八招破解不等式恒成立问题

1 1 a 2 2 ax x 1 1 x x ，分离参数可得 ，令 t , x (0,1] ， ② 当 x 0 时， ax 2 x 1 ，即 2 x a ( 1 1 ) ax x 1 2 x x 2 a t t t (1, ] ， (t 2 t ) min 0,[ (t 2 t )]max 2 ， 即当 t (1, ] 时恒有 , 当 t (1, ] 时， 2 a (t t )
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函数在此区间上的最值问题。 三、变量分离法（变量分离巧转化） 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且 容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值 问题求解。 x2 2 x a 【例6】已知函数 f ( x) , x [1, ) ， 若对任意 x [1, ), f ( x) 0 恒成立， 试求实数 a 的 x 取值范围。 【分析】此题可经过等价转化为在区间 [1, ) 上 x 2 2 x a 0 恒成立，再将转化后的不等式分离参 数得 g (a ) h( x) 恒成立，再求得 h( x) 得最大值 hmax ( x) ，由 g (a ) h( x) max 可得实数 a 的取值范围。 【解析】在区间 [1, ) 上， f ( x) 0 恒成立 x 2 2 x a 0 在区间 [1, ) 上恒成立，要使
m 2 2m 1 0,1 2 m 1 2 ,又 m 0,1 , 0 m 1 ；
③当 t m 1 时， 函数 y g (t ) 在 t (0,1) 上单调递增，g (t ) min g (1) 1 2m 2m 1 2 0 恒成立， m 1 。 1 综上所述，实数 m 的取值范围为 m 。 2 【点评】此题属于含参数二次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论。对于二 次函数在 R 上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求
x 2 2 x a 0 恒成立，只需 a x 2 2 x ( x 1)2 1 恒成立，由二次函数的性质可得
( x 1)2 1 3 ，故只需 a 3 ，故所示实数 a 的取值范围为 a 3 。
【例7】已知二次函数 f ( x) ax 2 x( a R, a 0) ，若 x [0,1] 时，总有 f ( x) 1 ，试求 a 的取值范 围。 【解析】①当 x 0 时， f (0) 0 1 恒成立；
由 f (cos 2 2m sin ) f (2m 2) 0 得到 f (cos 2 2m sin ) f (2m 2) ， 【解析】 因为 f ( x) 为奇函数，故有 f (cos 2 2m sin ) f (2m 2) 恒成立，又因为 f ( x) 为 R 减函数，从而有
a 0 ，若是二次函数在指定区间 0 上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，略解如下：⑴当 4( a 1)( a 2) 0 时，即 2 a 1 时，对一切 x 1, 时，都有 f ( x) a 恒成立；⑵设方程
a 0 a 0 f ( m) 0 象 （直线） 可得上述结论等价于⑴ 或⑵ ， 亦可合并成 ； 同理， 若在 m, n f ( m) 0 f ( n) 0 f ( n) 0 f ( m) 0 内恒有 f ( x) 0 ，则有 。 f ( n) 0 二、零点分布法（零点分布显神通） 所谓零点，即是使得函数值为零时，自变量所对应的值，其本质是函数与 x 交点的横坐标。在 解题过程中，巧妙利用零点分布情况进行讨论，可使得比较复杂的问题迎刃而解。 【例2】已知 f ( x) x 2 ax 3 a ，若 x [2, 2], f ( x) 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围。 【解析】本题可以考虑 f ( x) 的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在
0 0 a a 2 2 区间的右侧三种情况，即 0 或 2 或 2 ，即 a 的取值范围为 7, 2 。 f (2) 0 f ( 2) 0 f (2) 0 f (2) 0 【点评】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况, 要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了。 【例3】设 f ( x) x 2 2ax 2 ,当 x 1, 时，都有 f ( x) a 恒成立，求 a 的取值范围。
cos 2 2m sin 2m 2 对 0, 恒成立，设 sin t , t (0,1) ，则 t 2 2mt 2m 1 0 对于 2 t (0,1) 恒成立，再设函数 g (t ) t 2 2mt 2m 1 ,对称轴为 t m 。
