则OC 的最小值是（ ）A ．1.5B ．2C ．25D ．3二、填空题（本大题共10小题。
每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）方程x 2＝0的解是 ．10．（2分）如果一元二次方程x 2﹣mx +6＝0经配方后，得（x ﹣3）2＝3，那么m ＝ ．11．（2分）关于x 的一元二次方程x ﹣x 2＝kx 2+1的一个根是2，则该k 的值是 ．12．（2分）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，∠AOC ＝150°，则∠DCB ＝ ．13．（2分）在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，⊙O 的半径为√3，当∠AOB ＝ °时，直线AB 与⊙O 相切．14．（2分）已知圆锥的母线长为5，底面圆的直径为8，则它的侧面积为（结果保留π）．15．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒50元降至32元，平均每次降价的百分率是．16．（2分）在△ABC中，点I是内心，∠BIC＝100°，则∠A＝°．17．（2分）如图，⊙O中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB＝AC，若S四边形ABDC＝6cm2，则AD ＝cm．18．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝8，点E、F分别是边AB、AD上的两点，以EF为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（20分）解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；（3）2x2﹣x﹣1＝0；（4）x2﹣6x﹣16＝0．20．（6分）综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2+x﹣6＝0；②2x2−2√5x+2=0．（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．21．（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，AC平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝6cm，求⊙O的半径．22．（6分）如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝10，CD、EF是⊙O的两条弦，CD⊥AB于点M，EF⊥AB 于点N，CD＝8，EF＝6．（1）求MN的长；（2）若点P为AB上的动点，请确定点P的位置，使得PC+PE的值最小，并求出最小值．23．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC ＝∠DAP．（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）若CE＝1，试确定BP的长．24．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．（1）若每件按11元出售，则单件利润为元，每天的销售量为件；（2）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？25．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝2AB＝4，求⊙O的半径．26．（8分）如图1，平面直角坐标系中，点P的坐标是（0，4），⊙P的半径为5，⊙P与x轴分别交于A、B两点，与y轴分别交于C、D两点．（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；（2）如图2，E点坐标为（0，8），点M是⊙P上任意一点，作直线EM，过点B作BQ⊥EM，垂足为Q，连接PQ，直接写出PQ的最大值；（3）如图3，过点（4，0）作直线l⊥x轴，在直线l上有一个动点N，连接NA、NB，请问∠ANB是否有最大值？若有，求出点N的坐标；若没有，请说明理由．2023-2024学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）1．（2分）下列关于x的一元二次方程的是（）A．x2+1＝0B．x2+y＝5C．1x2+x=0D．x2﹣x＝3+x2【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、x2+1＝0是一元二次方程，符合题意；B、x2+y＝5含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、1x2+x＝0含有分式，不是一元二次方程，不符合题意；D、原方程可整理为3+x＝0，未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．2．（2分）一元二次方程2x2﹣x（x﹣4）＝5的一般形式是（）A．x2﹣4x+5＝0B．x2+4x+5＝0C．x2+4x﹣5＝0D．3x2﹣4x+5＝0【分析】先去括号，然后移项后合并即可．【解答】解：2x2﹣x（x﹣4）＝5，去括号，得2x2﹣x2+4x＝5，移项，得2x2﹣x2+4x﹣5＝0，合并，得x2+4x﹣5＝0．故选：C．3．（2分）方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【分析】计算出判别式的值即可判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝16﹣16＝0，∴方程4x2﹣4x+1＝0有两个相等的实数根．故选：C．4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝135°．则∠BAC的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∵∠BDC＝135°，∴∠BAC＝45°，故选：B．5．（2分）如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC 的度数（）A．55°B．110°C．70°D．140°【分析】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC ＝110°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OB、OC，∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，∴PB⊥OB，PC⊥OC，∴∠OBP＝∠OCP＝90°，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，故选：C．6．（2分）已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；②直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；③直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．分OP 垂直于直线l ，OP 不垂直直线l 两种情况讨论．【解答】解：当OP 垂直于直线l 时，即圆心O 到直线l 的距离d ＝2＝r ，⊙O 与l 相切；当OP 不垂直于直线l 时，即圆心O 到直线l 的距离d ＜2＝r ，⊙O 与直线l 相交．故直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．故选：D ．7．（2分）如图，已知平面直角坐标系内三点A （3，0）、B （5，0）、C （0，4），⊙P 经过点A 、B 、C ，则点P 的坐标为（ ）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318）D ．（4，338）【分析】根据题意可知点P 的横坐标为4，设点P 的坐标为（4，y ），根据P A ＝PC 列出关于y 的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴点P 的横坐标为4，设点P 的坐标为（4，y ），作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，由题意得，√42+(y −4)2=√12+y 2，解得，y =318，故选：C ．8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A （4，0）、B （0，3），以点B 为圆心，2为半径的⊙B 上有一动点P ．连接AP ，若点C 为AP 的中点，连接OC ，则OC 的最小值是（ ）A ．1.5B ．2C ．25D ．3【分析】点D （﹣4，0），连接PD ，则OC 是中位线，连接BD 交⊙B 于点E ，当点P 与点E 重合时，PD 最小为5﹣2＝3，故OC 的最小值为1.5【解答】解：如图，取点D （﹣4，0），连接PD ，∵C 是AP 的中点，O 是AD 的中点，∴OC 是△APD 的中位线，∴OC =12PD ，连接BD 交⊙B 于E ，∵OD ＝4，OB ＝3，∴BD =√OB 2+OD 2=5，当点P 与点E 重合时，PD 最小为5﹣2＝3，∴OC 的最小值为：12×3=32=1.5． 故选：A ．二、填空题（本大题共10小题。
2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定作业设计 (新版)北师大版
1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC 平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD 的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．考点：矩形的性质．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=O B=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．考点：矩形的性质．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE= 30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．考点：矩形的性质．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．二、填空题12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.考点：勾股定理的逆定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.三、解答题15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥B D，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．。
2023-2024学年江苏省常州市武进区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣的相反数是（ ）A．2023B．C．﹣2023D．﹣2．（2分）下列计算正确的是（ ）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab33．（2分）如图所示的圆锥的主视图是（ ）A．B．C．D．4．（2分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36°B．34°C．32°D．30°5．（2分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.26．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（ ）A．B．C．2D．7．（2分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（2分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为 ．10．（2分）因式分解：x2﹣9y2＝ ．11．（2分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝ ．12．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．13．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…﹣2﹣3﹣3m03…则m的值为 ．14．（2分）正五边形每个内角的度数为 ．15．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝ ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．17．（2分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为 ．18．（2分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝ ．三、解答题（共84分）19．（8分）计算与化简：（1）；（2）解不等式组：．20．（6分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．21．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC，AB≠BD．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．27．（10分）数学兴趣小组的同学发现：如果∠1+∠2＝45°，那么当∠1所对的直角边与另一直角边比值一定时，∠2所对的直角边与另一直角边也存在一定的数量关系．（1）尝试：①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，连接AF，则＝ ，＝ ；②如图2，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC中点，∠EAF＝45°，求的值；（2）推理：如图2，在正方形ABCD中，AB＝a，保留②中其他条件不变，的值；（3）运用：如图3，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD 边上的点F处，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点G，BG交AD于点H．