【11】数论
数论篇
数论专题数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数（1）数的奇偶性奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数（2）数的整除，常见的数的整除特征2：个位是偶数3：各个数位之和是3的倍数5：个位是0和54、25：后两位可以被4（25）整除8、125：后三位可以被8（125）整除9：各个数位之和是9的倍数7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数。
13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除。
17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
（3）余数的性质1.余数的可加性：和的余数等于余数的和。
2.余数的可减性：差的余数等于余数的差。
3.余数的可乘性：积得余数等于余数的积。
4.同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。
数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
离散数学--11.1-2初等数论
(n)
n/ln n
(n)
n/ln n
1.159 1.132 1.104
10
素数的分布(续)
定理11.3 当n≥67时,
ln n 3 2 n
( n)
(n)
ln n
1 2
推论(素数定理)
n
lim
1
n / ln n
11
素数测试
定理11.4 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的真因子. 证 由性质11.1.6, a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 显然, b和c中 必有一个小于等于 a . 否则, bc>( a )2=a, 矛盾. 推论 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的素因子. 证 由定理, a有小于等于 a 的真因子b. 如果b是素数,
第11章
初等数论
1
第11章
• 11.1 素数
初等数论
• 11.2 最大公约数与最小公倍数
• 11.3 同余
• 11.4 一次同余方程与中国剩余定理 • 11.5 欧拉定理和费马小定理
2
11.1 素数
• 整除、倍数和因子 • 带余除法
• 素数与合数
• 算术基本定理 • 筛法
3
整除、倍数和因子
设a, b是两个整数，且b≠0. 如果存在整数c 使 a=bc，则 称a 被b 整除，或 b 整除a，记作 b|a. 此时, 又称 a 是b 的 倍数，b是a 的因子. 把 b 不整除 a 记作 b a. 例如, 6有8个因子±1, ±2, ±3和±6. 今后只考虑正整数的正因子. 平凡因子 : 1和自身 真因子 : 除1和自身之外的因子 例如, 2, 3 是 6 的真因子
数论第11讲_平方数(教师版)A4
数论第11讲_平方数一．完全平方数的概念一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数．例如：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484……二．完全平方数的性质1．完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9．2．奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．3．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．4．如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数．5．如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数．6．偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．7．奇数的平方是81n+型；偶数的平方为8n或84n+型．8．平方数的形式必为下列两种之一：3k、31k+．9．不能被5整除的数的平方为51k±型，能被5整除的数的平方为5k型．10．平方数的形式具有下列形式之一：16m、161m+．m+、169m+、16411．在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数．12．一个正整数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身)．三．重要结论1．个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数．2．个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数．3．个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数．4．形如32n+型的整数一定不是完全平方数．5．形如42n+和43n+型的整数一定不是完全平方数．6．形如52n±型的整数一定不是完全平方数．7．形如82n +，83n +，85n +，86n +，87n +型的整数一定不是完全平方数．重难点：平方数的性质，平方数与平方差公式以及平方数的综合应用．题模一：平方数的性质例1.1.1从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【答案】31【解析】完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个．例1.1.2整数aabb 是完全平方数 则a = ；b = ．【答案】7a =、4b = 【解析】根据位置原理11100aabb a b =⨯⨯+（）所以100a b ⨯+（）为一个平方数和11的乘积1164704⨯= 所以7,4a b ==．例1.1.3两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一个数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？【答案】16、175【解析】这两个数约数个数为一奇一偶，故有一个为完全平方数．422800257=⨯⨯，这样完全平方数可能为1、22、42、25、2225⨯、4225⨯．经检验，只有4216=符合要求，此时另一个数为257175⨯=有6个约数，16有5个约数．例1.1.4从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，这个完全平方数是__________．