空间点、直线、平面之间的位置关系
m l
β α
m
l
直线m和l是异面直线吗? (2)a , b ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
b
a
b
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m l P
①有三个公共点的两个平面重合
②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面
④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
2、下列命题正确的是 （
）
A、两条直线可以确定一个平面 B、一条直线和一个点可以确定一个平面
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（
若a∥b，b∥c, 则a∥c
c
a
a
b
c
α
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1 A1 C1
B1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
A
D B
C
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
，
B A
D
正确
C1 D1 O1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误
C
B
O
D
A
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ； 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面． 正确
2.1.1 平面
实物引入、揭示课题 长方体的面给我们以平面的印象；生活中常 见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖 面等等，都给我们以平面的印象。
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
1、平面的含义 以上实物都给我们以平面的印象，几何里所 说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出 来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸， 这是平面最基本的属性。
3、点、直线与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
B A
点A在平面α内，记作A∈α 点B在平面α外， 记作Bα 直线l在平面α内表示为 lα 直线l不在平面α内表示 为 lα
α
m
A
.·l · .·
B
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 ( ( ( : ) ) )
D1 B1
C1
D B
C
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（1）由异面直线的判 定方法可知，与直线 BA 成异面直线的有直线
，
BC, AD, CC, DD, DC, DC
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线
一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2
m
l
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
1、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
（0， 90]
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1。
2）A1 B1与AC；
A1
B1
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D A B
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线
4、平面的基本性质 补充3个推论： 推论1：经过一条直线与直线外一点， 有且只有一个平面。 推论2：经过两条平行直线，有且只有 一个平面。 推论3：经过两条相交直线，有且只有 一个平面。
4、平面的基本性质
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所 在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？ 为什么？
α
β α
β
②、平面的表示方法
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四 边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用 代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个 顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
D A
B
C
D A
E
F B
C
记作： 平面
记作：平面 平面
平面ABCD 平面AC或平面BD
王新敞
奎屯 新疆
常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平 面的局部形象；一个平面把空间分成两部分， 一条直线把平面分成两部分
王新敞
奎屯 新疆
2、平面的画法及表示
①平面的画法：
D B C
在立体几何中，常用平行四边 形表示平面，当平面水平放置 时，通常把平行四边形的锐角 A 0 画成45 ，且横边长画成邻边长 的两倍； 画两个平面相交时，当一个 平面的一部分被另一个平面 遮住时，应把被遮住的部分 画成虚线或不画。
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
4、平面的基本性质
生活中经常看到用三角架支撑照相机．或 测量用的平板仪等等„„
4、平面的基本性质
存在性
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 平面．
B
唯一性
A
C
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定 的平面，可以记成“平面ABC”．
作用： 确定平面的主要依据．
4、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
图形语言
A
.·l · .·
B
符号语言
Al B l l A B
在生产、生 活中，人们经过 长期观察与实践， 总结出关于平面 的一些基本性质， 我们把它作为公 理．这些公理是 进一步推理的基 础．
B
E
H
D F G C
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 CF CG 2 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， CB CD 3 A 求证:四边形ABCD为梯形.
E
H
D
分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。
B F
G
C
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角。 b a′ ？ O P a b′
a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置
关系
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（2）由 BB // CC 可知， BBA 等于异面直线 与 CC 的夹角,所以异面直 线BA 与 的夹角为450 。
A B D E F
C
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B
C
D F E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
的角叫做两直线的夹角
a
A l
a
P
l b
B （ 1）
解：在（1）中，
l, a A, a B.
空间点、直线、平面之间的位置关系
[类题通法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的 推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直 线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点 的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
[试一试]
1．下列说法正确的是 A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
(
)
解析：由异面直线的定义可知选 D.
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求． 在△A1BE中， 设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
3 10 答案： 10
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是 公理的是 ．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
(
)
答案：0
5．(2013· 银川模拟)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方 体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC 所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由 AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60° ， 即A1C1与B1C所成角为60° .