当AB＝4，AH＝2，时，求BG的长．28．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣的相反数是（ ）A．2023B．C．﹣2023D．﹣【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．2．（2分）下列计算正确的是（ ）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab3【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．a3•a3＝a6，故本选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3．（2分）如图所示的圆锥的主视图是（ ）A．B．C．D．【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．（2分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36°B．34°C．32°D．30°【分析】（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数；（方法二）设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图1所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．∵AB∥CD，∴∠DOE＝∠A＝54°．又∵∠DOE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝54°﹣18°＝36°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）利用“两直线平行，内错角相等”找出∠AEF的度数；（2）利用“两直线平行，同位角相等”找出∠DOE的度数．5．（2分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．故选：C．【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．6．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（ ）A．B．C．2D．【分析】连接BD，先利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tan A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】根据抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，即可得到y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，a＞0，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，4﹣1＝3，∴y2＜y1＜y3，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（2分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据折叠，可证明∠AFB＝90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE＝，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．【点评】本题为代数几何综合题，考查了解直角三角形、轴对称图形性质、相似三角形的性质等知识．解答关键是做到数形结合．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为 2×10﹣7 ．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7，故答案为：2×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．（2分）因式分解：x2﹣9y2＝ （x+3y）（x﹣3y） ．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝ 75° ．【分析】先根据△ABC中，tan A＝1，cos B＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0∴tan A＝1，cos B＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．12．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．【分析】根解直角三角形的方法求解即可．【解答】解：∵，∴，，∴，故答案为：．【点评】本题考查余弦的定义，掌握表示AD和AB的长是解题的关键．13．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…﹣2﹣3﹣3m03…则m的值为 ﹣2 ．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征计算即可．【解答】解：∵x＝﹣2和x＝﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线，又∵x＝﹣3和x＝0也关于对称，∴当x＝﹣3和x＝0时的函数值相等，即m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．14．（2分）正五边形每个内角的度数为 108° ．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．15．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝ ．【分析】根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）2＝9，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝﹣4，∴，∴＝，∴＝﹣，故答案为：【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式，本题属于基础题型．16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．【分析】由三角形内角和得，∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，则，，由题意得EF是△ABC的中位线，根据，计算求解即可．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴，，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴，故答案为：．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，余弦，中位线．熟练掌握等角对等边，余弦，中位线是解题的关键．17．（2分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣3 ．【分析】设A（a，b），则ab＝，分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，根据相似三角形的判定证得△AOM∽△CNO，由相似三角形的性质得到ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，则k＝﹣ON•CN＝﹣3．【解答】解：设A（a，b），∴AM＝a，OM＝b，∵在点A在反比例函数上，∴ab＝，分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵矩形AOCB，∴∠AOM+∠CON＝90°，∴∠OAM＝∠CON，∴△AOM∽△CNO，∵OC＝OA，∴＝，∴ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，∵C在反比例函数y＝的图象上，且点C在第四象限，∴k＝﹣ON•CN＝﹣a•b＝﹣3ab＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线构建相似三角形是解题的关键，同时注意k的符号．18．（2分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝ ．【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．【解答】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，∵AD∥EO，∴∠ADO＝∠DOE，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD，∴AD＝OB，AD∥OB，∴四边形AOBD是菱形，∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，∵DE⊥OD，∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE＝10，∴OE＝2OB＝20，∴OD＝＝＝16，∵DH⊥OE，∴DH＝＝＝，∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（共84分）19．（8分）计算与化简：（1）；（2）解不等式组：．【分析】（1）先分别求算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，然后进行乘法运算、最后进行加减运算即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【解答】解：（1）＝＝3；（2），，1+x≤2，解得，x≤1；3（x﹣1）＜2x+1，3x﹣3＜2x+1，解得，x＜4；∴不等式组的解集为x≤1．【点评】本题考查了算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，解一元一次不等式组．熟练掌握特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，解一元一次不等式组是解题的关键．20．（6分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．【解答】解：（m+2﹣）•，＝•，＝﹣•，＝﹣2（m+3）．把m＝﹣代入，得原式＝﹣2×（﹣+3）＝﹣5．【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解．21．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 115.2 度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）8÷16%＝50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×＝115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×＝288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【分析】（1）根据概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠A＝∠EBF，再由ASA证明△ADE≌△BFE即可；（2）由全等三角形的性质得出DE＝EF，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝CD，得出∠CDF＝∠BEF，证出∠CDF＝90°，DE＝DC，由等腰直角三角形的性质得出∠DEC＝∠DCE＝45°，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠EBF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠CDF＝∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠CDF＝90°，∵DE＝AB，∴DE＝DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FEC＝135°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．【分析】设提速前列车的平均速度为x km/h，根据提速后，列车用相同时间比提速前多行驶100km，列方程求解．【解答】解：设提速前列车的平均速度为x km/h，由题意得，＝，解得：x＝120，经检验，x＝120是原分式方程的解，且符合题意．答：提速前列车的平均速度为120km/h．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；（2）利用相似三角形的性质求出的值．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC，AB≠BD．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ＝FE，继而求出FG•FE＝8，即可得出结论．【解答】解：（1）由图1知，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴＝＝或＝＝2，∴CD＝10或CD＝2.5同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．（2）证明：如图2中，∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A+∠ADB＝140°∵∠ADC＝140°，∴∠BDC+∠ADB＝140°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG或△FEH∽△FGH（这种情形，不符合题意舍弃）．∴＝，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ＝FE•sin60°＝FE，∵FG×EQ＝4，∴FG×FE＝4，∴FG•FE＝16，∴FH2＝FE•FG＝16，∴FH＝4．