【答案】6084【解析】首先个位只能是4（为0需要两个0，为6需要十位数字为奇数），其次，不用的数字只能为2（为0或6则被3除余2，为8则被3整除而不被9整除）．这样，只有6084、6804、8064、8604四种可能，经尝试，只有6084符合，是78的平方．例1.1.5自然数N 是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？【答案】5【解析】0至9中只有0、1、4、9为完全平方数，故N 由0、1、4、9构成，百位只能为1、4或9．逐一试验10、11、12、13、14、20、21、22、30、31的平方，只有210100=、212144=、220400=、221441=、230900=符合要求，共5个．例1.1.6有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．【答案】1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =．2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．例1.1.7用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？【答案】不可能【解析】用300个2和若干个0组成的数的数字和是600，为3的倍数，则这个数是3的倍数，又此数为完全平方数，所以这个数应该是9的倍数，其数字和是9的倍数，矛盾．【主知识点】例1.1.8已知2381444=，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．【答案】（1）21038（2）4（3）不存在超好数【解析】（1）因为2381444=，所以210381077444=．（2）平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；对于1，设()2101a +满足X 111；而()()2101=20511a a a +⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于9，设()2103a +满足X 999；而()()210320519a a a +=⨯++，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；又设()2107a +满足X 999；而()()210720571a a a +=⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于6，设()2104a +满足X 666；而()()210410080106a a a +=+++，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；设()2106a +满足X 666；而()()2210610101236a a a +=⨯+++；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；所以好数的个位数字只能是4．（3）假设存在超好数，设其为()()210381n n ++≥则()()2222111038=100001076001014441000107610444n n n n n ++-+⨯+⨯+=⨯+⨯+．而()2111076101n n +-+⨯+不能被4整除，也就是倒数第四位不可能为4，故假设不成立，不存在超好数．题模二：平方数的运算例1.2.1能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】找不到【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.例1.2.2把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字．【答案】157【解析】1-3的平方只有一位数，共3个数字； 4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字； 10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字； 32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字； 合计：3+12+66+76=157个数字．例 1.2.3把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，……，其中第2011项是__________．【答案】2056【解析】与2011比较接近的平方数为2452025=，故2025排在第2025-45=1980个，还差31个数，第2011个数为2025312056+=．例1.2.4一串连续正整数的平方12，22，32，……，1234567892的和的个位数是________．【答案】5【解析】因为平方数的个位数是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋5．例1.2.5如果一个自然数能表示成两个完全平方数的差，则把这个自然数称为“智慧数”，如：16259=-，所以称16为智慧数．则在自然数列中，从1数起，第2012个智慧数是哪个数？【答案】2683【解析】任取一奇数21k +，有()()()()22211111k k k k k k k k k +=++=+++-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因此奇数均为智慧数；任取一4的倍数4k ，有()()()()4221111k k k k k k =⨯=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2211k k =+--，因此4的倍数均为智慧数；而完全平方数被4除的余数为0或1，故两个完全平方数的差不可能为2，因此被4除余2的均不是完全平方数．综上，一个数是智慧数当且仅当其被4除不余2，从1开始每4个数有3个是智慧数．201236702÷=，故从1数起，第2012个智慧数是467032683⨯+=．例1.2.6一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．【答案】1981【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，45+44=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245441981-=．题模三：平方数的综合应用例1.3.1某小学为了庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变换成一个正三角形队列．