线的方法有哪些？
如何转化证明两 直线相交？
空间几何中的点直线平面的位置关系
空间几何中的点直线平面的位置关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。
从我们居住的房屋结构，到道路的布局，再到各种建筑的设计，都离不开空间几何的知识。
而在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素，它们之间的位置关系也是我们理解和解决空间几何问题的关键。
首先，让我们来认识一下点。
点，是空间中最基本的单位，它没有大小，只有位置。
可以把点想象成是宇宙中的一颗星星，在浩瀚的空间中有着自己独特的坐标。
在数学中，我们通常用一个坐标来表示一个点的位置，比如在二维空间中，点可以用（x，y）来表示；在三维空间中，点则用（x，y，z）来表示。
接下来是直线。
直线是由无数个点组成的，它可以向两端无限延伸。
想象一下，在晴朗的夜晚，我们看到的笔直的星光，那就是一种近似于直线的存在。
直线在空间几何中有着重要的地位，它的特点是没有弯曲，没有尽头。
我们可以用一个点和直线的方向向量来确定一条直线，也可以用两个不同的点来确定一条直线。
然后是平面。
平面就像是一张无限延展的平坦的纸，它没有厚度。
比如我们脚下的大地，如果忽略其起伏和凹凸不平，就可以近似地看作一个平面。
平面可以用一个点以及平面的法向量来表示，也可以用三个不共线的点来确定一个平面。
了解了点、直线和平面的基本概念后，接下来我们看看它们之间的位置关系。
点与直线的位置关系相对简单，点要么在直线上，要么不在直线上。
如果点在直线上，那么这个点的坐标满足直线的方程；如果点不在直线上，那么它的坐标就不满足直线的方程。
点与平面的位置关系也是类似，点要么在平面内，要么在平面外。
如果点在平面内，那么这个点的坐标满足平面的方程；如果点在平面外，那么它的坐标就不满足平面的方程。
直线与直线的位置关系就稍微复杂一些。
两条直线可能平行，也就是它们的方向向量相同，但位置不同，它们永远不会相交；两条直线也可能相交，即它们在空间中有一个共同的交点；还有一种特殊情况，就是两条直线重合，此时它们的方程完全相同，所有的点都相同。
空间点、直线、平面之间的位置关系(讲义及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义） ＞知识点睛一、平面的基本性质如果一条直线上的________ 在一个平面内，那么这条直线在此平面内过 ____________的三点，有且只有一个平面如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们有 且只有_____________ 过该点的公共直线公理1 公理2公理3 自 八 语 言符号语言2相关推论 1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.3：经过两条平行直线，有且只有一个平 位置关系符号语言 图示点、线点在直线上--- ------- 1点在直线外点、面点在平面内 •B/ - /点在平面外 二、位置关系面. A /ca公理 推论 面.推论 ••人B, C 三点 不共线 二有且只有一个 平面a,使位置关系 符号语言 图示线、线 同一平面 相交平行不同一平面 异面线、面 线在平面内线在平面外 相交3 /平行/面、面 平行 粉'\ /相交7三、线线位置关系I 公理4：平行于 ______________ 的两条直线互相平行.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角________________ .2 异面直线所成的角① 定义：设G 方是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a' b' //h,把刃与夕所成的 _________________ 叫做异面直线"，”所成的角（或夹角）.② 异面直线所成角&的范H ： _________ .③ 如果两条异面直线所成的角是直角，那这两条直线___________ .两条互相垂直的异面直线仙b,记作 __________ . ④ 图示.3 求角的处理步骤① 构造：根据异面直线的定义，用平移法作出角；② 证明：证明说理；③ 计算：求角度，常利用三角形求解；④ 结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求b '出的角是是钝角，则其补角为所求角.四、证明三线共点、三点共线的方法1.三线共点处理思路：先证两条直线相交于一点，再证第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，利用公理3可证.2.三点共线处理思路：先找两个平面，证明这三点都是这两个平面的公共点，利用公理3,三点都在交线上.精讲精练下列四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线：佛点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则点A, B, E共面；③若直线G方共面，直线"，（•共面，则直线b，C共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的有（）A- 0个B・1个C・2个D・3个2 . 设P表示一个点，⑴b表示两条直线，g 0表示两个平面, 给出下列四个命题：®Pe«r P eawua；©anh=P, bupnaup；③a〃b、rtua, Pe/jr P eanbua；④ari0=/?, P ecGPEpnPEb.其中正确的是（3 . A-①②C・①④D・②③如图，anfi=h A. Bea. CW介且C*人直线AB n f=M.过A, B, C 三点的平面记作y,则卩与〃的交线必通过（）A•点AC•点C但不过点MB・点BD•点C和点MD. 6在下图中，G, N, M, H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，其中表示直线GH, MN 是异面直线的图形是 ________ .（填 上所有正确答案的序号）111 U /!/ // 皆、 ■(;① N // ©// . V //® 4. 下列说法正确的是（A B c 若uug bup 、则a 与b 是异面直线若《与Z?异面，/?与C 异面，则丫/与^异面 若G, Z?不同在平面Ct 内，则a tj h 异面 若⑴b不同在任何一个平面内，则a 与b 异面5. 在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi 中，既与AB 共面也总CCi 共面的棱有（… * A- 3 )条・ B ・4 AlCl C- 5 6.9. ；A n /! / /1 J 1/ F C Z /如图，在空间四边形ABCD 中，对角线AC=24. BD=\0. M, N 分别是AB, CD 的中点，且MN 二13,则异面直线AC 和BD 所成角的度数为（A. 90。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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13