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．27．（10分）数学兴趣小组的同学发现：如果∠1+∠2＝45°，那么当∠1所对的直角边与另一直角边比值一定时，∠2所对的直角边与另一直角边也存在一定的数量关系．（1）尝试：①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，连接AF，则＝ ，＝ ；②如图2，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC中点，∠EAF＝45°，求的值；（2）推理：如图2，在正方形ABCD中，AB＝a，保留②中其他条件不变，的值；（3）运用：如图3，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD 边上的点F处，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点G，BG交AD于点H．当AB＝4，AH＝2，时，求BG的长．【分析】（1）①根据线段中点的定义可得CF＝BF＝BC＝AC＝2，再利用勾股定理分别求出BD、DF和AB，然后计算即可；②如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，点H、D、F共线，证明△AEF≌△AHF，可得EF＝HF，求出EF＝HF＝1+DF，CF＝2﹣DF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理构建方程求出DF，进而可求的值；（2）由②可得BE＝CE＝DH＝，则EF＝HF＝，CF＝a﹣DF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理构建方程求出DF，进而可求的值；（3）由折叠的性质可得：∠FBE＝∠CBE，CE＝EF，BF＝BC，然后分别在Rt△DEF中和在Rt△ABF中，利用勾股定理构建方程求出EF和HF，进而可得BF的值，然后利用（2）中结论求出GF，再利用勾股定理求出BG的长即可．【解答】解：（1）①∵在等腰直角△ABC中，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，∴CF＝BF＝BC＝AC＝2，∠B＝45°，∠BDF＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝DF，∴BD2+DF2＝2BD2＝BF2＝4，∴BD＝DF＝，∵，∴AD＝AB﹣BD＝，∴，，故答案为：，；②如图，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠ADF＝90°，∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，点H、D、F共线，∴∠1＝∠3，BE＝DH，AE＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠3+∠2＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵点E为BC中点，∴BE＝CE＝1，∴DH＝1，∴EF＝HF＝1+DF，∵CF＝2﹣DF，∴在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得：12+（2﹣DF）2＝（1+DF）2，解得：，∴；（2）解：当AB＝BC＝CD＝AD＝a时，由②可知BE＝CE＝DH＝，则EF＝HF＝，CF＝a﹣DF，在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得：，解得：，∴；（3）由折叠的性质可得：∠FBE＝∠CBE，CE＝EF，BF＝BC，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，∴DE＝4﹣CE＝4﹣EF，在Rt△DEF中，由DE2+DF2＝EF2得：＝EF2，解得：EF＝，∵在矩形ABCD中，BC＝AD＝AH+HF+DF＝2+HF+＝HF+，∴BF＝BC＝HF+，在Rt△ABF中，由AB2+AF2＝BF2得：42+（2+HF）2＝，解得：HF＝，∴BF＝BC＝HF+＝，∴＝＝，∵BG平分∠ABF，∴∠ABH＝∠HBF，又∵∠FBE＝∠CBE，∴∠GBF+∠FBE＝∠ABC＝45°，又∵∠BFE＝∠BFG＝90°，∴由（2）可得＝，∴GF＝BF＝，∴BG＝＝＝．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，学会利用勾股定理构建方程求解相关线段的长度是解答本题的关键．28．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 或5 ．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F．此时，∠BCF＝∠BCA．求得G（3.4），利用待定系数法求得直线CF的解析式为y＝x+3，联立方程组，即可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．【解答】解：（1）∵B（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+3上，∴﹣32+3b+3＝0，∴b＝2，∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI⊥x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF＝∠BCA，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．∴OB＝OC，AB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HAB＝∠OBC＝∠AHI＝∠BHI＝45°，∴HI＝AI＝BI＝AB＝2，∴H（1，2），∴G（3，4），设直线CG的解析式为y＝kx+3，把G（3，4）代入得：4＝3k+3，解得k＝，∴直线CF的解析式为y＝x+3，∴，解得，∴点F的坐标为（，）；②当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，。
2024-2025学年江苏省常州市翠竹中学九年级(上)数学第一次月考试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省常州市翠竹中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2=x的根是( )A. x=0B. x=1C. x=0或x=1D. x=0或x=−12.若方程(a+3)x2+x+9=0是关于x的一元二次方程，则有( )A. a=3B. a≠3C. a=−3D. a≠−33.关于x的一元二次方程x2+ax−4=0一个根是1，则a的值是( )A. 0B. 1C. 3D. −34.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为125.6万辆，到2020年销量为130万辆，设年平均增长率为x，可列方程为( )A. 125.6(1−x)2−130B. 125.6(1+2x)=130C. 130(1−x)2=125.6D. 125.6(1+x)2=1305.下列说法正确的是( )A. 弦是直径B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦D. 半圆是圆中最长的弧6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )A. B. C. D.7.如图，在⊙O中，⌢AC=⌢BD，∠AOB=50∘，则∠COD的度数为( )A. 60∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有()个；①方程x2−x−2=0是倍根方程；②若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
2023-2024学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．48．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 cm．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 千米．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 ．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】通过移项，将原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，然后写出其常数项．【解答】解：原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，∴常数项为﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c为常数项．2．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，则d＞r；点在圆内，则d＜r（d即点到圆心的距离，r 即圆的半径）进行判断是解决问题的关键．【解答】解：∵OA＝4＞2，∴点A与⊙O的位置关系是点在圆外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tan B＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴点B′的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OA，根据垂径定理得，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，根据勾股定理得[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解方程即可得到答案．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝6，∴，设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE＝OE+OC，∴r+r﹣EF＝9，∴EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2＝OA2﹣AE2，∴[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解得r＝5，∴EF＝2r﹣9＝1，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理，结合当C，O，E在同一条直线上时CE最长得EF＝2r﹣9是解决问题得关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．【分析】连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，根据题意可得A、B、C、D四点共圆，再证明△ADM≌△BDC得到AC＝AM+MC＝BC+CD，故可得到当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，根据解直角三角形的性质得到AC的长，即可求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质．【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∴四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝3，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB+CD最大，此时C点在中点处，∴，∴，∴CB+CD最大值为，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 2 cm．【分析】根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝1×4，∴x＝±2，∵线段的长度是正数，∴x＝2，∴比例中项为2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了比例的性质，理解比例中项的定义是解题的关键．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．【分析】直接得出朝上的面数字小于3的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上点数大于4的有5和6两种情况，∴朝上面的数字大于4的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 15.6 千米．【分析】根据比例尺＝，得到实际距离＝图上距离：比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，【解答】解：∵比例尺为1：1000000，图上距离为1.56厘米，∴实际距离是1.56÷＝1.56×1000000＝1560000（厘米）＝15.6（千米）．故答案为：15.6．【点评】此题考查了比例尺，能熟记比例尺＝是解此题的关键．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 x1＝x2＝3 ．【分析】直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝0，∴x﹣3＝0，∴x1＝x2＝3，故答案为：x1＝x2＝3，【点评】本题考查解一元二次方程，熟练直接开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：设楼高为x米，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 1：2 ．【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．∵DH∥AC．∴△BDH∽△BCN，∴．∵D为BC的中点，∴，∵DH∥AN，∴△DHM∽△ANM，∴，∵M为AD的中点，∴．∴DH＝AN，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式列式计算，得到答案．