参加排练团体操的学生至少要有__________人．【答案】36【解析】“能排成一个正方形队列”说明人数是平方数，“能变换成一个正三角形队列”说明人数能表示成从1开始的连续自然数之和．那么综合起来考虑，稍加尝试发现，满足条件的最小人数为：23661+2+3+4+5+6+7+8==．例1.3.2将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？【答案】1、4、9、16、25、36、49、64、81、100【解析】某个灯泡被拉的次数即为其编号的约数个数，最终亮的灯泡被拉了奇数次，故其编号有奇数个约数，即为完全平方数．因此，亮的编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100．例1.3.3某个家庭有4个成员，他们的年龄各不相同，4人年龄的和是129岁．其中有3人的年龄是平方数，如果倒退15年，这4人中仍有3人的年龄是平方数．请问，他们4人中年龄最大的现在的年龄是___________岁．【答案】64【解析】由于有3人十五年前为平方数，故必有两个人现在和十五年前同时为平方数，设现在的年龄2a ，十五年前年龄2b ，()()2215a b a b a b -==+-，则8a =或2；7b =或1；则年龄最大的64．例1.3.4在时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数．他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊．他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊．为了公平，第一个人应补给第二人____________文钱．【答案】2【解析】根据题意可知，牛群的总价是一个完全平方数，大羊的只数是个奇数．因为每只大羊10文钱，所以大羊总价个位为0，十位是一个奇数．小羊的价钱是一个小于10的整数，且牛群与羊群的总价相等，所以牛群总价是完全平方数且十位数字是奇数．根据平方数的特征，如果一个数为某数的平方，且十位数字为奇数，那么它的个位数字一定是6．所以小羊价钱为6文钱，第一个人应补给第二人()10622-÷=文钱．随练1.1如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是________.【答案】1，2，5，6，7，0【解析】平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9．随练1.2有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同的自然数的乘积）．如：111111=⨯=⨯⨯，6488444=⨯=⨯⨯．那么，1000以内的自然数，这样的数共有__________个．【答案】3【解析】既是完全平方数又是立方数的数所含相同质因数的个数至少是6个或6的倍数，满足条件的数有：611=，6264=，63729=，6440961000=>，66231000⨯>，所以满足条件的数只有3个．随练1.3一个两位数乘以7，所得到的积的各数位上的数字相加和是18，并且这个两位数的约数有奇数个，那么这个两位数是 ．【答案】81【解析】易知乘积既为7的倍数，又为9的倍数，即为63的倍数，且最大为9976311⨯=⨯．经试验，63的2至11倍中，只有189、567、693的数字和为18，而其中只有45677813÷==的约数个数为奇数个．随练1.4n 减58是完全平方数，n 加31也是完全平方数，求n ．【答案】1994【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，58+31=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245311994-=．随练1.546305乘以一个自然数a ，积是一个完全平方数，则最小的a 是多少？【答案】105【解析】46305=5×3×3×3×7×7×7，所以a 最小是5×3×7=105．随练1.64800000有______个因数是立方数．【答案】8【解析】立方数要求每种质因数的个数都为3的倍数．954800000235=⨯⨯，质因数可2可以取0个、3个、6个、9个共4种方法，质因数5可以取0个或3个共两种方法．所以4800000有428⨯=个因数是立方数．作业1同时满足以下条件的数是（）．①所有因数的和为31；②是5的倍数；③有奇数个因数．A ．30B ．27C ．25D ．20【答案】【解析】数论知识，有奇数个因数一定是平方数，C 正确．作业21016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是______．【答案】254【解析】310162127=⨯，故a 最小为2127254⨯=．作业3在1——200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为__________．【答案】377【解析】由求约数个数的公式可知，只有质数的平方有3个约数．221320017<<，由此易知满足条件的数有4、9、25、49、121、169，总和为377．作业4已知两个不同的正整数a 、b 满足：a b +和a b -都是完全平方数，那么a 的最小值是__________．【答案】5【解析】a b +和a b -同奇同偶，且()()22a b a b a b +-=-也是平方数，即222a b c -=，a 、b 、c 为勾股数组，a 最小为5．作业5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是__________．【答案】170【解析】（1）两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为8164145+=．（2）两个数均不是平方数，则这两个数为2a m ⨯，2a n ⨯（其中m 不等于n ）．对可能的情况进行讨论：当2a =时，这两个数最大是227⨯，226⨯，和为9872170+=．当3a =时，这两个数最大是325⨯，316⨯，和为7548123+=．当5a =时，这两个数最大是516⨯，59⨯，和为8045125+=．当6a =时，这两个数最大是616⨯，69⨯，和为9654150+=．……经讨论，和最大为170．作业6有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．【答案】(43,57)、(18,32)、(68,82)【解析】设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．作业7一个三位数去掉中间的一个数字得到一个新的两位数，如235去掉中间的3后得到25，如果原来的三位数是新两位数的平方，那么这样的三位数共有_______个．