(曲边梯形的面积和汽车行驶路程)
学案8：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ．迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积． 名师点津(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ． 名师点津把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．当堂检测1．在求由抛物线y＝x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()A．1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2(1)2,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22(1),i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．下列关于函数f(x)＝x2在区间1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的端点处的函数值的说法正确的是()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小3．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边形的面积和等于S②n个小曲边形的面积和小于S③n个小曲边形的面积和大于S④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1 B．2 C．3 D．44．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．5．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．参考答案活动与探究1解：(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ．分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1nii S S ==∆∑．(2)近似代替：记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝212i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． (3)求和：小曲边梯形的面积和11'n nn iii i S S S ===∆≈∆∑∑2112ni i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡ 16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43．即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43．迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n ．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积． ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2(i －1)(i ＝1，2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝lim n →∞32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于32．活动与探究2 解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫4n 3·i 2＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝43．故这段时间内汽车行驶的路程s 为43km ．迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ．取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－i 2n 2，i ＝1，2，…，n ．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2 ＝7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝203． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203．当堂检测 1．【答案】C【解析】每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n -，右端点是2in． 2．【答案】D 3．【答案】A【解析】只有说法①是正确的，其余均错． 4．【答案】0.33【解析】由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．解：令f (x )＝x 2． (1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，12x n =，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和： 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )， 2231112228nnn n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑＝38n(12＋22＋…＋n 2) 38(1)(21)6n n n n ++=⋅ ＝2431(2)3n n++． (3)取极限lim n n S →∞＝limn →∞24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为83．。
课时训练7曲边梯形的面积与汽车行驶的路程
课时训练7曲边梯形的面积与汽车行驶的路程1.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形面积时,若将区间[-1,1]n等分,则每个小区间的长度为()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为.答案:B2.求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n 个小区间,则第i-1个区间为()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,故第i-1个区间的左端点为:0+(i-2)·,右端点为.答案:D3.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的值,可以用()近似代替.A.fB.fC.fD.f(0)解析:可用区间的右端点的函数值f来近似代替.答案:C4.在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上近似值等于()A.只能是左端点的函数值f(x i)B.只能是右端点的函数值f(x i+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])D.以上答案均正确答案:C5.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈·.答案:A6.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析:若将区间[0,2]n等分,则每一区间的长度为,第i个区间为,若取每一区间的右端点进行近似代替,则和式极限形式为.答案:B7.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x3所围成曲边梯形的面积是.解析:(1)分割将区间[0,2]分成n个小区间,则第i个小区间为,区间长度为Δx=,每个小曲边梯形的面积为ΔS i(i=1,2,…,n),则S=ΔS i.(2)近似代替用小矩形的面积ΔS'i近似地代替ΔS i,ΔS i≈ΔS'i=f·Δx=·(i=1,2,…,n).(3)求和S n=ΔS'i=·Δx==(i-1)3=·=,∴S≈S n=.(4)取极限S=S n==22=4.答案:48.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),则弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.解析:将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将[0,b]n等分,记Δx=,分点依次为x0=0,x1=,x2=,…,x n-1=,x n=b.当n很大时,在分段[x i,x i+1]所用的力约为kx i,所做的功ΔW i≈kx i·Δx=kx i.则从0到b所做的总功W近似地等于ΔW i=kx i·Δx=k··=[0+1+2+…+(n-1)]=·=.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W=ΔW i=kb2.答案:kb29.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:∵y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S阴影.由得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=4和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割将区间[0,2]n等分,则Δx=,取ξi=.(2)近似代替、求和S n=·[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极值S=S n=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=,即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.10.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?解:(1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n-1个分点,将它分成n个小区间.记第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=.每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1,2,…,n),则显然有s=Δs i.(2)近似代替取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δs i≈Δs'i=v·Δt=·=(i=1,2,…,n).(3)求和s n=Δs'i=(12+22+…+n2)+4=·+4=8+4.从而得到s的近似值s≈s n.(4)取极限s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.5.1
．曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本～，思考并完成下列问题()连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？()曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？．连续函数如果函数＝()在某个区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间上的连续函数．．曲边梯形的面积＝())，＝和曲线()曲边梯形：由直线＝，＝(所围成的图≠如图)①．(形称为曲边梯形()求曲边梯形面积的方法与步骤：分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些]，[分割：把区间小曲边梯形①()；如图②②“近似代替：对每个小曲边梯形以直代曲矩形”，即用的面积近似代替小曲边梯形的面积(如图，得到每个小曲边梯形面积的近似值②；)③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④定值取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个，即为曲边梯形的面积．．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为＝()，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在≤≤内所作的位移.[点睛]当→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( ) ()当很大时，函数()＝在区间上的值，只能用近似代替．( )()＝，＝.( )答案：()× ()× ()√．将区间[]进行等分需插入个分点，第三个区间是．答案： []．做直线运动的物体的速度＝()，则物体在前 内行驶的路程为 .答案：错误!求曲边梯形的面积[典例] 求直线＝，＝，＝与曲线＝＋所围成的曲边梯形的面积[参考公式＋＋…＋＝(＋)(＋)]．[解]令()＝＋.()分割：将区间[]等分，分点依次为 ＝，＝，＝，…，－＝，＝. 第个区间为()))(＝，…，)， 每个区间长度为Δ＝－＝.()近似代替、求和：取ξ＝(＝，…，)， ＝·Δ＝·＝＋＝(＋＋…＋)＋ ＝·＋＝＋. ()取极限：＝＝＝，即所求曲边梯形的面积为.求曲边梯形面积()思想：以直代曲．()步骤：分割→近似代替→求和→取极限．()关键：近似代替．。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
曲边梯形面积及汽车行驶的路程
曲边梯形面积与汽车行驶路程的未来发展
随着科技的不断进步和人们对环保的日益重视，未来汽车行业将更加注重节能减排和可持续发展。曲 边梯形面积的计算可以帮助设计师更好地理解汽车的能耗和排放情况，从而优化设计，降低对环境的 影响。
的长度和方向。
在某些情况下，曲边梯形面积 的大小可能会影响汽车行驶的 路程长度，例如在弯曲的道路
或坡道行驶时。
曲边梯形面积对汽车行驶路程的影响
在弯曲的道路中，曲边梯形面积的大小会影响汽车行驶的路程长度。
当道路弯曲时，汽车需要沿着曲线路径行驶，曲边梯形面积的大小决定了曲线的长 度，进而影响汽车行驶的路程长度。
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曲边梯形面积还可以用于评估汽车内部空间布局的合理性。通过计算曲边梯形面 积，可以确定车内座椅、方向盘等部件的合理位置，以提高乘客的舒适度和驾驶 安全性。
曲边梯形面积在汽车行驶路程规划中的应用
在汽车行驶路程规划中，曲边梯形面积可以帮助驾驶员更好 地理解行驶路线的复杂性和行驶难度。例如，在山区行驶时 ，曲边梯形面积可以用于评估道路的陡峭程度和弯道数量， 从而帮助驾驶员选择合适的行驶路线和驾驶方式。
实际应用
在日常生活中，可以根据给定的速度 和时间，计算汽车行驶的路程；或者 根据已知的路程和时间，计算汽车的 速度。
不同行驶状态下的路程计算
变速行驶
变速行驶时，汽车的速度会发生变化，因此需要分段计算路程， 然后累加得到总路程。
曲线行驶
曲线行驶时，需要将曲线分成若干段直线，然后分别计算每段直线 的路程，最后将各段路程相加得到总路程。
定积分的概念(一)
探究展示（一）三角形面积的算法 设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等 分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则 (1)从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？ (2)这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？ C (3)随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈 接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限 为多少？由此可得什么结论？
4 4 解之得 m 又 m 0 所以 m 的取值范围为 , 0 . 3 3
1:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. f ( x) 3ax2 2bx, 解:(1) f (1) 2 ab 2 a 1 . 由题意得: f (1) 3 3a 2b 3 b 3 f ( x) 3 x 2 6 x 3 x( x 2) 0 ,解得x>0或x<-2. (2)
2 2 f ( x ) 在 ,1 单调递减,在 1 ,1 单调递增,在 (1, ) 上单调递减. （II） m m
2 2 1 2 g(1) 0, 1 2 0, （III）设 g ( x ) x 2(1 ) x ,所以 m m m m g(1) 0. 1 0.
作业：预习 定积分的概念（理解定积分的几何 意义，能用定义求简单的定积分）
1.已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P 处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
定积分的概念教案
定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。
3.理解掌握定积分的几何意义。
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。
教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。
二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。
说明：1）定积分不是Sn。
2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。
3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。
2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。
另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。
定积分的概念
小曲边梯形的曲边.这样，在区间 [n i 1上，n， i用]
nn
小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围
内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=
f( n i 1 n i )x nn
n2
n i 1n i
1 n
n
i
n
1n
i
(i
1，2，，n).
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn=
n
Si
n
Si
i1
i1
n
i1
n
i
n
1
n
i
n
n
n
1
n
n
1n
2
n
n
n
1n
n
n( 1 1 1 1 1 1 )
n n 1 n 1 n 2
n n 1 n n
n( 1 1 ) 1 . n 2n 2
从而得到S的近似值S≈Sn=
1 2
.
(4)取极限
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，
【对点训练】 1.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上 的近似值等于 ( ) A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈ [xi，xi+1]) D.以上答案均不正确 【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知， C正确.
【解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断.
【解析】由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时 求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与 小区间上的取值无关，只有④正确，对于③当n很大 时，并未点明有多大，应该是无穷大时Sn对应的极限 值. 答案:④
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,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
1 n
,
i n
上，可以认为函数 v t t2 2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1 n
2
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）取极限
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
Si
Si
v
i
1 n
t
i
1
2
n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
1 n
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
（1）分割（2）近似代替 （3）求和 （4）取极限
汽车行驶的路程
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时 间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果 已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时 间内经过的路程呢？
问题：汽车以速度 v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线运动，
在时刻 t 的速度为 v t t2 2 （单位：km/h），那
么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
解：1．分割
在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
求曲边梯形的面积
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近 的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．