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE＝OF，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即×13×OE+×6×OE＝×5×6，解得，OE＝，∴⊙O的半径是，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握圆的切线的性质定理是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．【分析】先证△CDE∽△ADC，推出CD2＝DE⋅AD，进而得出BD2＝DE⋅AD，证得△BDE∽ADB，推出∠BED＝∠ABC，结合求出sin∠ABC的值即可．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE⋅AD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BD2＝DE⋅AD，∴，又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵，∴，∵D是BC的中点，∴CB＝2CD，∴，设AC＝4x，则CB＝3x，∴，∴sin ABC＝＝＝，∴sin∠BED＝．故答案为：．【点评】该题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定及其性质、勾股定理等，熟练掌握“母子相似”模型是解题的关键．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．【分析】延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，可得△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，结合等边三角形的性质可证得△ABH≌△CBE（SAS），可知∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，得∠HEC＝60°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，列出方程解得：x＝1，即BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，，可证△BDG∽△CDH，得，即可求得．【解答】解：延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，∵∠BHD＝60°，∴△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，∴BH＝BE＝HE，∠BEH＝60°，∵△ABC是等边三角形，，∴，∠ABC＝60°，∴∠ABH+∠CBH＝∠CBE+∠CBH＝60°，∴∠ABH＝∠CBE，∴△ABH≌△CBE（SAS），∴∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，∴∠HEC＝∠BEC﹣∠BEH＝60°，∵∠AHC＝90°，∴∠CHE＝90°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，∴，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，即：，解得：x＝1，即：BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，在Rt△BGH中，，∵∠BDG＝∠CDH，∴△BDG∽△CDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，添加辅助线构造△ABH≌△CBE是解决问题的关键．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．【分析】（1）根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握a0＝1及特殊角三角函数值．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣5＝0，（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x（x+2）＝3x+6，x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一个外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的长为30米；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由题意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD•sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD•cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴树BA的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 800 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 （600+200x） 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个即可求解；（2）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元一次方程即可求解；（3）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400整理，得x2﹣7x+12＝0解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元答：每个台灯的售价为37元．（3）月获利不能达到9600元，理由如下：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600整理，得x2﹣7x+18＝0∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠ODB＝∠CDA，从而得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定方法得到CD为⊙O的切线；（2）连接OE，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由E为的中点得到∠BOE＝∠DOE，再根据圆周角定理得到∠BOE＝2∠BDE＝60°，接着证明△ODE为等边三角形得到OD＝DE＝2，计算出∠COD＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD进行计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODA+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠B＝∠CDA，∴∠ODB＝∠CDA，∴∠ODA+∠CDA＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接OE，如图，∵E为的中点，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE为等边三角形，∴OD＝DE＝2，∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，∴CD＝OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ 2 ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．【分析】（1）由勾股定理可求出BM＝6，AM＝8，再利用勾股定理即可求出BC；（2）证明△CPQ∽△CAB，求得PQ＝5t，利用勾股定理即可求出DQ；（3）由△CPQ∽△CAB得到∠CPQ＝∠A，由∠PQD＝∠A推导出DQ∥AC，分两种情况：，分别证明△DBQ∽△ABC和△BDQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答．【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠BMC＝90°，∵，∴，设BM＝3x，AM＝4x，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2，∴BM＝6，AM＝8，∴CM＝10﹣8＝2，∴，故答案为：；（2）解：由题意得，CP＝5t，，∵，∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴，即，∴PQ＝5t，∵PD⊥DQ，∴∠PDQ＝90°，∵∠PQD＝∠A，∴，∴，设PD＝3a，DQ＝4a，∴（3a）2+（4a）2＝（5t）2，解得a＝t，∴DQ＝4t；（3）解：如图，连接BD，∵△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ＝∠A，∵∠PQD＝∠A，∴DQ∥AC，∴∠DQB＝∠C，当∠DBQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△DBQ∽△ABC，∴，即，解得；当∠BDQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△BDQ∽△ABC，∴，即，解得；∴或．【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，应用分类讨论证明三角形相似是解题的关键．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 4 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 （0，4）或（﹣，﹣） ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 3≤d＜3 ．【分析】（1）由题意即可求解；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；（3）考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为4，故答案为：4；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，解得，故点P的坐标为（0，4）或（﹣，﹣），故答案为：（0，4）或（﹣，﹣）；（3）如图，考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，∴△OCD∽△EOD，∴，则，设OE＝x，则DE＝2x，由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，解得（舍），∴，此时．同理，另一个临界状态为，经分析可知，函数相比临界状态更靠近y轴，则存在点C，∴或；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，则成立，当﹣1≤m＜2时，E到弧BG的最小距离为EO﹣1，此时3≤d＜4，当﹣4＜m＜﹣1时，E到弧BG的最小距离为EB，此时，综上，，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．。
南京市联合体2018-2019学年九年级上期末数学试卷及答案
2019–2019学年度第一学期期末学情分析样题九年级数学(考试时间120分钟，试卷满分120分)一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．16 的值等于（ ▲ ）A ．4B ．–4C ．±4D ．2 2．二次函数y = x 2－2x +3的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ▲ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直4．顺次连接等腰梯形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 的形状为（ ▲ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．如图，在△ABC 中，点O 为△ABC 的内心，则∠OAC +∠OCB +∠OBAA ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的 ⌒EF 上， 若OA ＝2cm ，∠1＝∠2，则 ⌒EF的长为（ ▲ ） A ．π3 cm B ．2π3 cmC ．4π3 cmD ．8π3 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线上．．．．．） 7．要使2–x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB =6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为 ▲ ． 9．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，． 如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是 ▲ ．10．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 ▲ cm 2．第8题第6题A P第9题11．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值应为___▲__°． 12．已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 13．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为 ▲ cm ．14．如图，两个半径为2cm 的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是 ▲cm 2．(结果保留π)15．二次函数y =－x 2+bx +c 的部分图象如图所示，图象的对称轴为过点（－1，0）且平行于y 轴的直线，图象与x 轴交于点（1，0），则一元二次方程－x 2+bx +c =0的根为 ▲ ．