【答案】2【解析】若两位数的平方为三位数，可得其最大值为31，且易知15及以上的数其平方的百位大于原数的十位，故只可能为10至14．经验证，只有10、11符合要求．作业8甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【答案】2【解析】n 头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．作业9请从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数．【答案】1986、1998【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，我们还可以知道这两个数的奇偶性是相同的，19861198629936331=⨯=⨯=⨯；198911989=⨯；19922996=⨯；199511995=⨯，199811998299936666333=⨯=⨯=⨯=⨯=……，从上面我们发现1986和1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式．作业10志诚小学三六年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【答案】1981【解析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=⨯⨯，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三六年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.作业11求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数． (2)被22除余数为5． (3)它是完全平方数．【答案】1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025【解析】解设2225n N +=其中，n ，N 为自然数，可知N 为奇数()2161121N n -=-得到()()()441121N N n -⨯+=-，11|411|4N N -+或者()21114N k ⇒=-⨯+227N k ⇒=-或者2215(1,2,3,4)N k k =-=……，k =1时227,4915,225N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去， k =2时2229,84137,1369N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去，k =3时2251,260115,3481N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩，k =4时2273,532981,6561N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩， k =5时2295,9025103,10609N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025．。
数论专题讲义
数论专题讲义数论专题数论主要分为以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、分裂问题一.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位数和偶数位数之和的差可以除以11，那么这个数可以除以114.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，然后这个数字可以除以7、11或13【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果ca，CB，然后是C（a±b）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果boa，Cob，然后COA用同样的方法，我们还可以得出：属性3如果a可以被B和C的乘积除，那么a也可以被B和C除。
也就是说，如果bcoa，那么么boa，coa．属性4如果数字a可以被数字B或数字C除，并且数字B和数字C是互质的，那么a必须被数字B除1/10除以和C的乘积。
也就是说，如果boa，COA和（B，C）=1，那么bcoa性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m是非零整数）；性质6如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果b｜a，和D C，然后是BD AC；1、整除判定特征如果六位数的数字是1992□ □ 可以除以105，最后两位数是多少？2、数的整除性质应用如果15abc6可以除以36，商是最小的，那么a、B和C分别是什么？3、整除综合性问题已知：23！？258d20c6738849766ab000。
第十一讲 初等数论-2
12
• 分析： 分析：
–先明确下各个变量代表的意思： 先明确下各个变量代表的意思： 先明确下各个变量代表的意思
• x：青蛙A的出发点坐标 青蛙A • y：青蛙B的出发点坐标 青蛙B • m：青蛙A一次能跳m米 青蛙A一次能跳m • n：青蛙B一次能跳n米 青蛙B一次能跳n • L：纬度线总长L米 纬度线总长L
2
gcd（最大公因子） 最大公约数 gcd（最大公因子）
• Euclidean算法求两个正整数a和b的 Euclidean算法求两个正整数a 算法求两个正整数 gcd。先令r gcd。先令r0为a，r1为b，接着执行如 下运算： 下运算：
3
最大公约数
• GCD递归定理：对任意非负整数a和任意 GCD递归定理 对任意非负整数a 递归定理： 正整数b 正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。 b)。
7
扩展欧几里德算法
程序代码如下： 程序代码如下： int extended_ gcd(int a, int &y){ int t, gcd; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } gcd = extended_ gcd t = x; x = y; y = t return gcd; } int b, int &x,
14
第三章
同 余
同余是数论中的重要概念， 同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数 问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念， 问题的重要工作类和完全剩余系.
15
例3. 求 7 的个位数.