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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37
解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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31
③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
空间点,直线,平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点）一、四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号语言：,,l B l A ∈∈且.,ααα⊂⇒∈∈l B A图形语言：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.图形语言：ABC ∆确定一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言：,,l P P =⋂⇒∈∈βαβα且.l P ∈公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号语言：.////,//c a c b b a ⇒二、三个角的定义三角为：异面直线所成的角，线面角，二面角.1 异面直线所成的角：已知两条异面直线b a ,，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''把b a ''与所成的锐角（或直角）叫做异面直线b a ,所成的角（或夹角）.2 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.图形语言：3 二面角: 在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂直，在半平面 α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 图形语言：三、判定定理和性质定理1 线面平行的判定定理文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符合语言：.//,//,,αααa b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄2 面面平行的判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符合语言：.//////αβααββ⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a P b a b a3 线面平行的性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符合语言：.//,,,//b a b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊂βαβα图形语言： 定理：平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条直线也平行于这个平面.符合语言：.//////αααb b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄4 面面平行的性质定理文字语言：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符合语言：.////b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα定理：夹在两个平行平面间的平行线段相等.5 线面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符合语言：.,αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥a O c b c b c a ba 定理：两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面. 符合语言：.//αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a6 面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符合语言：.βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥aa7 线面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：.//baba⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα定理：垂直于同一条直线的两个平面平行.符合语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥aa.定理：一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直这个平面内的任意一条直线.符合语言：.baba⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα8 面面垂直的性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符合语言：βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥alaal.定理：两个相交平面都垂直第三个平面，则两个相交平面的交线也垂直于第三个平面.符合语言：.γβαγβγα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥ll。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBAβαABαβαβBAAβαBA α∈ 点A 在平面α内A α∉ 点A 不在平面α内b a Aa b A =直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅ 直线a 与平面α无公共点a A α=直线a 与平面α交于点Al αβ= 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；BA αAαAαaαaαa Aα推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
空间点直线平面之间的位置关系
2
2
H E
且AC BD
DG
所以EF EH
B
所以平行四边形 EFGH 是菱形
F
C
空间点、直线、平面之间的位置关 系
等角定理
观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.