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB = ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共计88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程： 2x 2＋4x －1＝0 ．19．（6分）解方程： x (x –1)=2–2x ．20．（6分）为了迎接2019年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比第14题第11题赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示： （1）根据题中已知信息，完成上述统计表（填入上表即可，不写过程）；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？ （参考公式：s 2= 1n[（x 1－_x )2+（x 2－_x )2+ … +（x n －_x )2] ．）21．（7分）已知二次函数y = x 2－2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．22．（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，且DE =DF ． （1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．23．（9分）如图，AP 是∠MAN 的平分线，B 是射线AN 上的一点，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，过第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均分 方差 小孙 75 90 75 90 70 70 小周708080908080AC点C 作CD ⊥AM 于点D ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若OA = 6，AD = 10，求CD 的长．24．（9分）如图，函数y =x －3的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 坐标为（–1，0）．一条抛物线经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）设点D 是线段AB 上的动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段DE 长度的最大值．25．（9分）七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：A三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．【运用】如图，已知：△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ，且∠ABC =45°，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，求证：FG +CD =BD ．小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下： 连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.（请你在下面的空白处完成小方的证明过程.）【操作】如图AB 是圆的直径，点C 在圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ABC 中AB 边上的高．BAAE CDG BFBCA D EF G M HN 26．（11分）如图，梯形ABCD 是某世纪广场的示意图，上底AD=90m ，下底BC =150m ，高100m ，虚线MN 是梯形ABCD 的中位线．要设计修建宽度均x m 的一条横向和两条纵向大理石通道，横向通道EGHF 以MN 为中心线，两条纵向通道均与BC 垂直． （1）试用含x 的代数式表示横向通道EGHF 的面积1s ；（2）若三条通道的面积之和恰好是梯形ABCD 面积的14时，求通道宽度x ； （3）经测算大理石通道的修建费用1y （万元）与通道宽度为x m 的关系式为：114y x ，广场其余部分的绿化修建费用为0.05万元／2m ,若设计要求通道宽度x ≤8m ，则宽度x 为多少时，世纪广场修建总费用最少？最少费用为多少？27．（11分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（2）以P 为圆心，P A 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值． （3）在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出．．．．t 的值；备用图2019－2019学年第一学期期末学情分析样题(2)九年级数学答卷纸(考试时间120分钟，试卷满分120分)注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚．2．请用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）7．．12．．8．．13．．9．．14．．10．．15．．11．．16．．三、计算与求解17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程：2x2＋4x－1＝0 ．19．（6分）解方程：x(x–1)=2–2x．20．平均分方差小孙70小周80数学试卷21．22． 23．AAC数学试卷24．25．运用：连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.BAAE CDGBF数学试卷BCA D E F G M HN 26． 27．备用图2019–2019学年度第一学期期末学情试卷参考答案及评分标准九年级数学说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每题2分，共12分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C二、填空题 (每小题2分，共20分)7．x ≤2 8．5 9．8 10．3π 11．40 12．k ＞－2且k ≠－113．8 14．83π－2 3 15．x 1=1，x 2=－3 16．3－ 3 三、解答题 (共88分)17．解：原式=（43－3）×6………………………………………………………………2分=33×6 …………………………………………………………………………4分= 9 2 …………………………………………………………………………6分18．解：(x +1)2 = 32………………………………………………………………………………3分 x 1=－1+62，x 2=－1－62………………………………………………………………6分 19．解：(x +2)( x －1)=0 …………………………………………………………………………3分x 1 =－2, x 2 = 1……………………………………………………………………………6分20．解：（1）80； 40． ………………………………………………………………………4分（2）选择小周参加比赛． ……………………………………………………………5分理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．……………………………………………6分21．解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分（2）0＜x ＜2； …………………………………………………………………………4分（3）y =(x －4)2．（或y =x 2－8x+16）……………………………………………………7分22．解：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ∴∠AED =∠CFD =90°， ……………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，………………………………………………………………………3分在△AED 和△CFD 中, ∠AED =∠CFD ,∠A =∠C ,DE =DF ,∴△AED ≌△CFD （AAS ）； ……………………………………………………5分（2）四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………………6分理由如下：∵△AED ≌△CFD ∴AD =CD ， ……………………………………7分又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． ………………8分23．解：（1）直线DC 与⊙O 相切． …………………………1分理由如下：连接OC ， …………………………2分在⊙O 中，OA=OC ，∴∠OAC = ∠OCA ，∵AP 平分∠MAN ，∴∠DAC = ∠CAO ，∴∠DAC = ∠OCA ，∴AD ∥OC ， ……………3分又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，且OC 为⊙O 半径，∴直线DC 与⊙O 相切． ………………………4分（2）解法一：连接CB ，………………………………………………………………5分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°， …………………………………………6分∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =90°，又∵∠DAC = ∠CAB ，∴△DAC ∽△ CAB ， …………………………………7分∴DA CA = CA BA ，即10CA = CA 12，CA 2=120， ………………………………………8分 ∴在Rt △ADC 中，CD =AC 2－AD 2 =20=25．………………………………9分解法二：作OE ⊥AD 于E ，………………………………………………………5分证OEDC 为矩形，…………………………………………………………………7分在Rt △OAE 中，OE =AO 2－AE 2=25=CD ．……………………………………9分24．解：（1）令x = 0，则y =－3，∴B （0, －3）；…………………………1分令y = 0，则x =3，∴A （3，0）…………………………………2分设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，……………3分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c =－3 0 =9a +3 b + c 0 = a － b + c ． 解之，得a = 1，b =－2 ，c = －3， 故函数的关系式为y = x 2 －2x －3．………………………………………5分（2）设D （x ，x －3），E （x ，x 2 －2x －3），(0≤x ≤3) ………………………6分则DE = x －3－（x 2 －2x －3）……………………………………………7分=－x 2 +3x =－(x －32)2+94， ………………………………………8分 故x = 32 时，DE 的最大值为 94 ． ……………………………………9分A25．解：（1）在Rt △ADB 中，AD =BD ，………………………1分∵在Rt △BCM 中，∠MBC =45°，∴∠BCM =45°，即∠DCF =45°，…………………2分∴在Rt △CFD 中，CD =DF ， ……………………3分∵FG ∥BC ，∴∠AGF =∠ABC =45°，∴在Rt △AFG 中，AF =FG ，………………………4分∴FG +CD =AF +DF =AD =BD ． ……………………5分（2）如右图，CG 即为所画的高，画图正确． ………9分26．解：（1）1120s x = ……………………………………………………2分（2）根据题意得： 21112021002(90150)10042x x x +⨯-=⨯⨯+⨯ …………4分 解得：110x =，2150x =（不合题意，舍去） ……………6分（3）y=0.05(12000-320x+2x 2)+14x ……………7分20.1(10)590x =-+ ……………9分∵x ≤8∴当x =8时，y 有最小值590．4（万元）． ……………11分27．解：在矩形ABCD 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，则AC =10，由题意得：AP =2t ，CP =10－2t ，CQ =t ，（1）过点P 作PF ⊥BC 于F ，可得△CPF ∽△ CAB ，∴PF AB = CP CA ，即PF 6 = 10－2t 10， ∴PF =6－65t ， ………2分 ∴S =12×QC ×PF =－35t 2+3t （0≤t ≤5）． ……………………3分 （2）∵△PCF ∽△ACB ， ∴PF PC FC AB AC BC ==，即1026108PF t FC -==，∴PF =665t -，FC =885t -， 则在Rt △PFQ 中，2222226841(6)(8)56100555PQ PF FQ t t t t t =+=-+--=-+． …………4分 ①当⊙P 与⊙Q 外切时，有PQ =P A +QC =3t ， 此时222415610095PQ t t t =-+=，整理得：2701250t t +-=， 解得t 1=156－35， t 2=－156－35（舍去）．………………………………6分A②当⊙P 与⊙Q 内切时，有PQ =P A －QC =t ， 此时22241561005PQ t t t =-+=，整理得：29701250t t -+=， 解得t 1= 259，t 2=5．……………………………………………………………8分 综上所述：⊙P 与⊙Q 相切时t =259或t =5或t =156－35． （3）当t = 103秒（此时PC =QC ），t = 259秒（此时PQ =QC ），或t = 8021秒（此时PQ =PC ）△CPQ 为等腰三角形． ……………………………………………………………………11分。
2018年江苏省常州市中考数学试卷(含答案)