7 解：1 ≡ −3(mod10), 7 2 ≡ −1(mod10), 7 4 ≡ 1(mod10)
高一年级竞赛数学数论专题讲义：11.模为素数的二次剩余
高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p d p -≡-3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡当1(mod 4)p ≡时,21!1(mod ).2p p ⎛-⎫⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.设p 是奇素数,证明：1,2,,1p -中全体模p 的二次剩余之和12221(1).24p j p p j S p p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,12221(1)(1).244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余解答设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.证明：取模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+-- d 是模p 的二次剩余当且仅当2222221111(),(1),,(1),1,,(1),().2222p p p p d ----≡--+-- 由于22()(mod ),j j p -≡所以d 是模p 的二次剩余当且仅当222111,,(1),().22p p d --≡- 当112p i j -≤<≤时,121,10,2p i j p i j -<+<--<-<22()()0(mod ).i j i j i j p -=+-≡/ 所以222111,,(1),()22p p d --≡-给出了模p 的全部二次剩余,共有12p -个. 由于模p 的既约剩余系(简系)有1p -个数,所以另外的12p -个必为模p 的二次非剩余. 当d 是模p 的二次剩余时,必存在唯一的1,1,2p i i -≤≤使得(mod )x i p =是同余方程2(mod )x d p ≡的解,于是在模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+--中有且仅有(mod )x i p =±是同余方程2(mod )x d p ≡的解,所以解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p dp -≡-证明：首先来证明对任一,,d p d Œ11221(mod ),1(mod )p p d p dp --≡≡-有且仅有一个成立.由Euler 定理知道11(mod ).p dp -≡因此1122(1)(1)0(mod ).p p d dp --+-≡。
#【数学】【数论】几个特殊的数
#【数学】【数论】⼏个特殊的数素数 ⼤于1且不被其他整数（除了1和其本⾝）整除的整数。
质数定义为在⼤于1的⾃然数中，除了1和它本⾝以外不再有其他因数。
⽰例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41...回⽂数 “回⽂”是指正读反读都能读通的句⼦，它是古今中外都有的⼀种修辞⽅式和⽂字游戏，如“我为⼈⼈，⼈⼈为我”等。
在数学中也有这样⼀类数字有这样的特征，成为回⽂数（palindrome number）。
设n是⼀任意⾃然数。
若将n的各位数字反向排列所得⾃然数n1与n相等，则称n为⼀回⽂数。
例如，若n=1234321，则称n为⼀回⽂数。
注意： 1.偶数个的数字也有回⽂数124421 2.⼩数没有回⽂数 ⽰例： 1千以内的回⽂数 在⾃然数中，最⼩的回⽂数是0，其次是 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,45 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959 ⼈们迄今未能找到⾃然数(除0和1)的五次⽅，以及更⾼次幂的回⽂数。
于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是⾃然数)形式的回⽂数。
在电⼦计算器的实践中，还发现了⼀桩趣事：任何⼀个⾃然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进⾏下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到⼀个回⽂数。
数论部分定义定理
定义 4 设 x 是一个实数，我们称 x 的整数部分为小于或等于 x 的最大整数，记 成[x].这时，我们有
定理 10（欧几里得除法） 设 a，b 是两个整数，其中 b .则对任意的整数 c， 存在惟一的整数 q，r 使得
1.2 整数的表示
定理 1 设 b 是大于 1 正整数.则每个正整数 n 可惟一地表示成
被
是 a 被 b 除的最小正余数.
引理 2 设 a,b 是两个正整数，则
和
定理 10 设 a,b 是两个正整数，则正整数 b 互素.
除的最小正余数是
，其中 r
的最大公因数是
.
和
互素的充要条件是 a 和
1.4 整除的进一步性质及最小公倍数
定理 1 设 a,b,c 是三个整数，且 b 0，c 0，如果(a,c)=1，则
有惟一解
.
定义 2 设 m 是一个正整数，a 是一个整数.如果存在整数 a’使得
aa’ 1(modm)
成立，则 a 叫做模 m 可逆元.
定理 3 设 m 是一个正整数，a 是满足(a,m)|b 的整数.则一次同余式
的全部解为
t=0,1,…,(a,m)-1.
定理 4 设 m 是一个正整数.则整数 a 是模 m 简化剩余的充要条件是整数 a 是模 m 逆元.
(i)d|a,d|b; (ii)若 e|a,e|b，则 e|d. 定理 8 设 a,b 是任意两个不全为零的整数， (i)若 m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m;
(ii)若非零整数 d 满足 d|a,d|b，则
.特别地，
定理 9 设
是 n 个整 a,b 是两个正整数.则
定理 1 设
是三个整数.若 c|b，b|a，则 c|a.
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17
素数生成
【例】埃拉托斯特尼(Eratosthene)筛法 对素数的研究从古至今都是数学家的最大乐趣，大约在
公元前250年，古希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes)提 出一个求不超过正整数N的素数的构造性方法，为了纪念塔， 后人称这个算法为埃拉托斯特尼筛法。
设p是素数且p | a1a2…ak, 则必存在1≤i≤k, 使得p| ai. 注意:当d不是素数时,d | ab不一定能推出d | a或d | b.