问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系 问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？
空间点、直线、平面之间的位置关 系
思考1 在平面上，我们容易证明“如果一个角的
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢？
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
空间点、直线、平面之间的位置关 系
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a//a,b//b，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
空间点、直线、平面之间的位置关 系
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
空间点、直线、平面之间的位置关 系
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”Pl,A
2
FG //BD ，且 FG 1 BD
2
A
H E
DG
因为 EH //FG ，且 EH FGB
F
C
所以
四边形EFGH 是平行四边形．
空间点、直线、平面之间的位置关 系
探究
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四
点直线平面之间的位置关系知识点归纳
第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点总结1、平面的性质一、空间点、直线、平面之间的位置关系四个公理：公理1文字语言：符号语言：公理2：文字语言：符号语言：公理3：文字语言：符号语言：推论：（1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。
（2）过两条相交直线，有且只有一个平面。
（3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。
2、空间中直线与直线之间的位置关系异面直线：空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）：相交直线：平行直线：异面直线：公理4 ：（平行线的传递性）文字语言：符号语言：等角定理：异面直线所成的角：3、空间中直线与平面与直线间的位置关系（1）直线在平面内：（2）直线与平面相交：（3）直线与平面平行：4、平面与平面之间的位置关系（1）两个平面平行：（2）两个平面相交：二、直线、平面平行的判定的判定及其性质1、直线与平面平行的判定及其性质（1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）：符号语言：（2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）：符号语言：2、平面与平面平行的判定及其性质（1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）:符号语言：（2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）：符号语言：三、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线平面垂直的的判断及其性质（1）直线与平面垂直的定义：（2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）：符号语言：（3）直线与平面垂直的性质：符号语言：（4）平面与直线所成角的角：2、平面与平面垂直的判定及其性质（1）二面角的定义：（2）二面角的平面角的定义：（3）平面与平面垂直的定义：（4）平面与平面垂直的判定（线面垂直，则面面垂直）：符号语言：（5）平面与平面垂直的性质（面面垂直，则线面垂直）：符号语言：祝:同学们学习进步，天天向上！。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1、公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内.注1：公理1用符号可表示为：若A l ∈，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊆. 注2：公理1 的用途：可以证明“点在面内”或“线在面内”.2、公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，并且这些公共点在同一条直线上.注1：公理2用符号可表示为：若A α∈，A β∈，则l αβ⋂=，并且A l ∈. 注2：公理2 的用途：确定两个平面的交线（在画截面图或补体时会用到）或证明“三点共线”、“三线共点”.注3：求证三点及三点以上的点共线，主要依据公理2，只要证明这些点都是两个不重合的平面的公共点，那么它们都在这两个不重合的平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法是：先证明其中两条直线交于一点，再证明其余各直线都经过该点.3、公理3过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.注1：公理3用符号可表示为：若A 、B 、C 三点不共线，则A 、B 、C 三点确定一个平面α，使得A 、B 、C α∈.注2：公理3 条件中的“三点”是条件的骨干，一般不会被忽视，但“不在同一条直线上”这一条件容易被遗忘；公理3结论中的“有”是说平面存在，“有且只有一个”是说平面唯一. 因而，公理3的结论强调的是存在和唯一两个方面，“有且只有一个”必须完整地使用.注3：公理3 的用途：证明“两个平面重合”，用来确定一个平面或证明“点线共面”.注4：证明点线共面通常有两种思路：一种是先用部分点确定一个平面，再证明余下的点线都在此平面内；另一种是分别用部分点线确定两个或多个平面，再证明这些平面是重合的.4、公理4平行于同一条直线的两条直线平行.注：公理4用符号可表示为：若a c ，b c ，则a b .5、定理空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.6、空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系可以分为：相交、平行和异面三种.注：空间两直线的垂直关系既可以是相交的一种特殊情况，也可以是异面垂直.7、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的定义已知两异面直线a ，b ，经过空间任意一点O ，作直线a a ' ，b b ' ，则我们把a '与b '所成的锐角或直角称为异面直线a ，b 所成的角. 特别地，当两异面直线a ，b 所成的角为直角时，我们称这两条异面直线a ，b 相互垂直，记作a b ⊥.（2）异面直线所成的角的范围两异面直线a ，b 所成的角的范围是(0,90] .