2018年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．计算3﹣（﹣1）的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A．圆柱体B．三棱锥C．球体 D．圆锥体4．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm6．若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞D．x2＞y27．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）A．2 B．4 C．5 D．78．已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：x …﹣1 0 2 4 …y1…0 1 3 5 …x …﹣1 1 3 4 …y2…0 ﹣4 0 5 …当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．化简：﹣=______．10．若分式有意义，则x的取值范围是______．11．分解因式：x3﹣2x2+x=______．12．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为______．13．若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是______．14．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是______km．15．已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是______．16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=______．17．已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是______．18．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．三、解答题（共10小题，满分84分）19．先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．20．解方程和不等式组：（1）+=1（2）．21．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了______名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．22．一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．23．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．26．（1）阅读材料：教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为______，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．（2）类比解决：如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE 剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．①拼成的正三角形边长为______；②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．（3）灵活运用：如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD 及射线DC分别交于点F、Q（1）若BP=，求∠BAP的度数；（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；（3）以PQ为直径作⊙M．①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．2018年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|=2．故选B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．计算3﹣（﹣1）的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】有理数的减法．【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，所以3﹣（﹣1）=3+1=4．【解答】解：3﹣（﹣1）=4，故答案为：D．【点评】本题考查了有理数的减法，属于基础题，比较简单；熟练掌握减法法则是做好本题的关键．3．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A．圆柱体B．三棱锥C．球体 D．圆锥体【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．故选A．【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．4．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】数轴．【分析】根据图示得到点P所表示的数，然后求得﹣的值即可．【解答】解：如图所示，点P表示的数是1.5，则﹣=0.75＞﹣1，则数轴上与数﹣对应的点是C．故选：C．【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点P所表示的数是解题的关键．5．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm【考点】圆周角定理；勾股定理．【分析】如图，连接MN，根据圆周角定理可以判定MN是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可．【解答】解：如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，∴MN===10（cm）．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞D．x2＞y2【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的基本性质进行判断，不等式的两边加上同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【解答】解：（A）在不等式x＞y两边都加上1，不等号的方向不变，故（A）正确；（B）在不等式x＞y两边都乘上2，不等号的方向不变，故（B）正确；（C）在不等式x＞y两边都除以2，不等号的方向不变，故（C）正确；（D）当x=1，y=﹣2时，x＞y，但x2＜y2，故（D）错误．故选（D）【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．7．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）A．2 B．4 C．5 D．7【考点】垂线段最短．【分析】根据垂线段最短得出结论．【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，∴CP的长可能是2，故选A．【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．8．已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：x …﹣1 0 2 4 …y1…0 1 3 5 …x …﹣1 1 3 4 …y2…0 ﹣4 0 5 …当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y2＞y1建立不等式，求解不等式即可．【解答】解：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在直线一次函数y1=kx+m的图象上，∴，∴∴一次函数y1=x+1，由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上，∴，∴∴二次函数y2=x2﹣2x﹣3当y2＞y1时，∴x2﹣2x﹣3＞x+1，∴（x﹣4）（x+1）＞0，∴x＞4或x＜﹣1，故选D【点评】此题是二次函数和不等式题目，主要考查了待定系数法，解不等式，解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．化简：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．10．若分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣1．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．11．分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．12．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为6．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷60=6．故这个多边形边数为6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．13．若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是﹣4．【考点】解一元一次方程．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：x﹣5=2x﹣1，解得：x=﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 2.8km．【考点】比例线段．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：，解得x=280000cm=2.8km．∴这条道路的实际长度为2.8km．故答案为：2.8【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．15．已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是（1，1）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称，∴该点的坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=50°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数．【解答】解：∵∠A=70°∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键．17．已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是1≤y≤．【考点】解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式，然后得到x和y的关系，根据x 的范围求得y的范围．【解答】解：∵2x•4y=8，∴2x•22y=23，即2x+2y=23，∴x+2y=3．∴y=，∵0≤x≤1，∴1≤y≤．故答案是：1≤y≤．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，理解幂的运算法则得到x和y的关系是关键．18．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=4，判断ab的最大值即可．【解答】解：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=22=4，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．三、解答题（共10小题，满分84分）19．先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1=﹣5x+1当x=时，原式=﹣5×+1=﹣．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．20．解方程和不等式组：（1）+=1（2）．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：（1）原方程可化为x﹣5=5﹣2x，解得x=，把x=代入2x﹣5得，2x﹣5=﹣5=≠0，故x=是原分式方程的解；（2），由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故不等式组的解为：﹣1＜x≤2．【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意验根．21．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了2000名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民；（2）根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论．【解答】解：（1）本次共调查的人数为：800÷40%=2000，故答案为：2000．（2）晚饭后选择其它的人数为：2000×28%=560，晚饭后选择锻炼的人数为：2000﹣800﹣240﹣560=400．将条形统计图补充完整，如图所示．（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：400÷2000=20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%=96（万）．答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）根据数量关系算出样本容量；（2）求出选择其它和锻炼的人数；（3）根据比例关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握各统计图的有关知识是关键．22．一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）摸到红球的概率=；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，所以两次都摸到红球的概率=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．