9
算术基本定理
定理(算术基本定理,整数分解定理)：任何正整数n>1,可以写成
n
p k1 1
p k2 2
p3k3 ... ps ks
p1 p2 ps 是不同的素数
算法思想：为了说明问题，研究[2,45]素数
⑴ 首先，2是最小的素数，所有能被2整除的数(偶数)一 定不是素数。删除这些偶数
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
(0 r n )
余数：r m modn
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
定义(整除)：在上式中，如果 r=0,则表示m可以被n整除，
m=qn,记为 n|m， n称为m的因子。
3
定理(整除的性质)：设a,b,c是整数
性质1 若a |b且a |c, 则 x, y, 有a| xb+yc. 性质2 若a|b且b|c, 则a|c. 性质3 设 m≠0, 则 a|b 当且仅当 ma | mb. 性质4 若a | b且b | a, 则a=±b. 性质5 若a | b且b≠0, 则|a|≤|b|.
性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)． 性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)． 性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．
4
常见数的整除特征
⑴ 能被2,4,5,8 整除的数的特征 ⑵ 能被3,9 整除的数的特征 ⑶ 能被11整除的数的特征
p r1 1
p r2 2
psrs , 其中，０ ri
ki
例：21560有多少个正因子？
解：21560=23*5*72*11 根据推论，r1={0,1,2,3} ;
r2={0,1}
r3={0,1,2};
r4={0,1}
因此21560的正因子个数=4*2*3*2=48 个
11
有多少个素数？
定理(无最大素数定理)：有无穷多个素数，或无最大 素数
只能适用于比较 小的整数的判定
16
例： 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161 都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2∤157, 3∤157, 5∤157, 7∤157, 11∤157 结论: 157是素数.
2∤161, 3∤161, 5∤161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
k1, k2 , ks 是正整数 例：30=2*3*5
117=32*13
21560=23*5*72*11
71213=17*59*71
1024=210
10
推论：设 n
p k1 1
p k2 2
p ks s
,
p1,
p2 ,
ps是互不相同的素数，则
正整数d是n的因子的充分必要条件是
d
5
例题解析：
6
7
8
素数：整数p>1,在正整数集合中，只有１和p自身能整 数p,
则称p为素数。
合数: 大于1且不是素数
例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
素数性质： 性质1 a>1是合数当且仅当a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 性质2 合数必有素数因子. 性质3 如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质4 设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b.
注：当n是合数时, 2n1一定是合数, 2ab1=(2a1)(2a(b1)+2a(b2)+…+2a+1).
14
素数判定
在C语言中学过的素数判定的基本方法？
定理：如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的真因子.
证： 如果a是合数，则a可表示成 a=bc, 其中1<b<a,
1<c<a. 显然, b和c中必有一个小于等于 a . 否则, bc>( a )2=a, 矛盾.
证明（欧几里德）：反证法，设有有穷多个素数，从小到大 排列为这p1,p2,p3,…,pn, pn是这些素数中最大的素数。 令：m=p1p2p3…pn+1 ,显然，pi不能整除m, 因此，或者m是素数，或者存在比pn大的整数能整除m。 无论哪种情况，都与假设矛盾。所以有无穷多个素数。
12
有多少个素数？
数论基础
河海大学物联网学院 丁海军
1
1 素数 2 最大公约数与最小公倍数 3 同余 4 一次同余方程 5 欧拉定理和费马小定理
2
1 素数
定理(整数表示)：如果m和n是整数，n>0,则存在整数q和r， 0<=r<n;使得 m=qn+r。其中，m称为被除数，n为除 数，q为商，r为余数
m qn r
定理(素数分布定理)：设 (n)表式成立：
ln
n
3 2
n
n
ln
n
1 2
n
103
104
105
106
107
n 168 1229 9592 78498 664579
n/ln(n) 145 1086 8686 72382 620421
13
梅森数(Marin Mersenne): 当p为素数时，称具有 2p1形式的数为梅森数。 梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=23×89 是合数.到2000左右找到的最大梅森素数是 2134669171, 有4百万位.
15
根据上述的定理和推论，写出素数判定算法:
int is_prime(int x) //判定x是否是素数
{ int m;
if(x==2) return 1;
if(x%2==0) return 0;
m=sqrt(x);
for(i=3;i<=m;i++)
if (x%i==0)
return 0; return 1; }