【例题选讲】题型1：平面的性质例1、下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一条直线的两条直线平行；⑦一条直线和两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是__④_________.【解析】由公理3可知，空间中不共线的三点才能确定一个平面，所以①错；当这三个公共点共线时，有可能出现两个平面只有一条公共线，所以②错；空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点. 若有三个交点，则由公理3可知，这三线共面；若只有一个交点，则可确定一个平面或三个平面，所以③错；由公理3可知，三角形必为平面图形，所以④对；由公理3可知，平行四边形、梯形必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，所以⑤错；在一个正方体中易见，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面，所以⑥错；在一个正方体中易见，一条直线和两条平行线中的一条相交，和另一条可能相交，也可能异面，所以⑦错；在一个正方体中易见，两组对边相等的四边形可能是一个空间四边形，所以⑧错；故只有④正确题型2：多线共点问题例2、如图所示，已知空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，求证：三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.【证明】∵EA EB =，HA HD =∴EH BD ，且12EH BD =又∵23CF CG CB CD == ∴FG BD ，且有23FG BD =，即23FG BD = 于是有EH FG ，且易知EF 不平行于HG ∴四边形EFGH 为梯形于是梯形EFGH 的两腰EF ，HG 必相交于一点P 又P ∈直线EF ，而EF ⊆平面ABC∴P ∈平面ABC ，同理可得：P ∈平面ADC 于是点P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上 故三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.题型3：点线共面问题例3、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 21l l ⊥，32l l ⊥31l l ⇒B. 21l l ⊥，32l l 31l l ⊥⇒C. 321l l l ⇒1l 、2l 、3l 共面D. 1l 、2l 、3l 共点⇒1l 、2l 、3l 共面【解析】当12l l ⊥，23l l ⊥时，1l 与3l 可能平行，也可能相交或异面，所以A 错误； 当12l l ⊥，23l l 时，必有13l l ⊥，所以B 正确； 当123l l l 时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如三菱柱的三条侧棱两两平行，但它们分别在三个平面内，所以C 错误；当1l ，2l ，3l 共点时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如正方体中从同一个顶点出发的三条棱分别在三个平面内，所以D 错误； 故选B例4、已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别是11C D 、11B C 的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11.（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线.【证明】（1）∵EF 是111C D B ∆的中位线∴11EF D B又∵11D B DB∴EF DB故EF 、DB 可以确定一个平面，即D 、B 、F 、E 四点共面（2）∵Q ∈直线11AC ，11AC⊆平面11A ACC ∴Q ∈平面11A ACC又∵Q ∈直线EF ， EF ⊆平面DBFE ∴Q ∈平面DBFE于是点Q 是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点，同理可得：点P 也是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点∴平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ =又直线1AC ⋂平面DBFE R = ∴R ∈直线1AC而1AC ⊆平面11A ACC ∴R ∈平面11A ACC于是点R ∈平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ = 故P ，Q ，R 三点共线题型4：异面直线的判定例5、已知平面α⋂平面β=直线a，直线b在平面α内，直线c在平面β内，⋂=，c ab a A. 求证：b与c是异面直线.【证明】假设b与c不是异面直线则b与c平行或相交（i）若b c则由c a⋂=”矛盾，而这显然与已知“b a A，有b a故b与c不平行（ii）若b与c相交，不妨设b c B⋂=则由B∈直线b，b⊆平面α，有B∈平面α；B∈直线c，c⊆平面β，有B∈平面β于是点B是平面α与平面β的公共点又∵平面α⋂平面β=直线a∴B∈直线a又B∈直线c∴c a B⋂=，而这显然与已知“c a”矛盾故b与c不相交综合（i）和（ii）可知，b与c是异面直线题型5：点、线、面位置关系的应用例6、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？【证明】（1）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时，四边形EFGH 为平行四边形，证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 边上的中点 ∴EH BD ，同理可得：FG BD 于是有EH FG又∵E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点 ∴EF AC ，同理可得：HG AC 于是有EF HG故四边形EFGH 为平行四边形（2）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时，四边形EFGH 为矩形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时， 由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形 又∵AC BD ⊥，HG AC ∴HG BD ⊥又FG BD∴HG FG ⊥，即90HGF ∠= 故平行四边形EFGH 为矩形（3）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时， 由（2）知，四边形EFGH 为矩形 又∵AC BD =，12EF AC =，12FG BD = ∴EF FG =故矩形EFGH 为正方形。