（1）求甲、乙两种糖果的价格；（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元．根据“3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元”列出方程组并解答；（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，结合“总价不超过240元”列出不等式，并解答．【解答】解：（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元，依题意得：，解得．答：超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元；（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，依题意得：10a+14（20﹣a）≤240，解得a≥10，=10．即a最小值答：该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克．【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定；坐标与图形变化-旋转．【分析】（1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．【解答】解；（1）如图1中，∵一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，∵旋转角为60°，∴B′（，2），O′（，），设直线O′B′解析式为y=kx+b，∴，，解得，∴直线O′B′的解析式为y=x+1，∵x=0时，y=1，∴点B（0，1）在直线O′B′上．（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，∴四边形ADO′B′是平行四边形．【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识，解题的关键是利用性质不变性解决问题，属于中考常考题型．26．（1）阅读材料：教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．（2）类比解决：如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE 剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．①拼成的正三角形边长为；②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．（3）灵活运用：如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）【考点】四边形综合题．【分析】（1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；（2）①先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；②依题意补全图形如图3所示；（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，∵5个小正方形的总面积为5∴大正方形的面积为5，∴大正方形的边长为，故答案为：；（2）①如图2，∵边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，∴DE=BC=1，BD=CE=1过点D作DM⊥BC，∵∠DBM=60°∴DM=，=（DE+BC）×DM=（1+2）×=，∴S梯形EDBC由剪拼可知，梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积，设新等边三角形的边长为a，∴a2=，∴a=或a=﹣（舍），∴新等边三角形的边长为，故答案为：；②剪拼示意图如图3所示，（3）剪拼示意图如图4所示，∵正方形的边长为60cm，由剪拼可知，AC是正方形的对角线，∴AC=60cm，由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，∴CE=CF=30cm，∵∠ECF=90°，根据勾股定理得，EF=30cm；∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60+30=90cm．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题．（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m ＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标即可．【解答】解：（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，得：3=9+3b，解得：b=﹣2，∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x．（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x轴，∴PE∥x轴，∵直线OA的解析式为y=kx，∴∠QPE=45°，∴PE=PQ=2．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），∴PP1=3m﹣m2，QQ1=2﹣m2﹣m，∴=（PP1+QQ1）•PE=﹣2m2+2m+2=﹣2+，∴当m=时，取最大值，最大值为．（3）存在．如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．∵S△AOF=S△AOM，∴MF∥OA，∵EG=GF，=，∴AG=GM，∵M（1，﹣1），A（3，3），∴点G（2，1），∵直线AM解析式为y=2x﹣3，∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=﹣x+2，由解得，∴点E坐标为（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于中考压轴题．28．如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD 及射线DC分别交于点F、Q（1）若BP=，求∠BAP的度数；（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；（3）以PQ为直径作⊙M．①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数；（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ得，代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x＜1，写出符合条件的PC的长；（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，只要证明FC⊥CM即可，先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM，则∠MCP=∠MPC，从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再证明△ADF ≌△CDF，。
2017-2018年江苏省常州市九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210 7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（）A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O．（填“上”、“内部”或“外部”）11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是cm2．（结果保留π）13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为．16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为．三、解答题（共7小题，满分64分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）21．（7分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．22．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．23．（8分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．24．（9分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、有三条对称轴，B、有三条对称轴，C、有一条对称轴，D、有四条对称轴，综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形．故选：C．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，所以原方程有两个不相等的实数．故选：B．3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误；C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误．故选：C．4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确【解答】解：正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点，故选：D．5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，∴直线l与⊙O相交．故选：B．6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210【解答】解：根据长方形的宽为xcm，可得长为（x+7）cm，根据题意得：x（x+7）=210．故选：D．7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：∵正方形的周长为8，∴边长AB=2，∵四边形是正方形，∴∠AOB=90°，∴OA=AB×sin45°=，故选：B．8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（）A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异【解答】解：A、方程①有两个不相等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程②也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确；B、因为方程①和方程②有一个相同的根，则（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，所以B选项的结论错误；C、因为4是方程①的一个根，则16a+4b+c=0，即c+b+a=0，所以是方程②的一个根，所以C选项的结论正确；D、方程①有两根符号相异，则＜0，所以＜0，所以方程②的两根符号也相异，所以D选项的结论正确．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0．【解答】解：将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0，故答案为：x2﹣x+1=0．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O外部．（填“上”、“内部”或“外部”）【解答】解：∵OP=16＞10，∴点P在⊙O外部．故答案为：外部11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是0或3．【解答】解：设这个数是x，根据题意，得x2=3x，即x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0解得x=0或x=3．即这个数是0或3，故答案为0或3．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是πcm2．（结果保留π）【解答】解：∵扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，∴扇形的面积=3×=π（cm2），故答案为：π．13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为1．【解答】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：x1+（﹣4）=﹣3，解得：x1=1．故答案为：1．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠B=∠D=40°，∴∠BAC=50°．故答案为：50°．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为6．【解答】解：连接OA，OB，过O点作OE⊥AB于E，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AOE=60°，∵OE⊥AB，OA=6，∴OE=3，AE=3，∴AB=6，16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是15%．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得64×（1﹣x）（1﹣x）=36，整理得64×（1﹣x）2=36，解得x=0.15或1.75（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是15%．故答案为：15%．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为3．【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，∵AB=AC=10，BC=12，∴AD==8，则AD×BC=r（AB+AC+BC）×8×12=r（10+10+12），解得：r=3．故答案为：3．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为π．