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4a 0 ，即 a 4, a 8 。 2
【例5】定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数，又是减函数，且当 0, 时，有 2 2 f (cos 2m sin ) f (2m 2) 0 恒成立，求实数 m 的取值范围。
【分析】题目中要证明 f ( x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在 区间 1, 时恒大于 0 的问题。
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【解析】设 F ( x) f ( x) a x 2 2ax 2 a ⑴当 4( a 1)( a 2) 0 时，即 2 a 1 时，对一切 x 1, 时，都有 f ( x) a 恒成立； ⑵当 4( a 1)( a 2) 0 时由图可得以下充要条件：
1 ①当 t m 0 时，函数 y g (t ) 在 t (0,1) 上单调递增， g (t ) min g (0) 2m 1 0 ，即 m ，又 2 1 m 0, m 0 ； 2
②当 t m 0,1 ，即 0 m 1 时, g (t ) min g (t ) m 2 2m 1 0 ，即
0 x 2ax 2 a 0 的两个根分别为 x1 , x2 ，且 x1 , x2 , 1 ，由韦达定理可知 x1 x2 2a 2 ， ( x 1)( x 1) 0 2 1
2
得 3 a 2 ，综上所述，实数 a 的取值范围为 3,1 。
【例4】关于 x 的方程 9 x (4 a )3x 4 0 恒有解，求实数 a 的取值范围。 【分析】题目中出现了 3x 及 9 x ，故可通过换元转化成二次函数型求解。 【解法 1】利用韦达定理求解： 设 3x t (t 0) ，则原方程有解等价于方程 t 2 (4 a )t 4 0 有正根。
所求问题转化为方程 t 2 (4 a )t 4 0 有正根的问题。设 f (t ) t 2 (4 a )t 4 ， ⑴ 0 ,即 a 0 或 a 8 ； ① a 0 时， f (t ) (t 2) 2 0 ,得 t 2 0 ，不合题意； ② a 8 时， f (t ) (t 2) 2 0 ,得 t 2 0 ,符合题意， a 8 ⑵ 0 ,即 a 8 或 a 0 时， f (0) 4 0 ,故只需对称轴 x 综合所述，实数 a 的取值范围为 a 8 。
综上所述，实数 a 的取值范围为 3,1 。
( a 1)(a 2) 0 0 ，得 3 a 2 。 f评】若二次函数 y ax 2 bx c(a 0) 大于 0 恒成立，则有
0 (4 a) 2 16 0 a 0或a 8 a 8 x1 x2 (4 a ) 0 ，即 a 4 a 4 x x 4 0 1 2
【解法 2】利用根与系数的分布关系求解： 设 3x t (t 0) ，如图所示，
八招破解不等式恒成立问题
绵阳东辰国际学校 冷世平
不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用 构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数形结 合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方 面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。解决恒成立问题主要有以下几种方法，供 各位同学参考。 一、反客为主法（反客为主占上峰） 有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，同学们在解答时，由于思维定 势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常 复杂甚至难以解出。其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位 调换，即“反客为主” ，常常使许多难题巧妙获解。 【例1】对于满足 p 2 的所有实数 p ,求使不等式 x 2 px 1 p 2 x 恒成立的 x 的取值范围。 【分析】在不等式中出现了两个字母： x 及 p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为 常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在 2, 2 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立 的问题。 【解析】不等式即 ( x 1) p x 2 2 x 1 0 ,设 f ( p ) ( x 1) p x 2 2 x 1 ,则 f ( p) 在 2, 2 上恒大
2 f (2) 0 x 4x 3 0 于 0 ，故有 ，即 2 ，从而解得 x 1 或 x 3 。 f (2) 0 x 1 0 【点评】在不等式中出现了两个字母： x 及 p ,而我们都习惯把 x 看成是一个变量， p 作为常数。本