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•=π．故答案为π．三、解答题（共7小题，满分64分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．【解答】解：（1）（x﹣3）2=，∴x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．（2）∵a=2，b=﹣4，c=1，∴△=16﹣8=8＞0，∴x==x1=，x2=（3）∵a=2，b=﹣3，c=﹣3，∴△=9+24=33＞0，∴x=x1=，x2=（4）（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，∴x1=3，x2=4．20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）如图直线l，即为⊙O的切线．21．（7分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4（12﹣a）=4a+16＞0，∴a＞﹣4；（2）a满足条件的最小值为a=﹣3，此时方程为x2+8x+15=0，解得x1=﹣3，x2=﹣5．22．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则PC=4﹣t，CQ=6﹣2t，根据题意得：×（4﹣t）×（6﹣2t）=××4×6，整理得：t2﹣7t+6=0，解得：t1=1，t2=6．∵6﹣2t≥0，∴t≤3，∴t=1．答：点P运动的时间为1秒．23．（8分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵点E是BC的中点，∴DE=CE=BC，∴∠EDC=∠C，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE；（2）∵AB=8，∠BAC=30°，∴AD=4，阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4．24．（9分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？【解答】解：设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据题意得：（80﹣x﹣40）（50+5x）=3000，整理得：x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵80﹣x≥65，∴x≤15，∴x=10，∴80﹣x=80﹣10=70．答：此时销售单价为70元/件．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．【解答】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠CFO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形FOEC是矩形，∴∠FCE=90°，∴∠ACE+∠ACF=90°由点C（7，7）得：CF=CE=7，∴∠AOC=∠BOC=45°，OF=CE=7，OE=CF=7，∴∠CBA=∠COA=45°，∠CAB=∠COB=45°，∴∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∵点A（0，6），∴OA=6，∴AF=OF﹣OA=7﹣6=1，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠ACF=∠BCE，在Rt△ACF和Rt△BCE中，，∴Rt△ACF≌Rt△BCE，∴BE=AF=1，∴OB=OE+EB=7+1=8，∴点B（8，0）；（2）直线A′O′与⊙P相切．如图2，由AB是⊙P的直径可知：AB的中点即为圆心P，取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q，∴PR∥OA，PR=OA=3，∵∠AOB=90°，∴∠QRB=90°，∵△A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到，∴∠OBO′=90°，BO′=BO=8，∵∠AO′B=90°，∴∠BO′Q=90°，即RP⊥A′O′，∴四边形RBO′Q是矩形，∴∠O′QR=90°，RQ=BO′=8，∴PQ=RQ﹣PR=8﹣3=5，∵⊙P的直径AB=10，∴圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5，∴直线A′O′与⊙P相切．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2019届江苏省常州市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省常州市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级________________ 分数____________ 题号-二二三四五总分得分、选择题1. OO的半径为6,点P在OO内，贝V OP的长可能是（）A. 5 B . 6 C . 7 D . 82. 方程x2 + 6x—5 = 0的左边配成完全平方后所得方程为（）A. _ = 14 B . - = 14C.爲亠.：;八=一D .[,;—]»= 43. 下列方程中，没有实数根的是（）A. —4x + 4= 0B. —2x + 5= 0C. —2x = 0D. —2x —3= 04. 已知x = 1是关于x的一元二次方程2x2 —x+ a = 0的一个根，则a的值是（）A. 2 B . —2 C . 1 D . —15. 如图，在OO中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC 若ZB CD= 50。
，则/ AOC的大小为（）A. 40° B . 50° C . 80° D . 100°7. 如果等腰三角形的两边长分别是方程x2 —10x + 21 = 0的两根，那么它的周长为（）A. 17 B . 15 C . 13 D . 13 或178. 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）•计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（A. ..B. — I2 'c.—2D. I二、填空题9. 一元二次方程2x2 —3x + 1= 0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为.10. 方程二-?：：二=7 的解是11. 若关于x的一元二次方程x2 + 4x —a= 0有两个实数根，则a的取值范围是12. 如图，是一个简单的数值运算程序•则输入x的值为愉入x —1）1—c-3）|—*輪岀72,底面圆的周长为3,则该圆锥的侧面积为14.为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18. 59万元•设该校为新增上的点，AO= AB则/ ACB= 度.电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：B, C是OO16. 如图，在直角坐标系中，点A, B, C的坐标分别为(0, 3),( 4, 3),( 0, -1 ),则厶ABC外接圆的圆心坐标为三、解答题17. 解下列方程(每题4分，共16分)(2) —5x—6= 0(3) —6x—6= 0(4) 3 —x—1 = 018. 已知关于的方程• _i(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围;(2)若该方程的一个根为1,求：的值及该方程的另一根.19•小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6. 05吨，平均每年增长的百分率是多少？四、计算题20. 如图，AB是OO的直径，点C, D在OO上，点E在OO夕卜，AE是OO的切线，/ CAE=60°(1) 求/D的度数；(2) 当BC= 4时，求劣弧AC的长.五、解答题21. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米,那么道路的宽度应该是多少？22. 如图，△ AB中，/ C= 90 °,AC= 8cm, BC= 4cm. —动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运t (s)动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动.P, Q两点(1)若厶PCQ的面积是厶ABC面积的，求t的值;4(2)A PCQ的面积能否为△ ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.23. 商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元•已知原销售价为每台2900元时,平均每天能售出8台•若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元.(1)填表(不需化简)：24. 每天的销售量/台每台销售利润/元降价前8400降价后td25. 如图，△AB中，/ B= 60 ° ,00是^ ABC勺外接圆，过点A作OO的切线，交CO延长线于点M CM交00于点D.(1) AM与AC相等吗？为什么?(2) 若AC= 3,求MC勺长.26. 如图，直线I与00相离，OA!于点A,交00于点P, OA= 5. AB与00相切于点B,(1) AB与AC相等吗？为什么？(2) 若PC=寸，求00的半径.参考答案及解析第1题【答案】A.【解析】试题分析；点在圆内，点到圆心的距高小干半径.故选肚第2题【答案】A.【解析】试题分析:移项得x- + =5.A-- 61- + 9 = 14. /.(>' + 3)' = 14.故选h第3题【答案】D.【解析】试題井析：AI0\^b- —4drr -4);- 4>cl>(4 - 0方徨育两个相等的实数根」日项匸/-4曲列-纾-4%小"-1弘0方程浸有兵数根；顷方护-毛匚二(+2)^4〉0方程有两个不相^的实数根；加月店F-4s =(-2)—4x1x(^)-16>0方程育两个不相等的实數根-故选B.第4题【答案】D.【解析】试题分析:策二1是关于工的一元二;妨■程2丸：一x +也=0的一个根，二2工1亠1 +山二CL • “工T 故选D・第5题【答案】C.【解析】试题分析：根揺切线的'性质得出ZOCD =：90Q遊而得岀^OCB =40fl A ZA0C=2^OCB=£0®故选C・第6题【答案】【解析】试题分析：爲萨*沪討普孚（⑹ 二字二如—乎二兰于色故选2■第7题【答案】A.【解析】试题分析：啣方程卫-1X + 21二0得® =久兀=7,..等踱三角形的藤长为匚底边长対乩等腰三角形的周长为7^3=17.故选A・第8题【答案】D.【解析】过题勞析；设有士个队，毎个OWSU-1）场，但两臥之间只育一场比禹由題意得；知YTN21 故选氏—第9题【答案】2, 一玄 1.【解析】试题井析：一元二坊程2存-弘+ 1 = 0的二欠项系数为為一次项系数为3 常数项为1-第10题【答案】-2或4.【解析】试题分析：・刃=工*2. ..(x-k2)(x-3)-(r + 2)-0. S*2Kx・4)=Q・第11题【答案】口X 7【解析】试题分析匕W 44丫一血=0育两个丈蝴5艮…V二扶一卸皿二车-4 X (p)二1冇+4”工Dr 良7第12题【答案】pt = 1±I解析】试题分析:根SSS.9N方程得:^-l)'xf-3) = -9 , -.0-^ = 3-.'.可二1 + Ji \ =1-^3第13题【答案】3.【解析】试题分析：圆链的侧面是扇耽圆锥的侧面防二》3 = 3一第14题【答案】11(1+ x)3= 18.59.【解析】试题分析：根抿题意得：11(1十疔“&.59一第15题【答案】150”【解析】试題分析：点A, B, c是Oo上的点，AO = AB. OA^OB. :V A OB为等边三角昭-^05=60°AABC + J LBAC= 30°, ZAC£=150°.第16题【答案】亿1> .【解析】试题分析：根据垂径定理的推论"则作弓如的垂直平分绻交点q即为圆也则q的坐标为<2,1).第17题【答案】(1〉x = -2 土*.；C2) Yj = —1, = 6: C3) x = 3i \^5; '〔4)耳=】-6【解析】试題分析：(1>两边幵方，惧卩可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可‘先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解最冋；求出/一4处的值"再代入公式求出即可；求出沪-斗g的值」再代入公式求出即可.解析：(1> (工*2尸=3丫亠2 = 土石.二耳=一2土由.<2) y2- Sx - &=D.(^E6》(X41〉=(1…珂二 T* 巧二氐(3) x--6x —6 = 0, b2—4ac= (—6)" _4 乂L乂(—6) = 60, /. y —百= J±；<4) 3”-工一1 = 0. i2-4LJC=(-1)3-4x3x(-1) = IX -艾二吉匹6第18题【答案】⑴口的取值范围是*3 j (2) a=-V该方程的另一根为—3・【解析】试题分析：(1)方程有两个不相等的实魏根.则—芒>0*代人求出“的范围即可』<2)U^=1代入原方程得出日的值，再将H代入煤方程求岀方程的另一个根艮冋.恤8解析：Cl) Q沪Tw =(-抒一4淇⑺一2) = 12-4"> 0 ；解得：打<3…的駆flt范围是 e < 3 .⑵将斗=】代入原方程得P + 2xl+a—2=0, -<r = -L将口 =一1代入馬方程得F +2x-3 = 0 >j = -3,贝山的值是该方程的另一根^-3-第19题【答案】平均每年增长的百分率为10#【解析】试题纾析：要憩求得平均每年的増长率「可先设其为工,由题意可列方程，加13年的产董为刃I),加14年的产5(l- x)==6.05 ,由此解答得出爸秦即可.试题解析：设平均每年増长的百分率为^贝Ijtgjgss竜可列方程为：5(17)—63 ,解得：耳二0丄勺二-2卫會去).答！平均毎年増长的百分率加他第20题【答案】g<1) ZD = 60°： (2)亍r3【解析】试題分析：(1>根据切线的性馬得出血匹=90°r根据ZBAC = ZBAE-ZCiE尸求出如Q 的度叛再根ffiABSeO的直径』得出厶月C = ,求出山的度数，再根IS ZD = Z J ,艮阿得出乙9的度数,<2)连接広」根振a = OC上£ = 60。